Aula 6 CUSUM _ EWMA_do livro Montgomery _controle estatístico de processo - CEP

Controle Estatístico de Qualidade
Capítulo 8
(montgomer
y)

Gráfico CUSUM e da EWMA
• Cartas de Controle Shewhart
Usa apenas a informação contida no último ponto plotado.
Ignora qualquer informação dada pela sequência inteira de pontos.
Tais características tornam esse tipo de gráfico insensível a pequenas mudanças
no processo (menores que 1,5).
O uso de testes para sequência ou limites de alerta servem como paliativo, mas
não resolvem o problema. Na verdade, tais regras reduzem sua simplicidade e
facilidade de interpretação.
• Duas alternativas eficazes aos gráficos Shewhart para detectar
pequenas mudanças no processo são:
Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM).
Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada
(EWMA).
CUSUM - Soma Acumulada Capítulo 8
(Montgomer
y)

Gráfico de Controle da Soma Acumulada (CUSUM)
• Motivação
– No gráfico de controle abaixo as 20 primeiras observações
foram extraídas de uma distribuição normal com média 
= 10 e  = 1.
– As 10 últimas de uma N(11;1) (processo fora de controle)
Individual
Value
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Observation
13
12
11
10
9
8
7
_
X=10
UCL=13
LCL=7
I Chart
O gráfico falhou em
detectar a mudança
Motivo: magnitude
relativamente
pequena da mudança
CUSUM - Soma Acumulada

• Motivação
i
– O gráfico CUSUM foi proposto primeiramente por Page(1954).
– O gráfico CUSUM incorpora toda a informação da sequência de valores,
plotando as somas acumuladas dos desvios dos valores da amostra
em relação a um valor-alvo (0).
Ci  ∑(xj  0 )  (xi  0 )  Ci1
j 1
– O gráfico CUSUM são particularmente eficazes com amostras de tamanho
n=1. i
Ci  ∑(xj  0 )  (xi  0 )  Ci1
j 1

• Motivação
– Note que se o processo permanece sob controle, Ci será um passeio aleatório com
média zero. Se a média se desloca para um valor
1>0, Ci deverá apresentar uma tendência positiva. Caso contrário, uma tendência
para baixo se desenvolverá em Ci.
Gráfico da Soma Acumulativa
12
10
8
6
4
2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
-2
-4
Amostra
Ci

• Motivação
– Iremos nos concentrar no gráfico CUSUM para média do processo. No
entanto, é possível planejar procedimentos de somas acumuladas para
• Variabilidade do processo (Montgomery, 1981)
• Variáveis Poisson e Binomial
• Gráficos de controle de somas acumuladas tem sido estudados por: Ewan
(1963), Page (1961), Gan (1991), Lucas (1976), Hawkins (1981), entre outros.

– O CUSUM Tabular pode ser construído para monitorar a média do
processo.
– Será tratado, primeiramente, o caso onde n=1.
– Seja xi a i-ésima observação do processo distribuída normalmente com
média 0 (valor-alvo) e desvio padrão  quando o processo está sob
controle.
– O CUSUM Tabular trabalha acumulando os desvios de 0 que estão acima
do alvo em uma estatística C+, e acumulando os desvios de 0 que estão
abaixo do alvo em outra estatística C-.
– As estatísticas C+ e C- são chamadas cusums unilaterais superior e
inferior, sendo definidas por:

O Cusum Tabular
onde os valores iniciais são
• K é chamado de valor de referência (ou valor de tolerância). Normalmente
representa o ponto médio entre o valor alvo (0) e o valor da média fora
de controle (1) que estamos interessados em detectar rapidamente.
i1
0 i
i
i 0 i1
i
 K )  x  C 

C 
C 
 max0,
(
 max0, x (  K )  C 

0 0

C  C 

0

(limites de tolerância), o processo será considerado fora de controle.
– A escolha de H será discutida posteriormente. Normalmente, usa- se H = 5
• Se a mudança K que queremos detectar é expressa em unidades de
desvio-padrão por
1 = 0 +  ou  =| 1 - 0 |/
• Então a magnitude da mudança (K) pode ser expressa por
K 

