O documento é uma lista de exercícios resolvidos de dinâmica clássica preparada por um professor de física teórica. A lista contém exercícios sobre conservação de energia, sistemas de partículas, colisões e outros tópicos, com respostas detalhadas.

1. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´ısica te´orica,
Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Instituto de F´ısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul
91501-970 Porto Alegre, BRASIL
Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸ ˜ao conforme a quarta edic¸ ˜ao do livro
“Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/jgallas
Sum´ario
8 Conservac¸ ˜ao da Energia 2
8.1 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 2
8.1.1 Determinac¸˜ao da Energia Po-tencial
. . . . . . . . . . . . . . 2
8.1.2 Usando a Curva de Energia Po-tencial
. . . . . . . . . . . . . . 9
8.1.3 Conservac¸˜ao da Energia . . . . 9
8.1.4 Trabalho Executado por Forc¸as
de Atrito . . . . . . . . . . . . 9
8.1.5 Massa e Energia . . . . . . . . 12
9 Sistemas de Part´ıculas 13
9.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
9.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 13
9.2.1 O Centro de Massa . . . . . . . 13
9.2.2 A segunda lei de Newton para
um sistema de part´ıculas . . . . 14
9.2.3 O Momento Linear . . . . . . . 17
9.2.4 Conservac¸˜ao do Momento Linear 18
9.2.5 Sistemas de Massa Vari´avel:
Um Foguete . . . . . . . . . . . 19
9.2.6 Sistemas de Part´ıculas: Varia-c
¸ ˜oes na Energia Cin´etica . . . . 20
10 Colis˜oes 21
10.1 Quest˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . . . . . . . 21
10.2.1 Impulso e Momento Linear . . . 21
10.2.2 Colis˜oes El´asticas em Uma Di-mens
˜ao . . . . . . . . . . . . . 23
10.2.3 Colis˜oes Inel´asticas em Uma
Dimens˜ao . . . . . . . . . . . . 24
10.2.4 Colis˜oes em Duas Dimens˜oes . 25
10.2.5 Problemas Adicionais . . . . . 26
Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam2.tex)
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2. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
8 Conservac¸ ˜ao da Energia
8.1 Problemas e Exerc´ıcios
8.1.1 Determinac¸ ˜ao da Energia Potencial
E 8-1 (na 6edic¸ ˜ao)
Uma determinada mola armazena J de energia po-tencial
quando sofre uma compress˜ao de cm. Qual
a constante da mola?
Como sabemos que a energia potencial el´astica arma-zenada
numa mola ´e

3. , obtemos facilmen-te
que

4. !$#%')(*+N/m
E 8-6 (8-3/6)
Um pedacinho de gelo se desprende da borda de uma
tac¸a hemisf´erica sem atrito com !cm de raio (Fig. 8-
22). Com que velocidade o gelo est´a se movendo ao
chegar ao fundo da tac¸a?
A ´unica forc¸a que faz trabalho sobre o pedacinho de
gelo ´e a forc¸a da gravidade, que ´e uma forc¸a conservati-va.
Chamando de,.-a energia cin´etica do pedacinho de ge-lo
na borda da tac¸a, de,0/ a sua energia cin´etica no
fundo da tac¸a, de1-sua energia potencial da borda e de2/ sua energia potencial no fundo da tac¸a, temos ent˜ao
,/43/$,-53- Consideremos a energia potencial no fundo da tac¸a co-mo
sendo zero. Neste caso a energia potencial no topo
vale1-687:9;, onde;representa o raio da tac¸a erepresenta a massa do pedacinho de gelo. Sabemos qu7e,.-=pois o pedacinho de gelo parte do repouso. Cha-mando
dea velocidade do pedacinho de gelo ao atin-gir
o fundo, temos ent˜ao, da equac¸˜ao da conservac¸˜ao da
energia acima que709;?=7@, o que nos fornece
'BAC9;DA

5. %#!E

6. !F$GH(m/s
E 8-8 (8-13/6)
Um caminhao ˜que perdeu estrada em declive adispoe ˜de uma rampa de (*Iescape, os freios esta ´descendo uma
km/h. Felizmente a estrada
com uma inclinac¸ ao ˜de
(J (Fig. 8-24). Qual o menor comprimento da rampa
para que a velocidade do caminh˜ao chegue a zero an-tes
do final da rampa? As rampas de escape s˜ao quase
sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou
cascalho. Por quˆe?
Nota: uso o valor(KI! km/h da sexta edic¸ ˜ao do livro, em
vez dos(* km/h da quarta, j´a que na quarta edic¸ ˜ao n˜ao
´e fornecida nenhuma resposta.
Despreze o trabalho feito por qualquer forc¸a de
fricc¸˜ao. Neste caso a ´unica forc¸a a realizar trabalho ´e
a forc¸a da gravidade, uma forc¸a conservativa. Seja,.-a
energia cin´etica do caminh˜ao no in´ıcio da rampa de es-cape
e,0/ sua energia cin´etica no topo da rampa. Seja2-e/ os respectivos valores da energia potencial no
in´ıcio e no topo da rampa. Ent˜ao
,0/32/6$,.-31-L Se tomarmos a energia potencial como sendo zero no
in´ıcio da rampa, ent˜ao2/MN709O, ondeO´e a altura
final do caminh˜ao em relac¸ ˜ao `a sua posic¸ ˜ao inicial. Te-mos
que,.-P$7@, onde´e a velocidade inicial do
caminh˜ao, e,0/0Qj´a que o caminh˜ao para. Portanto7:9O.R7@, donde tiramos que
O:C9

7. S(*I
T5(K

8. %5+#CI!US=U!U Im Se chamarmos deVo comprimento da rampa, ent˜ao te-remos
queVsen(J)WO, donde tiramos finalmente
que
VXsenO(*JsU!eUn I(*JU m Areia ou cascalho, que se comportam neste caso como
um “fluido”, tem mais atrito que uma pista s´olida, aju-dando
a diminuir mais a distˆancia necess´aria para parar
o ve´ıculo.
E 8-10 (na 6)
Um proj´etil com uma massa deGYkg ´e disparado pa-ra
cima do alto de uma colina de( m de altura, com
uma velocidade de( m/s e numa direc¸ ˜ao que faz um
angulo ˆdeY(*J com a horizontal. (a) Qual a energia
cinetica ´do projetil ´no momento em que e ´disparado?
(b) Qual a energia potencial do projetil ´no mesmo mo-mento?
Suponha que a energia potencial ´e nula na ba-se
da colina (Z$[). (c) Determine a velocidade do
proj´etil no momento em que atinge o solo. Supondo que
a resistˆencia do ar possa ser ignorada, as respostas acima
dependem da massa do proj´etil?
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9. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
(a) Se7 for a massa do proj´etil esua velocidade
ap´os o lanc¸amento, ent˜ao sua energia cin´etica imediata-mente
ap´os o lanc¸amento ´e
,.-(7@(

10. Y!]

11. S(*!$!G'T(K+J (b) Se a energia potencial ´e tomada como zero quando
o proj´etil atinge o solo e sua altura inicial acima do solo
for chamada deO, ent˜ao sua energia potencial inicial ´e
-R7:9O.^

12. GYE

13. %#!]

14. S(*!F$%Y
)(*+J (c) Imediatamente antes de atingir o solo a energia po-tencial
´e zero e a energia cin´etica pode ser escrita co-mo
sendo,/'7@/, onde/´e a velocidade do
proj´etil. A energia mecˆanica ´e conservada durante o voo
do proj´etil de modo que,/R7@/D=,-a3-donde
tiramos facilmente que
/b

15. ,0-732-
bcH

16. !G3GGY!%YT(K+edf(*%m/s Os valores de,.-Lgh,0/5ga2-e/ dependem todos da mas-sa
do proj´etil, por´em a velocidade final/ n˜ao depende
da massa se a resistencia ˆdo ar puder ser considerada
desprez´ıvel.
Observe que o tal angulo ˆdeTalvez seja por isto que Yeste (*J nao ˜foi usado para na-da!
exerc´ıcio ja ´nao ˜mais
aparec¸a nas edic¸ ˜oes subsequentes do livro...
E 8-12 (8-17/6)
Uma bola de gude deg ´e disparada verticalmente pa-ra
cima por uma espingarda de mola. A mola deve ser
comprimida de#cm para que a bola de gude apenas al-cance
um alvo situado a m de distˆancia. (a) Qual a
variac¸ ˜ao da energia potencial gravitacional da bola de
gude durante a subida? (b) Qual a constante da mola?
(a) Neste problema a energia potencial possui dois
termos: energia potencial el´astica da mola e energia po-tencial
gravitacional.
Considere o zero da energia potencial gravitacional co-mo
sendo a posic¸ ˜ao da bola de gude quando a mola est´a
comprimida. Ent˜ao, a energia potencial gravitacional da
bola de gude quando ela est´a no topo da ´orbita (i.e. no
ponto mais alto) ´eFij=7:9GO, ondeO´e a altura do pon-to
mais elevado. Tal altura ´eO03#65!# m.
Portanto
1i?B

17. 'T(KGk+E

18. %#!]

19. 5!#!1R5%Y!# J
(b) Como a energia mecˆanica ´e conservada, a energia
da mola comprimida deve ser a mesma que a ener-gia
potencial gravitacional no topo do voo. Ou seja,G*lm709O[Fi, onde´e a constante da mola.
Portanto,
i

21. %#Y#!RI N/m Observe que
I! N/mn=IH(D)(*N/m=I5o(N/cmg que ´e a resposta oferecida pelo livro-texto.
E 8-13 (8-5/6)
Uma bola de massa7est´a presa `a extremidade de uma
barra de comprimentoVe massa desprez´ıvel. A outra
extremidade da barra ´e articulada, de modo que a bo-la
pode descrever um c´ırculo plano vertical. A barra ´e
mantida na posic¸ ˜ao horizontal, como na Fig. 8-26, at´e
receber um impulso para baixo suficiente para chegar
ao ponto mais alto do c´ırculo com velocidade zero. (a)
Qual a variac¸ ˜ao da energia potencial da bola? (b) Qual
a velocidade inicial da bola?
(a) Tome o zero da energia potencial como sendo o
ponto mais baixo atingido pela bola. Como a bola est´a
inicialmente a uma distˆancia verticalVacima do pon-to
mais baixo, a energia potencial inicial ´e1-p^7:9GV,
sendo a energia potencial final dada por2/qR7:9

22. Vp.
A variac¸ ˜ao da energia potencial ´e, portanto,
rs2/?tu1-P=C7:9GV)tT7:9Vu=709GVv (b) A energia cin´etica final ´e zero. Chamemos de,0-lw7@ a energia cin´etica inicial, onde´e a
velocidade inicial procurada. A barra n˜ao faz traba-lho
algum e a forc¸a da gravidade ´e conservativa, de
modo que a energia mecˆanica ´e conservada. Isto sig-nifica
quer,xytrou, em outras palavras, quetz7@*Dftz709GV de modo que temos
AC9Vv
P 8-16 (8-19/6)
Um bloco dekg ´e encostado numa mola num plano in-clinado
sem atrito e com uma inclinac¸ ˜ao deIJgraus. A
mola em quest ao, ˜cuja constante valeN/cm, e ´com-primida
cm sendo depois liberada. (*%A Uque distancia
ˆao longo do plano inclinado e ´arremessado o bloco?
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23. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, as `10:42
Quando o bloco e ´liberado, toda energia potencial
elastica ´armazenada na mola transforma-se em energia
potencial gravitacional, que e ´usada para levantar o cor-po
verticalmente de uma alturaO. A conservac¸˜ao de
energia nos diz que{
GR709O| Portanto,
O:709

24. S(K%5

25. U
]T

26. !(KE!

