Probabilidade

PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71

1
EM_V_MAT_015
Probabilidade
A teoria do azar consiste em reduzir todos os
acontecimentos do mesmo gênero a um certo número
de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que es-
tejamos igualmente inseguros sobre sua existência,
e em determinar o número de casos favoráveis ao
acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão
deste número para o de todos os casos possíveis é
a medida dessa probabilidade, a qual é, portanto,
uma fração cujo numerador é o número de casos
favoráveis e cujo denominador é o número de todos
os casos possíveis.
Pierre Simon Laplace
Ensaio filosófico sobre as Probabilidades
Uma das aplicações mais importantes dos resul-
tados anteriores é na teoria das probabilidades.
Diremos que um experimento é determinístico
quando repetido em condições semelhantes con-
duzindo a resultados essencialmente idênticos. Os
experimentos que, repetidos sob as mesmas condi-
ções, produzem resultados geralmente diferentes
serão chamados experimentos aleatórios. Fenômenos
aleatórios acontecem constantemente em nossa vida
diária. São frequentes perguntas tais como: Choverá
amanhã? Qual será a temperatura máxima no próxi-
mo domingo? Qual será o número de ganhadores da
Loteria Esportiva? Quantos habitantes terá o Brasil
no ano 2 020?
A teoria das probabilidades é o ramo da Ma-
temática que cria, desenvolve e em geral pesquisa
modelos que podem ser utilizados para estudar ex-
perimentos ou fenômenos aleatórios.
O modelo matemático utilizado para estudar
um fenômeno aleatório particular varia em sua com-
plexidade matemática, dependendo do fenômeno
estudado. Mas todos esses modelos têm ingredientes
básicos comuns. O que vamos fazer agora é estudar
uma série de fenômenos aleatórios relativamente
simples e interessantes, e fixar uma série de ideias
e noções que são totalmente gerais.
Probabilidade de Laplace
A definição de probabilidade como quociente
do número de “casos favoráveis” sobre o núme-
ro de “casos possíveis” foi a primeira definição
formal de probabilidade, e apareceu pela primeira
vez em forma clara na obra Líber de Ludo Aleae, de
Jerônimo Cardano (1 501-1 576). A probabilidade
introduzida nesta seção tem, como veremos, várias
propriedades.
Consideremos o seguinte experimento
aleatório: jogue um dado e observe o número
mostrado na face de cima.
A primeira tarefa consiste em descrever todos os
possíveis resultados do experimento e calcular o seu
número. De outra forma: explicitar qual é o conjunto
de possíveis resultados do experimento e calcular o
número de elementos contidos nele. Este conjunto
é chamado espaço amostral. É fácil descrevê-lo em
nosso exemplo:
6)(#6},...,2,{1, =Ω=Ω
Os elementos do espaço amostral são chamados
eventos elementares. Os subconjuntos do espaço
amostral serão chamados eventos. Por exemplo, o
subconjunto
A={2, 4, 6}
é o evento que acontece se o número mostrado
na face de cima é par.
Passamos agora à segunda etapa: a de calcu-
lar a probabilidade de um evento A. Consideremos
o caso do evento A={2, 4, 6} de nosso exemplo. É
claro intuitivamente que se repetimos o experimento
um grande número de vezes obteremos um número
par em aproximadamente a metade dos casos; ou
seja o evento A vai ocorrer mais ou menos a metade
das vezes. O que está por trás dessa intuição é o
seguinte:
os eventos elementares são todos igualmen-a)
te “prováveis”.
o número de elementos de A (#(A) = 3) éb)
justamente a metade dos elementos de
(#( ) =6).

2
EM_V_MAT_015
Estas considerações motivam a definição de
probabilidade de um evento como A, da seguinte
forma
Probabilidade de A=
#(A)
#( )
=
3
6
=
1
2
Laplace referia-se aos elementos de A (ou
eventos elementares que compõem A como os casos
favoráveis. Os elementos do espaço eram chamados
casos possíveis. Defina então
Probabilidade =
número de casos favoravéis
número de casos possíveis
Vamos então resumir as considerações feitas
até agora, que permitem a utilização desta definição
de probabilidade.
Suponha que os experimentos aleatórios têm as
seguintes características:
há um número finito (digamos n) de eventosa)
elementares (casos possíveis). A união de
todos os eventos elementares é o espaço
amostral ;
os eventos elementares são igualmenteb)
prováveis;
todo evento A é uma união de m eventosc)
elementares onde m ≤ n.
Definimos então:
Probabilidade de
A = P(A) =
número de casos favoráveis
número de casos possíveis
Consequências imediatas desta definição são
as seguintes propriedades:
Para todo evento A, 01) ≤ P(A) ≤ 1.
P(2) ) = 1.
P(3) Ø) = 0 (porque #(Ø) = 0).
Se A4) ∩ B = Ø, então
P(A5) ∪ B) = P(A) + P(B).
Probabilidade condicional
Em muitas situações práticas, o fenômeno alea-
tório com o qual trabalhamos pode ser separado em
etapas. A informação que ocorreu em uma determi-
nada etapa pode influenciar nas probabilidades de
ocorrência das etapas sucessivas.
Neste caso, dizemos que ganhamos informações
e podemos “recalcular” as probabilidades de interes-
se. Essas probabilidades “recalculadas” recebem o
nome de probabilidade condicional, cuja definição
apresentamos a seguir.
Dados dois eventos A e B, a probabilidade con-
dicional de A dado que ocorreu B é representada por
P (A B) e dada por
P (A B)=P (A B)
P(B)
, P(B)>0
Exemplo:``
Considere a seguinte situação hipotética. Uma grande
região de 100km² contém um aquífero (reservatório
de água) subterrâneo com a água igual a 2km², cuja
localização é desconhecida (ver figura a seguir). A fim de
determinar a posição de aquífero, perfurações são feitas
ao acaso. Vamos representar por H o evento de encon-
trar a água. Temos P ( H) = 0,02, obtida pelo quociente
da área do aquífero pela área total, onde usamos que o
espaço amostral é = {região de 100km²}.
= Região (100km2
)
H2
0
Suponha agora que, após um ano de pesquisas, uma
área de cerca de 20km² já foi amplamente perfurada
sem encontrar água e pode ser descartada para novos
furos. Representamos essa informação por I. Qual seria
agora a probabilidade de um furo, feito ao acaso, atingir o
aquífero? Vamos representar por P (H I) a probabilidade
desejada. Com a mesma argumentação utilizada acima,
a nova região de procura terá área de 80km² e, portanto,
P (H I) = 0,025. Isto é, como esperávamos, a probabili-
dade de obter água aumentou devido à informação rece-
bida. Vamos refazer este cálculo utilizando a fórmula de
probabilidade condicional. Para tal, seja B a nova região
de procura correspondendo à área total inicial menos a
parte que foi descartada para as novas tentativas. Temos
que P (B) = 0,8. O evento H B representa a ocorrência
de, sem nenhuma informação auxiliar, que encontremos
água num furo feito na região B. Pelas suposições iniciais,
H B = H e então, P (H B) = P (H) = 0,02.
P (H B) = P (H B)
P(B)
=0,02
0,8
= 0,025
A figura a seguir apresenta o efeito da informação I no
espaço amostral.

