O documento apresenta uma introdução sobre espaços de Sobolev em variedades, incluindo definições, resultados de independência da métrica, compacidade de mergulho de Sobolev e desigualdades de Poincaré. Aplicações incluem um teorema de finitude do tipo Cheeger e o problema de Kazdan-Warner de preescrever curvatura em superfícies.

1. ESPACOS DE SOBOLEV EM VARIEDADES
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PROF. A. ARBIETO E PROF. A. CORCHO
Resumo.
Objetivo: Estudar os espa¸os de Sobolev em variedades. Focalizaremos no caso
c
compacto e iremos comentar as poss´ ıveis extens˜es dos resultados no caso completo
o
ou com bordo. Iremos apresentar algumas consequˆncias da teoria.
e
Pr´-requisitos: Conhecimento m´
e ınimo de Geometria Riemanniana (m´tricas, co-
e
nex˜es e Laplaciano). Conhecimentos de An´lise (Integra¸˜o por partes, teorema
o a ca
de Fubini, Integral de Lebesgue). Conhecimentos de topologia (Variedades, Espa¸o c
tangente, derivada de aplica¸˜es, parti¸˜es da unidade).
co co
Ementa:
• Breve revis˜o de Geometria Riemanniana.
a
• Defini¸˜es e alguns resultados sobre espa¸os de Sobolev no espa¸o euclidi-
co c c
ano.
• Espa¸os de Sobolev em variedades compactas: Defini¸˜es, independˆncia da
c co e
m´trica, regra da cadeia, densidade de fun¸˜es suaves, inclus˜es de Sobolev,
e co o
compacidade do mergulho de Sobolev.
• Desigualdades de Poincar´. Aplica¸˜o: Um teorema de finitude do tipo
e ca
Cheeger.
• Breves defini¸˜es e enunciados dos resultados acima no caso completo.
co
• O problema das melhores constantes no caso compacto. Overview e provas
dos resultados principais.
• O caso da esfera e aplica¸˜o no problema de Kazdan-Warner (preescrever
ca
curvatura em superf´ıcies)
• T´picos Extras (se poss´
o ıvel): Desigualdades de Sobolev do tipo Euclidiano
em variedades; Consequˆncias da existˆncia de simetrias; Variedades com
e e
Bordo.
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Referencias
[1] Hebey, E. Nonlinear Analysis on Manifolds: Sobolev Spaces and Inequalities. Courant Lecture
Notes.
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Instituto de Matematica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, P. O. Box 68530,
21945-970 Rio de Janeiro, Brazil.
E-mail address: arbieto@im.ufrj.br
1991 Mathematics Subject Classification. Primary: 37A25, 58F17; Secondary: 37B05.
Key words and phrases. Entropy, Positively Expansive Measure, Continuous Map.
Partially supported by CNPq, FAPERJ and PRONEX/DS from Brazil.
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