O documento discute os conceitos de decidibilidade e classes de problemas computacionais. Aborda que um problema é decidível se existe um algoritmo que o resolva para qualquer entrada, enquanto problemas indecidíveis não possuem solução algorítmica geral. O problema da parada, que consiste em determinar se um programa para em uma entrada, é usado como exemplo fundamental de problema indecidível.

1. Decidibilidade
SIPSER – Capítulo 4
Universidade Federal da Paraíba
Programa de Pós-Graduação em Informática
Teoria da Computação – 2013.1
Anna Carolina S. Medeiros
Rafael Henrique A. de Castro Professor: Andrei
Formiga

2. Decidibilidade
 Investigar a existência (ou não) de
algoritmos que solucionem determinada
classe de problemas
 Evitar a pesquisa de soluções
inexistentes
 Um problema é decidível se e somente
se ele é resolvível por um algoritmo,
para qualquer entrada pertencente ao
seu domínio, caso contrário ele é um
problema indecidível.

3. Linguagens Decidíveis
 Importância de linguagens decidíveis:
◦ Certos problemas desse tipo estão
relacionados a aplicações
◦ Alguns problemas concernentes a
autômatos e gramáticas não são
decidíveis por algoritmos

4. Problemas Decidíveis
Concernentes a Linguagens
Regulares

5. Problemas Decidíveis
Concernentes a Linguagens
Livres-do-Contexto

6. Problemas Decidíveis
Concernentes a Linguagens
Livres-do-Contexto
 Toda linguagem livre de contexto é
decidível

7. Linguagens Decidíveis

8. O Problema da Parada
 Existem problemas que são algoritmicamente
insolúveis
 A classe dos problemas indecidíveis é
significativamente representada pelo
problema da parada
 Consiste em: Dado um processo Z e uma
entrada X, decidir (determinar) se Z termina
quando aplicado a X.
 A indecidibilidade deste problema é
extremamente útil para demonstrar a
indecidibilidade de outros problemas através
da redução destes para o problema da
parada.

9. O Problema da Parada
 Algumas Linguagens não são Turing-
reconhecíveis

10. O Problema da Parada
 O Problema da Parada é indecidível

11. O Problema da Parada
 Uma linguagem é decidível sse ela é
Turing-reconhecível e co-Turing-
reconhecível

12. Classe de Problemas
 Problema decidível:
 Um problema é dito decidível se existe um algoritmo
que solucione o problema tal que sempre pára para
qualquer entrada, com uma resposta afirmativa
(ACEITA) ou negativa (REJEITA).
 Problema parcialmente decidível:
 Um problema é dito parcialmente decidível
(parcialmente computável) se existir um algoritmo
que solucione o problema tal que pare quando a
resposta é afirmativa (ACEITA).
 Entretanto, quando a resposta for negativa, o
algoritmo pode parar ou permanecer indefinidamente
em loop.

13. Classe de Problemas
 Problema Insolúvel ou Não
computável:
 Um problema é dito insolúvel se não existe algum
algoritmo que solucione o problema tal que o mesmo
pare para qualquer entrada, com uma resposta
afirmativa (ACEITA) ou negativa (REJEITA).
 É importante observar que alguns problemas não-
decidíveis são parcialmente decidíveis.
 Para qualquer algoritmo que solucione um problema
parcialmente decidível, sempre existe pelo menos um
dado de entrada que faz com que o algoritmo fique
em “loop”.

14. Universo de Todos os
Problemas
 A união das Classes Decidível, Parcialmente
Decidível e Não decidível é o Universo de
todos os problemas:
 Alguns problemas não decidíveis são
parcialmente decidíveis
 Todo problema indecidível é parcialmente
decidível.
 A Classe dos Parcialmente decidíveis contém: a
Classe dos decidíveis e parte da Classe dos
não decidiveis.
 Existem problemas não-decidível que possuem
solução parcial.
 Os problemas não decidível não possuem
solução total nem parcial.

15. Universo de Todos os
Problemas
Decidível Não-decidível
Parcialmente
Decidível
Completamente
Insolúveis
Conputável Não Computável