O documento apresenta um resumo de um material didático sobre álgebra linear e geometria analítica. O texto introduz conceitos básicos de matrizes e sistemas lineares, aborda operações com vetores e matrizes, e discute aplicações destes conceitos em espaços vetoriais bidimensionais e tridimensionais.

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Geometria Anal´ıtica e ´Algebra
Linear
Professor
Dr. Wanderson Santana
PhD. Instituto Nacional de
Pesquisas Espaciais - INPE
Justificativa:
A ´algebra linear est´a preocupada com os espa¸cos vetoriais de
todas as dimens˜oes, al´em das transforma¸c˜oes lineares entre
esses espa¸cos, incluindo os sistemas de equa¸c˜oes lineares, bases
dimensionais, subespa¸cos, opera¸c˜oes entre matrizes, determi-
nantes, tra¸cos, auto-valores e auto-vectores, diagonaliza¸c˜ao,
formas Jordan, e assim por diante.
Este material deve servir para apoi´a-lo nos estudos. Sendo
assim, tentamos desenvolver uma compila¸c˜ao que tentar´a
articular ao m´aximo o uso de exemplos como estrat´egio de
entendimento do aluno. Esta observa¸c˜ao ´e v´alida porque o
texto aqui apresentado tem como foco principal os alunos das
Engenharias, em suas diversas modalidades. Assim procuramos
desenvolver o texto enfatizando sempre o exemplo. Isso
tamb´em ´e o que justifica o fato de n˜ao sermos t˜ao rigorosos
com in´umeros princ´ıpios de tratamentos matem´aticos mais
formais.
Espero que este material possa ser ´util aos seus estudos, e
que issa iniciativa venha de algumar forma a contribuir para o
desenvolvimento do nosso pa´ıs.
Ao trabalho!
Copyright is held by the author.
Criation: Bwallafisic@gmail.com, 26/02/2016, Vit´oria/ES.
Objetivo da mat´eria:
O aluno quando entra na Faculdade tem muitas expectativas e
certa ansiedade em rela¸c˜ao ao curso que ir´a realizar, ansiedade
esta que recai sobre as primeiras disciplinas a cursar. N˜ao s˜ao
raras as perguntas:
• Para que serve o que eu estou aprendendo neste ou na-
quele assunto?
• Onde vou utilizar isto ou aquilo que aprendi no meu curso?
Al´em destas perguntas, o aluno tem certas incertezas e muitos
deles deixam as mat´erias do c´ıclo b´asico de lado, achando que
nunca ir˜ao utilizar o que aprenderam em ´algebra ou em qualquer
outra disciplina do b´asico. L´a na frente o aluno verifica que foi
um tremendo engano, mas j´a ´e tarde.
A partir desta realidade propomos aos alunos dos cursos de
Engenharias e exata de maneira geral que reflitam sobre sua
postura em sala, seus compromissos e clareza dos seus objetivos.
O conte´udo deste material ´e um recurso adicional `a disciplina
de Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear.
No decorrer do texto, existem exerc´ıcios. Eles foram inclu´ıdos
com o objetivo de testar o entendimento do assunto tratado
anteriormente. ´E importante que o aluno fa¸ca esses exerc´ıcios,
pois eles s˜ao necess´arios para o seu amadurecimento.
