O documento discute funções polinomiais e quadráticas. Apresenta definições, propriedades e exemplos destas funções, incluindo suas aplicações na química, como modelagem de equilíbrios químicos e processos de separação como a elutriação.

1. 17 de outubro de 2022
Funções
uma regra que
relaciona cada
elemento de um
conjunto a um
único elemento
de outro.

2. Universidade Estadual de Santa Cruz
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas
Licenciatura em Química
Profª Flaviana dos Santos Silva
Discentes: Albérico Lemos Camargo Neto,
Gleyca dos Santos Silva,
Júlia Reis dos Santos e
Lara Maria de Oliveira Mendes Caricchio

3. Função Quadrática
1
Função Polinomial
2
Quais funções serão trabalhadas hoje?

4. Quadrática
DEFINIÇÃO
Define-se como função do 2º grau, ou função quadrática, uma
função em que o domínio e o contradomínio são iguais ao
conjunto dos números reais, e que possui a lei de formação
f(x)= ax² + bx + c. Além da lei de formação, essa função possui
domínio e imagem no conjunto dos números reais, ou seja,
f:R→R.
Onde, o domínio da função f é o conjunto dos números reais e
a imagem depende dos valores de a, b e c. Por exemplo, para a
função f(x) = x², imagem é constituída por todos y≥0.

5. Quadrática
PROPRIEDADES
Qualquer função quadrática é representada por uma lei de
formação f(x) = ax² + bx + c onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
f(x) = 2² × 5 – x + 1
onde a = 2, b = 5 e c = 1.
A curva que expressa uma função polinomial do segundo grau
(função quadrática) é a parábola.

6. Quadrática
PROPRIEDADES
A parábola terá concavidade direcionada para cima se a > 0.
A parábola terá concavidade direcionada para baixo se a < 0.
Para desenhar o gráfico da função y = x² + x, é preciso,
primeiramente, atribuir valores a x e, posteriormente, efetuar o
cálculo que corresponde a y. E o próximo processo, é apenas ligar
no gráfico os pontos obtidos.

7. Quadrática
PROPRIEDADES

8. Quadrática
PROPRIEDADES
Os números reais “x” tais que f(x) seja igual a 0, da função do 2º grau
f(x) = ax² + bx + c, a≠0, são chamados de zeros ou raízes.
Logo, as raízes da função f(x) = ax² + bx + c, são as soluções da
equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, estas obtidas por meio da
fórmula de DELTA: Δ = b² - 4 × a × c.

9. Quadrática
Haverá duas raízes reais e distintas quando Δ é positivo.
Haverá somente uma raiz real quanto Δ é equivalente a zero.
De tal modo que temos:
Não há raiz real quando Δ é negativo.
PROPRIEDADES

10. Quadrática
a) f(x) = 5x² + 7x + 6
a = 5;
b = 7;
c = 6.
EXEMPLOS
b) g(x) = -x² + 8
a = -1;
b = 0;
c = 8.
c) h(x) = x² – x
a = 1;
b = -1;
c = 0.

11. Quadrática
Pode-se usar a função quadrática para estimar o quanto de
um ácido fraco se ioniza, bem como será ressaltada a
dependência da solução em relação aos coeficientes da
equação. Além disso, a função quadrática também é
empregada na química através do equilíbrio químico.
APLICAÇÃO NA QUÍMICA

12. POLINOMIAL
Uma função polinomial é uma função dada por um polinômio, ou
seja, para todo x pertencente ao domínio da função f, encontramos
o valor de y na imagem da função calculando o valor de um
polinômio no valor de x do domínio.
DEFINIÇÃO
A função apresenta domínio limitado no
intervalo [1, 3], para valores no eixo x
(eixo das abcissas).
Os valores do intervalo [1, 4], no
eixo y (eixo das ordenadas), é a
imagem da função.

13. POLINOMIAL
a) Seja p : C → C, p(x) = −x²+3x−1 é uma função polinomial com
coeficientes a2= −1, a1= 3 e a0= −1;
b) Seja p : C → C, p(x) = 2x6−7ix4−4x3+x²−2x+1+i é uma função
polinomial com coeficientes a6= 2, a5= 0, a4= −7i, a3= −4, a2= 1, a1=
−2 e a0= 1+i;
c) A função p(x)= x3+4x²+2x−1+4, com p: C−{0} → C não é uma
função polinomial.
EXEMPLOS

14. POLINOMIAL
Como a função p(x) = anxn + an-1 xn-1 + … + a2x2 + a1x1 + a0 assume
valores em quaisquer pontos do seu domínio, C no caso, podemos
considerar que:
p(α) = anα n +a(n−1)α (n−1) +a(n−2)α (n−2) +...+a2α 2 +a1α +a0 Para
todo α ∈C.
Exemplo: Para o polinômio p(x) = −x2+3x−1, observe que:
p(1)= −1² +31−1 →p(1) = 1
p(3)= −3² +33−1 →p(3) = −1
p(i)= −i² +3i−1 →p(i) = 3i
VALORES NUMÉRICOS DE UM POLINÔMIO

