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![Bibliografia básica
DEMANA, Franklin D. [et al.]. Pré-Cálculo. Pearson 400 ISBN
9788588639379.
FLEMMIN, Diva Marília; Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A:
funções, limites, derivação e integração - 6ª edição ver.e
ampl. Pearson 458 ISBN 9788576051152.
STEWART, James. Cálculo, v.1. 3. São Paulo Cengage
Learning 2013 1 recurso online ISBN 9788522114610.](https://image.slidesharecdn.com/powerpointpresentation-netooliveira-221120235731-aadb86af/85/PowerPoint-Presentation-Neto-Oliveira-pdf-4-320.jpg)
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- 2. APRESENTAÇÃO CÁLCULO APLICADO -UMA VARIÁVEL Profa. Roberta Mastrochirico roberta.mastrochirico@fmu.br
- 3. Objetivos do curso- resumo ▪ Identificar e esboçar gráficos de funções elementares de uma variável real. ▪ Analisar e resolver uma situação problema que envolvem funções trigonométricas. ▪ Reconhecer e operacionalizar as propriedades operatórias e gráficas de limites. ▪ Reconhecer a derivada como medida de taxa de variação, saber aplicar os conceitos e a tabela. ▪ Entender a composição das funções compostas de funções elementares. ▪ Determinar as equações de reta tangente e normal a uma curva dada na forma implícita num dado ponto. ▪ Identificar os limites com indeterminações que envolvem infinito. ▪ Identificar graficamente e calcular os elementos de uma função. ▪ Reconhecer a integral como um conjunto infinito de funções primitivas. ▪ Calcular a integral utilizando diversos métodos e aplicá-la.
- 4. Bibliografia básica DEMANA, FranklinD. [et al.]. Pré-Cálculo. Pearson 400 ISBN 9788588639379. FLEMMIN, Diva Marília; Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limites, derivação e integração - 6ª edição ver.e ampl. Pearson 458 ISBN 9788576051152. STEWART, James. Cálculo, v.1. 3. São Paulo Cengage Learning 2013 1 recurso online ISBN 9788522114610.
- 5. Avaliação Avaliação Data A1 (N1)17/10 APS (N2) 05/11 A2 (N2) 05/12 SUB 19/12 Vista de prova – 12/12 2022.1
- 6. AULA 1 CÁLCULO APLICADO UMAVARIÁVEL
- 7.
- 8. Sejam A eB subconjuntos de ℝ. Uma função 𝒇: 𝑨 → 𝑩 é uma lei (regra/relação) que a cada elemento do conjunto A corresponde um único elemento de B. 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒚𝟑 𝒚𝟒 A B Domínio ⇒ Conjunto A ⇒ 𝐃(𝒇) = 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑 Contradomínio ⇒ Conjunto B ⇒ 𝑪𝑫 = 𝒚𝟏, 𝒚𝟐, 𝒚𝟑, 𝒚𝟒 Imagem ⇒ elementos de B que estão associados aos elementos de A ⇒ 𝑰𝒎 = 𝒚𝟏, 𝒚𝟐, 𝒚𝟑 Definição:
- 9. Relação existente emum posto de gasolina entre a quantidade de litros de gasolina e o preço a pagar: Neste exemplo podemos notar que o preço a ser pago depende da quantidade de litros. Desta forma, dizemos que a quantidade de litros é a variável independente, enquanto o preço a variável dependente. 𝟏 𝟐 𝟒 𝟏𝟎 𝟓, 𝟖𝟗 𝟏𝟏, 𝟕𝟖 𝟐𝟑, 𝟓𝟔 𝟓𝟖, 𝟗𝟎 Quantidade de litros (𝒍) Preço a pagar (R$) Exemplo da vida real:
- 10. Para ser umafunção, todos os elementos do domínio precisam estar associados a um único elemento do contradomínio. −𝟒 −𝟐 𝟎 𝟓 𝟕 𝟏𝟎 𝟑𝟎 A B 𝟑 𝟒 𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟓 𝟑𝟔 C D Não é função É função 𝟗 𝟐𝟓 𝟒𝟗 𝟔𝟒 𝟑 𝟓 𝟕 𝟖 E F 𝟐 𝟓 𝟖 𝟑 𝟕 𝟏𝟏 G H É função Não é função IMPORTANTE:
- 11. 1) Verifique seas relações dadas abaixo são funções: B A 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 Exemplos: a) Relação 𝒇: 𝑨 → 𝑩, dada pelo diagrama a seguir: A relação 𝒇 é uma função de A em B, porque todos os elementos de A estão associados a um elemento de B.
