DIVISIBILIDAD de números naturales y criterios.pptx

Apuntes Matemáticas 1º ESO 1
•DIVISIBILIDAD

•RELACIÓN DE
DIVISIBILIDAD

 Hay relación de divisibilidad entre dos números naturales, a y b, cuando el mayor, a,
contiene al menor, b, una cantidad exacta de veces. Entonces se dice que a es
divisible por b.
 Dicho de otra manera, cuando al dividir a entre d, el resto da cero.
» Ejemplos:
 15 es divisible por 3
 Pues 15 contiene 5 veces al 3

– Ejemplos prácticos:
 Con los 23 alumnos de una clase queremos formar equipos de 5 jugadores
para que todos puedan jugar al baloncesto. ¿Lo podrá hacer?
No, puesto que entre 23 y 5 no hay relación de divisibilidad.
Al dividir 23 entre 5 da 4 de cociente y 3 de resto. División no exacta.
 Con los 90 alumnos de 1º ESO queremos formar equipos de 11 jugadores
para que todos puedan jugar al fútbol. ¿Lo podrá hacer?
No, puesto que entre 90 y 11 no hay relación de divisibilidad.
Al dividir 90 entre 11 da 8 de cociente y 2 de resto. División no exacta.
 Los 20 alumnos de 1º Bachillerato quieren formar equipos de 4 jugadores
para jugar todos al mus. ¿Lo podrá hacer?
Sí, puesto que entre 20 y 4 hay relación de divisibilidad.
Al dividir 20 entre 4 da 5 de cociente y 0 de resto. División exacta.

Múltiplos y divisores
 Un número natural, b , es divisor de otro, a, cuando la división a:b es
exacta
 a:b = c => b es divisor de a
 Un número natural, a , es múltiplo de otro, b, si al multiplicar b por un
número natural se obtiene a como resultado
 b.c = a => a es múltiplo de b
 Si la división de dos números naturales, a : b , es exacta, es decir, si hay
relación de divisibilidad entre ellos, entonces b es un divisor de a y,
recíprocamente, a es un múltiplo de b.
• Ejemplo: 15 : 3 = 5
 3 es un divisor de 15
 15 es un múltiplo de 3

 Dados dos números naturales, a y b , se dice que “a es
divisible por b”, o que “a es múltiplo de b”, o que “b
es divisor de a”, si la división a:b es exacta.
• EJEMPLO
• 45 = 3.3.5 = 9.5 = 3.15
• Podemos decir:
• “45 es divisible por 3”
Múltiplos y divisores

• También:
• “45 es múltiplo de 3”
• Y también:
• “3 es divisor de 45”

PROPIEDADES
• PROPIEDADES DE MÚLTIPLOS
 Todo número es múltiplo de sí mismo.
 7.1 = 7
 Todo número es múltiplo de 1.
 5.1 = 5

 El 0 es múltiplo de cualquier número.
 0.3 = 0
 Todo número tiene infinitos múltiplos.
 M(5)={0, 5, 10, 15, 20 , …}

• PROPIEDADES DE DIVISORES
 Todo número es divisor de sí mismo.
 5 : 5 = 1
 El 1 es divisor de cualquier número.
 7 : 1 = 7

 El 0 no es divisor de ningún número.
 3 : 0 = No se puede
 El conjunto de los divisores de un número es finito.
 D(12)={1, 2, 3, 6, 12}
PROPIEDADES

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Entre 2
2 Todos los números terminados en 0 o en cifra par.
10
14
100
72
1000
10104
96
111111111111111112

Entre 3
3 Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 3
102, pues 1+0+2 = 3  102 : 3 = 34
120, pues 1+2+0 = 3  120 : 3 = 40
201, pues 2+0+1 = 3  201 : 3 = 67
501, pues 5+0+1 = 6  501 : 3 = 167
105, pues 1+0+5 = 6  105 : 3 = 35
702, pues 7+0+2 = 9  702 : 3 = 234
111111111, pues 1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 9  111111111 : 3 = 37037037

Entre 5
5 Todo número que termine en 0 o en 5
110, pues 110 : 5 = 22
115, pues 115 : 5 = 23
1710, pues 1710 : 5 = 342
77775, pues 77775 : 5 = 15555
10000005, pues 10000005 : 5 = 2000001

11 Todo número en el cual el valor absoluto de la diferencia de la
suma de las cifras de lugar par e impar sea múltiplo de 11
495
9=9 , 4+5 = 9  9 – 9 = 0
Verificamos: 495 : 11 = 45
8195
8+9=17 , 1+5 = 6  17 – 6 = 11
Verificamos: 8195 : 11 = 745
91993
9+9+3=21 , 1+9 = 10  21 – 10 = 11
Verificamos: 91993 : 11 = 8363

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