27. ]%5E#

28. L

29. S(K!K]

30. Y]

31. S(*k*$m Chamando de}a distˆancia percorrida ao longo do pla-no,
temos queO~s}senIJ, donde tiramos a resposta
procurada:
}vsenOI!J(CYm
P 8-17 (8-21/6)
Uma ! mola pode ser comprimidacm por uma forc¸a deN. Um bloco de( kg de massa e ´liberado a par-tir
do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito
cuja inclinac¸˜ao ´eI!J. (Fig. 8-30). O bloco comprime
a molaG cm antes de parar. (a) Qual a distˆancia total
percorrida pelo bloco at´e parar? (b) Qual a velocidade
do bloco no momento em que se choca com a mola?
A informac¸˜ao dada na primeira frase nos permite cal-cular
a constante da mola:
€5!Cf(I!qT(K‚N/m (a) Considere agora o bloco deslizando para baixo. Se
ele parte do repouso a uma alturaOacima do ponto
onde ele para momentaneamente, sua energia cinetica
´e 7:´zero 9GOe sua 7 energia potencial gravitacional inicial e´, ondee ´a massa do bloco. Tomamos o zero
da energia potencial gravitacional como sendo o ponto
onde o bloco para. Tomamos tambem ´a energia poten-cial
inicial armazenada na mola como sendo zero. Su-ponha
que o bloco comprima a mola uma distˆanciaantes de parar momentaneamente. Neste caso a ener-
gia cin´etica final ´e zero, a energia potencial gravitacio-nal
final ´e zero, e a energia potencial final da mola ´e. O plano inclinado n˜ao tem atrito e a forc¸a nor-mal
que ele exerce sobre o bloco n˜ao efetua trabalho
(pois ´e perpendicular `a direc¸ ˜ao do movimento), de mo-do
que a energia mecˆanica ´e conservada. Isto significa
que7:9O0=, donde tiramos que
O0C7:9

32. L(I!'T

33. L(*(K!E‚

34. E%5

35. #!!$H(Ym Se o bloco viajasse uma distˆancia}pelo plano inclinado
abaixo, ent˜ao}senIJƒO, de modo que
}4senOIJs5eno(CYIJ=I! m (b) Imediatamente antes de tocar a mola o bloco dis-ta
5 m do ponto onde ir´a estar em repouso, e as-sim
est´a a uma distˆancia vertical de

36. !!sen5!I!!J6m acima da sua posic¸ ˜ao final. A energia po-tencial
´e ent˜ao7:9GO„j…

37. L(*]

38. %5#E

39. 5!.NI I J.
Por outro lado, sua energia potencial inicial ´e

40. L(*!E

41. %5#E

42. H(Yv†57:9GORJ. A diferenc¸a entre este dois
valores fornece sua energia cin´etica final:I5I?^(G,:/‡= ztJ. Sua velocidade final ´e, portanto,
'b7,0/b5

43. S((G!f(! m/s
P 8-18 (na 6)
Um proj´etil de ´e lanc¸ado da borda de um penhasco
com uma energia cin´etica inicial de( J e, no ponto
mais alto da trajet´oria, est´a a(KY! m acima do ponto de
lanc¸amento. (a) Qual a componente horizontal da velo-cidade
do proj´etil? (b) Qual a componente vertical da
velocidade do proj´etil no momento do disparo? (c) Em
um certo instante, a componente vertical da velocidade
do proj´etil ´eU! m/s. Neste momento, a que altura ele se
encontra
acima ou abaixo do ponto de lanc¸amento?7@(-a) A energia cinetica ´inicial do projetil ´e´, e a energia potencial gravitacional e ´tomada ,0-Mco-mo
sendo zero. No topo da trajetoria ´a velocidade do
proj´etil apenas possui a componente horizontal da velo-cidade,
que chamamos deˆ. Portanto{
7@-{
7@ˆ37:9Zmaxg donde tiramos que
ˆ‰-tX9Zmax
b7,.-tX9Zmax
b

44. ]5

45. S(*!!tX

46. %#!]

47. S(]Y!1=Ym/s
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48. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
(b) A componente vertical ´e dada por
Š‹‰-tTˆ
b7,.-tTˆ
b

49. ]

50. S (tŒYq=m/s
(c) No tal instante a energia cin´etica, do proj´etil ´e
,{
7@{
{7Ncˆt)Šd
(K%!

51. UY !Ž

52. Y3

53. UeJ Chamemos de‘o deslocamento vertical desde o ponto
inicial at´e o instante em quest˜ao. Ent˜ao,
’-{
7@-=,3“R,3709G‘5go que nos fornece
‘7:(96”
{
™

54. (

55. 7:%#!-Œt,–˜•˜t5CU5!#] |—(t(K%!UYmPortanto o ponto‘em questao ˜encontra-se ABAIXO da
posic¸ ao ˜inicial de lanc¸amento.
P 8-19 (na 6)
Uma bola de g ´e arremessada de uma janela com uma
velocidade inicial de#m/s e um ˆangulo deIJpara ci-ma
em relac¸ ˜ao `a horizontal. Determine (a) a energia
cinetica ´da bola no ponto mais alto da trajetoria ´e (b) a
sua velocidade quando se encontra am abaixo da ja-nela.
A resposta do item (b) depende I(c) da massa da
bola ou (d) do ˆangulo de arremesso?
(a) No topo da trajet´oria, a componente vertical da
velocidade da bola ´e zero enquanto que sua componente
horizontal continua sendoˆsCš›EœIJ, ondeCš ´e o
m´odulo da velocidade da bola. A energia cin´etica, da
bola de massa7 ´e, portanto,
,{
7žˆ{

56. T(Kk+]'Ÿ

57. #E

58. ›Eœ!IJ f( J
(b) Quando a bola se move com uma velocidadea uma
distanciaˆOT^Im abaixo da janela, sua energia poten-cial
e ´menor que o seu valor inicial, a diferenc¸a sendo
igual atz7:9GO. Conservac{
¸ao ˜da energia entao ˜fornece7:š{
7@tT7:9GOg donde obtemos
'B‰š39O.A#3

59. !E

60. %#!E

61. I!1^((m/s (c) e (d) Da expressao ˜paraacima, fica bem claro quenao ˜depende nem da massa da bola nem do angulo
ˆinicial.
P 8-20 (na 6)
A mola de uma espingarda de mola tem uma constan-te
de(N/cm. Quando a espingarda faz um ˆangulo deI!Jpara cima em relac¸ ˜ao `horizontal, uma bala de g
´e disparada e atinge uma altura dem acima do cano
da espingarda. (a) Qual a velocidade da bala ao deixar
o cano? (b) De quanto a mola estava comprimida no
momento do disparo?
(a) Chamando-se deCš o m´odulo da velocidade ini-cial
da bala de massa7, temos que a componente ho-rizontal
da velocidade ´eˆ8Cš›Eœ!5IJ. No topo da
trajet´oria, a bala tem apenas velocidade horizontal. Por-tanto,
a conservac¸˜ao da energia mecˆanica nos diz que{
7:J{
7@ˆ3709Zmax
{
7—š›Eœ!5IJ3709Zmax
o que nos fornece
šb9Zmax(ztŒ›Eœ!IJ
A

62. s!eEn

63. %#!E

64. I!J=Y¡%#6f(G m/s (b) A mola estava comprimida de tal que, pela
conservac¸˜ao da energia, tenhamos{
G{
7@šgdonde obtemos
@šb7f

65. L(*G b5(K!R5#m
P 8-21 (na 6)
http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 5 de 26

66. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
Uma bala de morteiro dekg ´e disparada para cima com
uma velocidade inicial de(* m/s e um ˆangulo de em relac¸a˜o a` horizontal. (a) Qual a energia cine´ticaIdYaJ
bala no momento do disparo? (b) Qual ´e a variac¸˜ao na
energia potencial da bala at´e o momento em que atinge
o ponto mais alto da trajet´oria? (c) Qual a altura atingida
pela bala?
(a) Seja7a massa da bala ešsua velocidade inicial.
A energia cin´etica inicial ´e ent˜ao
,.-(7:š(

67. !E

68. S(*$qŒ(K‚J (b) Tome o zero da energia potencial gravitacional como
sendo o ponto de tiro e chame de/ a energia potencial
no topo da trajet´oria./ coincide ent˜ao com a variac¸ ˜ao
da energia potencial deste o instante do tiro at´e o instan-te
em que o topo da trajet´oria ´e alcanc¸ada. Neste ponto
a velocidade da bala ´e horizontal e tem o mesmo valor
que tinha no in´ıcio:ˆsCš›]œ!G¢š, onde¢š ´e o ˆangulo
de tiro. A energia cin´etica no topo ´e
,0/‡(7:ˆ(7@š›Eœ¢šComo a energia mecˆanica ´e conservada
(7@š/3(7:š›]œ!¢šPortanto
2/((7@š

69. S(ztŒ›Eœ!¢š7@šsen(¢š

70. !E

71. L(Ksen#
)(*+IYJJ (c) A energia potencial no topo da trajet´oria ´e tamb´em
dada por/£7:9GO, ondeO´e a altura (desn´ıvel) do
topo em relac¸ ˜ao ao ponto de tiro. Resolvendo paraO,
encontramos:
O07:/9G

72. #
]T

73. %(K#!+^(KU!m
P 8-23 (8-23/6)
A corda da Fig. 8-31 temVMQ(*cm de comprimento
e a distanciaˆate ´o pino fixoe ´decm. Quando
a bola e ´liberada ‘em repouso na ¤ posic¸ ao ˜ indicada na fi-gura,
descreve a trajetoria ´indicada pela linha tracejada.
Qual ´e a velocidade da bola (a) quando est´a passando
pelo ponto mais baixo da trajet´oria e (b) quando chega
ao ponto mais alto da trajet´oria depois que a corda toca
o pino?
Chame de¥o ponto mais baixo que a bola atinge
e de¦ o ponto mais alto da trajetoria ´apos ´a bola to-car
no pino. Escolha um sistemas de coordenada com
o eixoZoriginando-se no ponto¥e apontando para ci-ma.
A energia inicial da bola de massa7 no campo
gravitacional da Terra antes de ser solta vale’7:9GV.
Conservac¸˜ao da energia fornece-nos ent˜ao uma equac¸˜ao
para a velocidadeda bola em qualquer lugar especifi-cado
pela coordenadaZ:
’=709GVu(7:37:9Z(a) ComZ§lsem709GVM{
7:§37:9Z§, obtemos
facilmente que
§A9GVŒA

74. ]

75. %5#E

76. S(!!1RY#m/s (b) Importante aqui ´e perceber que o tal ponto mais alto
da trajet´oria depois que a corda toca o pino n˜ao ´e o pon-to
V
t'‘(como a figura parece querer indicar) mas sim o
pontoZ¨l$

77. V@t@‘, pois a bola tem energia suficiente
:-) SubstituindoZ¨ em7:9Vl{
para chegar at´e ele! ´E
neste detalhezito que mora o pe-rigo...
7:¨37:9Z!¨,
obtemos ent˜ao facilmente que
¨A9©

78. ‘DtTVpªAY

79. %#!Ec

80. «!|tM( dm/s Qual a raz˜ao deste ´ultimo valor ser a metade do ante-rior?...
P 8-25 (8-25/6)
Deixa-se cair um bloco dekg de uma altura deY! cm
sobre uma mola cuja constante ´ef(*%UN/m (Fig. 8-
32). Determine a compress˜ao m´axima da mola.
Seja7 a massa do bloco,Oa altura da queda ea
compress˜ao da mola. Tome o zero da energia potencial
como sendo a posic¸ ˜ao inicial do bloco. O bloco cai uma
distˆanciaO3e sua energia potencial gravitacional final
´etz709©

81. O3. Valores positivos deindicam ter ha-vido
compress˜ao da mola. A energia potencial da mola
´e inicialmente zero eC no final. A energia cin´etica
´e zero tanto no in´ıcio quanto no fim. Como a energia ´e
conservada, temos
6^tz709©

82. ¬33(http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 6 de 26

83. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
As soluc¸ ˜oes desta equac¸ ˜ao quadr´atica s˜ao
7:9?­A

84. 7093C7:9GO
que fornece doi(*s%vUzal­oreAs

85. Sp(Ka%5raU(K%!U3

86. L(K%U!]

87. #Y:5o(* m outv#! m.
Como procuramos uma compress˜ao, o valor desejado ´eH(K m.
P 8-27 (8-27/6)
Duas crianc¸as est˜ao competindo para ver quem conse-gue
acertar numa pequena caixa com uma bola de gu-le
disparada por uma espigarda de mola colocada sobre
uma mesa. A distˆancia horizontal entre a borda da mesa
e a caixa ´e dem (Fig. 8-34). Jo˜ao comprime a mola(H( cm e a bola cai! cm antes do alvo. De quando deve
Maria
comprimir a mola para acertar na caixa?A distancia ˆque a bola de gude viaja e ´determina-da
pela sua velocidade inicial, que e ´determinada pela
compress˜ao da mola.
SejaOa altura da mesa ea distˆancia horizontal at´e o
ponto onde a bola de gude aterrisa. Ent˜ao“mš*® eOm9®K, ondeCš ´e a velocidade inicial da bola de
gude e®´e o tempo que ela permanece no ar. A segunda
equac¸ ˜ao fornece
®A!O9 de modo que@šAO*9 A distˆancia at´e o ponto de aterrisagem ´e diretamente
proporcional `a velocidade inicial poisQ[Cš®. SejaCš{a velocidade inicial do primeiro tiro e{a distˆancia
horizontal at´e seu ponto de aterrisagem; sejaCša velo-cidade
inicial do segundo tiro ea distˆancia horizontal
š{š{Quando a mola ´e comprimida a energia potencial ´e}]C¯, onde}´e a compress˜ao. Quando a bola de gude
at´e seu ponto de aterrisagem. Ent˜ao
perde contato da mola a energia potencial e ´zero e sua
energia cinetica ´e´7@š. Como a energia mecanica ˆe
´conservada, temos
(7@š(}gde modo que a velocidade inicial da bola de gude ´e dire-tamente
proporcional `a compress˜ao original da mola. Se}{for a compress˜ao do primeiro tiro e}a do segundo,
ent˜aoš°