3
EM_V_MAT_015
= Região (100km2
)
H2
0
H2
0
= Nova Região (80km2
)
O espaço amostral perdeu 20km², que é a área descar-
tada para novos furos.
Da definição de probabilidade condicional, deduzimos a
regra do produto de probabilidades, uma relação bastante
útil que é apresentada na figura.
Sejam A e B eventos de . Então,
P (A B)=P(A B) P (B),
com P(B)>0
Um conceito muito importante em probabilidade é o
da independência de eventos, que será utilizado
repetidamente ao longo de todo o texto.
Independência de eventos
Dois eventos A e B são independentes se a
informação da ocorrência ou não de B não altera a
probabilidade da ocorrência de A. Isto é:
P (A B) = P (A) > 0,
ou ainda a seguinte forma equivalente:
P (A B) = P (A) P (B)
Não é difícil verificar que se A é independente
de B, então B é independente de A. O uso da expres-
são acima permite ainda verificar que o evento vazio é
independente de qualquer evento. As demonstrações
são deixadas a cargo do leitor.
É muito comum, à primeira vista, confundir
eventos independentes e eventos disjuntos. O pró-
ximo exemplo ajuda a esclarecer essa questão.
Exemplo:``
Uma empresa produz peças em duas máquinas I e
II, que podem apresentar desajustes com probabili-
dade 0,05 e 0,10, respectivamente. No início do dia
de operação um teste é realizado e caso a máquina
esteja fora de ajuste, ela ficará sem operar nesse dia
passando por revisão técnica. Para cumprir o nível
mínimo de produção, pelo menos uma das máquinas
deve operar. Você diria que a empresa corre risco de
não cumprir com suas metas de produção?
Seja Oi
o evento da máquina i estar operando, i = 1 ou
2. Pelas informações disponíveis temos P (O1
) = 0,95 e
P (O2
) = 0,90.
Na figura apresentamos um diagrama conhecido como
árvore de probabilidades, que consiste em apresentar
os eventos e as probabilidades condicionais associadas
às realizações. Cada um dos caminhos da árvore indica
uma possível ocorrência.
No preenchimento dos valores de probabilidades
na árvore, observe que assumimos a independência
entre O1
e O2
, pois acreditamos que a eventual falta
de ajuste em uma máquina não interfere no compor-
tamento da outra. Note que, no caso da independên-
cia, o segundo ramo da árvore não é afetada pela
ocorrência dos eventos que aparecem no primeiro
ramo. Portanto, pela definição de independência,
segue que P(O2
O1
) = P(O2
) = 0,90.
Para facilitar a notação, vamos escrever O1
O2
para
o evento O1
O2
. Sua probabilidade da ocorrência é
dada pelo produto dos ramos que levam nesse evento.
Isso correspondendo à aplicação da regra do produto
de probabilidades:
P(O1
O2
) = P(O2
O1
) P(O1
).
Árvore de probabilidade
0,95
O1
c0,05
O1
O20,90
0,10
0,90
0,10
O2
c
O2
O2
c
A tabela a seguir resume as ocorrências e suas
respectivas probabilidades.

4
EM_V_MAT_015
Eventos Probabilidade
O1
O2
0,95 x 0,90 = 0,855
O1
Oc
2
0,95 x 0,10 = 0,095
Oc
1
O2
0,05 x 0,90 = 0,045
Oc
1
Oc
2
0,05 x 0,10 = 0,005
Para obter o nível mínimo de produção diária,
precisamos ter pelo menos uma máquina operando.
Isso corresponde à ocorrência do evento O1
O2
O1
Oc
2 Oc
1O2
. Temos
P(O1
O2
O1
Oc
2 Oc
1O2
)= P(O1
O2
) + P(O1
Oc
2)+P(Oc
1O2
)
pois as três realizações são disjuntas. Por exem-
plo, não é possível as duas máquinas estarem operan-
do (evento O1
O2
) e ao mesmo tempo só a máquina I
operar (evento O1
Oc
2). Dessa forma, concluímos que a
probabilidade de manter o nível mínimo de produção
é 0,995. Portanto, a empresa tem alta probabilidade
de cumprir com suas metas de produção.
No exemplo anterior, os eventos representados
pelas intersecções O1
O2
, O1
Oc
2
, Oc
1
O2
e Oc
1
Oc
2
formam
novos eventos que têm a propriedade de serem mu-
tuamente exclusivos, e cuja união completa todas as
possíveis combinações.
Distribuição binominal
Uma quantidade X, associada a cada possível
resultado do espaço amostral, é denominada de
variável aleatória discreta se assume os valores
num conjunto enumerável, com certa probabilidade.
Por outro lado, será denominada variável aleatória
contínua se seu conjunto de valores é qualquer in-
tervalo dos números reais, o que seria um conjunto
não-enumerável.
Na construção de um certo prédio, as fundações
devem atingir 15 metros de profundidade e, para cada
cinco metros de estacas colocadas, o operador anota
se houve alteração no ritmo de perfuração previamente
estabelecido. Essa alteração é resultado de mudanças
para mais ou para menos, na resistência do subsolo.
Nos dois casos, medidas corretivas serão necessárias,
encarecendo o custo da obra. Com base em avaliações
geológicas, admite-se que a probabilidade de ocorrên-
cia de alterações é de 0,1 para cada cinco metros. O
custo básico inicial é de 100UPCs (unidade padrão de
construção) e será acrescido de 50k, com k represen-
tando o número de alterações observadas. Como se
comporta a variável custo das obras de fundação?
Assumimos que as alterações ocorrem inde-
pendentemente entre cada um dos três intervalos de
cinco metros e representamos por A a ocorrência de
alteração em cada intervalo, sendo Ac
seu comple-
mentar. A figura a seguir apresenta as três etapas
com os possíveis resultados da perfuração. Cada etapa
tem duas possibilidades que, quando combinadas
com as outras duas etapas, originam oito possíveis
eventos. Por exemplo, o evento AAc
A representa que
na primeira e na terceira etapas aconteceram altera-
ções, enquanto que na segunda nada se alterou. Como
temos três etapas, com dois possibilidades em cada
uma, temos no total 23
= 8 eventos.
O espaço amostral consiste na união de todos os
caminhos que levam de um ponto a outro da árvore
de probabilidades.
0,1
0,9
0,1
0,9 Ac
A
Ac
Ac
Ac
Ac
Ac
AcA
A
A
A
A
A0,1
0,9 0,1
0,9
0,1
0,9
0,1
0,9
0,1
0,9
Sendo C a variável aleatória custo da obra,
obtemos a seguinte tabela:
Eventos Probabilidade C (em UPCs)
AAA 0,13
250
AAAc
0,12
x 0,9 200
AAc
A 0,12
x 0,9 200
AAc
Ac
0,1 x 0,92
150
Ac
AA 0,12
x 0,9 200
Ac
AAc
0,1 x 0,92
150
Ac
Ac
A 0,1 x 0,92
150
Ac
Ac
Ac
0,93
100
Note que associamos a cada evento do espaço
amostral um valor para a variável aleatória C. Os
distintos possíveis valores são c1
= 100, c2
= 150, c3
= 200 e c4
= 250. Além disso, podemos ter um mesmo
valor da variável associado a mais de um elemento
do espaço amostral, por exemplo,
P(C=c2
)=P(C=150)=P(AAc
Ac
Ac
AAc
Ac
Ac
A).
Tendo em vista que os eventos são disjuntos, a
probabilidade da união fica sendo simplesmente a
soma das probabilidades de cada evento. Então,
P (C = 150) = P (AAc
Ac
) + P (Ac
AAc
) + P (Ac
Ac
A)
= 3 x 0,1 x 0,92
= 0,243.