 
1  0
2 2
0 0
•
Se tanto C 
ou C 
excederem o intervalo de decisão H

Gráfico CUSUM Tabular
• Exemplo
– Valor alvo (0) = 10
– n = 1
–  = 1
– Magnitude da mudança
1, logo K = ½
– H = 5 = 5
Amostra Xi
1 9,45
2 7,99
3 9,29
4 11,66
5 12,16
6 10,18
7 8,04
8 11,46
9 9,20
10 10,34
11 9,03
12 11,47
13 10,51
14 9,40
15 10,08
16 9,37
17 10,62
18 10,31
19 8,52
20 10,84
21 10,90
22 9,33
23 12,29
24 11,50
25 10,60
26 11,08
27 10,38
28 11,62
29 11,31
30 10,52

Gráfico CUSUM Tabular
• Exemplo
– Os valores de C+ e C- para amostra 1
são:
– Os valores de C+ e C- para amostra 2 são:
– A seguir, apresentamos os cálculos restantes. As
quantidades N+ e N- indicam os períodos consecutivos
em que C+ e C- foram não-nulos.
1 0
0
1


 max0; (10  0,5)  9,45  C 
0,05
C 
 max0;9,45  (10  0,5)  C 
0,00
C 
2
2
 
1,56
0; (10  0,5)  7,99  0,05


C 
max
C  max0;7,99  (10  0,5)  0  0,00

Amostra Xi Xi - (mi + K) C+ N+ (mi - K) - Xi C- N-
1
2
3
4
5
6
7
8
9,45
7,99
9,29
11,66
12,16
10,18
8,04
11,46
9
10
9,20
10,34
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
9,03
11,47
10,51
9,40
10,08
9,37
10,62
10,31
8,52
10,84
-1,05
-2,51
-1,21
1,16
1,66
-0,32
-2,46
0,96
-1,30
-0,16
-1,47
0,97
0,01
-1,10
-0,42
-1,13
0,12
-0,19
-1,98
0,34
0
0
0
1,16
2,82
2,50
0,04
1,00
0
0
0
0,97
0,98
0
0
0
0,12
0
0
0,34
0
0
0
1
2
3
4
5
0
0
0
1
2
0
0
0
1
0
0
1
0,05
1,51
0,21
-2,16
-2,66
-0,68
1,46
-1,96
0,30
-0,84
0,47
-1,97
-1,01
0,10
-0,58
0,13
-1,12
-0,81
0,98
-1,34
0,05
1,56
1,77
0
0
0
1,46
0,00
0
0
0
0
0
0,10
0
0,13
0
0
0,98
0
1
2
3
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
10,90
9,33
12,29
11,50
10,60
11,08
10,38
11,62
11,31
10,52
0,40
-1,17
1,79
1,00
0,10
0,58
-0,12
1,12
0,81
0,02
0,74
0
1,79
2,79
2,89
3,47
3,35
4,47
5,28
5,30
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1,40
0,17
-2,79
-2,00
-1,10
-1,58
-0,88
-2,12
-1,81
-1,02
0
0,17
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
C+ > H
Processo
fora de
controle
CUSUM - Soma
Acumulada

Exemplo: Gráfico de status do CUSUM – Minitab
Cumulative
Sum
30
27
24
21
18
15
Samp
le
12
9
6
3
5,0
2,5
0,0
-2,5
-5,0
0
UCL=5
LCL=-5
CUSUM
Chart

Recomendações para o Planejamento do CUSUM
– O CUSUM Tabular é planejado através da escolha do valor de
referência (K = k) e do intervalo de decisão (H = h).
– Recomenda-se que tais parâmetros sejam selecionados de modo a
fornecer um bom CMS (comprimento médio da sequência), por
exemplo CMS0 próximo a 370 (processo sob controle).
– Na prática, tem-se observado bons resultados com h=4 ou h=5 e k =
½.
– A seguir apresentamos um comparativo do CMS para o Gráfico
CUSUM vs Gráfico de Shewhart para média.