88. ±}*}{Sš{. Combinando isto com o resul-tado
anterior encontramos}[

89. {}{. Tomando
agora{²
tM5)[(%I m,}{[(H(K cm, e$m, encontramos a compress˜ao}desejada:
}” m(!%!I m•

90. S(!o(* cmf( cm
P 8-31 (8-26/6)
Tarzan, que pesaU!## N, decide usar um cip´o de(K# m
de comprimento para atravessar um abismo (Fig. 8-36).
Do ponto de partida at´e o ponto mais baixo da trajet´oria,
desceI5m. O cip´o ´e capaz de resitir a uma forc¸a
m´axima de%! N. Tarzan consegue chegar ao outro la-do?
Chamando de7 a massa do Tarzan e dea sua ve-locidade
no ponto mais baixo temos que
(7@7:9GOgondeO´e a altura que Tarzan desce. Desta express˜ao
tiramos que
=C9GO.9©

91. I5!F$UY9 Por outro lado, no ponto mais baixo temos, da segunda
lei de Newton, que a forc¸a centr´ıpeta est´a relacionada
com a tens˜ao no cip´o atrav´es da equac¸˜ao
´³tT7:9
7´gondee ´o raio da trajetoria. ´Portanto, temos que
³R70937´93U57:%U#I!G”U(3U5(Y!´709KN #Y•Como³'µ% N, vemos que Tarzan consegue atra-vessar,
porem ´estirando o cipo ´muito perto do limite
maximo ´que ele aguenta!
¨P 8-32 (8-29/6)
Na Fig. 8-31 mostre que se a bola fizer uma volta com-pleta
em torno do pino, ent˜ao‘$¶mI!Vp. (Sugest˜ao:
A bola ainda deve estar se movendo quando chegar ao
ponto mais alto da trajet´oria. Vocˆe saberia explicar por
quˆe?)
http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 7 de 26

92. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
Antes de mais nada, este problema ´e uma continuac¸˜ao
do problema 8-23. Releia-o antes de continuar.
Use conservac¸˜ao da energia. A energia mecˆanica deve
ser a mesma no topo da oscilac¸ ˜ao quanto o era no in´ıcio
do movimento. A segunda lei de Newton fornece a ve-locidade
(energia cin´etica) no topo. No topo a tens˜ao³na corda e a forc¸a da gravidade apontam ambas para
baixo, em direc¸˜ao ao centro do c´ırculo. Note que o raio
do c´ırculo ´e;D$VTtT‘, de modo que temos
³37:
97 R7V‘gondee ´a velocidade ee ´a Œmassa tTda bola. Quan-do
a bola passa pelo ponto mais alto (com a menor
velocidade poss´ıvel) a tens˜ao ´e zero. Portanto,7@G

93. V)tŒ‘7:9Me temos que'A9©

94. VŒtŒ‘.
Tome o zero da energia potencial gravitacional como
sendo no ponto mais baixo da oscilac¸ ˜ao. Ent˜ao a ener-gia
potencial inicial ´e7:9V. A energia cin´etica inicial
´epois a bola parte do repouso. A energia potencial
final, no topo da oscilac¸ ˜ao, ´e7:9G5

95. Vt‘e a energia
cin´etica final ´e7@*6=7:9

96. VŒtŒ‘h. O princ´ıpio da
conservac¸˜ao da energia fornece-nos
709GVuR7:9G5

97. VTtŒ‘3(7:9

98. VŒtT‘eDesta express˜ao obtemos sem problemas que
‘q+·Vv Se‘for maior do queI!Vp, de modo que o ponto mais
alto da trajet´oria fica mais abaixo, ent˜ao a velocidade da
bola ´e maior ao alcanc¸ar tal ponto e pode ultrapassa-lo.
Se‘for menor a bola n˜ao pode dar a volta. Portanto o
valorIVƒ ´e um limite mais baixo.
P 8-35¸(8-33¸/6)
Uma corrente ´e mantida sobre uma mesa sem atrito com
um quarto de seu comprimento pendurado para fora da
mesa, como na Fig. 8-37. Se a corrente tem um com-primento
Ve uma massa7, qual o trabalho necess´ario
para pux´a-la totalmente para cima da mesa?
O trabalho necess´ario ´e igual `a variac¸ ˜ao da energia
potencial gravitacional a medida que a corrente ´e pu-xada
para cima da mesa. Considere a energia poten-cial
como sendo zero quando toda a corrente estiver
sobre a mesa. Divida a parte pendurada da corrente
num n´umero grande de segmentos infinitesimais, ca-da
um com comprimento‘Z. A massa de um tal seg-mento
´e

99. ¹=CVºL‘Z e a energia potencial do segmen-to
a uma distˆanciaZabaixo do topo da mesa ´e‘G[
t6

100. 7»Vº¼9Z6‘!Z. A energia potencial total ´e
sft7V9v½uš¾5¿‚ZG‘!Zt(7V9”VY•
tI!(709GVvO trabalho necess´ario para puxar a corrente para cima
da mesa ´e, portanto,t˜=7:9VƒCI!.
P 8-37¸(8-35¸/6)
Um menino est´a sentado no alto de um monte he-misf
´erico de gelo (iglu!) (Fig. 8-39). Ele recebe um
pequen´ıssimo empurr˜ao e comec¸a a escorregar para bai-xo.
Mostre que, se o atrito com o gelo puder ser des-prezado,
ele perde o contato com o gelo num ponto cuja
altura e´´I. (Sugestao: ˜A forc¸a normal desaparece
no momento em que o menino perde o contato como o
gelo.)
Chame deÀ a forc¸a normal exercida pelo gelo no
menino e desenhe o diagrama de forc¸as que atuam no
menino. Chamando de¢o ˆangulo entre a vertical e o
raio que passa pela posic¸ ˜ao do menino temos que a forc¸a
que aponta radialmente para dentro ´e7:9p›]œ!G¢2tÀ que,
de acordo com a segunda a forc¸a centr´ıpetaNo ponto em 7@que *´lei de Newton, deve ser igual
, ondee ´a velocidade do me-nino.
o menino se desprende do gelo
temosÀmR, de modo que
9ƒ›EœG¢‡´=Precisamos agora determinar a velocidade. Tomando
a energia potencial como zero quando o menino est´a no
topo do iglu, teremos para

101. ¢!a express˜ao

102. ¢ftz7:9´

103. L(ƒtT›]œ!G¢!E O menino inicia seu movimeno do repouso e sua energia
cin´etica na hora que se desprende vale7:*. Portan-to,
a conservac¸˜ao da energia nos fornece7:9´

104. L(ƒtT›]œ!G¢!
7:Cjt, ou seja,
9´

105. S(ƒtT]›!œG¢e Substituindo este resultado na expressao ˜acima, obtida
da forc¸a centr´ıpeta, temos
9º›EœG¢‡$C9

106. L(ƒtT›]œ!G¢!Eg ou, em outras palavras, que
›EœG¢‡Ihttp://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 8 de 26

107. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
A altura do menino acima do plano horizontal quando
se desprende ´e
´›]œ!G¢‡I´8.1.2 Usando a Curva de Energia Potencial
P 8-39 (8-37/6)
A energia potencial de uma mol´ecula diatˆomica (Hou
O, por exemplo) ´e dada por
onde“;¥{t;C¦Á;´e a distˆancia entre os ´atomos que formam a
mol´ecula e¥e¦s˜ao constantes positivas. Esta energia
potencial se deve `a forc¸a que mant´em os ´atomos unidos.
(a) Calcule a distˆancia de equil´ıbrio, isto ´e, a distˆancia
entre os ´atomos para a qual a forc¸a a que est˜ao subme-tidos
´e zero. Verifique se a forc¸a ´e repulsiva (os ´atomos
tendem a se separar) ou atrativa (os ´atomos tendem a se
aproximar) se a distˆancia entre eles ´e (b) menor e (c)
maior do que a distˆancia de equil´ıbrio.
(a) A forc¸a ´e radial (ao longo a line que une os
´atomos) e ´e dada pela derivada deem relac¸ ˜ao a;:
€ft‘G‘;(*;{¥+tU!;¦ÂA separac¸ ˜ao;šde equil´ıbrio ´e a separac¸ ˜ao para a qual
temos€

108. ;š=, ou seja, para a qual
Portanto a separac¸a˜(o¥MdetTeqU!u¦6il´ı;bšÁri$o e´dada por
;š”¦¥•
{
¿Á”¦¥•
{
f(!o(¿Á (b) A derivada da forc¸a em relac¸ ao ˜a;, computada na
separac¸ ˜ao de equil´ıbrio vale
‘‘!€;t(˜;Ú{(K‚I!¥3Y;CšÄ¦tt

109. L(*¥U¥M;t)š{‚Y¦‡;JÁ;š{‚gonde usamos o fato que, do item anterior, sabemos que;šÁ…¥?C¦. A derivada ´e negativa, de modo que a
forc¸a e ´positiva se;for um pouco menor que, indi-cando
uma forc¸a de repulsao.
˜;š(c) Se;for um pouco maior que;ša forc¸a ´e negativa,
indicando que a forc¸a ´e de atrac¸ ˜ao.
8.1.3 Conservac¸ ˜ao da Energia
8.1.4 Trabalho Executado por Forc¸as de Atrito
E 8-45 (8-48/6)
Aproximadamente:M(KÁkg de ´agua caem por se-gundo
nas cataratas de Ni´agara a partir de uma altura de m. (a) Qual a energia potencial perdida por segun-do
pela ´agua que cai? (b) Qual seria a potˆencia gerada
por uma usina hidrel´etrica se toda a energia potencial
da ´agua fosse convertida em energia el´etrica? (c) Se a
companhia de energia el´etrica vendesse essa energia pe-lo
prec¸o industrial de(centavo de d´olar por quilowatt-hora,
qual seria a sua receita anual?
(a) O decr´escimo na energia potencial gravitacional
por segundo ´e

110. G 'T(KÁE

111. %5#E

112. !2$G«q)(*ÅJ (b) A potˆencia seria
¤f^

113. G«q)(*ÅJE

114. L( s= qT(KÅW (c) Como a energia total gerada em um ano ´e
’$¤®

115. qT(KÁkWE

116. L( ano]

117. #CU h/anoGY)(*{škWÃhg o custo anual seria

118. GY)(*{šE

119. (*2$GY)(*Äd´olaresg ou seja,Y! milh˜oes de d´olares.
E 8-50 (na 6)
Um menino de( kg sobe, com velocidade constante,
por uma corda deUm em(* s. (a) Qual o aumento da
energia potencial gravitacional do menino? (b) Qual a
potˆencia desenvolvida pelo menino durante a subida?
(a)
r“R7:9O.^

120. G(*]

121. %5#E

122. U1=I5
T(K!+J (b)
¤sr®I!(*RI!W http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 9 de 26

123. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
E 8-51 (na 6)
Uma mulher de kg sobe correndo um lance de escada
deY5 m de altura emI5s. Qual a potˆencia desenvol-vida
pela mulher?
¤s

124. !E

125. %I #!]

126. Y5 $U%!IW
E 8-55 (na 6)
Um nadador se desloca na ´agua com uma velocidade
m´edia de m/s. A forc¸a m´edia de arrasto que se op˜oe
a esse movimento ´e de(K N. Qual a potˆenciam´edia de-senvolvida
pelo nadador?
Para nada com velocidade constante o nadador tem
que nadar contra a ´agua com uma forc¸a de(!(K N. Em
relac¸ ˜ao a ele, a ´agua passa a5! m/s no sentido dos
seus p´es, no mesmo sentido que sua forc¸a. Sua potˆencia
´e
¤fRÆMÃEÇ)€6È^

127. L((KE

128. FCY W E 8-64 (8-43/6)
Um urso de kg escorrega para baixo num troco de
´arvore a partir do repouso. O tronco tem( m de al-tura
e a velocidade do urso ao chegar ao ch˜ao ´e dem/s. (a) Qual a variac¸a˜o da energia potencial do ursGoU?
(b) Qual a energia cin´etica do urso no momento em que
chega ao ch˜ao? (c) Qual a forc¸a m´edia de atrito que agiu
sobre o urso durante a descida?
(a) Considere a energia potencial gravitacional inicial
como sendo1-^. Ent˜ao a energia potencial gravita-cional
final ´e/ftz7:9GV, ondeV´e o comprimento da
´arvore. A variac¸˜ao ´e, portanto,
2/?tu1-^tz709GVt6t4

129. %Y']

130. T%5#(KE

131. S+(J (b) A energia cin´etica ´e
,(7:(

132. !E

133. GU!=I%J (c) De acordo com a Eq. 8-26, a variac¸˜ao da energia
mecˆanica ´e igual at4ÉV, ondeÉ´e a forc¸a de atrito
m´edia. Portanto
É@ftr,V3r“tI%˜tŒ(*%Y!G(KN
P 8-66 (8-51/6)
Um bloco deI kg ´e empurrado a partir do repouso
por uma mola comprimida cuja constante de mola e´N/m (Fig. 8-45). Depois que a mola se encontra toUtaYl-
mente relaxada, o bloco viaja por uma superf´ıcie hori-zontal
com um coeficiente de atrito dinˆamico de5!,
percorrendo uma distˆancia de#m antes de parar. (a)
Qual a energia mecˆanica dissipada pela forc¸a de atrito?
(b) Qual a energia cin´etica m´axima possu´ıda pelo blo-co?
(c) De quanto foi comprimida a mola antes que o
bloco fosse liberado?
(a) A magnitude da forc¸a de fricc¸ ˜ao ´eÉ@RÊËCÀ , ondeÊË ´e o coeficiente de atrito dinˆamico eÀ ´e a forc¸a nor-mal
da superf´ıcie sobre o bloco. As ´unicas forc¸as verti-cais
atuantes no bloco s˜ao a forc¸a normal, para cima, e
a forc¸a da gravidade, para baixo. Como a componente
vertical da acelerac¸˜ao do bloco ´e zero, a segunda lei de
Newton nos diz queÀmR709, onde7´e a massa do blo-co.
PortantoÉ~ÊË7:9. A energia mecˆanica dissipada
´e dada porr’ÌÉ}ÍÎÊË709}, onde}´e a distˆancia
que o bloco anda antes de parar. Seu valor e
´r’B

134. 5!E

135. I]

136. %#!]