5
EM_V_MAT_015
As probabilidades para os outros valores de C
podem ser obtidas de modo análogo, resultando na
seguinte função de probabilidades:
C 100 150 200 250
pI
0,729 0,243 0,027 0,001
Dessa forma, o comportamento da variável de
interesse pode ser estudado através da associação
de cada custo com sua probabilidade de ocorrência.
Essa informação pode auxiliar na previsão de gastos
e na elaboração de orçamentos.
Consideremos agora um experimento com ape-
nas dois resultados possíveis, que chamaremos de
sucesso e fracasso.
Exemplos``
Jogamos uma moeda não-viciada e atribuímos su-a)
cesso = cara, e fracasso = coroa.
Jogamos um dado não-viciado e atribuímos sucessob)
= o resultado é 5 ou 6 e fracasso = o resultado é
1,2,3 ou 4.
De uma urna que contém seis bolas brancas e qua-c)
tro bolas pretas, sacamos uma bola e atribuímos
sucesso = a bola é preta, e fracasso = a bola é
branca.
Chamamos de p, a probabilidade de sucesso e q
= 1 – p, a probabilidade de fracasso. Nos nossos
exemplos os valores de p são
1
2
,
2
6
e
4
10 , respec-
tivamente.
Suponhamos agora que façamos repetições
(provas) do nosso experimento, realizando-o um
número fixo: n vezes.
Assim, por exemplo, no caso n = 3 jogamos a
moeda três vezes, jogamos o dado três vezes, saca-
mos sucessivamente três bolas da urna.
Suponhamos ainda que a probabilidade p de
sucesso mantenha-se constante ao longo das provas.
Isso, no exemplo a, significa que a probabilidade de
obter cara em qualquer dos lançamentos é 1/2.
Suponhamos finalmente que as provas sejam
independentes, isto é, que o conhecimento dos resul-
tados de algumas provas não altere as probabilidades
dos resultados das demais. Isso, no exemplo c, signi-
fica que as bolas são sacadas com reposição.
O problema que queremos resolver é o seguin-
te: qual é a probabilidade de obtermos k sucessos
nessas n provas?
A probabilidade de nessas n provas obtermos
k sucessos e, em uma ordem predeterminada, por
exemplo, os sucessos nas k primeiras provas e os
fracassos nas demais:
ΣSS ... S FF ... F
k vezes n - k vezes
Σppp ... p . (1 – p)...(1 – p) = pk
(1 – p)n – k
,
k fatores n - k fatores
pois as provas são independentes.
É claro que, em outra ordem, a probabilidade
seria a mesma, pois apenas a ordem dos fatores se
alteraria. A probabilidade de obtermos k sucessos e
n – k fracassos em qualquer ordem é pk
(1– p)n–k
mul-
tiplicado pelo número de ordem possíveis que é
n
k
(para escolher uma ordem basta escolher em quais
das n provas ocorrerão os k sucessos). Acabamos
de provar o
Teorema binominal: a probabilidade de
ocorrerem exatamente k sucessos em uma
sequência de n provas independentes, na qual
a probabilidade de sucesso em cada prova é
p, igual a:
n
k
pk
(1– p)n–k
Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a1.
probabilidade de obter duas caras? Qual é a probabili-
dade de obter pelo menos duas coroas?
Solução:``
Vamos indicar com H, cara, e com T, coroa. O espaço
amostral é então
= {(H H H), (H H T), (H T H), (H T T), (T H H), (T H
T), (T T H), (T T T)}
Donde:
#( ) = casos possíveis = 8.
Se A indica o evento “obter duas caras” temos que
A = {(H H T), (H T H), (T H H)}
Assim #(A) e, portanto:
.
8
3
)(#
(A)#
P(A) =
Ω
=
Se B denota o evento “obter pelo menos duas caras”
temos
B = {(H H T), (H T H), (T H H), (H H H)}.
Resulta que
2
1
8
4
P(B)e4(B)# ===

6
EM_V_MAT_015
Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a2.
probabilidade de que a soma dos números mostrados
nas faces de cima seja 7.
Solução:``
O espaço amostral Ω consiste de todos os pares (i, j) onde
i e j são inteiros positivos compreendidos entre 1 e 6. A
figura descreve o espaço amostral completamente.
Número do segundo dado
1 2 3 4 5 6
Númerodo
primeidodado
1 (1, 2) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
O número de eventos elementares (casos possíveis) é igual
a #( ) = 36. Seja A o conjunto dos pares (i, j) tais que i
+ h = 7. Esses pares estão destacados na figura. Temos
que #(A) = 6 e, portanto,
6
1
36
6
)(#
(A)#
P(A) ==
Ω
=
Na maior parte dos problemas concretos o espaço amos-
tral não é descrito com tanto cuidado. Este é um costume
generalizado (e às vezes perigoso). Nos exemplos não
descreveremos precisamente o espaço amostral, mas
ao leitor é aconselhado em todos os casos a defini-los
com precisão.
Para a Copa do Mundo, 24 países são divididos em3.
seis grupos, com quatro países cada um. Supondo
que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso,
calcular a probabilidade de dois times A e B caírem no
grupo 1?. (Na realidade a escolha não é feita de forma
completamente aleatória).
Solução:``
Vamos tomar como espaço amostral o conjunto de todas
as permutações de 24 elementos; ou seja o número de
casos possíveis é 24! Consideremos o diagrama da figura
a seguir, que
1 2 3 4 5 6
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
representa os 24 times divididos em seis grupos. Quan-
tas permutações existem tais que A e B pertencem ao
primeiro grupo? A pode ser colocado em quatro lugares;
restam para B três lugares e os times restantes podem ser
dispostos em 22! formas diferentes. Portanto, o número
de permutações com A e B no primeiro grupo é
4 x 3 x 22!
A probabilidade de um casal ter um filho do sexo4.
masculino é 0,25. Então, a probabilidade do casal
ter dois filhos de sexos diferentes é:
1
16
a)
3
8
b)
9
16
c)
3
16
d)
3
4
e)
Solução:`` B
Para cada filho desses pais temos quatro pos-
sibilidades : H M M M (uma possibilidade de
meninos e três de meninas)
Para dois filhos temos o seguinte espaço amos-
tral:
(H,H) ; (H,M); (H,M); (H,M)
(M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M)
(M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M)
(M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M)
Temos então seis casos de dois filhos de sexos
diferentes em 16 possibilidades:
Logo a probabilidade é : 6
16
= 3
8
A probabilidade procurada é, portanto:
0.13.
23
3
24!
22!.3.4.6
≈=
Um grupo de pessoas está classificado da seguinte forma:5.
fala inglês
fala
alemão
fala
francês
homens
mulheres
92
101
35
33
47
52
Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que
esta pessoa fala francês, qual é a probabilidade de
que seja homem?