- 12. 1) Verifique seas relações dadas abaixo são funções: Exemplos: b) Relação 𝒈: 𝑨 → 𝑩, dada pelo diagrama a seguir: A relação 𝒈 não é uma função de A em B, porque alguns elementos de A estão associados a mais de um elemento de B. B A 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓
- 13. Exemplos: c) Relação 𝒉:𝑨 → 𝑩, onde 𝒙 → 𝒙 + 𝟏 B A 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 A relação 𝒉 é uma função de A em B, porque todos os elementos de A estão associados a um elemento de B. 1) Verifique se as relações dadas abaixo são funções:
- 14. Exemplos: d) Relação 𝒊:𝑨 → 𝑩, onde 𝒙 → 𝒙 − 𝟏 B A 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 1) Verifique se as relações dadas abaixo são funções: A relação 𝒊 não é uma função de A em B, porque existe um elemento de A que não está associado a um elemento de B.
- 15.
- 16. FUNÇÃO CONSTANTE: Função constanteé toda função do tipo: O Domínio da função (possíveis valores para 𝒙) é o conjunto ℝ. A representação gráfica sempre será uma reta paralela ao eixo 𝒙, passando por 𝒚 = 𝒌. que associa a qualquer número real 𝒙 um mesmo número real 𝒌. 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒌
- 17. 𝒚 = 𝒇𝒙 = 𝒌 Exemplo da vida real: Um estacionamento cobra um preço fixo de 𝑅$20,00, independemente do tempo de uso dentro de um período de 24 horas. 𝟏 𝟐 𝟏𝟎 𝟐𝟒 𝟐𝟎 Tempo de uso (𝒉) Preço a pagar (R$) 𝒚 = 𝟐𝟎 ou 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟎
- 18. Exemplo 1: 𝒇 𝒙= 𝟐 ou 𝒚 = 𝟐
- 19. 𝒇 𝒙 =−𝟑 ou 𝒚 = −𝟑 Exemplo 2:
- 20.
- 21. FUNÇÃO DESCONTÍNUA: Uma funçãoé descontínua quando é composta por funções distintas em diferentes intervalos, ou seja, ela não é contínua para todo o seu domínio.
- 22. Exemplo 1: 𝒇 𝒙= ቐ −𝟏, 𝟏, 𝟑, 𝐬𝐞 𝒙 ≤ −𝟐 𝐬𝐞 − 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟏 𝐬𝐞 𝒙 > 𝟏 𝒙 𝒚 = −𝟏 −𝟒 𝒚 = −𝟏 −𝟑 𝒚 = −𝟏 −𝟐 𝒚 = −𝟏 𝒙 𝒚 = 𝟏 −𝟐 𝒚 = 𝟏 −𝟏 𝒚 = 𝟏 𝟎 𝒚 = 𝟏 𝟏 𝒚 = 𝟏 𝒙 𝒚 = 𝟑 𝟏 𝒚 = 𝟑 𝟐 𝒚 = 𝟑 𝟑 𝒚 = 𝟑
- 23. Exemplo 2: 𝒇 𝒙= ቐ 𝟑, 𝟏, −𝟏, 𝐬𝐞 𝒙 ≤ −𝟏 𝐬𝐞 − 𝟏 < 𝒙 ≤ 𝟐 𝐬𝐞 𝒙 > 𝟐 𝒙 𝒚 = 𝟑 −𝟒 𝒚 = 𝟑 −𝟑 𝒚 = 𝟑 −𝟐 𝒚 = 𝟑 𝒙 𝒚 = 𝟏 −𝟏 𝒚 = 𝟏 𝟎 𝒚 = 𝟏 𝟏 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒚 = 𝟏 𝒙 𝒚 = −𝟏 𝟐 𝒚 = −𝟏 𝟑 𝒚 = −𝟏
- 24. FUNÇÃO DO 1ºGRAU
- 25. FUNÇÃO DO 1ºGRAU: Função polinomial do 1º grau ou função afim é toda função do tipo: A variável 𝒙 é a variável independente e a variável 𝒚 é a variável dependente. 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝒂 ∈ ℝ∗ e 𝒃 ∈ ℝ 𝒂 ⇒ coeficiente angular 𝒃 ⇒ coeficiente linear A representação gráfica sempre será uma reta inclinada, podendo ser crescente (𝒂 > 𝟎) ou decrescente (𝒂 < 𝟎), e que cruzará os eixos 𝒙 e 𝒚, do plano cartesiano. O Domínio da função (possíveis valores para 𝒙) é o conjunto ℝ.