137. G#P$UU5#!# J (b) O bloco tem sua energia cinetica ´maxima ´quando
perde contato com a mola e entra na parte da superf´ıcie
onde a fricc¸ ao ˜atua. A energia cinetica ´maxima ´e ´igual
a `energia mecanica ˆdissipada pela fricc¸ ao:˜(c) A energia que aparece como energia cinUU5etica ´#!# J.
esta-va
el´astica, da mola comprimida. Portantor’†*,
ariginalmente armazenada como energia potencial
onde´e a constante da mola e´e a compress˜ao. Logo,
@br’b5

138. U!UUY!##!$Y!mn=Y!Ucm
P 8-69 (8-55/6)
Dois montes nevados tˆem altitudes de# m e m
em relac¸ ˜ao ao vale que os separa (Fig. 8-47). Uma pis-ta
de esqui vai do alto do monte maior at´e o alto do
monte menor, passando pelo vale. O comprimento to-tal
da pista ´eI km e a inclinac¸˜ao m´edia ´eI!J. (a)
Um esquiador parte do repouso no alto do monte maior.
Com que velovidade chegar´a ao alto do monte menor
sem se impulsionar com os bast˜oes? Ignore o atrito. (b)
Qual deve ser aproximadamente o coeficiente de atrito
http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 10 de 26

139. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
dinˆamico entre a neve e os esquis para que o esquiador
pare exatamente no alto do pico menor?
(a) Tome o zero da energia potencial gravitacional co-mo
estando no vale entre os dois picos. Ent˜ao a energia
potencial ´e-7:9O-, onde7 ´e a massa do esquiador
eO-´e a altura do pico mais alto. A energia potencial
final ´e/^7:9O/, ondeO/´e a altura do pico menor.
Inicialmente o esquiador tem energia cin´etica,-†.
Escrevamos a energia cin´etica final como,/7@,
ondee ´a velocidade do esquiador no topo do pico me-nor.
A forc¸a normal da superf´ıcie dos montes sobre o
esquiador nao ˜faz trabalho (pois e ´perpendicular ao mo-vimento)
e o atrito ´e desprez´ıvel, de modo que a energia
mecˆanica ´e conservada:2-3,0-1°2/3,0/, ou seja,7:9GO-R7:9O/37@, donde tiramos
'‰C9

140. O5-tXO/!A5

141. %5#E

142. #jtu1Y m
s (b) Como sabemos do estudo de objetos que deslizam
em planos inclinados, a forc¸a normal da superf´ıcie in-c7:
li9lna›Edœ!a¢dos montes no esquiador e´ dada porÀ, onde¢´e o ˆangulo da superf´ıcie inclinada em
relac¸ ˜ao `a horizontal,IJ para cada uma das superf´ıcies
em quest˜ao. A magnitude da forc¸a de atrito ´e dada porÉ~ÊËCÀNÊË*7:9M›]œ!G¢. A energia mecˆanica dissipa-da
pela forc¸a de atrito ´eÉ}jsÊË7:9!}~›]œ!G¢, onde}´e o
comprimento total do trajeto. Como o esquiador atinge
o topo do monte mais baixo sem energia cin´etica, a ener-gia
mecˆanica dissipada pelo atrito ´e igual `a diferenc¸a de
energia potencial entre os pontos inicial e final da tra-jet
´oria. Ou seja,
ÊË*7:9}:›EœG¢q7:9

143. O-tŒO/Eg donde tiramosÊË:
ÊËO}@-©›]tŒœ!G#!O¢/˜tu

144. I5'T(K+'›Eœ'I!J$IU5
P 8-74 (na 6)
Uma determinada mola nao ˜obedece a `lei de Hooke. A
forc¸a (em newtons) de uma distanciaˆno sentido oposto que ela exerce quando distendida
(em metros) e ´de,
ao da distensao. ˜(a) Calcule G#3I!#o traba-lho
Ynecess´ario para distender a mola deu†5m at´e^'(!m. (b) Com uma das extremidades da mola
mantida fixa, uma part´ıcula deGH( kg e ´presa a `ou-tra
extremidade e a mola e ´distendida de uma distancia
ˆl²(. Em seguida, a part´ıcula e ´liberada sem velo-cidade
inicial. Calcule sua velocidade no instante em
que a distens˜ao da mola diminuiu paraw5m.
(c) A forc¸a exercida pela mola ´e conservativa ou n˜ao-conservativa?
Explique sua resposta.
(a) Para distender a mola aplica-se uma forc¸a, igual
em magnitude `a forc¸a da mola por´em no sentido oposto.
Como a uma distens˜ao no sentido positivo deexerce
uma forc¸a no sentido negativo de, a forc¸a aplicada tem
que ser€BG#3I#Y, no sentido positivo de.
{eКŽš!ÐG·#

145. !G3#I3#5IIY#5+Y!L‘
O trabalho que ela realiza ´e
Ͻ
{eКšÐ·=I5(J (b) A mola fazI( J de trabalho e este deve ser o au-mento
da energia cin´etica da part´ıcula. Sua velocidade
´e ent˜ao
'b7,b5

146. GI5H((!=Im/s (c) A forc¸a ´e conservativa pois o trabalho que ela faz
quando a part´ıcula vai de um ponto{para outro pon-to
depende apenas de{e, n˜ao dos detalhes do
movimento entre{e.
P 8-79 (8-61/6)
Uma pedra de pesoÑ´e jogada verticalmente para cima
com velocidade inicialCš. Se uma forc¸a constanteÉde-vido
a `resistencia ˆdo ar age sobre a pedra durante todo o
percurso, (a) mostre que a altura m´axima atingida pela
pedra ´e dada por
O0C9

147. L(3šÉ|Cј(b) Mostre que a velocidade da pedra ao chegar ao solo
e ´dada por
RCš”ÑÑ=3tXÉÉ•
{
¿
(a) SejaOa altura m´axima alcanc¸ada. A energia
mecˆanica dissipada no ar quando a pedra sobe at´e a altu-ra
O´e, de acordo com a Eq. 8-26,r’^t4É©O. Sabemos
que
r’B

148. ,0/32/Pt

149. ,.-31-eg http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 11 de 26

150. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
onde1-e2/ ,.-esao ˜as energias cineticas ´inicial e final, esao ˜,0/ as energias poetenciais inicial e final. Esco-lha
a energia como sendo zero no ponto de lanc¸amento
da pedra. A energia cine´tica inicial e´,.-˜Ò7@š, a
energia potencial inicial ´e-“, a energia cin´etica fi-nal
´e,/8e a energia potencial final ´e/ÎјO.
Portantot4ɩO:јO.t)7@J, donde tiramos
O0

151. Ñ7@3šÉ©9©

152. ÑvÑ3šÉ©C9

153. L(3šÉ|Ñjgonde substituimos7porÑ?*9 e dividimos numerador e
denominador porÑ.
(b) Note que a forc¸a do ar ´e para baixo quando a pe-dra
sobe e para cima quando ela desce. Ela ´e sempre
oposta ao sentido da velocidade. A energia dissipada
durante o trajeto no ar todo ´er’Ót4!É©O. A ener-gia
cin´etica final ´e,/B7@C, onde´e a velocida-de
da pedra no instante que antecede sua colis˜ao com
o solo. A energia potencial final ´e/². Portantot4É©O.=7@5tv7:š. Substituindo nesta express˜ao
a express˜ao encontrada acima paraOtemos
tC9

154. L(3ÉÉ|šCј(7:t(7@šDeste resultado obtemos
=št7:9

155. L(É3šÉ|Cјštч

156. S(3ÉÉ|šCј
š”(ztÑ!3ÉÉ•
š”ÑÑR3tXÉÉ•Fgde onde obtemos o resultado final procurado:
š”ÑÑR3tXÉÉ•
{
'=¿ Perceba que paraambos resultados reduzem-se
ao que ja ´conheciamos, ÉRÎcomo nao ˜podeia deixar de ser.
8.1.5 Massa e Energia
E 8-92 (na 6)
(a) (*!Qual a energia em Joules equivalente a uma massa
deg? (b) Durante quantos anos esta energia aten-deria
as `necessidades de uma fam´ılia que consome em
m´edia(kW?
(a) Usamos a f´ormula’R7ÍÔE:
’f

157. H(K!!E

158. G%#qT(KÄ=%H(‡)(*{·J (b) Usamos agora’R¤®, onde¤´e a taxa de consumo
de energia e®´e o tempo. Portanto,
®’¤%%HH(((D‡‡)TT(*(K(K+{{·segundos
G%(?T(K·anos!
P 8-96 (na 6)
Os Estados Unidos produziram cerca dekWGI(@(*{Ãh de energia el´etrica em 1983. Qual a massa equi-valente
a esta energia?
Para determinar tal massa, usamos a relac¸ ˜ao7ÍÔE’, ondeÔ‡B%!%#l(KÄm/s ´e a velocidade da luz.
Primeiro precisamos converter kWÃh para Joules:
I5(˜T(K{kWÃhGI(?T(K{

159. S(K+WE

160. IU! s#I!qT(K{ÄJ Portanto
78Ô’#5I‡T(K{Ä

161. G%#qT(KÄ$%!kg
http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 12 de 26

162. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
9 Sistemas de Part´ıculas
9.1 Quest˜oes
Q 9-2
Qual a localizac¸˜ao do centro de massa da atmosfera da
Terra?
9.2 Problemas e Exerc´ıcios
9.2.1 O Centro de Massa
E 9-1 (9-1/6edic¸ ˜ao)
(a) A que distˆancia o centro de massa do sistema Terra-
Lua se encontra do centro da Terra? (Use os valores
das massas da Terra e da Lua e da distˆancia entre os
dois astros que aparecem no Apˆendice C.) (b) Expresse
a resposta do item (a) como uma frac¸˜ao do raio da Terra.
(a) Escolha a origem no centro da Terra. Ent˜ao a
distanciaˆK;PÕÖ do centro de massa do sistema Terra-Lua
e ´dada por
;*ÕÖÒ77¾¾3;*7@×Øgonde7¾´e a massa da Lua,7ÍØ ´e a massa da Terra, a;×´e a separac¸˜ao m´edia entre Terra e Lua. Tais valores
encontram-se no Apˆendice C. Em n´umeros temos,
;ÕPÖY5

163. UIY
U'IU'))T(*(*(KÁÙÙ]3

164. I %!'#'T)(K(*Ä‚m (b) O raio da Terra ´e´Ø–$UI6~(KÁm, de modo que
temos
;´ÕØÖYU5UIY'6TT(K(KÁÁ=5 IObserve que a frac¸˜ao entre as massas ´e
77ؾG%I!!#UqqTT((KK!h‚=#(!!
E 9-3 (9-3/6)
(a) Quais s˜ao as coordenadas do centro de massa das trˆes
part´ıculas que aparecem na Fig. 9-22? (b) O que acon-tece
com o centro de massa quando a massa da part´ıcula
de cima aumenta gradualmente?
(a) Sejam

165. {ghZ{RÚ

166. gÙ!,

167. ghZRx

168. L(gae

169. +gLZ+
Û

170. GgK(*as coordenadas (em metros) das trˆes
part´ıculas cujas respectivas massas designamos por7{,7e7+. Ent˜ao a coordenadado centro de massa ´e
ÕÖ7{7{{33773377+++3