7
EM_V_MAT_015
Solução:``
Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala
francês e B se a pessoa escolhida é homem. Temos
P(A) = 47 + 52
360
=
99
360
P(A B) =
47
360
portanto
P(B/A) = P(A B)
P(A)
= 47 / 360
99 / 360
=
47
99
Note-se que:
P (B/A)=47
99
= 47
47+52
= (A B).
(A)
6. Numa prova há sete perguntas do tipo verdadeiro
falso. Calcular a probabilidade de acertarmos todas
as sete se:
escolhermos aleatoriamente as sete respostas;a)
escolhermos aleatoriamente as respostas, mas sa-b)
bendo que há mais respostas “verdadeiro” do que
“falso”.
Solução:``
Há 27
= 128 possibilidades e portanto P [acertar os
sete testes] =
1
128
Seja A o conjunto de todos os pontos com mais respostas
“V” do que “F”. Temos que
(A)= 7
4 +
7
5 +
7
6 +
7
7 = 35+21+7+1=64,
e portanto a probabilidade buscada é igual a 1/64.
Consideremos dois dados, um deles equilibrado:7.
(P ( 1 ) = (P ( 2 ) = ... = (P ( 6 ) = 1/6
e outro viciado com:
(P ( 1 ) = 1/2 e (P ( 2 ) = ... = (P ( 6 ) = 1/10.
Escolhe-se um dos dados ao acaso e se efetuam dois
lançamentos, obtendo-se dois “uns”. Qual a probabili-
dade condicional de que o dado escolhido tenha sido
o viciado?
Solução:``
1/2
Viciado
Equilibrado
1/2
1
2
1
2
1
4
x =
1
6
1
6
x =
1
36
Dois uns
Dois uns
Temos:
P [observar dois uns] =
1
2
1
4
. =
1
36
1
2
+ . 5
36
,
P [dado viciado e dois uns] =
1
2
1
4
. =
1
8
.
A probabilidade buscada é então igual a:
5/36
1/8
=
9
10
= 90%
Um exame de laboratório tem eficiência de 95%8.
para detectar uma doença, quando essa doença
existe de fato.
Entretanto o teste aponta um resultado “falso
positivo” para 1% das pessoas sadias testadas.
Se 0,5% da população tem a doença, qual é a
probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado
que o seu exame foi positivo?
Solução:``
P(doente positivo) =
P(doente e positivo)
P(positivo)
=
=
P(doente) . P (positivo doente)
P.(doente). P (positivo doente) + P (sadio). P (positivo sadio)
=
0,005 . 0,95
0,005 . 0,95 + 0,995 . 0,01
=
95
294
≅ 0,3231

8
EM_V_MAT_015
Jogamos uma moeda não-viciada 10 vezes. Qual é a9.
probabilidade de obtermos exatamente cinco caras?
Solução:``
Estipulando sucesso = cara, temos p = 1/2 em cada
prova e as provas são independentes. Queremos achar
a probabilidade de k = 5 sucessos em n = 10 provas.
Pelo teorema binominal, a resposta é:
10
5
1
2
5
1–
1
2
5
=
252
1 024
=
63
256
O escore em um teste de proficiência na Língua Inglesa10.
varia de 0 a 700 pontos, com mais pontos indicando um
melhor desempenho. Informações coletadas durante
vários anos permitem estabelecer o seguinte modelo
para o desempenho no teste:
Pontos (0, 200)
(200,
300)
(300,
400)
(400,
500)
(500,
600)
(600,
700)
pi 0,06 0,15 0,16 0,25 0,28 0,10
Várias universidades americanas exigem um escore
mínimo de 600 pontos para aceitar candidatos de
países de língua não-inglesa. De um grande grupo
de estudantes brasileiros que prestaram o último
exame, escolhemos ao acaso 20 deles. Qual seria
a probabilidade de, no máximo, três atenderem ao
requisito mínimo mencionado?
Solução:``
Vamos admitir que a tabela acima representa o escore
dos estudantes que estão prestando esse último exame.
Essa é uma suposição razoável tendo em vista que a ta-
bela foi feita a partir de conjunto muito grande de dados.
Isso quer dizer que um aluno selecionado ao acaso apre-
sentará um dos vários escores de acordo com as proba-
bilidades apresentadas na tabela. Por exemplo, a chance
de apresentar menos de 200 pontos é 0,06. Admitimos
ainda que os estudantes brasileiros têm comportamento
similar aos demais, e portanto, a tabela também pode ser
usada para representar esse desempenho.
Pelo critério das universidades, o estudante é classifica-
do como apto se seu escore é de 600 pontos ou mais,
caso contrário, será considerado não-apto. Dessa forma,
para cada indivíduo, teremos a classificação de apto ou
não, feita de modo independente e com as seguintes
probabilidades:
P(apto) = 0,10 e P(não-apto) – 0,90
Definindo uma nova variável X como o número de
estudantes aptos dentre os 20. A probabilidade de
no máximo três serem aptos á calculada pela função de
distribuição no ponto 3, ou seja:
F(3) = P(X 3).
Dessa forma, temos:
P(X 3) =
k = 0
3
20
k
0,1k
0,920 – k
= 20
0
0,10
0,920
+ 20
1
0,11
0,919
+
20
2
0,12
0,918
+
20
3
0,13
0,917
= 0,122 + 0,270 + 0,285 + 0,190 = 0,867.
Esse valor reflete as altas probabilidades atribuídas aos
escores menores de 600, conforme o modelo de desem-
penho no teste.
Um aluno marca ao acaso as respostas em um teste múltipla11.
escolhacomdezquestõesecincoalternativasporquestão.Qual
éaprobabilidadedeleacertarexatamentequatroquestões?
Solução:``
Estipulando sucesso = acerto, temos p = 1/5 em cada
prova, e as provas são independentes.
A probabilidade pk dele acertar k questões é a proba-
bilidade dele obter k sucessos em n = 10 provas. Pelo
teorema binominal,
pk =
10
k
1
5
k
1– 1
5
10 – k
=
10
k
410–k
510
A probabilidade dele acertar exatamente k = 4 questões é:
p4 =
10
4
46
510
=
172032
1953125
0,088.
E a probabilidade dele acertar pelo menos 4 questões é:
1 – P0
– P1
– P2
– P3
=
1 –
10
0
410
510
–
10
1
49
510
–
10
2
48
510
–
10
3
47
510
=
1180409
9765625
0,121.
Suponha que uma característica (como a cor dos12.
olhos, por exemplo) depende de um par de genes.
Representemos por A um gen dominante e por a um
gen recessivo. Assim um indivíduo com genes AA é
dominante puro, um com genes aa é um recessivo
puro, e um com genes Aa é um híbrido. Dominan-
tes puros e híbridos são semelhantes em relação à
característica. Filhos recebem um gen do pai e um
da mãe. Suponha que pai e mãe sejam híbridos e
tenham quatro filhos.