- 26. Taxa de variaçãoda temperatura (valor variável): 10 oC/min. Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é: T = 30 + 10.t Exemplo da vida real: 1) A temperatura inicial de uma substância é 30 oC. Essa temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, aumentando 10 oC por minuto. Escreva a função afim que representa a variação da temperatura em função do tempo e, em seguida, faça a representação gráfica desta função. Temperatura inicial (valor fixo): 30 oC.
- 27. Exemplo da vidareal: Agora, vamos construir uma tabela: t(min) T(oC) 0 1 2 3 4 5 𝑻 = 𝟑𝟎 + 𝟏𝟎 ∙ 𝒕 𝑡 = 0 𝑇 = 30 + 0 𝑻 = 𝟑𝟎 ⇒ 𝑇 = 30 + 10 ∙ 0 𝟑𝟎 𝟒𝟎 𝑡 = 1 𝑇 = 30 + 10 𝑻 = 𝟒𝟎 ⇒ 𝑇 = 30 + 10 ∙ 1 𝑡 = 2 𝑇 = 30 + 20 𝑻 = 𝟓𝟎 ⇒ 𝑇 = 30 + 10 ∙ 2 𝟓𝟎 𝑡 = 3 𝑇 = 30 + 30 𝑻 = 𝟔𝟎 ⇒ 𝑇 = 30 + 10 ∙ 3 𝟔𝟎 𝑡 = 4 𝑇 = 30 + 40 𝑻 = 𝟕𝟎 ⇒ 𝑇 = 30 + 10 ∙ 4 𝟕𝟎 𝑡 = 5 𝑇 = 30 + 50 𝑻 = 𝟖𝟎 ⇒ 𝑇 = 30 + 10 ∙ 5 𝟖𝟎
- 28. t(min) T(oC) 0 30 140 2 50 3 60 4 70 5 80 T = 30 + 10.t t(min) T(oC) 0 1 2 3 4 20 40 60 80 5 Agora, vamos construir o gráfico: Exemplo da vida real:
- 29. T = 30- 10.t Exemplo da vida real: 2) A temperatura inicial de uma substância é 30 oC. Essa temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, diminuindo 10 oC por minuto. Escreva a função afim que representa a variação da temperatura em função do tempo e, em seguida, faça a representação gráfica desta função. Taxa de variação da temperatura (valor variável): -10 oC/min. Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é: Temperatura inicial (valor fixo): 30 oC.
- 30. Exemplo da vidareal: Agora, vamos construir uma tabela: t(min) T(oC) 0 1 2 3 4 5 𝑻 = 𝟑𝟎 − 𝟏𝟎 ∙ 𝒕 𝑡 = 0 𝑇 = 30 − 0 𝑻 = 𝟑𝟎 ⇒ 𝑇 = 30 − 10 ∙ 0 𝟑𝟎 𝟐𝟎 𝑡 = 1 𝑇 = 30 − 10 𝑻 = 𝟐𝟎 ⇒ 𝑇 = 30 − 10 ∙ 1 𝑡 = 2 𝑇 = 30 − 20 𝑻 = 𝟏𝟎 ⇒ 𝑇 = 30 − 10 ∙ 2 𝟏𝟎 𝑡 = 3 𝑇 = 30 − 30 𝑻 = 𝟎 ⇒ 𝑇 = 30 − 10 ∙ 3 𝟎 𝑡 = 4 𝑇 = 30 − 40 𝑻 = −𝟏𝟎 ⇒ 𝑇 = 30 − 10 ∙ 4 −𝟏𝟎 𝑡 = 5 𝑇 = 30 − 50 𝑻 = −𝟐𝟎 ⇒ 𝑇 = 30 − 10 ∙ 5 −𝟐𝟎
- 31. t(min) T(oC) 0 1 23 4 –20 –40 20 40 5 60 t(min) T(oC) 0 30 1 20 2 10 3 0 4 –10 5 –20 T = 30 – 10.t Agora, vamos construir o gráfico: Exemplo da vida real:
- 32. x y 0 0 Exemplo geral: Construiro gráfico da função 𝒚 = 𝟐 𝒙 + 𝟑. 𝑥 = 0 𝑦 = 0 + 3 𝒚 = 𝟑 ⇒ 𝑦 = 2 ∙ 0 + 3 𝟑 𝑦 = 0 2 𝑥 = 3 𝒙 = 𝟑 𝟐 ⇒ 0 = 2 ∙ 𝑥 + 3 𝟏, 𝟓 x y 0 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 4 5 –4 –5 –5 –4 4 5 y = 2x + 3
- 33. FUNÇÃO LINEAR: casoparticular da função do 1º grau Função linear é toda função do tipo: A variável 𝒙 é a variável independente e a variável 𝒚 é a variável dependente. 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙 𝒂 ∈ ℝ∗ 𝒂 ⇒ coeficiente angular A representação gráfica sempre será uma reta inclinada, podendo ser crescente (𝒂 > 𝟎) ou decrescente (𝒂 < 𝟎), e que cruzará os eixos 𝒙 e 𝒚 na origem do plano cartesiano. O Domínio da função (possíveis valores para 𝒙) é o conjunto ℝ.