A seguir, apresenta-se o conte´udo deste material.
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Conte´udo:
• Introdu¸c˜ao: defini¸c˜oes b´asicas de matrizes e sistemas
lineares
• Matrizes, determinantes e sistemas lineares:
– Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares
– Sistemas e matrizes
– Opera¸c˜oes elementares
– Forma escalonada
– Solu¸c˜ao de um sistema de equa¸c˜oes
• Vetores no plano e no espa¸co:
– Espa¸co vetorial
– Espa¸cos e subespa¸cos vetoriais
– Combina¸c˜ao Linear
– Dependˆencia e independˆencia linear
– Base de um espa¸co vetorial
– Mudan¸ca de base
• O Espa¸co Vetorial R2
:
– O conjunto R2
– Igualdade e opera¸c˜oes com pares ordenados
– Opera¸c˜oes com vetores: adi¸c˜ao, subtra¸c˜ao e multi-
plica¸c˜ao por escalar
• Produto Interno no Espa¸co Vetorial R2
:
– Produto escalar entre dois vetores
– Norma euclidiana de um vetor
– Distˆancia entre dois pontos
– Paralelismo e ortogonalidade entre vetores
– ˆAngulo entre dois vetores
• Estudo da Reta no Espa¸co R2
:
– Equa¸c˜ao da reta
– Declividade
– Coeficiente angular
– Interse¸c˜ao de retas
– Aplica¸c˜oes
• Retas e Planos no Espa¸co Tridimensional:
– Geometria Anal´ıtica no Espa¸co Vetorial R3
e RN
– O espa¸co vetorial R3
– Produto interno no espa¸co R3
– Produto vetorial e produto misto
– ´Areas e volumes
– Equa¸c˜ao da reta
– Equa¸c˜ao do plano
– Equa¸c˜ao das superf´ıcies esf´ericas
– O espa¸co vetorial RN
• Cˆonicas e Superf´ıcies:
– Elipse
– Hip´erbole
– Par´abola
– Transla¸c˜ao de eixos
– Rota¸c˜ao de eixos
• Estudo da Circunferˆencia:
– Defini¸c˜ao
– Equa¸c˜ao canˆonica
– Equa¸c˜ao do segundo grau
– Interse¸c˜ao de reta e circunferˆencia
– Interse¸c˜ao de circunferˆencias
• Transforma¸c˜oes Lineares:
– Transforma¸c˜ao do plano no plano
– N´ucleo e imagem de uma transforma¸c˜ao linear
– Conceitos e teoremas
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– Representa¸c˜ao de transforma¸c˜oes lineares por matri-
zes
– Transforma¸c˜oes entre espa¸cos de dimens˜oes variadas
• Autovalores e Autovetores:
– Conceitos te´oricos
– Polinˆomios caracter´ısticos
– C´alculo de autovalores e autovetores
– Estrat´egias para a constru¸c˜ao do conhecimento
Keywords
´Algebra, informa¸c˜ao, tecnologia
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1 Introdu¸c˜ao: defini¸c˜oes b´asicas de matrizes e
sistemas lineares
Resumo
Os sistemas de equa¸c˜oes alg´ebricas lineares e suas solu¸c˜oes cons-
tituem um dos principais t´opicos estudados em cursos conheci-
dos como “´algebra linear”. Nesta introdu¸c˜ao, de maneira sutil
n´os iremos introduzir a aplica¸c˜ao de algumas terminologias im-
portantes para compreens˜ao dos conte´udos a seguir.
1.1 Matrizes
Uma matriz A, m × n (lˆe-se, m por n), ´e uma tabela de mn
n´umeros dispostos em m linhas e n colunas, ou seja:
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