9
EM_V_MAT_015
(VUNESP) Após uma partida de futebol, em que as1.
equipes jogaram com as camisas numeradas de 1 a 11
e não houve substituições, procede-se ao sorteio de
dois jogadores de cada equipe para exame antidoping.
Os jogadores da primeira equipe são representados por
11 bolas numeradas de 1 a 11 de uma urna A e os da
segunda, da mesma maneira, por bolas de uma urna B.
Sorteia-se primeiro, ao acaso e simultaneamente, uma
bola de cada urna. Depois, para o segundo sorteio, o
processo deve ser repetido com as 10 bolas restantes
de cada urna. Se na primeira extração foram sorteados
dois jogadores de números iguais, a probabilidade de
que aconteça o mesmo na segunda extração é de:
0,09a)
0,1b)
0,12c)
0,2d)
0,25e)
(FUVEST)2.
Uma urna contém três bolas pretas e cinco bolasa)
brancas. Quantas bolas azuis devem ser coloca-
das nessa urna de modo que, retirando-se uma
bola ao acaso, a probabilidade de ela ser azul seja
igual a 2/3?
Considere agora uma outra urna que contém umab)
bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis.
Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor
é observada e a bola é devolvida à urna. Em segui-
da, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa
urna. Para valores de x a probabilidade de que as
duas bolas sejam da mesma cor vale 1/2?
(UNICAMP) Um dado é jogado três vezes, uma após3.
a outra. Pergunta-se:
Quantos são os resultados possíveis em que os trêsa)
números obtidos são diferentes?
Qual a probabilidade da soma dos resultados serb)
maior ou igual a 16?
(CESGRANRIO) Uma urna contém quatro bolas4.
brancas e cinco bolas pretas. Duas bolas, escolhidas
ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e
sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam
brancas vale:
1
6
a)
2
9
b)
4
9
c)
16
81
d)
20
81
e)
Uma caixa contém 20 peças em boas condições e 155.
em más condições. Uma amostra de 10 peças é extraída.
Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na
amostra seja defeituosa.
(Pôquer com dados) Cinco dados são jogados simulta-6.
neamente e os resultados são classificados em:
Aa) 1
= todos diferentes;
Ab) 2
= um par;
Ac) 3
= dois pares;
Ad) 4
= três iguais;
Ae) 5
= full (três iguais e dois iguais);
Af) 6
= quatro iguais (pôquer);
Ag) 7
= cinco iguais;
Ah) 8
= uma sequência (números consecutivos)
Calcule a probabilidade de cada caso ocorrer.
Uma cidade tem 30 000 habitantes e três jornais A,7.
B e C. Uma pesquisa de opinião revela que:
12 000 leem A;
8 000 leem B;
7 000 leem A e B;
6 000 leem C;
4 500 leem A e C;
1 000 leem B e C;
500 leem A, B e C.
Qual é a probabilidade de que um habitante leia:
pelo menos um jornal;a)
só um jornal.b)
Qual é a probabilidade do primeiro filho ser uma)
recessivo puro?
Qual é a probabilidade de exatamente um dosb)
quatro filhos ser um recessivo puro?
Solução:``
Se os pais são Aa, a probabilidade de o primeiro filho
ser aa é 1
2
. 1
2
. 1
4
= 25%
Pelo teorema binomial,
C1
4
=
1
4
1
1 –
1
4
=
27
64
0,4219 = 42,19%

10
EM_V_MAT_015
(UFRJ) Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 são escritos em cinco8.
cartões diferentes. Estes cartões são escolhidos (sem
reposição) aleatoriamente e os algarismos que vão
aparecendo são escritos da esquerda para a direita,
formando um número de cinco algarismos.
Calcular a probabilidade de que o número escritoa)
seja par.
Se a escolha fosse com reposição qual seria a pro-b)
babilidade?
Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcu-9.
lar a probabilidade de que exatamente uma urna seja
deixada desocupada.
(Fuvest) Considere o experimento que consiste no lan-10.
çamento de um dado perfeito (todas as seis faces têm
probabilidades iguais). Com relação a esse experimento
considere os seguintes eventos:
O resultado do lançamento é par.I.
O resultado do lançamento é estritamente maiorII.
que 4.
O resultado é múltiplo de 3.III.
I e II são eventos independentes?a)
II e III são eventos independentes?b)
(Fuvest) São efetuados lançamentos sucessivos e inde-11.
pendentes de uma moeda perfeita (as probabilidades
de cara e coroa são iguais) até que apareça cara pela
segunda vez.
Qual é a probabilidade de que a segunda cara apa-a)
reça no oitavo lançamento?
Sabendo-se que a segunda cara apareceu no oitavob)
lançamento qual é a probabilidade condicional de
que a primeira cara tenha aparecido no terceiro?
(Cesgranrio) Uma urna contém quatro bolas brancas e12.
cinco bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são
sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A
probabilidade de que ambas sejam brancas vale:
1
6
a)
2
9
b)
4
9
c)
16
81
d)
20
81
e)
(FEI) Em uma pesquisa realizada em uma faculdade13.
foram feitas duas perguntas aos alunos. 120 responde-
ram “sim” a ambas; 300 responderam “sim” à primeira;
250 responderam “sim” à segunda e 200 responderam
“não” a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso,
qual é a probabilidade de ele ter respondido “não” à
primeira pergunta?
1
7
a)
1
2
b)
3
8
c)
11
21
d)
4
25
e)
Para ter acesso a um determinado programa de compu-14.
tador o usuário deve digitar uma senha composta por
quatro letras distintas. Supondo que o usuário saiba
quais são essas quatro letras mas não saiba a ordem
correta em que devem ser digitadas, qual a probabilida-
de desse usuário conseguir acesso ao programa numa
única tentativa?
1
4
a)
1
12
b)
1
16
c)
1
24
d)
1
256
e)
(Mackenzie) Uma pessoa A concorre com você neste15.
Concurso Vestibular com 40% de chance de ser apro-
vada. A probabilidade de que pelo menos um de vocês
dois seja aprovado é 64%. Então, relativamente à pessoa
A, a probabilidade de você ser aprovado é: (sabendo
que os eventos são independentes)
a mesma.a)
o dobro.b)
o triplo.c)
a metade.d)
um quarto.e)

