espacios vectoriales, algebra y geometria primer año de ingenieria, licenciatura en sistemas, economia, licenciatura y profesorado en Fisica, geofisica y tecnicatura universitaria en Optica universidades, instituciones,
3. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial
4. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V .
5. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:
6. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:
(1) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente.
7. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:
(1) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente.
(2) Si
λ1 · v1 + λ2 · v2 + . . . + λn · vn =
8. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:
(1) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente.
(2) Si
λ1 · v1 + λ2 · v2 + . . . + λn · vn = µ1 · v1 + µ2 · v2 + . . . + µn · vn,
9. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:
(1) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente.
(2) Si
λ1 · v1 + λ2 · v2 + . . . + λn · vn = µ1 · v1 + µ2 · v2 + . . . + µn · vn,
entonces λi = µi para 1 ≤ i ≤ n.
10. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:
(1) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente.
(2) Si
λ1 · v1 + λ2 · v2 + . . . + λn · vn = µ1 · v1 + µ2 · v2 + . . . + µn · vn,
entonces λi = µi para 1 ≤ i ≤ n.
(3) Ningún vi es combinación de los restantes.
11. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:
(1) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente.
(2) Si
λ1 · v1 + λ2 · v2 + . . . + λn · vn = µ1 · v1 + µ2 · v2 + . . . + µn · vn,
entonces λi = µi para 1 ≤ i ≤ n.
(3) Ningún vi es combinación de los restantes.
13. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
14. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn,
15. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces v puede
expresarse en forma única como combinación lineal de ellos.
16. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces v puede
expresarse en forma única como combinación lineal de ellos.
(b) Cualquier subconjunto de M es linealmente independiente.
17. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces v puede
expresarse en forma única como combinación lineal de ellos.
(b) Cualquier subconjunto de M es linealmente independiente.
(c) vi 6= vj , para todo i 6= j.
18. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces v puede
expresarse en forma única como combinación lineal de ellos.
(b) Cualquier subconjunto de M es linealmente independiente.
(c) vi 6= vj , para todo i 6= j.
(d) vi 6= 0, para todo i.
19. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces v puede
expresarse en forma única como combinación lineal de ellos.
(b) Cualquier subconjunto de M es linealmente independiente.
(c) vi 6= vj , para todo i 6= j.
(d) vi 6= 0, para todo i.
(e) Si v no es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn,
20. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces v puede
expresarse en forma única como combinación lineal de ellos.
(b) Cualquier subconjunto de M es linealmente independiente.
(c) vi 6= vj , para todo i 6= j.
(d) vi 6= 0, para todo i.
(e) Si v no es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces
{v1, v2, . . . , vn, v} es linealmente independiente
24. Observación.
Sean V = R3 y M = {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)} ⊆ R3.
Entonces:
M es linealmente dependiente
25. Observación.
Sean V = R3 y M = {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)} ⊆ R3.
Entonces:
M es linealmente dependiente ⇔
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0.
26. Observación.
Sean V = R3 y M = {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)} ⊆ R3.
Entonces:
M es linealmente dependiente ⇔
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0.
I Notemos que el resultado puede generalizarse para n vectores
de Rn, n ∈ N.
27. Observación.
Sean V = R3 y M = {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)} ⊆ R3.
Entonces:
M es linealmente dependiente ⇔
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0.
I Notemos que el resultado puede generalizarse para n vectores
de Rn, n ∈ N.
I Además,
28. Observación.
Sean V = R3 y M = {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)} ⊆ R3.
Entonces:
M es linealmente dependiente ⇔
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0.
I Notemos que el resultado puede generalizarse para n vectores
de Rn, n ∈ N.
I Además,
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0
29. Observación.
Sean V = R3 y M = {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)} ⊆ R3.
Entonces:
M es linealmente dependiente ⇔
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0.
I Notemos que el resultado puede generalizarse para n vectores
de Rn, n ∈ N.
I Además,
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0 ⇔
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
= 0.
31. Proposición
Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V . Entonces:
(a) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente
32. Proposición
Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V . Entonces:
(a) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{v1, v2 + k2 · v1, . . . , vn + kn · v1} es linealmente independiente
para todo k1, k2, . . . , kn ∈ R.
33. Proposición
Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V . Entonces:
(a) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{v1, v2 + k2 · v1, . . . , vn + kn · v1} es linealmente independiente
para todo k1, k2, . . . , kn ∈ R.
(b) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente
34. Proposición
Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V . Entonces:
(a) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{v1, v2 + k2 · v1, . . . , vn + kn · v1} es linealmente independiente
para todo k1, k2, . . . , kn ∈ R.
(b) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{k · v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente para todo
k ∈ R, k 6= 0.
35. Proposición
Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V . Entonces:
(a) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{v1, v2 + k2 · v1, . . . , vn + kn · v1} es linealmente independiente
para todo k1, k2, . . . , kn ∈ R.
(b) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{k · v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente para todo
k ∈ R, k 6= 0.
El resultado anterior nos permite averiguar si un subconjunto de
vectores de Rn es linealmente independiente, utilizando operaciones
elementales.
36. Proposición
Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V . Entonces:
(a) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{v1, v2 + k2 · v1, . . . , vn + kn · v1} es linealmente independiente
para todo k1, k2, . . . , kn ∈ R.
(b) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{k · v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente para todo
k ∈ R, k 6= 0.
El resultado anterior nos permite averiguar si un subconjunto de
vectores de Rn es linealmente independiente, utilizando operaciones
elementales.
Veámoslo en el siguiente ejemplo.