.
´E praxe ser referir uma determinada linha de interesse como a
i-´esima linha de A, ou seja:
ai1 ai2 . . . ain ,
para i = 1, . . . , m. No caso de uma coluna de interesse, nos
referimos a ela como a j-´esima coluna de A:





a1j
a2j
...
amj





,
para j = 1, . . . , n.
Usamos ainda a nota¸c˜ao A = (aij)m×n, em que aij ´e o ele-
mento ou a entrada da posi¸c˜ao i, j da matriz A.
Por fim, se m = n, dizemos que A ´e uma matriz quadrada de
ordem n e os elementos a11, a22, . . . , ann formam a diagonal
(principal) de A.
Exemplo
Considere as seguintes matrizes:
A =
1 2
3 4
; B =
−2 1
0 3
; C =
1 3 0
2 4 −2
D = 1 3 −2 ; E =


1
4
−3

 ; F = 3
As matrizes A e B s˜ao 2×2. A matriz C ´e 2×3, D ´e 1×3,
E ´e 3×1 e F ´e 1×1. De acordo com a nota¸c˜ao que intro-
duzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes
dadas acima s˜ao a12 = 2, c23 = −2, [A]22 = 4, [D]12 = 3.
Uma matriz que s´o possui uma linha ´e chamada matriz
linha, e uma matriz que s´o possui uma columa ´e chamada
matriz coluna. Neste exemplo, a matriz D ´e uma matriz
linha e a matriz E ´e uma matriz coluna. Matrizes linha e
coluna s˜ao chamadas de vetores. Veremos isso em breve...
Consideramos duas matrizes iguais se elas tˆem o mesmo ta-
manho e os elementos correspondentes s˜ao iguais, ou seja,
A = (aij)m×n e B = (bij)p×q s˜ao iguais se m = p, n = q
e aij = bij.
1.2 Opera¸c˜oes com Matrizes
Nesta se¸c˜ao vamos definir opera¸c˜oes matriciais an´alogas `as ope-
ra¸c˜oes com n´umeros e provar propriedades que s˜ao v´alidas para
essas opera¸c˜oes. Come¸camos com o conceito de soma.
Defini¸c˜ao ¶ Soma
A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = (aij )m×n e B =
(bij )m×n ´e definida como sendo a matriz m × n:
C = A + B,
obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja:
cij = aij + bij ,
para i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n. Escrevemos tamb´em [A + B]ij =
aij + bij .
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Acompanhe o exemplo a seguir.
Exemplo
Considere as matrizes:
A =
1 2 −3
3 4 0
e B =
−2 1 5
0 3 −4
Se chamamos C a soma das duas matrizes A e B, ent˜ao:
C = A + B =
1 + (−2) 2 + 1 −3 + 5
3 + 0 4 + 3 0 + (−4)
=
−1 3 2
3 7 −4
Defini¸c˜ao ¶ Produto por um escalar
A multiplica¸c˜ao de uma matriz A = (aij )m×n por um escalar (n´umero) α
´e definida pela matriz m × n:
B = αA,
obtida multiplicando-se cada elemento da matriz A pelo escalar α, ou seja,
bij = αaij .
Escrevemos tambem [αA]ij = αaij . Dizemos, portanto, que a matriz B
´e um m´ultiplo escalar da matriz A.
Verifiquemos um outro exemplo.
Exemplo
O produto da matriz A =


−2 1
0 3
5 −4

 pelo escalar α = −3
´e dado por:
−3A =


(−3)(−2) (−3)1
(−3)0 (−3)3
(−3)5 (−3)(−4)

 =


6 −3
0 −9
−15 12

 .
A seguir apresentaremos a defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao de matri-
zes. Provavelmente ela parecer´a um pouco misteriosa a princ´ıpio.
A melhor justificativa que podemos apresentar neste momento
´e que ´e esta a defini¸c˜ao que d´a certo, que ´e ´util. Ao longo
deste material, justificaremos tal defini¸c˜ao. Mas, por ora, va-
mos aprender a utiliz´a-la.
Defini¸c˜ao ¶ Produto de duas matrizes
O produto de duas matrizes, tais que o n´umero de colunas da primeira matriz
´e igual ao n´umero de linhas da segunda, A = (aij )m×p e B = (bij )p×n
´e definido pela matriz m × n
C = AB,
obtida da seguinte forma:
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj .
Da defini¸c˜ao acima podemos notar que, o produto AB ´e a
matrix C com dimens˜ao m × n, tal que a entrada cij de C ´e
a soma dos produtos das respectivas entradas da linha i de A
pela coluna j de B.
Antes de prosseguir, analise cuidadosamente a frase acima!
Vejamos um exemplo.
Exemplo
Considere as matrizes:
A =
1 2 −3
3 4 0
, B =