11
EM_V_MAT_015
(Unirio) As probabilidades de três jogadores marcarem16.
um gol cobrando um pênalti são, respectivamente, 1/2,
2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a proba-
bilidade de todos errarem é igual a:
3 %a)
5 %b)
17 %c)
20 %d)
25 %e)
(UFRJ) Duzentas bolas pretas e duzentas bolas brancas17.
são distribuídas em duas urnas, de modo que cada uma
delas contenha cem bolas pretas e cem brancas. Uma
pessoa retira ao acaso uma bola de cada urna.
Determine a probabilidade de que as duas bolas
retiradas sejam de cores distintas.
Sacam-se, com reposição, quatro bolas de uma urna que18.
contém sete bolas brancas e três bolas pretas. Qual a
probabilidade de serem sacadas duas bolas de cada cor?
Qual seria a resposta no caso sem reposição?
Lança-se um dado não viciado até a obtenção do ter-19.
ceiro 6. Seja X o número do lançamento em que isso
ocorre. Calcule:
P (X = 10);a)
P (X > 10);b)
P (X < 10).c)
Dois adversários A e B disputam uma série de 10 par-20.
tidas. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6,
e não há empates. Qual é a probabilidade de A ganhar
a série?
Dois adversários A e B disputam uma série de partidas.21.
O primeiro que obtiver 12 vitórias ganha a série. No
momento o resultado é 6 x 4 a favor de A. Qual é a
probabilidade de A ganhar a série sabendo que em
cada partida as probabilidades de A e B vencerem são
respectivamente 0,4 e 0,6?
Em uma fábrica de parafusos, a probabilidade de um22.
parafuso ser perfeito é de 96%. Se retirarmos da pro-
dução, aleatoriamente, três parafusos, a probabilidade
de todos eles serem defeituosos é igual a:
5a) -2
5b) -3
5c) -4
5d) -5
5e) -6
(FGV) Uma fatia de pão com manteiga pode cair no chão23.
de duas maneiras apenas:
com a manteiga para cima (evento A)••
com a manteiga para baixo (evento B)••
Uma possível distribuição de probabilidade para esses
eventos é:
P(A) = P(B) = 3/7a)
P(A) = 0 e P(B) = 5/7b)
P(A) = - 0,3 e P(B) = 1,3c)
P(A) = 0,4 e P(B) = 0,6d)
P(A) = 6/7 e P(B) = 0e)
(UFPR) Uma loja tem um lote de 10 aparelhos de rádio/24.
CD e sabe-se que nesse lote existem dois aparelhos com
defeito, perceptível somente após uso continuado. Um
consumidor compra dois aparelhos do lote, escolhidos
aleatoriamente. Então, é correto afirmar.
A probabilidade de o consumidor comprar somente( )(
aparelhos sem defeito é 28/45.
A probabilidade de o consumidor comprar pelo me-( )(
nos um aparelho defeituoso é 0,70.
A probabilidade de o consumidor comprar os dois( )(
aparelhos defeituosos é 1/45.
A probabilidade de o primeiro aparelho escolhido( )(
ser defeituoso é 0,20.
A probabilidade de o segundo aparelho escolhido( )(
ser defeituoso, sendo que o primeiro já foi esco-
lhido, é 10/45.
Num curso de Inglês, a distribuição das idades dos25.
alunos é dada pelo gráfico seguinte:
Idade de alunos
Númerodealunos
0
1
2
3
4
5
16 17 18 19 20 21
Com base nos dados do gráfico, determine:
o número total de alunos do curso e o número dea)
alunos com no mínimo 19 anos.
escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidadeb)
de sua idade ser no mínimo 19 anos ou ser exata-
mente 16 anos.

12
EM_V_MAT_015
Dez pessoas são separadas em dois grupos de cinco1.
pessoas cada um. Qual é a probabilidade de que
duas pessoas determinadas A e B façam parte do
mesmo grupo?
(UNIRIO) Considerando-se um hexágono regular e2.
tomando-se ao acaso uma de suas diagonais, a probabi-
lidade de que ela passe pelo centro do hexágono é de:
1
9
a)
1
6
b)
1
3
c)
2
9
d)
2
3
e)
(PUC-SP) Os 36 cães existentes em um canil são apenas3.
de três raças: poodle, dálmata e boxer. Sabe-se que
o total de cães das raças poodle e dálmata excede o
número de cães da raça boxer em seis unidades, en-
quanto que o total de cães das raças dálmata e boxer
é o dobro do número dos de raça poodle. Nessas con-
dições, escolhendo-se, ao acaso, um cão desse canil, a
probabilidade de ele ser da raça poodle é:
1
4
a)
1
3
b)
1
5
c)
1
2
d)
e)
2
3
No jogo da Loto são sorteadas cinco dezenas distintas4.
entre as dezenas 01 – 02 - ... – 99 – 00. O apostador
escolhe 6, 7, 8, 9 ou 10 dezenas e é premiado se são
sorteadas 3 (terno), 4 (quadra) ou 5 (quina) das dezenas
escolhidas. Determine a probabilidade de um apostador
que escolheu 10 dezenas fazer:
um terno;a)
uma quadra;b)
a quina.c)
(UNICAMP)5.
De quantas maneiras é possível distribuir 20 bolasa)
iguais entre três crianças de modo que cada uma
delas receba, pelo menos, cinco bolas?
Supondo que essa distribuição seja aleatória, qualb)
a probabilidade de uma delas receber exatamente
nove bolas?
Há oito carros estacionados em 12 vagas em fila.6.
Qual é a probabilidade das vagas vazias serema)
consecutivas?
Qual é a probabilidade de não haver duas vagasb)
vazias consecutivas?
Escolhem-se ao acaso duas peças de um dominó. Qual é7.
a probabilidade delas possuírem um número comum?
(FUVEST ) Um tabuleiro tem quatro linhas e quatro8.
colunas. O objetivo de um jogo é levar uma peça da
casa inferior esquerda(casa (1, 1)) para a casa superior
direita (casa (4, 4)), sendo que esta peça deve mover-
se, de cada vez, para a casa imediatamente acima ou
imediatamente à direita. Se apenas uma destas casas
existir, a peça irá mover-se necessariamente para ela.
Por exemplo, dois caminhos possíveis para completar o
trajeto são (1, 1)(1, 2)(2, 2)(2, 3)(3, 3)(3, 4)(4, 4) e (1,
1)(2, 1)(2, 2)(3, 2)(4, 2)(4, 3)(4, 4).
Por quantos caminhos distintos pode-se completara)
esse trajeto?
Suponha que o caminho a ser percorrido seja esco-b)
lhido da seguinte forma: sempre que houver duas
opções de movimento, lança-se uma moeda não-
viciada; se der cara, a peça move-se para a casa à
direita e se der coroa, ela se move para a casa acima.
Desta forma, cada caminho contado no item a) terá
uma certa probabilidade de ser percorrido. Des-
creva os caminhos que têm maior probabilidade de
serem percorridos e calcule essa probabilidade.
Em um grupo de 10 pessoas, quatro são sorteadas9.
para ganhar um prêmio. Qual é a probabilidade de uma
particular pessoa ser sorteada?

