1) O documento apresenta 10 exercícios resolvidos de probabilidade que envolvem situações como: extração de bolas de urnas com diferentes cores, lançamento de dados, sexo de filhos em famílias, probabilidade de cura de doenças em animais, entre outros. As soluções calculam as probabilidades de eventos simples e compostos usando a definição formal de probabilidade.

1. Exercícios Resolvidos
1) Urna contem 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se simultaneamente 3
bolas. Achar a probabilidade de
a) Nenhuma ser vermelha
b) Todas sejam da mesma cor
solução
a)
B= {branca}
V = {vermelha}
A = {Azul}
Nenhuma ser vermelha: {AcAcAc}
P(Nenhuma ser vermelha) = P(Ac∩Ac∩Ac) = ( 8 / 12 ) x (7 / 11 ) x (6/10 ) = 0,2545
b) Todas da mesma cor: {AAA}{BBB}{VVV}
P(Todas da mesma cor) = P(A∩A∩A) +P(B∩B∩B) +P(V∩V∩V) = (4/12 ) x(3/11) x (2/10)+
(5/12) x (4/11) x ( 3/10) + (3/12) x (2/11) x (1/10) = 0,0682
2) Considere o quadro a seguir, representativo da distribuição da renda anual de
produtores rurais e duas cooperativas em uma determinada região:
Cooperativas
Renda Anual A B Total
15 a 20 55 25 80
20 a 25 35 35 70
25 a 30 10 80 90
30 a 35 5 5 10
Total 105 145 250
Observando os dados acima verifique a probabilidade de um cooperado aleatoriamente
escolhido ser:
a) da Cooperativa A
A = {Coop. A}
P(A) = 105/250 = 0,42
b ) ter renda entre 15 e 20
R1 = {renda entre 15 e 20}
P(R1) = (55+25) / 250 = 80/250 = 0,32
c ) ter renda entre 25 e 30 dado que é da cooperativa B

2. R2 = {renda entre 25 e 30}
B = {Coop. B}
P(R2 | B ) = P ( R2 ∩ B) = 80 / 250 = 80 / 145 = 0,55
P(B) 145 / 250
d) O tipo de cooperativa é independente da renda? Justifique.
Os eventos são independentes se P (A∩B) = P( A ) x P( B )
Como os elementos de cada célula da tabela representa os interseções entre os eventos,
devemos verificar e elas são iguais a multiplicação dos valores da ultima linha e ultima
coluna. Se apenas um for diferente, já temos motivo para dizer que são eventos independentes.
A = {Coop. A}
R1 = {renda entre 15 e 20}
P(A ∩ R1) = 55/250 = 0,22
P(A) x P(R1) = 0,42 x 0,32 = 0,1344
Como temos P(A ∩ R1) diferente de P(A) x P(R1), já é condição suficiente para dizer que
os eventos não são independentes.
3) Jogam-se dois dados, qual é a probabilidade de o produto dos números das faces
superiores estar entre 12 e 15 (inclusive?)
Solução: Devemos construir uma tabela de produtos, que é o nosso espaço amostral (E):
Dado2
Dado1 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
N(E) = 36
A = {12,15}
N(A) = 6 P(A) = 6/36 = 1/6
4) Admitindo que a probabilidade de uma família ter um filho do sexo masculino (H) é
0,51, calcule a probabilidade de uma família de 3 filhos ter:
a) Somente um filho do sexo masculino
b) Dois filhos do sexo feminino