171. #5IE

172. S3(!#533

173. Y5Y5!]

174. G!^(H(m enquanto que a coordenadaZ´e
ZÕPÖ7{Z7{{3377Z3377++Z+3

175. #I5!E

176. 3G#!33

177. YYE

178. S(!f(!Im (b) A medida que a massa da part´ıcula de cima ´e au-mentada
o centro de massa desloca-se em direc¸˜ao `aquela
part´ıcula. No limite, quando a part´ıcula de cima for mui-to
mais massiva que as outras, o centro de massa coin-cidir
´a com a posic¸ ˜ao dela.
E 9-12¸(9-9/6)
Uma lata em forma de cilindro reto de massa¹, al-tura
¬ e densidade uniforme est´a cheia de refrigerante
(Fig. 9-30). A massa total do refrigerante ´e7. Fazemos
pequenos furos na base e na tampa da lata para drenar
o conte´udo e medimos o valor deO, a distˆancia verti-cal
entre o centro de massa e a base da lata, para v´arias
situac¸ ˜oes. Qual ´e o valor deOpara (a) a lata cheia e
(b) a lata vazia? (c) O que acontece comOenquanto a
lata est´a sendo esvaziada? (d) Se´e a altura do l´ıquido
que resta em um determinado instante, determine o va-lor
de(em func¸˜ao de¹,¬e7) no momento em que
o centro de massa se encontra o mais pr´oximo poss´ıvel
da base da lata.
(a) Como a lata ´e uniforme seu centro de massa est´a
localizado no seu centro geom´etrico, a uma distˆancia¬@ acima da sua base. O centro de massa do refri-gerante
est´a no seu centro geom´etrico, a uma distˆancia© acima da base da lata. Quando a lata est´a cheia tal
posic¸˜ao coincide com¬:. Portanto o centro de massa
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179. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
da lata e com o refrigerante que ela cont´em est´a a uma
distˆancia
acima da baO0se, so¹†br

180. e¬@oe¹ixo33d77Œo c

181. ¬:ilindro.¬
(b) Consideramos agora a lata sozinha. O centro de
massa est´a em¬: acima da base, sobre o eixo do ci-lindro.
(c) A medida quedecresce o centro de massa do re-frigerante
na lata primeiramente diminui, depois cresce
at´e¬:novamente.
(d) Quando a superf´ıcie superior do refrigerante est´a a
uma distˆanciaacima da base da lata a massa restante7ÍÜdo refrigerante na lata ´e7ÍÜDž

182. ©C¬–S7 , onde7 ´e
a massa quando a lata est´a cheia ()“¬ ). O centro de
massa do refrigerante est´a apenas a uma distˆanciada base da lata. Logo
O¹†

183. ¬@¹337@7ÜÜ

184. ©!¹†

185. ¬@¹33

186. 7@©C¬–C¬S7T

187. ¹“

188. ¹“¬¬337@7@(1)
Encontramos a posic¸ ˜ao mais baixa do centro de massa
da lata com refrigerante igualando a zero a derivada deem relac¸a˜o aOe resolvendo em relac¸ ˜ao a. A derivada
´e dada por
‘‘!O

189. ¹“¬8C7@tT7:t

190. ¹“5

191. ¹“¬~¬337:7:*S77@K3

192. ¹“¹s¬7Í3¬»7:
tX¹s7@¬~A soluc¸ ˜ao de7ÍE3!¹s7@¬»tX¹s7ͬ~v=´e
:¹“7¬ŽtM(3b(3¹7Usamos a soluc¸ ˜ao positiva pois´e positivo.
Substituindo-se agora o valor dena Eq. (1) acima e
simplificando, encontramos finalmente que
O:¬–7¹”b(3¹7tM(•
9.2.2 A segunda lei de Newton para um sistema de
part´ıculas
E 9-13 (9-10/6)
Dois patinadores, um comU kg de massa e o outro comY kg, est˜ao de p´e em um rinque de patinac¸˜ao no gelo
segurando uma vara de massa desprez´ıvel com(K m de
comprimento. Partindo das extremidades da vara, os pa-tinadores
se puxam ao longo da vara at´e se encontrarem.
Qual
a distancia ˆpercorrida pelo patinador deY kg?A falta de atrito com o gelo implica que efetivamente
os patinadores e a vara formem um sistema mecanica-mente
isolado, i.e. sobre o qual n˜ao atuam forc¸as exter-nas.
Portanto, a posic¸ ˜ao do centro de massa n˜ao pode
alterar-se quando ou um, ou o outro ou ambos patinado-res
puxarem a vara.
Suponha que o patinador deU! kg encontre-se `a esquer-da
e que o centro de massa seja escolhido como a origem
do sistema de coordenadas (i.e.ÕPÖÒ), e que sejaa distˆancia desde o centro de massa at´e o patinador deY kg. Ent˜ao temos
ÕÖ8tvU

193. L(KU˜t)3Y3Y$Portanto, temosU!5

194. S(K˜tT=Y!, donde tiramos
:U!(KRU m Note que o fato dos patinadores terminarem em contato
implica que basta um deles puxar a vara para que AM-BOS
se movam em relac¸ ˜ao ao gelo. Se ambos puxarem
a vara, eles apenas chegam mais r´apido `a posic¸ ˜ao fi-nal,
sobre o centro de massa. Mas basta um deles puxar
a vara, que o outro ser´a necessariamente arrastado em
direc¸˜ao ao centro de massa, quer queira, quer n˜ao. Voce
percebe isto?
E 9-14 (9-11/6)
Um velho Galaxy com uma massa deCY kg est´a via-jando
por uma estrada reta a# km/h. Ele ´e seguido por
um Escort com uma massa de(*U! kg viajando akm/h. Qual a velocidade do centro de massa dos doU!is
carros?ÍÞ 7
SejameÞ 7ÍÝ ea massa e a velocidade do Galaxy ea massa Ý e velocidade do Escort. Entao, ˜con-forme
a Eq. (9-19), a velocidade do centro de massa e
´dada por
ÕÖ7ÍÝ17Ý~Ý3377ÍÞÞ1Þ

195. CY!!!]C

196. Y!#!33(K

197. S(*U!U!!E

198. Ukm/h http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 14 de 26

199. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
Note que as duas velocidades est˜ao no mesmo sentido,
de modo que ambos termos no numerador tem o mesmo
sinal. As unidades usadas n˜ao s˜ao do Sistema Interna-cional.
E 9-19 (9-18/6)
Ricardo, de massa igual a#! kg, e Carmelita, que ´e mais
leve, est˜ao passeando no Lago Titicaca em uma canoa deI kg. Quando a canoa est´a em repouso na ´agua calma,
eles trocam de lugares, que estao ˜distantesIm e posi-cionados
simetricamente em relac¸ ao ˜ao centro da canoa.
Durante a troca, Ricardo percebe que a canoa se moveY! cm em relac¸ ˜ao a um tronco de ´arvore submerso e cal-cula
a massa de Carmelita. Qual a massa de Carmelita?
Chamemos de¹Xß e¹Õas massas de Ricardo e Car-melita.
Suponhamos que o centro de massa do sistema
formado pelas duas pessoas (suposto mais perto de Ri-cardo)
esteja a uma distˆanciado meio da canoa de
comprimentoVe massa7. Neste caso
¹Xß”VtT•R7@3¹Õ”V3• Como n˜ao existe forc¸a externa, esta equac¸˜ao permane-ce
igualmente v´alida ap´os a troca de lugares, uma vez
que as posic¸ ˜oes de ambos s˜ao sim´etricas em relac¸ ˜ao ao
meio do barco. A diferenc¸a ´e que o centro de massa do
sistema formado pelas duas pessoas mudou de lado no
barco, ou seja, sofreu uma variac¸˜ao de. Para deter-minar
o valor de, basta usar a observac¸˜ao relacionada
ao tronco de ´arvore submerso, que andou uma distˆancia
C:=Y!cm$Ym Portanto, usandoX^5na equac¸ ˜ao acima obtemos a
massa de Carmelita:
¹XÕ¹X߃

200. VpVp˜t)3Ft)7@#5

201. IvtŒI 3Pt

202. I!!E

203. #kg
E 9-20 (9-15/6)
Um proj´etil ´e disparado por um canh˜ao com uma velo-cidade
inicial de m/s. O ˆangulo do disparo ´eUJ em
relac¸ ˜ao `a horizontal. Quando chega ao ponto mais al-to
da trajet´oria, o proj´etil explode em dois fragmentos
de massas iguais (Fig. 9-33). Um dos fragmentos, cu-ja
velocidade imediatamente ap´os a explos˜ao ´e zero, cai
verticalmente. A que distˆancia do canh˜ao o outro frag-mento
atinge o solo, supondo que o terreno seja plano e
a resistˆencia do ar possa ser desprezada?
Precisamos determinar as coordenadas do ponto de
explos˜ao e a velocidade do fragmento que n˜ao cai reto
para baixo. Tais dados s˜ao as condic¸ ˜oes iniciais para
um problema de movimento de proj´eteis, para determi-nar
onde o segundo fragmento aterrisa.
Consideremos primeiramente o movimento do proj´etil
original, at´e o instante da explos˜ao. Tomemos como ori-gem
o ponto de disparo, com o eixotomado horizontal
e o eixoZvertical, positivo para cima. A componenteZda velocidade ´e dada porMÌšÙàt£9®e ´e zero no
instante de tempo®“šaà*9@

204. š9Gsen¢š, ondee´ a velocidade inicial eš¢š´e o ˆangulo de disparo. As
coordenadas do ponto mais alto s˜ao
:=Cšeá®cCš›EœG¢šd®

205. C9šCSsen¢š›EœG¢š

206. %!#LsenUJ›Eœ!5UJ^(G mg e
ZCšà®t{
9®
{
9šsen¢š
{

207. %!#SsenUJ^(*Im J´a que nenhuma forc¸a horizontal atua no sistema, a com-ponente
horizontal do momento ´e conservada. Uma vez
que um dos fragmentos tem velocidade zero ap´os a ex-plos
˜ao, o momento do outro fragmento tem que ser igual
ao momento do proj´etil originalmente disparado.
A componente horizontal da velocidade do proj´etil ori-ginal
´eš›EœG¢š. Chamemos de¹ a massa do proj´etil
inicial e deÈša velocidade do fragmento que se move
horizontalmente ap´os a explos˜ao. Assim sendo, temos
¹sCš›EœG¢š˜¹Èšg uma vez que a massa do fragmento em quest˜ao ´e¹=.
Isto significa que
Èšâ5C

208. š›EGœ›EGœ¢GšUJm/s Agora considere um proj´etil lanc¸ado horizontalmente no
instante®Wcom velocidade de m/s a partir do
ponto com coordenadas

209. šghZšp°

210. S(G Gg](GI!m. Sua
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211. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
coordenadaZ´e dada porZfWZštR9®*, e quando
ele aterrisa temosZX. O tempo at´e a aterrisagem ´e®ACZš*9 e a coordenadado ponto de aterrisagem
´e
Íš3Èš]®š3ÈšbC9Zš
(«3b5

212. S%(*#I=Im A que distˆancia o proj´etil cairia se n˜ao tivesse havido
explos˜ao?
E 9-21 (9-17/6)
Dois sacos idˆenticos de ac¸ ´ucar s˜ao ligados por uma cor-da
de massa desprez´ıvel que passa por uma roldana sem
atrito, de massa desprez´ıvel, com mm de diˆametro.
Os dois sacos est˜ao no mesmo n´ıvel e cada um possui
originalmente uma massa de g. (a) Determine a
posic¸ ˜ao horizontal do centro de massa do sistema. (b)
Suponha que g de ac¸ ´ucar s˜ao transferidos de um saco
para o outro, mas os sacos s˜ao mantidos nas posic¸ ˜oes
originais. Determine a nova posic¸ ˜ao horizontal do cen-tro
de massa. (c) Os dois sacos s˜ao liberados. Em que
direc¸ ˜ao se move o centro de massa? (d) Qual ´e a sua
acelerac¸ ˜ao?
(a) Escolha o centro do sistema de coordenadas co-mo
sendo o centro da roldana, com o eixohorizontal
e para a direita e com o eixoZpara baixo. O centro de
massa est´a a meio caminho entre os sacos, emŒBeZMÎ}, onde}´e a distˆancia vertical desde o centro da
roldana at´e qualquer um dos sacos.
(b) Suponha g transferidas do saco da esquerda para
o saco da direita. O saco da esquerda tem massag e
esta ´em{^t43mm. O saco a `direita tem massaY# g e esta´ emmm. A coordenadado centro
de massa ´e ent˜ao
ÕÖ7{7{{3377

213. Y#!]

214. St4Y!33!

215. !E

216. 3!^(mm A coordenadaZainda ´e}. O centro de massa est´a amm do saco mais leve, ao longo da linha que une os doiUs
corpos.
(c) Quando soltos, o saco mais pesado move-se para bai-xo
e o saco mais leve move-se para cima, de modo que
o centro de massa, que deve permanecer mais perto do
saco mais pesado, move-se para baixo.
(d) Como os sacos est˜ao conectados pela corda, que pas-sa
ent˜aotv¯ ´e a acelerac¸ ˜ao de7{. A acelerac¸ ˜ao do centro
pela roldana, suas acelerac¸ ˜oes tem a mesma magni-tude
mas sentidos opostos. Se¯´e a acelerac¸ ˜ao de7,
de massa ´e
¯ÕÖ87{7