−2 1 0
0 3 0
5 −4 0

 .
Calcule C = AB. Solu¸c˜ao:
Se chamamos C de o produto das duas matrizes A e B,
ent˜ao:
C = AB =
»
1(−2) + 2 · 0 + (−3)5 1 · 1 + 2 · 3 + (−3)(−4) 0
3(−2) + 4 · 0 + 0 · 5 3 · 1 + 4 · 3 + 0(−4) 0
–
=
»
−17 19 0
−6 15 0
–
Observe que n˜ao ´e poss´ıvel multiplicar matrizes de qualquer
tamanho. A defini¸c˜ao exige que o n´umero de entradas de cada
linha da primeira matriz seja igual ao n´umero de entradas de
cada coluna da segunda matriz.
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Em particular, a multiplica¸c˜ao de matrizes n˜ao ´e comutativa.
A Proposi¸c˜ao a seguir enumera as propriedades do produto de
matrizes.
Proposi¸c˜ao
Sejam A, B e C matrizes de tamanho adequado e k um escalar. Ent˜ao, a
multiplica¸c˜ao de matrizes possui as seguintes propriedades:
1. (AB)C = A(BC)
2. A(B + C) = AB + AC
3. (B + C)A = BA + CA
4. k(AB) = (kA)B = A(kB)
N´os concluimos essa breve introdu¸c˜ao definindo duas opera¸c˜oes
matriciais que n˜ao tˆem an´alogos entre os n´umeros reais.
A primeira defini¸c˜ao vem do fato de que, as vezes, ´e conveniente
considerarmos as linhas de uma dada matriz como colunas de
uma nova matriz. Essa modifica¸c˜ao recebe o nome de trans-
posi¸c˜ao. A seguir, apresentamos sua defini¸c˜ao matem´atica.
Defini¸c˜ao ¶ Transposta de uma Matriz
A transposta de uma matriz A = (aij )m×n ´e definida pela matriz n × m,
e notada como B = At
, cujas linhas dessa nova matriz s˜ao as colunas de
A, isto ´e, bij = aji.
No caso particular em que a matriz A ´e uma matriz quadrada, a
transposta de A pode ser obtida pela permuta¸c˜ao das entradas
posicionadas simetricamente em rela¸c˜ao `a diagonal principal.
Deste fato, surge a defini¸c˜ao do tra¸co de uma matriz.
Defini¸c˜ao ¶ Tra¸co de uma Matriz
Se A ´e uma matriz quadrada, ent˜ao o tra¸co de A, denotado por tr(A), ´e
definido pela soma das entradas na diagonal principal de A. O tra¸co de A
n˜ao ´e definido se A n˜ao ´e uma matriz quadrada.
1.3 Sistemas lineares e a Geometria Anal´ıtica
O primeiro passo para iniciar o estudo da Geometria Analitica
´e observar que uma reta pode ser posta em correspondˆencia bi-
jetiva com os n´umeros reais, da seguinte maneira: escolhemos
um ponto, chamado origem, para representar o zero; escolhe-
mos uma dire¸c˜ao em geral `a direita para representar o sentido
positivo e uma unidade, que representa o n´umero 1. A partir
da´ı, pode-se mostrar que todo n´umero real fica representado
por um ponto da reta e que todo ponto da reta representa um
n´umero real.
Em seguida, para representar os pontos do plano, tomamos
duas retas, que chamaremos de eixos, que se cortam perpen-
dicularmente em um ponto. Este ponto ser´a a origem de um
sistema de coordenadas para o plano e ´e usualmente denotado
por 0. Observe que podems facilmente estabelecer uma bije¸c˜ao
entre os pontos do plano e os pares ordenados de n´umeros da
seguinte maneira: dado um ponto P do plano, baixando duas
perpendiculares a partir do ponto aos dois eixos, obtemos dois
n´umeros reais. O primeiro, x0, ´e chamado abscissa do ponto,
o segundo, y0, ordenada. Podemos assim representar o ponto
P pelo par de n´umeros reais (x0, y0). Reciprocamente, dado
um par de n´umeros reais (a, b) obtemos um ponto Q do plano
como a interse¸c˜ao das retas paralelas aos eixos, passando pelos
pontos a e b dos eixos.
Descartes j´a havia observado que toda equa¸c˜ao nas vari´aveis
x, y, f(x, y) = 0 descreve uma curva no plano. Para tentarmos
entender o pensamento desse fil´osofo, vamos considerar as retas
do plano dadas por a1x+b1y = c1 e a2x+b2y = c2, que vamos
supor distintas, com a1 = 0 e a2 = 0. Queremos saber se essas
retas se interceptam e, em caso afirmativo, em quantos pontos.
Para tratar este problema geom´etrico vamos considerar as duas
equa¸c˜oes acima no formato de um sistema, escrito como:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Multiplicando a primeira equa¸c˜ao por a2 e a segunda por a1 e
subtraindo uma da outra, temos:
a2a1x + a2b1y − a1a2x − a1b2y = a2c1 − a1c2.
Assim, eliminamos x e obtemos:
(a2b1 − a1b2)y = a2c1 − a1c2
Temos duas possibilidades:
1. Se (a2b1 − a1b2) = 0, ent˜ao obtemos uma ´unica solu¸c˜ao
para o sistema dado por y =
a2c1 − a1c2
a2b1 − a1b2
e x =
b1c2 − b2c1
a2b1 − a1b2
.
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2. Se a2b1 − a1b2 = 0, ent˜ao, como estamos supondo as
duas equa¸c˜oes distintas, segue que a2c1 −a1c2 = 0. Para
ver isto, observe que se a2c1 − a1c2 = 0 temos que b1 =
a1
a2
b2 e c1 =
a1
a2
c2 e a equa¸c˜ao a1x + b1y = c1 nara
mais ´e que a1x + a1
a2
b2y =
a1
a2
c2 que pode ser reescrita
como a2x + b2y = c2, contrariando a hip´otese das retas
serem distintas. Segue que sistema n˜ao possui solu¸c˜ao, ´e
imposs´ıvel.
Podemos agora traduzir, neste exemplo, o que Descartes queria
dizer com resolver a geometria pela ´algebra:
• Se o sistema possui uma solu¸c˜ao, isso significa que as
retas se encontram em um ´unico ponto.
• Se o sistema n˜ao possui solu¸c˜ao, isso significa que as retas
s˜ao distintas e paralelas.
O pr´oximo exemplo demonstra como podemos relacionar um
sistema linar com alguns dos conceitos de matrizes que apre-
sentamos at´e aqui.
Exemplo
Podemos associar a um sistema de equa¸c˜oes lineares uma
equa¸c˜ao matricial da seguinte maneira. Considere o sistema
abaixo de 3 equa¸c˜oes e 3 inc´ognitas que ser´a resolvido mais
adiante. 