3. c ) pelo menos 1 do sexo feminino
Solução:
a) P(H) = 0,51 P(M) =0,49
1 filho do sexo masculino: {HMM , MHM, MMH}
P(1 do sexo masculino) = P(H)P(M)P(M) + P(M)P(H)P(M)+P(M)P(M)P(H)
= (0,51x0,49x0,49) + (0,49x0,51x0,49) + (0,49x0,49x0,51)
= 0,12+0,12+0,12 = 0,36
b) P(2 do sexo masculino) = P(1 do sexo masculino) = 0,36
c) pelo menos 1 do sexo feminino: {M,H,H} {H,M,H} {H.H,M} {M,M,H} {M,H,M}
{H,M,M}{M,M,M}
P(pelo menos 1 do sexo feminino) = 0,49x0,51x0,51+0,51x0,49x0,51+0,51x0,51x0,49+
0,49x0,49x0,51+0,49x0,51x0,49+0,51x0,49x0,49+0,49x0,49x0,49 =
=0,127+0,127+0,127+0,122+0,122+0,122+0,118 = 0,865
5) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter a soma
dos pontos igual a 8 ou dois números iguais ?
O espaço amostral seria:
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6).....(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
n(A) = 36
os eventos seriam:
E1 : soma 8 ; {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2),}
n(E1) = 5 --> p(E1) = 5/36
E2 : números iguais ; {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) }
n(E2) = 6 --> p(E2) = 6/36
E1∩ E2 : {(4,4)}
n(E1∩ E2) = 1 -> p(E1∩ E2 ) = 1/36
Então:
p(E1∪E2) = p(E1)+ p(E2) – p(E1∩ E2 ) =5/36 + 1/6 - 1/36 = 5/18
6) Uma urna contem x bolas brancas e 3x bolas pretas e 3 bolas vermelhas. Uma bola é
extraída ao acaso. Determine o menor valor possível de x a fim de que a probabilidade
de a bola ser sorteada ser preta seja maior que 70%.
Pelos dados temos que:
3x / (4x + 3) > 0,7
resolvendo temos que

4. 0,2x > 2,1 ou seja x > 10,5
Como x deve ser inteiro logo x = 11
7) Uma urna tem 3 bolas brancas, duas pretas e serão extraídas duas bolas.
A ) calcule a probabilidade de serem uma de cada cor.
Branca: {B} Preta: {P}
Uma de cada cor: {BP} {PB}
P(Uma de cada cor) = P(B) x P(P) + P(P) x P(B) = (3/5) x (2/4) + (2/5) x (3/4) = 0,3+0,3= 0,6
B) Calcule a probabilidade de se retirar uma bola branca na segunda retirada, sabendo-se que
a primeira bola retirada foi uma Preta, em duas situações: Com reposição e sem reposição.
Com Reposição
P(B | P) = P( P ∩ B) = (2/5) x (3/5 ) = 3 / 5 = P(B) -> Eventos independentes
P(P) 2/5
Sem Reposição
P(B | P) = P( P ∩ B) = (2/5) x (3/4 ) = 3/4
P(P) 2/5
8) Se no problema anterior as bolas fossem retiradas uma a uma com reposição, qual
seria a nova probabilidade?
Neste caso seriam eventos independentes, logo teríamos que somar as suas probabilidades
Então, teríamos
Se primeiro branca e depois preta : p(E1) = 3/5 . 2/5 = 6/5
Se primeiro preta e depois branca : p(E2) = 2/5 . 3/5 = 6/5
A probabilidade total seria então 12/25
9) Uma clinica especializada trata de 3 tipos de moléstias em animais: A, B e C. 60% dos
que procuram a clínica são portadores da moléstia A, 30% são portadores de B e 10%
de C. As probabilidades de cura de cada moléstia nesta clinica são, respectivamente, 0,8 ;
0,9 ; 0,75. Qual a probabilidade de:
a) Chegar uma paciente da moléstia B e ser curado?
b) Um paciente qualquer ser curado?

5. Então, temos
a) p(B e curado) = 0,3 x 0,9 = 0,27
b) p(curado) = 0,6 x 0,8 + 0,3 x 0,9 + 0,1 x 0,75 = 0,825
10) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade de observarmos, no máximo, 1
cara?
Então, temos :
n = 3 ( número de vezes)
p = 1/2 (probabilidade de dar cara)
q = 1/2 (probabilidade de não dar cara)
K = {Cara}
C = {Coroa}
Máximo 1 cara: {C,C,C} {K,C,C} {C,K,C} {C,C,K}
P(máximo 1 cara) = P(C) P(C) P(C)+ P(K) P(C) P(C)+ P(C) P(K) P(C)+ P(C) P(C) P(K)
= (1/2x1/2x1/2)+(1/2x1/2x1/2)+(1/2x1/2x1/2)+(1/2x1/2x1/2) = 1/2