217. Stv{¯G3377¯$¯7tT7{
7{37 Aplicando a segunda lei de Newton para cada saco te-mos
saco levesaco pesadoã7{9‡t³ftz7{¯gã79‡t³7¯ Subtraindo a primeira da segunda e rearranjando temos
¯'7tT7{
7{379 Portanto, substituindo na equac¸˜ao para¯ÕÖ , vemos que
¯ÕPÖ

219. 77{3t)77{L9

221. _Y!#!?3t)Y!#!!L

222. %#!1$(*Um/s A acelerac¸ ˜ao ´e para baixo.
E 9-22 (9-19/6)
Um cachorro dekg est´a em um bote de kg que se
encontra aUmda margem (que fica `a esquerda na Fig. 9-
34a). Ele andaGYm no barco, em direc¸˜ao `a margem, e
depois p´ara. O atrito entre o bote e a ´agua ´e desprez´ıvel.
A que distˆancia da margem est´a o cachorro depois da
caminhada? (Sugest˜ao: Veja a Fig. 9-34b. O cachorro
se move para a esquerda; o bote se desloca para a di-reita;
e o centro de massa do sistema cachorro+barco?
Ser´a que ele se move?)
Escolha o eixocomo sendo horizontal, com a ori-gem
na margem, e apontanto para a direita na Fig. 9-
34a. Seja7»äa massa do bote eä-sua coordenada ini-cial.
Seja7»åa massa do cachorro eå-sua coordenada
inicial. A coordenada inicial do centro de massa ´e ent˜ao
Õæ-oçÖ7ÍäL7Íää-337»7»åhåå-Agora o cachorro caminha uma distˆancia‘para a es-querda
do bote. Como a diferenc¸a entre a coordenada
final do boteä/ e a coordenada final do cachorroå¼/ ´e‘, ou sejaä/tTå¼/f‘, a coordenada final do centro
de massa pode tamb´em ser escrita como
ÕPæ/KÖç7ÍäL7ä/äP3377»ååSå¼/http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 16 de 26

223. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
7»äLå¼/7»3ä7»3äL‘7»3å7»åSå¼/Como nenhuma forc¸a horizontal externa atua no siste-ma
bote-cachorro, a velocidade do centro de massa n˜ao
pode mudar. Como o bote e o cachorro estavam inicial-mente
em repouso, a velocidade do centro de massa ´e
zero. O centro de massa permance na mesma posic¸ ˜ao
e, portanto, as duas express˜oes acima paraÕPÖ devem
ser iguais. Isto significa que
7ÍäLä-37»åLÕPæ-HçÖå-è7»Õæ/*äLÖçå¼/37»äL‘37»åhå¼/5Isolando-seå¼/ obtemos
å¼/7ÍäLä-7Í3ä7»3åL7»å-©åtT7Íäh‘

224. E

225. U!3

226. ]

227. 3UFtM

228. E

229. YRY!#m Observe que usamosä -èå-. ´E
estritamente ne-cess
´ario fazer-se isto? Se n˜ao for, qual a vantagem de
se faze-lo?...
Al´em de uma escolha conveniente dos pontos de re-fer
ˆencia, perceba que um passo crucial neste exerc´ıcio
foi estabelecer o fato queä/6t)å¼/‡=‘.
9.2.3 O Momento Linear
E 9-23 (na 6)
Qual o momento linear de um autom´ovel que pesa(KU5! N e est´a viajando a# km/h?
A “moral” deste problema ´e cuidar com as unidades
empregadas:
éR7@'(KU!%##!#'I!)U(*+RI!U!#(kg m/sg na direc¸ ˜ao do movimento.
E 9-24 (9-21/6)
Suponha que sua massa ´e de# kg. Com que veloci-dade
teria que correr para ter o mesmo momento linear
que um autom´ovel de(*U! kg viajando a(!km/h?
Chamando de7åeåa massa e a velocidade do car-ro,
e de7ea “sua” massa e velocidade temos, grac¸as
`a conservac¸˜ao do momento linear,
7Í7åhå

230. S(*U!

231. #!E

232. LE(

233. I! 6U!T!(K+=UUm/s
Poder´ıamos tambem ´deixar a resposta em km/h:
77åå

234. S(*U#EL(

235. $Ykm/h Perceba a importancia ˆde fornecer as unidades ao dar
sua resposta. Este ultimo ´valor nao ˜esta ´no SI, claro.
E 9-25 (9-20/6)
Com que velocidade deve viajar um Volkswagen dekg (a) para ter o mesmo momento linear que um#C(*aU-dillac
deU kg viajando a(KU km/h e (b) para ter a
mesma energia cin´etica?
(a) O momento ser´a o mesmo se7~ê1!ê°Î7ÕÕ,
donde tiramos que
!êu77ÕêÕ#U(*U

236. S(*U!1$(%Ukm/h (b) Desconsiderando o fator(, igualdade de energia
cin´atica implica termos7~ê2ê7ÕÕ, ou seja,
êb7»7ÕêÕXb#U!(KU

237. L(KUF#5#!Ikm/h
E 9-26 (na 6)
Qual o momento linear de um el´etron viajando a uma
velocidade de%%!Ô($G%qT(KÄm/s)?
Como a velocidade do el´etron n˜ao ´e de modo algum
pequena comparada com a velocidadeÔda luz, faz-se
necess´ario aqui usar a equac¸˜ao relativistica para o mo-mento
linear, conforme dada pela Eq. 9-24:
é‰(z7:tŠeåëë

238. %H((?)A(*(zkt+{

239. ]5

240. %!%!%q)(*Ä(!%5(6)(*k{kgÃm/s Sem o fator relativ´ıstico ter´ıamos achado
é„

241. %H((DT(Kk+{E

242. G%‡)(*Ä !qT(Kk hkgÃm/sg ou seja, um valor6

243. ^(A(zt

244. %vezes menor:
éé„
http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 17 de 26

245. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
9.2.4 Conservac¸ ˜ao do Momento Linear
E 9-33 (9-27/6)
Um homem de(K kg, de p´e em uma superf´ıcie de atrito
desprez´ıvel, d´a um chute em uma pedra de«C kg, fa-zendo
com que ela adquira uma velocidade deI5%! m/s.
Qual a velocidade do homem depois do chute?
Como nenhuma forc¸a com componente horizontal atua
no sistema homem-pedra, o momento total ´e conserva-do.
Como tanto o homem como a pedra est˜ao em repou-so
no in´ıcio, o momento total ´e zero antes bem como
depois do chute, ou seja
70ìC*ì37ˆˆ$g onde o sub´ındiceérefere-se `a pedra e o sub´ındice refere-se ao homem. Desta expressa˜o vemos queO
ˆ‡^t707»ì**ˆìtvt

246. 5! !(K]!

247. I%m/sg onde o sinal negativo indica que o homem move-se no
sentido oposto ao da pedra. Note que o sentido da pedra
foi implicitamente tomado como positivo. Note ainda
que a raz˜ao das massas coincide com a raz˜ao dos pesos.
E 9-36 (9-29/6)
Um homem de kg est´a viajando em um carrinho, cuja
massa ´eI% kg, aIm/s. Ele salta para fora do carrinho
de modo a ficar com velocidade horizontal zero. Qual a
variac¸ ˜ao resultante na velocidade do carrinho?
NOTA: na 4edic¸ ˜ao do livro (bem como em algumas
edic¸ ˜oes anteriores) esqueceram-se de fornecer a massa
do carrinho, no enunciado deste exerc´ıcio. Al´em dis-to,
traduziram chart como sendo “carroc¸a”, termo que
tamb´em aparece nas edic¸ ˜oes mais antigas do livro. O
enunciado na 6edic¸ ˜ao est´a correto. Dificilmente uma
carroc¸a poderia ter METADE da massa do passageiro,
n˜ao ´e mesmo?
O momento linear total do sistema homem-carrinho
´e conservado pois n˜ao atuam forc¸as externas com com-ponentes
horizontais no sistema. Chamemos de7åa
massa do carrinho,a sua velocidade inicial, eåsua
velocidade 7»ˆfinal (apos ´o homem haver pulado fora). Sejaa massa do homem. Sua velocidade inicial e ´a mes-ma
do carrinho e sua velocidade final e ´zero. Portanto a
conservac¸ao ˜do momento nos fornece

248. 7͈37»åa¼'=7ÍåhåKg
de onde tiramos a velocidade final do carrinho:
å

249. 7»ˆ7Í3å7Íåa

250. GI!E

251. I!%3I%$U«m/s A velocidade da carrinho aumenta porm/s. Para reduzir sua velocidade o homU5e mDtlfazGcIomfqY5uYe
o carrinho puxe-o para tr´as, de modo que o carrinho seja
impulsionada para a frente, aumentando sua velocidade.
E 9-38 (9-33/6)
O ultimo ´estagio ´de velocidade deCU! um foguete esta ´viajando com uma
m/s. Este ultimo ´estagio ´e ´feito de
duas partes presas por uma trava: um tanque de com-bust
´ıvel com uma massa de% kg e uma c´apsula de
instrumentos com uma massa de(* kg. Quando a tra-va
e ´acionada, uma mola comprimida faz com que as
duas partes se separem com uma velocidade relativa de%5(K m/s. (a) Qual a velocidade das duas partes depois
que elas se separam? Suponha que todas as velocida-des
tˆem a mesma direc¸˜ao. (b) Calcule a energia cin´etica
total das duas partes antes e depois de se separarem e
explique a diferenc¸a (se houver).
(a) Suponha que nenhuma forc¸a externa atue no site-ma
composto pelas duas partes no ultimo ´estagio. ´O mo-mento
total do sistema ´e conservado. Seja7@ía massa
do tanque e7Íåa massa da c´apsula. Inicialmente ambas
est˜ao viajando com a mesma velocidade. Ap´os a trava
ser acionada,7:ítem uma velocidadeCí enquanto que7»åtem uma velocidadeå. Conservac¸˜ao do momento
fornece-nos

252. 7@í37ÍåÙ¼R7@íCí37»åSå* Ap´os a trava ser solta, a c´apsula (que tem menos massa)
viaja com maior velocidade e podemos escrever
åƒCí3ÜaîïSg ondeÜaîï ´e a velocidade relativa. Substituindo esta ex-press
˜ao na equac¸˜ao da conservac¸˜ao do momento obte-mos

253. 7í©37å¼R7íí©37ååF37ÍÔeÜaîïg de modo que
åð

254. 7@í377»í|åÙS3‡7tTå7ÍåhÜaîïhttp://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 18 de 26

255. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
‡t7:í73í7»åÜaîï
CU!jt%!(*3(

256. %(K1%m/s A velocidade final da c´apsula ´e
åº=Cí3Üaîï$%3%(*?$#!m/s (b) A energia cin´etica total antes da soltura da trava ´e
,-{
{

257. 7í37åS

258. %3(E

259. U!!“(!(?T(K{šJ A energia cin´etica total ap´os a soltura da trava ´e
,:/{
7:íí3{
{7»åhå

260. %!]

261. %3{
(!‡)(*{š

262. S(E

263. #!!J A energia cin´etica total aumentou levemente. Isto deve-se
`a convers˜ao da energia potencial el´astica armazenada
na trava (mola comprimida) em energia cin´etica das par-tes
do foguete.
E 9-39 (9-39/6)
Uma caldeira explode, partindo-se em trˆes pedac¸os.
Dois pedac¸os, de massas iguais, s˜ao arremessados em
trajet´orias perpendiculares entre si, com a mesma velo-cidade
deI m/s. O terceiro pedac¸o tem uma massa
trˆes vezes a de um dos outros pedac¸os. Qual o m´odulo,
direc¸ ˜ao e sentido de sua velocidade logo ap´os a ex-plos
˜ao?
Suponha que n˜ao haja forc¸a externa atuando, de modo
que o momento linear do sistema de trˆes pec¸as seja con-servado.
Como o momentum antes da explos˜ao era zero,
ele tamb´em o ´e ap´os a explos˜ao. Isto significa que o ve-tor
velocidade dos trˆes pedac¸os est˜ao todos num mesmo
plano.
Escolha um sistema de coordenadasXY, com o eixo ver-tical
sendo o eixoZ, positivo para cima. A partir da
origem deste diagrama, desenhe na direc¸˜ao negativa do
eixo X o vetorI7:ñ , correspondente ao momento da
part´ıcula mais pesada. Os dois outros momentos sao ˜re-presentados
por vetoresapontando num anguloˆ{ no primeiro quadrante e¢7@Ç no quarto quadrante, de mo-do
¢que¢{3¢=%J(condic¸˜ao do problema).
Como a componente vertical do momento deve conser-var-
se, temos com as convenc¸ ˜oes acima, que
7@sen¢{tT7:sen¢R5g onde´e a velocidade dos pedac¸os menores. Portan-to
devemos necessariamente ter que¢{²¢e, como¢{3¢R%!!J, temos que¢{R¢YJ.
Conservac¸˜ao da componentedo momento produz
I7ÈC7@›EœG¢{ Consequentemente, a velocidadeÈdo pedac¸o maior ´e
È+º›EœG¢{+