13
EM_V_MAT_015
Há C4
10
modos de selecionar os premiados. Premiando a
particular pessoa, há modos de selecionar os outros
premiados.
Qual é a probabilidade de uma permutação dos números10.
(1, 2, ..., 10) ter exatamente cinco elementos no seu
lugar primitivo?
(UERJ) Protéticos e dentistas dizem que a procura11.
por dentes postiços não aumentou. Até declinou um
pouquinho. No Brasil, segundo a Associação Brasileira
de Odontologia (ABO), há 1,4 milhão de pessoas sem
nenhum dente na boca, e 80% delas já usam dentadura.
Assunto encerrado.
(Adaptado de VEJA, out. 1997.)
Considere que a população brasileira seja de 160 mi-
lhões de habitantes.
Escolhendo, ao acaso, um desses habitantes, a
probabilidade de que ele não possua nenhum dente na
boca e use dentadura, de acordo com a ABO, é de:
0,28%a)
0,56%b)
0,70%c)
0,80%d)
Nos cartões da Sena, as dezenas são apresentadas em12.
um quadro com cinco linhas e 10 colunas. Determine a
probabilidade das seis dezenas sorteadas:
pertencerem à mesma linha;a)
pertencerem a apenas duas linhas, cinco numa li-b)
nha e uma na outra;
idem, quatro numa linha e duas na outra;c)
idem, três numa linha e três na outra;d)
pertencerem a apenas três linhas, duas em cada;e)
pertencerem a linhas diferentes.f)
Dois armários guardam as bolas de voleibol e bas-13.
quete. O armário 1 tem três bolas de voleibol e uma
de basquete, enquanto o armário 2 tem três bolas de
voleibol e duas de basquete. Escolhendo-se ao acaso
um armário e, em seguida, uma de suas bolas, calcule
a probabilidade dela ser:
de voleibol, sabendo-se que o armário 1 foi esco-a)
lhido.
de basquete, sabendo-se que o armário 2 foi es-b)
colhido.
de basquete.c)
Um jogador deve enfrentar, em um torneio, dois outros14.
A e B. Os resultados dos jogos são independentes e as
probabilidades dele ganhar de A e de B são 1/3 e 2/3
respectivamente. O jogador vencerá o torneio se ganhar
dois jogos consecutivos, de um série de 3. Que série de
jogos é mais favorável para o jogador: ABA ou BAB?
Duas máquinas A e B produzem 3 000 peças em um15.
dia. A máquina A produz 1 000 peças, das quais 3% são
defeituosas. A máquina B produz as restantes 2 000,
das quais 1% são defeituosas. Da produção total de um
dia uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a,
constata-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de
que a peça tenha sido produzida pela máquina A?
Três urnas I, II e III contêm respectivamente uma bola16.
branca e duas pretas, duas brancas e uma preta e três
brancas e duas pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e
dela é retirada uma bola, que é branca. Qual é a proba-
bilidade condicional de que a urna escolhida foi a II?
Um estudante resolve um teste com questões do tipo17.
verdadeiro-falso. Ele sabe dar solução correta para 40%
das questões. Quando ele responde uma questão cuja
solução conhece, dá a resposta correta, e nos outros
casos decide na cara ou coroa. Se uma questão foi res-
pondida corretamente, qual é a probabilidade de que
ele sabia a resposta?
Sejam A e B dois eventos independentes tais que18.
P(A) = 1/4 e P(A∪B) = 1/3.
Calcule P(B).
Uma moeda equilibrada é jogada duas vezes. Sejam A19.
e B os eventos:
A: cara na primeira jogada.
B: cara na segunda jogada.
Verifique que A e B são independentes.
Joguei um dado duas vezes. Calcule a probabilidade20.
condicional de obter 3 na primeira jogada, sabendo que
a soma dos resultados foi 7.
A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito21.
apresentado na figura abaixo é igual a p, 0 < p < 1.
Se todos os relés funcionam independentemente, qual
é a probabilidade de que haja corrente circulando entre
os terminais A e B?
Um prisioneiro possui 50 bolas brancas, 50 bolas pretas22.
e duas urnas iguais. O prisioneiro deve colocar do modo
que preferir as bolas nas duas urnas (nenhuma das
urnas pode ficar vazia). As urnas serão embaralhadas
e o prisioneiro deverá, de olhos fechados, escolher uma