- 34. x y =3x -1 0 1 Exemplo geral: Construir o gráfico da função 𝒚 = 𝟑 𝒙. 𝑥 = −1 𝒚 = −𝟑 ⇒ 𝑦 = 3 ∙ (−1) −𝟑 𝟎 𝑥 = 0 𝒚 = 𝟎 ⇒ 𝑦 = 3 ∙ 0 𝑥 = 1 𝒚 = 𝟑 ⇒ 𝑦 = 3 ∙ 1 𝟑 x y 0 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 4 5 –4 –5 –5 –4 4 5 y = 3x
- 35. FUNÇÃO DO 1ºGRAU E OS MOVIMENTOS NO PLANO
- 36. Gráficos das funções𝒚 = 𝒙; 𝒚 = 𝟐 𝒙 𝒆 𝒚 = 𝒙 𝟐 . x y 0 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 4 5 –4 –5 –5 –4 4 5 y = x y = x/2 y = 2x a > 0 ⇒ função crescente reta ascendente (sobe da esquerda p/ direita) Inclinação:
- 37. Gráficos das funções𝒚 = – 𝒙; 𝒚 = – 𝟐 𝒙 𝒆 𝒚 = − 𝒙 𝟐 . x y 0 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 4 5 –4 –5 –5 –4 4 5 y = –x y = –x/2 y = –2x a < 0 ⇒ função decrescente reta descendente (desce da esquerda p/ direita) Inclinação:
- 38. Gráficos das funções𝒚 = 𝒙; 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 𝒆 𝒚 = 𝒙 – 𝟑. a > 0 x y 0 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 4 5 –4 –5 –5 –4 4 5 y = x y = x – 3 y = x + 2 Translação:
- 39. Gráficos das funções𝒚 =– 𝟐 𝒙; 𝒚 =– 𝟐𝒙 – 𝟑 𝒆 𝒚 = – 𝟐 𝒙 + 𝟒. a < 0 –5 y = –2x x y 0 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 4 5 –4 –5 –4 4 5 y = –2x + 4 y = –2x – 3 Translação:
- 40. Agora é comvocê.... Faça os exercícios a seguir.
- 41. 2) Na produçãode peças, uma indústria tem o custo fixo de R$ 8,00 mais um custa variável R$ 0,50 por unidade produzida, Sendo x o numero de peças produzidas: a) Escreva a função que fornece o custo total y de x peças. b) Calcule o custo de produção de 100 peças. Exercícios 1) Construa o gráfico da seguinte função: 𝒇 𝒙 = ቐ 𝟐, 𝟑, −𝟏, 𝐬𝐞 𝒙 ≤ −𝟐 𝐬𝐞 − 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟏 𝐬𝐞 𝒙 > 𝟏
- 42. Terminou? Entre em: https://www.geogebra.org/m/G7YXJEYN.Faça os exercícios!!! Entre em: https://www.geogebra.org/graphing. Digite sua função e veja se o seu gráfico está correto!!! Exercícios 3) Dada a função do 1º grau 𝑓 𝑥 = −5 𝑥 + 2, calcule: a) 𝑓(0) d) 𝑓(𝑥) = 0 b) 𝑓(−1) e) 𝑓(𝑥) = 2 c) 𝑓(2) 4) Construa o gráfico das seguintes funções do 1º grau: a) 𝑦 = 𝑥 + 5 d) 𝑦 = −2𝑥 + 8 b) 𝑦 = 𝑥 e) 𝑦 = −𝑥 − 4 c) 𝑦 = 2𝑥 − 4