264. I!!m/sno sentido negativo do eixovelocidade do pedac¸o maior e G]›!œGYJ“(KYg . O angulo ˆentre o vetor
qualquer um dos pedac¸os
menores e
´(*#JtTYJ“(KIJ
9.2.5 Sistemas de Massa Vari´avel: Um Foguete
E 9-48 (9-41/6)
Uma sonda espacial deU%! kg, viajando para J´upiter
com uma velocidade de(Km/s em relac¸˜ao ao Sol, acio-na
o motor, ejetando# kg de gases com uma velocidade
deI m/s em relac¸ ˜ao `a sonda. Supondo que os gases
s˜ao ejetados no sentido oposto ao do movimento inicial
da sonda, qual a sua velocidade final?
Ignore a forc¸a gravitacional de J´upiter e use a Eq. (9-
47) do livro texto. Se- ´e a velocidade inicial,¹u-´e a
massa inicial,/ ´e velocidade final,¹u/´e a massa final,
eò´e a velocidade do g´as de exaust˜ao, ent˜ao
/‡=-3ò˜óoô¹u¹/-Neste problema temos¹u-fU!%kg e#!6RU5(K¹u/.^U!%?tkg. Portanto
/‡f(*!3I2óoô”UU!5%(K•“(K!#m/s
E 9-49 (9-43/6)
Um foguete em repouso no espac¸o, em uma regi˜ao em
que a forc¸a gravitacional ´e desprez´ıvel, tem uma massa
de!2‡(K·kg, da qual(!#5(6(*·kg s˜ao combust´ıvel.
O consumo de combust´ıvel do motor ´e deY!#! kg/s e a
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265. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
velocidade de escapamento dos gases ´e deI ! km/s. O
motor ´e acionado durante s. (a) Determine o em-puxo
do foguete. (b) Qual ´e a massa do foguete depois
que o motor ´e desligado? (c) Qual ´e a velocidade final
do foguete?
(a) Como se ve no texto logo abaixo da Eq. 9-46, o
empuxo do foguete ´e dado por’´ò, onde´´e a taxa
de consumo de combust´ıvel eò´e a velocidade do gas
exaustado. No presente problema temos´fY#kg eò@$I !‡T(K+m/s, de modo que
’´ò:f

266. Y#E

267. I5‡)(*+]2^( !‡T(KÁN (b) A massa do combust´ıvel ejetado ´e dada por¹uåJ×ä´r®, onder®´e o intervalo de tempo da quei-ma
de combust´ıvel. Portanto
¹uåJ×ä2B

268. Y#E

269. !P^( 'T(K·kg A massa do foguete ap´os a queima ´e
¹u/‡=¹u-©tŒ¹låJ×äõ

270. G ˜tM( p)(*·
(I!q)(*·kg (c) Como a velocidade inicial ´e zero, a velocidade final
´e dada por
/ò˜óoô¹u¹X/-

271. I! !#'‡)T(*(K++Kóoô”(!I!qq))(*(*··•m/s
E 9-56 (9-47/6)
Duas longas barcac¸as est˜ao viajando na mesma direc¸˜ao
e no mesmo sentido em ´aguas tranq¨uilas; uma com
uma velocidade de(K km/h, a outro com velocidade
de km/h. Quando est˜ao passando uma pela outra,
oper´arios jogam carv˜ao da mais lenta para a mais r´apida,
`a raz˜ao de(K! kg por minuto; veja a Fig. 9-38. Qual
a forc¸a adicional que deve ser fornecida pelos motores
das duas barcac¸as para que continuem a viajar com as
mesmas velocidades? Suponha que a transferˆencia de
carv˜ao se d´a perpendicularmente `a direc¸˜ao de movimen-to
da barcac¸a mais lenta e que a forc¸a de atrito entre as
embarcac¸ ˜oes e a ´agua n˜ao depende do seu peso.
9.2.6 Sistemas de Part´ıculas: Variac¸ ˜oes na Energia
Cin´etica
E 9-60 (9-55/6)
Uma mulher de !kg se agacha e depois salta para cima
na vertical. Na posic¸˜ao agachada, seu centro de massa
est´aY cm acima do piso; quando seus p´es deixam o
ch˜ao, o centro de massa est´a%! cm acima do piso; no
ponto mais alto do salto, est´a( cm acima do piso. (a)
Qual a forc¸a m´edia exercida sobre a mulher pelo piso,
enquanto h´a contato entre ambos? (b) Qual a velocida-de
m´axima atingida pela mulher?
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272. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
10 Colis˜oes
10.1 Quest˜oes
Q 10-1
Explique como a conservac¸˜ao de energia se aplica a uma
bola quicando numa parede.
10.2 Problemas e Exerc´ıcios
10.2.1 Impulso e Momento Linear
E 10-3 (10-1/6edic¸ ˜ao)
Um taco de sinuca atinge uma bola, exercendo uma
forc¸a m´edia de N em um intervalo de(K ms. Se a
bola tivesse massa de kg, que velocidade ela teria
ap´os o impacto?
Se€for a magnitude da forc¸a m´edia ent˜ao a magni-tude
do impulso ´eöl€r®, onder®´e o intervalo de
tempo durante o qual a forc¸a ´e exercida (veja Eq. 10-8).
Este impulso iguala a magnitude da troca de momen-tum
da bola e como a bola est´a inicialmente em repouso,
iguala a magnitude7@ do momento final. Resolvendo
a euqac¸˜ao€r®7@paraencontramos
'ž€7r®

273. !E

274. L(K' T(Kk+G m/s
E 10-9 (10-5/6)
Uma forc¸a com valor m´edio de(* N ´e aplicada a uma
bola de ac¸o deY! kg, que se desloca a(]Y m/s, em uma
colisao ˜que dura ms. Se a forc¸a estivesse no senti-do
oposto ao da velocidade inicial da bola, encontre a
velocidade final da bola.
Considere a direc¸˜ao inicial do movimento como po-sitiva
e chame de€a magnitude da forc¸a m´edia,r®a
durac¸˜ao da forc¸a,7 a massa da bola,-a velocidade
inicial da bola,/a velocidade final da bola. Ent˜ao a
forc¸a atua na direc¸ ˜ao negativa e o teorema do impulso-momento
fornece
t€r®R7:/6t)7@-L
Resolvendo para/ obtemos
/-©t“€7r®(]Y?t

275. S(*E

276. DY!T(Kk+“tvUm/s A velocidade final da bola ´eU m/s.
P 10-12 (10-9/6)
Um carro deKY!! (kg, deslocando-se aIm/s, esta ´ini-cialmente
viajando para o norte, no sentido positivo do
eixoZ. Ap´os completar uma curva `a direita de%!Jpara
o sentido positivo do eixoemY5Us, o distraido moto-rista
investe para cima de uma arvore, ´que para ´o carro
emI! ms. Em notac¸ ˜ao de vetores unit´arios, qual ´e o
impulso sobre o carro (a) durante a curva e (b) durante a
colis˜ao? Qual a intensidade da forc¸a m´edia que age so-bre
o carro (c) durante a curva e (d) durante a colis˜ao?
(e) Qual ´e o ˆangulo entre a forc¸a m´edia em (c) e o senti-do
positivo do eixo?
(a) O momento inicial do carro ´e
÷-=7@Ç)f

277. S(KY!!!E

278. GI!oø4f

279. YkgÃm/soø e o momento final ´e

280. CY kgÃm/sSù. O impulso que nele
atua ´e igual `a variac¸˜ao de momento:
ú÷/Dt÷-B

281. CYkgÃm/sE

282. ù©t
øE (b) O momento inicial do carro ´e÷-ºÎ

283. YkgÃm/se o momento final e´Lù÷/»†, uma vez que ele para. O
impulso atuando sobre o carro ´e
ú÷/Dt÷-ft6

284. YkgÃm/sLù (c) A forc¸a m´edia que atua no carro ´e
ÆŠrr÷®rú®

285. Y kgÃm/sYU]

286. ùtøC

287. L(KU(*I NE

288. ùt
ø e sua magnitude ´e€Š°x

289. S(KU!NI!¡°ûUBnN.
(d) A forc¸a m´edia ´e
ÆŠjrú®

290. St˜CYkgÃm/sI!')(*k+Sùhttp://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 21 de 26

291. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42

292. St4G(!(]YIN

293. St4GH(DT(K1‚ùNFù e sua magnitude ´eÆŠ?GH(?)(*‚N.
(e) A forc¸a m´edia ´e dada acima em notac¸˜ao vetorial
unit´aria. Suas componenteseZtem magnitudes
iguais. A componente´e positiva e a componentee´ negativa, de modo que a forc¸a esta´ aZY!J abaixo do
eixo.
P 10-13 (10-??/6)
A forc¸a sobre um objeto de(K kg aumenta uniforme-mente
de zero a N emYs. Qual ´e a velocidade final
do objeto se ele partiu do repouso?
Tome a magnitude da forc¸a como sendo€$¥®, on-de
¥´e uma constante de proporcionalidade. A condic¸˜ao
que€$N quando®RYs conduz a
¥$B

294. Nh

295. Y s“(G N/s A magnitude do impulso exercido no objeto ´e
ö»½š‚€‘®½š‚¥®‘®{
¥®üüü‚š
{
(*

296. S(G ]

297. YNÃs A magnitude deste impulso ´e igual `a magnitude da
variac¸ ˜ao do momento do objeto ou, como o objeto par-tiu
do repouso, e´ igual m` agnitude do momento final:ö»=7@/. Portanto
/7ö(*(K“(*m/s
P 10-14 (10-13/6)
Uma arma de ar comprimido atira dez chumbinhos deg por segundo com uma velocidade de m/s, que
s˜ao detidos por uma parede r´ıgida. (a) Qual ´e o mo-mento
linear de cada chumbinho? (b) Qual ´e a energia
cin´etica de cada um? (c) Qual ´e a forc¸a m´edia exercida
pelo fluxo de chumbinhos sobre a parede? (d) Se ca-da
chumbinho permanecer em contato com a parede porUms, qual ser´a a forc¸a m´edia exercida sobre a parede
por cada um deles enquanto estiver em contato? (e) Por
que esta forc¸a ´e t˜ao diferente da forc¸a em (c)?
(a) Se7for a massa dum chumbinho efor sua ve-locidade
quando ele atinge a parede, ent˜ao o momento
´e
éR7:'B

298. 'T(Kk+]]

299. !2f(kgÃm/sg na direc¸˜ao da parede.
(b) A energia cin´etica dum chumbinho ´e
,{
7:{

300. ')(*k+KE

301. =!J (c) A forc¸a na parede ´e dada pela taxa na qual o momen-to
´e transferido dos chumbinhos para a parede. Como
os chumbinhos n˜ao voltam para tr´as, cada chumbinho
transfereéB(kgÃm/s. SerÀ^(*chumbinhos co-lidem
num tempor®†(segundo, ent˜ao a taxa m´edia
com que o momento ´e transferido ´e
€ŠDérr®À

302. S(!](

303. S(*!f(*N A forc¸a na parede tem a direc¸˜ao da velocidade inicial
dos chumbinhos.
(d) Ser®´e o intervalo de tempo para um chumbinho
ser freado pela parede, ent˜ao a forc¸a m´edia exercida na
parede por chumbinho ´e
€Šré®5U
T((Kk+^(KUU!UUN A forc¸a tem a direc¸˜ao da velocidade inicial do chumbi-nho.
(e) Na parte (d) a forc¸a foi mediada durante o interva-lo
em que um chumbinho est´a em contato com a parede,
enquanto na parte (c) ela foi mediada durante o intervalo
de tempo no qual muitos chumbinhos atingem a parede.
Na maior parte do tempo nenhum chumbinho est´a em
contato com a parede, de modo que a forc¸a m´edia na
parte (c) ´e muito menor que a m´edia em (d).
P 10-26 (10-15/6)
Uma espac¸onave ´e separada em duas partes detonando-se
as ligac¸ ˜oes explosivas que as mantinham juntas. As
massas das partes s˜ao(*! e(*#! kg; o m´odulo do im-pulso
sobre cada parte ´e deI! NÃs. Com que velocida-de
relativa as duas partes se separam?
Consideremos primeiro a parte mais leve. Suponha
Seja7{,{a massa e a velocidade da parte mais
que o impulso tenha magnitudeöe esteja no sentido po-sitivo.
leve ap´os as ligac¸ ˜oes explodirem. Suponha que ambas
as partes est˜ao em repouso antes da explos˜ao. Ent˜ao,¹ýR7{{, de modo que
{7ö{(I!$ m/s http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 22 de 26

304. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
O impulso na parte mais pesada tem a mesma magnitu-de
mas no sentido oposto, de modo quet?öÎ7,
onde7,s˜ao a massa e a velocidade da parte mais
pesada. Portanto
ft7öft(*I!#!^tvH(KUm/s A velocidade relativa das partes ap´os a explos˜ao ´e
˜t