14
EM_V_MAT_015
urna e, nesta urna, uma bola. Se a bola for branca ele
será libertado e, caso contrário, condenado. Como deve
proceder o prisioneiro para maximizar a probabilidade
de ser libertado?
(Unifesp) Tomam-se 20 bolas idênticas (a menos da cor),23.
sendo 10 azuis e 10 brancas. Acondicionam-se as azuis
numa urna A e as brancas numa urna B. Transportam-
se 5 bolas da urna B para a urna A e, em seguida,
transportam-se 5 bolas da urna A para a urna B. Seja p
a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola branca
da urna A e q a probabilidade de se retirar ao acaso uma
bola azul da urna B.
Então:
p = qa)
p = 2/10 e q = 3/10b)
p = 3/10 e q = 2/10c)
p = 1/10 e q = 4/10d)
p = 4/10 e q = 1/10e)
(Unirio) A Organização Mundial da Saúde – OMS –24.
pesquisou e concluiu que um casal sadio, em que os
dois não sejam parentes consanguíneos (parentes em
primeiro grau), ao gerar uma criança, pode apresentar o
seguinte quadro probabilístico em relação a problemas
congênitos: sexo masculino tem 2% de risco e sexo
feminino, 3%. A probabilidade de um casal gerar um
menino com doença congênita ou uma menina sadia é,
em %, expressa por:
0,485a)
2,5b)
49,5c)
97,5d)
99e)
(UERJ) Uma prova é composta por seis questões com25.
quatro alternativas de resposta cada uma, das quais
apenas uma delas é correta.
Cada resposta correta corresponde a três pontos
ganhos; cada erro ou questão não respondida, a 1
ponto perdido.
Calcule a probabilidade de um aluno que tenha
respondido aleatoriamente a todas as questões obter
um total de pontos exatamente igual a 10.
Lança-se repetidamente um par de dados não ten-26.
denciosos. Qual é a probabilidade de obtermos duas
somas iguais a sete antes de obtermos três somas
iguais a três?
Uma moeda tem probabilidade 0,4 de dar cara. Lançan-27.
do-a 12 vezes qual o mais provável valor do número de
caras obtidas?
Para cada uma das 30 questões de uma prova objetiva28.
são apresentadas cinco alternativas de respostas, das
quais somente uma é correta.
Considere as afirmações relativas à prova:
Existem no máximo 150 maneiras diferentes de res-I.
ponder à prova.
Respondendo aleatoriamente, a probabilidade deII.
errar todas as questões é (0,8)30
.
Respondendo aleatoriamente, a probabilidadeIII.
de exatamente 8 questões estarem corretas é
30!
8! (22)!
(0,2)8
. (0,8)22
Analisando as afirmações, concluímos que:
apenas III é verdadeira.a)
apenas I e II são verdadeiras.b)
apenas I e III são verdadeiras.c)
apenas II e III são verdadeiras.d)
I, II e III são verdadeiras.e)
Joga-se uma moeda não-viciada. Qual é a probabilidade29.
de serem obtidas cinco caras antes de três coroas?
(FGV) Um lote com 20 peças contém duas defeituosas.30.
Sorteando-se três peças desse lote, sem reposição, a
probabilidade de que todas sejam não defeituosas é:
68
95
a)
70
95
b)
72
95
c)
74
95
d)
76
95
e)
Uma certa doença pode ser curada através de procedi-31.
mento cirúrgico em 80% dos casos. Dentre os que têm
essa doença, sorteamos 15 pacientes que serão subme-
tidos à cirurgia. Fazendo alguma suposição adicional que
julgar necessária, responda qual a probabilidade de:
todos serem curados?a)
pelo menos dois não serem curados?b)
ao menos 10 ficarem livres da doença?c)

15
EM_V_MAT_015
Suposição: os indivíduos submetidos à cirurgia são (ou
não) curados independentemente uns dos outros com
probabilidade de cura constante e igual a 0,80. Assim D:
número de curados dentre os 15 pacientes é binominal
(n = 15, p = 0,8).
Um matemático sai de casa todos os dias com duas32.
caixas de fósforos, cada uma com n palitos. Toda vez
que ele quer acender um cigarro, ele pega (ao acaso)
uma das caixas e retira daí um palito. O matemático é
meio distraído, de modo que quando retira o último
palito de uma caixa, não percebe que a caixa fica vazia,
Como ele fuma muito, em certa hora, pega uma caixa
e constata que ela está vazia. Qual é a probabilidade
de, nesse momento, a outra caixa conter exatamente
k 0 ≤ ≤( )k n palitos?

16
EM_V_MAT_015
B1.
2.
Devem ser colocadas na urna 16 bolas azuis.a)
x = 1 ou x = 9b)
3.
120 resultados.a)
5/108b)
A4.
5. ≅ 1 – 0,001 ≅ 0,999 ou 99,9%
6.
9,3%a)
0,463b)
0,231c)
0,154d)
0,039e)
0,0039f)
0,00077 g)
0,031 h)
7.
7
15
a)
b)
1
12
8.
2
5
a)
2
5
b)
b – 1
.
(b – 1)!
2 bb–2
9.
10.
I e II são independentes.a)
II e III não são independentes.b)

17
EM_V_MAT_015
11.
7/256a)
1/7b)
A12.
D13.
D14.
A15.
B16.
50%17.
C C
C
7
2
3
2
10
4
.18. ⇒ sem reposição
0,26 ⇒ com reposição
19.
C9
2
2 9 2 7
8
1
6
1
1
6
1
6
5
6
0 0465





 −





 = ≅
−
. . ,a)
C10
2
2 10 2
1
6
1
1
6
0 2907





 −





 ≅
−
. ,b)
1 10 10 0 66− = − > ≅P x P x( ) ( ) ,c)
Ck k k
k
10
10
6
10
0 6 1 0 6 0 6331, ( , ) ,− ≅−
=
∑20.
≅21. 0,43
A deve obter seis vitórias antes que B obtenha oito
vitórias. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente
que A obtenha pelo menos seis vitórias nas próximas
treze partidas.
E22.
D23.
V, F, V, V, F24.
25.
20 alunos e 8 alunos.a)
60 %b)
4
9
1.
C2.
B3.
4.
A resposta éa)
(que é aproximadamente igual a ).
A resposta éb)
(que é aproximadamente igual a ).
A resposta éc)
5.
21 maneiras.a)
2/7b)
6.
1/55a)
14/55b)
7.
8.
20a)
Os caminhos que passam pelo centro têm maiorb)
probabilidade.
9.
10.
C11.
12.
a)
b)
c)
d)
e)

18
EM_V_MAT_015
13.
0,75a)
0,4b)
0,325c)
A probabilidade do jogador vencer se escolher a primeira14.
série ABA é (ganha de A, ganha de B ou perde para
A, ganha de B e ganha de A) 10
27
, enquanto que para
BAB é 8
27
.
3
5
15.
5
12
16.
4
7
17.
1
9
18.
P(A) = P(B) = 1/2, pois em cada lançamento há dois19.
resultados possíveis que são igualmente prováveis (cara
e coroa) e, em cada lançamento há apenas um resul-
tado favorável (cara). P(A∪B) = 1/4, pois, para os dois
lançamentos, há quatro resultados possíveis que são
igualmente prováveis (cara-cara, cara-coroa, coroa-cara
e coroa-coroa) e apenas um favorável (cara-cara).
Como P(A∩B) = P(A). P(B) os eventos A e B são
independentes.
1
6
20.
p.(2p – p21. 2
)2
Uma urna recebe uma bola branca e a outra as ou-22.
tras 99.
A23.
C24.
135/4 09625.
9492,0
256
243
4
1
4
3
.C
k4k
k
4
4
2k
≅=











–
=
∑26.
527.
D28.
p29. 5
+ p6
+ p7
= 223,0
128
29
2
7
7
2
6
7
2
5
7
777
≈=






+






+






A30.
31.
P (D = 15) = 0,035=(0,8)a) 15
.
P (pelo menos dois não serem curados) = P (nob)
máximo 13 curados) = P (D ≤ 15) = 0,833.
P (Dc) ≥ 10) = 0,939.
2n - k
n
1
2
2n - k
32.
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19
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