15. POLINOMIAL
Definição:
Dado α ∈ C tal que p(α) = 0, para um polinômio qualquer p: C → C,
dizemos que α é a raiz do polinômio p(x).
Exemplo: Seja o polinômio p(x)= x3 −4x. Note que p(0)= (0)3−4(0) =
0. Assim x= 0 é raiz do polinômio p(x). Porém, p(1) = 13−41 = −3 e p(−1)
= (-1)2−4(−1) = 5, ou seja, x= 1 e x= −1 não são raízes do polinômio p(x).
RAIZ DE POLINÔMIO

16. POLINOMIAL
Dado um polinômio p: C → C, definimos como o grau do polinômio
p(x) o valor do maior expoente da variável x acompanhada de
coeficientes não nulos.
Exemplo: O polinômio p(x)= x7−9x5+ix4−x3+7 é um polinômio de
grau 7 e denotaremos gr(p)= 7.
Exemplo: O polinômio p(x)= −3 é um polinômio de grau 0, pois
temos p(x) = −3 = −3x0 e denotaremos gr(p) = 0.
POLINÔMIOS NOTÁVEIS - GRAU DE POLINÔMIO

17. POLINOMIAL
Um polinômio é dito nulo se possui todos os coeficientes
iguais a zero, ou seja:
POLINÔMIO NULO
Denomina-se tal polinômio como p(x) ≡0.

18. POLINOMIAL
p(x) ≡0 tem grau zero?
p(x) ≡0 tem como grau um número inteiro positivo n?
Temos que o polinômio nulo p(x)≡ 0, pode ser escrito da seguinte
forma:
Assim, podemos supor algumas hipóteses sobre o grau de p(x) ≡0:
POLINÔMIO DE GRAU ZERO

19. POLINOMIAL
A função linear é bijetora e é escrita de forma generalizada como
f(x)= ax + b.
POLINÔMIO DE GRAU 1: FUNÇÃO LINEAR
Exemplo:
função crescente
f(x) = 80x.

20. POLINOMIAL
POLINÔMIO DE GRAU 1: FUNÇÃO LINEAR
Exemplo:
função decrescente
f(x) = -45x.

21. POLINOMIAL
POLINÔMIO DE GRAU 2: FUNÇÃO QUADRÁTICA
Exemplo:
Parábola de concavidade
para cima: f(x) = x2.
O coeficiente é positivo ou
seja a>0.

22. POLINOMIAL
POLINÔMIO DE GRAU 2: FUNÇÃO QUADRÁTICA
Exemplo:
Parábola de concavidade
para baixo: f(x) = 0.
O coeficiente é positivo, ou
seja, a<0.

23. POLINOMIAL
Exemplo:
f(x) = x³ – 2x
POLINÔMIO DE GRAU 3: FUNÇÃO CÚBICA

24. POLINOMIAL
Um exemplo de aplicação da função polinomial na
química é a elutriação, que é um procedimento utilizado
na mineração para separar os materiais de interesse dos
demais. É um processo de separação sólido-sólido em
que um fluido em escoamento arrasta partículas
seletivamente e, consequentemente, define quais
partículas sobem e quais descem. A seletividade é
definida pela velocidade relativa entre o fluido e o sólido.
APLICAÇÃO NA QUÍMICA

25. POLINOMIAL
Ao realizar um experimento de elutriação é obtida uma
quantidade de resultados que devem ser analisados para
que se possa criar um modelo, obtendo uma função
matemática que represente estes dados. A partir da
função podem ser realizadas simulações do processo a
fim de minimizar as repetições de experimentos com
valores altos. Os modelos podem ser classificados como
lineares e não lineares.
APLICAÇÃO NA QUÍMICA

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Acesse os links.
Obtenha
conhecimentos.
Recomendações
https://miltonborba.org/CD/Interdiscip
linaridade/Encontro_Gaucho_Ed_Mat
em/cientificos/CC46.pdf
EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
ASSOCIADAS À IONIZAÇÃO DE
ÁCIDOS
https://www.trabalhosgratuitos.com/Ex
atas/Engenharia/APLICA%C3%87%C3%
83O-DE-C%C3%81LCULO-
NUM%C3%89RICO-NA-ENGENHARIA-
QU%C3%8DMICA-1572302.html
APLICAÇÃO DE CÁLCULO NUMÉRICO
NA ENGENHARIA QUÍMICA AJUSTE DE
CURVAS - ENSAIO DE ELUTRIAÇÃO
DA TERRA DIATOMÁCEA
https://www.youtube.com/watch?
v=Z5aVW_Zgifk&list=PLTPg64KdGgYjX
e1Gcc6ji-juawdTSouUU
Função do Segundo Grau (Função
Quadrática): Conceitos Iniciais
(Aula 1 de 9)
https://www.respondeai.com.br/conte
udo/operacoes-
unitarias/equipamentos-de-
separacao-de-
particulas/elutriador/1698
Elutriador

27. A mente é como um músculo
— quanto mais você a
exercita, mais forte ela fica e
mais ela pode expandir.
Idowu Koyenikan
Muito
obrigado!