305. StvH(KUF=5Y( m/s P 10-28 (10-38/6)
A espac¸onave Voyager 2 (de massa7 e velocidaderelativa ao Sol) aproxima-se do planeta Ju´piter (de mas-
sa¹ e velocidadeÈ relativa ao Sol) como mostra a
Fig. 10-33. A espac¸onave rodeia o planeta e parte no
sentido oposto. Qual ´e a sua velocidade, em relac¸ ˜ao ao
Sol, ap´os este encontro com efeito estilingue? Conside-ra
M[(km/s eÈ[(KI km/s (a velocidade orbital
de J´upiter). A massa de J´upiter ´e muito maior do que a
da espac¸onave;¹ýþÓ7. (Para informac¸ ˜oes adicionais,
veja “The slingshot effect: explanation and analogies”,
de Albert A. Bartlett e Charles W. Hord, The Physics
Teacher, novembro de 1985.)
Considere o encontro num sistema de referˆencia fixo
em J´upiter. Quando eventuais perdas de energia forem
desprez´ıveis, o encontro pode ser pensado como uma
colis˜ao el´astica na qual a espac¸onave emerge da “co-lis
˜ao” com uma velocidade de mesma magnitude que a
velocidade que possuia antes do encontro. Como a ve-locidade
inicial da espac¸onave ´e
-PR3Èf(*3(KI6=!km/s
medida Í/encia ˆQ!a partir de Jupiter, ´ela se afastara ´de Jupiter ´comkm/s. Passando para o sistema original de re-fer
no qual o Sol esta ´em repouso, tal velocidade e
´dada por
/„R/3È$3(KI6$I#km/s
10.2.2 Colis˜oes El´asticas em Uma Dimens˜ao
E 10-29 (10-35/6)
Os blocos da Fig. 10-34 deslizam sem atrito. (a) Qual ´e
a velocidadeÇdo bloco de(!Ukg ap´os a colis˜ao? (b) A
colis˜ao ´e el´astica? (c) Suponha que a velocidade inicial
do bloco deGYkg seja oposta `a exibida. Ap´os a colis˜ao,
a velocidadeÇdo bloco de(!Ukg pode estar no sentido
ilustrado?
(a) Seja7{,{-e{/a massa e a velocidade inicial
e final do bloco a `esquerda, eegrandezas do bloco a `7direita. ,-O /as corres-pondentes
momento do
sistema composto pelos dois blocos ´e conservado, de
modo que
7{{-37-R7{{/j37/g donde tiramos que
{/7{{-377{-©t)7/
3G(YU—G ˜t)Y%™4“(!%m/s O bloco continua andando para a direita ap´os a colis˜ao.
(b) Para ver se a colis˜ao ´e inel´astica, comparamos os va-lores
da energia cin´etica total antes e depois da colis˜ao.
A energia cin´etica total ANTES da colis˜ao ´e
,.-è{
®(7

306. S{(!U{E-

307. 3!®(73®(-

308. YE

309. G =I(! J A energia cin´etica total DEPOIS da colis˜ao ´e
,/{
7{{/3{
{7/

310. L(U!E

311. L(%!3{

312. YE

313. Y%$I(! J Como,.-=,0/, vemos que a colis˜ao ´e el´astica,
(c) Neste {/caso 7{{-temosm/s e
-ft4{-GtT7 /
G 3377(!YU—ŒtjtTY5%™^t4GUm/s Como o sinal indica, a velocidade deve opor-se ao sen-tido
mostrado.
E 10-33 (10-37/6)
Um carro deIY! g de massa, deslocando-se em um tri-lho
(!de ar linear sem atrito, a uma velocidade inicial dem/s, atinge um segundo carro de massa desconhe-cida,
inicialmente em repouso. A colisao ˜entre eles e
´el´astica. Ap´os a mesma, o primeiro carro continua em
seu sentido original a5m/s. (a) Qual ´e a massa do se-gundo
carro? (b) Qual ´e a sua velocidade ap´os o impac-to?
(c) Qual a velocidade do centro de massa do sistema
formado pelos dois carrinhos?
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314. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
(a) Seja7{,{-,{/a massa e as velocidades inicial
e final do carro que originalmente se move. Seja7e/a massa e a velocidade final do carro originalmente
parado (-
N. Ent˜ao, de acordo com a Eq. 10-18,
temos
{/7{7{3tT77{-Desta express˜ao obtemos para7:
7{{-|/˜tT3{{/-7{
((!!j3tŒUU

315. IYg=%%g (b) A velocidade do segundo carro ´e dada por
/qC7{
7{37{-è(%I5Y

316. 53IY!!%!%

317. L( m/s (c) A velocidade do centro de massa do sistema formado
pelos dois carrinhos satisfaz a equac¸˜ao
¤fB

318. 7{37SÕÖ7{{-37-h Lembrando que-FR, temos
ÕÖ77{3{{7-

319. IIY!Y!]3

320. S(% =%Im/s Observe que usamos gramas em vez de kilogramas.
E 10-34 (10-41/6)
Um corpo deGkg de massa colide elasticamente com
outro em repouso e continua a deslocar-se no sentido
original com um quarto de sua velocidade original. (a)
Qual ´e a massa do corpo atingido? (b) Qual a veloci-dade
do centro de massa do sistema formado pelos dois
corpos se a velocidade inicial do corpo deGkg era deY5m/s?
(a) Sejam7{,{-,{/a massa e as velocidades antes
e depois da colis˜ao do corpo que se move originalmen-te.
Sejam7e/a massa e a volcidade final do corpo
originalmente em repouso. De acordo com a Eq. 10-18
temos
{/77{{3tT77{-Resolvendo para7obtemos, para{/={-CY,
7{{-/tT3{{/-7{((zt£Y3(CY(

321. 7{
I

322. G!2“(!kg (b) A velocidade do centro de massa do sistem formado
pelos dois corpos satisfaz a equac¸ ˜ao
¤“B

323. 7{37¼ÕÖ87{{-37- Resolvendo paraÕPÖ com-$encontramos
ÕPÖÒ77{3{{7-

324. GE3

325. Y(!=m/s
E 10-37 (10-43/6)
Duas esferas de titˆanio se aproximam frontalmente com
velocidades de mesmo m´odulo e colidem elasticamente.
Ap´os a colis˜ao, uma das esferas, cuja massa ´e deI! g,
permanece em repouso. Qual ´e a massa da outra esfera?
Seja7{,{-,{/a massa e as velocidades antes e
depois da colis˜ao de uma das part´ıculas e7,-,/a
massa e as velocidades antes e depois da colis˜ao, da ou-tra
part´ıcula. Ent˜ao, de acordo com a Eq. 10-28, temos
{/q77{{3t)77{-37{C737-LSuponha que a esfera(esteja viajando originalmente no
sentido positivo e fique parada ap´os a colis˜ao. A esferaesta´ viajando originalmente no sentido negativo. Subs-
tituindo{-N,-ÿtz e{/Ûna express˜ao
acima, obtemos6R7{tTI7. Ou seja,
77{
II gI“(K!g
10.2.3 Colis˜oes Inel´asticas em Uma Dimens˜ao
E 10-41 (10-23/6)
Acredita-se que a Cratera do Meteoro, no Arizona
(Fig. 10.1), tenha sido formada pelo impacto de um me-teoro
com a Terra ha ´cerca de 20.000 anos. Estima-se a
massa ! do meteoro em
Œ(K{škg e sua velocidade emm/s. Que velocidade um meteoro assim transmiti-ria
`a Terra numa colis˜ao frontal?
Seja7×a massa do meteoro e7@Ø a massa da Terra.
Seja×a velocidade do meteoro imediatamente antes
da colisao ˜ea velocidade da Terra (com o meteoro)
apos ´a colisao. ˜O momento do sistema Terra-meteoro e
´http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 24 de 26

326. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
conservado durante a colis˜ao. Portanto, no sistema de
referˆencia Terra antes da colis˜ao temos
7××B

327. 7×37ÍØF¼g de modo que encontramos para
'7××377Í×Ø

328. !]

329. qT(K{šU
G)%#'(*)k(*{Ù{‚3'T(K{šm/s Para ficar mais f´acil de imaginar o que seja esta velo-cidade
note que, comoIU–CY@~IU!0°I5(*I!U!,
temos
U
)(*k{Ù{ m/sU
)(*k{Ù{

330. I(*IU!m/ano
(*#% m/ano
(#% mm/ano ´E
uma velocidade MUITO dif´ıcil de se medir, n˜ao?...
E 10-42 (10-21/6)
Um tren´o em forma de caixa deUkg est´a deslocando-se
sobre o gelo a uma velocidade de%m/s, quando um pa-cote
de(* kg ´e largado de cima para dentro dele. Qual
´e a nova velocidade do tren´o?
Precisamos considerar apenas a componente horizon-tal
do momento do tren´o e do pacote. Seja7í,ía mas-sa
e a velocidade inicial do tren´o. Seja7ì, a massa do
pacote evelocidade final do conjunto tren´o3pacote.
A componente horizontal do momento deste conjunto
conserva-se de modo que
7@í¼CíFB

331. 7@í37ì¼g de onde tiramos
'7Cí©í¼37:70íìU

332. %3E

333. U!($Im/s
P 10-53 (10-29/6)
Um vag˜ao de carga deI t colide com um carrinho auxi-liar
que est´a em repouso. Eles se unem e
da energia
cinetica ´inicial e ´dissipada em calor, som, vibrac¸ oes, ˜etc.
Encontre o peso do carrinho auxiliar.Ȍ 7
Seja7ÍŠeŠ a massa e a velocidade inicial do vagao,˜a massa do carrinho auxiliar ea velocidade fi-nal
dos dois, depois de grudarem-se. Conservac¸ao ˜do
momento total do sistema formado pelos dois carros
fornece-nos7@ŠŠ?^

334. 7@Š37Íåa¼ donde tiramos
77ÍŠƒ3Š7ŠåA energia cin´etica inicial do sistema ´eenquanto que a energia cine´tica final e´,-²7ŠŠ
,/{

335. 7Šz37å¼
{
{

336. 7@Š37»åÙ

337. 7@

338. 7Š3Š7»Šåa
77@Šp3Š7ŠåComo!
da energia cin´etica original ´e perdida, temos,:/6=5 I2,.-, ou seja,{
7@7ÍŠ3Š7»Šå$«CI{
7ŠŠgque, simplificada, fornece-nos7ŠG

339. 7Šz37åºs5 I.
Resolvendo para7åencontramos
7Íå «!CI7@Š?=5I7ÍŠ(

340. GI%!]

341. Itoneladas(G%!q)(*+kg A raz˜ao das massas ´e, obviamente, a mesma raz˜ao dos
pesos e, chamando de¤PŠ o peso do vag˜ao, temos que o
peso¤do carrinho auxiliar ´e
¤f=5IC¤PŠ(*

342. U5I%5E(˜

343. I!Tq(K)!+(*+]]

344. %5#N Observe que o resultado final n˜ao depende das velocida-des
em jogo.
10.2.4 Colis˜oes em Duas Dimens˜oes
E 10-63 (10-49/6)
Em um jogo de sinuca, a bola branca atinge outra ini-cialmente
em repouso. Ap´os a colis˜ao, a branca desloca-se
aI m/s ao longo de uma reta em ˆangulo de!Jcom
a sua direc¸˜ao original de movimento, e o m´odulo da ve-locidade
da segunda bola ´e dem/s. Encontre (a) o
ˆangulo entre a direc¸ ˜ao de movimento da segunda bola e
a direc¸ ˜ao de movimento original da bola branca e (b) a
velocidade original da branca. (c) A energia cin´etica se
conserva?
http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 25 de 26

345. LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, `as 10:42
(a) Use a Fig. 10-20 do livro texto e considere a bo-la
branca como sendo a massa7{e a outra bola como
sendo a massa7. Conservac¸˜ao das componentese do momento total do sistema formado pelas duas bolaZs
nos fornece duas equac¸ ˜oes, respectivamente:
7@{-ý7@tz7@{/{›E/œ!¢{37@/›EœG¢sen¢{37:/senObserve que as massa podem ser simplificada¢sem am-bas
equac¸ ˜oes. Usando a segunda equac¸˜ao obtemos que
sen¢{//sen¢{I5senJ$U!U Portanto o ˆangulo ´e¢RY(J.
(b) Resolvendo a primeria das equac¸ ˜oes de conservac¸˜ao
acima para{-encontramos
{-è{/›EœG¢{3/2›]œ!G¢

346. I5!G›Eœ5J3

347. G!G›]œ!GY(JY m/s (c) A energia cin´etica inicial ´e
,.-{
7@-{
7Œ

348. Y ^((!I7) A energia cin´etica final ´e
,/{
7:{/3{
{7@/
7$Ÿ

349. I 3

350. v=#H(]7T Portanto a energia cin´etica n˜ao ´e conservada.
10.2.5 Problemas Adicionais
http://www.if.ufrgs.br/jgallas P´agina 26 de 26