x + y − z = 1
2x + 3y + az = 3
x + ay + 3z = 2
Podemos escrecer este sistema da seguinte maneira:


1 1 −1
2 3 a
1 a 3




x
y
z

 =


1
3
2


ou ainda Ax = b, onde:
A =


1 1 −1
2 3 a
1 a 3

 , x =


x
y
z

 e b =


1
3
2

 .
´E muito comum escrever as vari´aveis de um determinado sistma
de equa¸c˜oes como um vetor coluna x, 1×n, no exemplo acima
um vetor 1 × 3.
1.4 Exerc´ıcios
1. Conside as matrizes:
A =


1 2 −3
1 2 5
0 3 3

 e B =


−1 −2 1
0 0 5
−3 7 2

 .
Determine:
a) A + B
b) A − B
c) 3A
d) 2A − 3B
2. Encontre At
e Bt
, onde A e B s˜ao as matrizes do exerc´ıcio
anterior.
3. Em cada um dos casos abaixo, encontre (AB)C e A(BC).
a) A =
1 2
1 2
, B =
−2 1
−3 7
, C =
−1 5
2 −3
b) A =
1 2 −1
1 2 5
, B =


−2 1
−3 7
7 −1

 , C =
−1
2
c) A =
»
−1 1 2
7 1 2
–
, B =
2
4
−2 1 0
−3 7 5
2 5 0
3
5 , C =
2
4
−1 5
2 −3
−1 4
3
5
èRespostas
1.a)
2
4
0 0 −2
1 2 10
−3 10 5
3
5
1.b)
2
4
2 4 −4
1 2 0
3 −4 1
3
5
1.c)
2
4
3 6 −9
3 6 15
0 9 9
3
5
1.d)
2
4
5 10 −9
2 4 −5
9 −15 0
3
5
2 At
=
2
4
1 1 0
2 2 3
−3 5 3
3
5 e Bt
=
2
4
−1 0 −3
−2 0 7
1 5 2
3
5
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Continua¸c˜ao...
3.a)
»
38 −85
38 −85
–
3.b)
»
47
−7
–
3.c)
»
24 −13
56 −117
–
Observe que, em acordo com a proposi¸c˜ao apresen-
tada nesta se¸c˜ao, os produtos (AB)C e A(BC) s˜ao
iguais. Logo, o que deve ser verificado ´e essa igual-
dade. Ent˜ao, fa¸ca as duas contas e constate essa afirma¸c˜ao.
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