– Hawkins (1993) fornece uma tabela com valores de k e h,
no qual CMS0 será igual a 370:
k 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5
h 8,01 4,77 3,34 2,52 1,99 1,61
22
– onde  = * - k para C+,  = -* - k para C- e b = h +
1,166.
– Se  = 0, pode-se usar CMS = b2
– Lembre-se que * é a mudança na média, em unidades
de , para qual deve ser calculado o CMS.
– Siegmund (1985) apresenta uma aproximação do cálculo
do CMS para um cusum unilateral (C+ ou C-):
CMS 
exp(2b)  2b 1

– O CMS para um cusum bilateral é obtido a partir das estatísticas unilaterais —
digamos CMS+ e CMS-:
– Exemplo: Considere k = ½, h = 5 e * = 0 (sob controle) Logo  = -½ e b = 6,166.
Assim,
– Como * = 0 temos, excepcionalmente, CMS+ = CMS-. Logo, o CMS bilateral é dado
por
 
CMS CMS 
CMS 
1
1 1
0
2(1/ 2)2

exp(2(1/ 2)(6,166))  2(1/ 2)(6,166) 1
 938,2
CMS 
1
1 1
0
0
  ⇒ CMS 
469,1
CMS 938,2 938,2

• Considerações
–Note que a aproximação de
Siegmund está próxima do
verdadeiro valor de CMS0
–Para =1, por exemplo, o gráfico
Cusum detectaria uma mudança
mais rápido do que o gráfico de
Shewhart.
–CMS entre os gráficos Cusum e
Shewhart convergem a medida
Valores Exatos para o
Comprimento Médio da Sequencia (CMS)
Multiplo de sigma
k = 1/2
Shewhart
h=4 h=5
0,00 168,0 465,0 370,4
0,25 74,2 139,0 281,1
0,50 26,6 38,0 155,2
0,75 13,3 17,0 81,2
1,00 8,38 10,4 43,9
1,50 4,75 5,8 15,0
2,00 3,34 4,0 6,3
2,50 2,62 3,1 3,2
3,00 2,19 2,6 2,0
4,00 1,71 2,0 1,2

CUSUM Padronizado
– Principal vantagem: possibilita termos os mesmos
valores de k e h para diversos gráficos CUSUM, visto
que as escolhas desses parâmetros não iriam mais
depender da escala das variáveis.
– Seja
– Os CUSUM padronizados são definidos
por

 0
i
y 
xi
i1
i
i
i i1
i
 max0;k  y  C 

C 
 max0; y k  C 

C 

Subgrupos Racionais
– O desenvolvimento do CUSUM tabular se estende facilmente ao caso de
média de subgrupos racionais (n>1).
–
Basta substituir xi por xi (a média amostral ou do subgrupo) nas
fórmulas anteriores e substituir  por
 x   / n
– No entanto, Montgomery discute que o uso das médias dos subgrupos (ou
seja n>1) NÃO melhora o desempenho do Gráfico Cusum, ao contrário dos
gráficos de Shewhart.

Subgrupos Racionais
– Por exemplo, se pudermos escolher entre a retirada de uma amostra de
tamanho n=1 a cada 30min ou um subgrupo de tamanho n=5 a cada
2,5horas, o CUSUM funcionará melhor, em geral, com a escolha de n=1.
– Segundo Montgomery, apenas se houver uma economia de escala
significativa ou alguma outra razão válida para se tomar amostras de
tamanho maior é que os subgrupos devem ser usados.

Melhorando o CUSUM para Grandes Mudanças
– Uma abordagem para melhorar a habilidade do gráfico em detectar
grandes mudanças é o procedimento combinado cusum-Shewhart (Lucas,
1982)
• Construir um gráfico Shewhart para C+ e C-
• Neste caso, recomenda-se o uso de limites de controle de 3,5.
• O aumento de 0,5 nos limites de controle no gráfico de Shewhart é justificado
pelo fato de estarmos interessados em detectar grandes mudanças
• O gráfico CUSUM ficaria “responsável” por pequenas alterações na média ou no
valor-alvo, enquanto que o gráfico de Shewhart se encarregaria em detectar
grandes alterações.
– Um sinal fora de controle em qualquer (ou ambos) os gráficos constitui
num sinal de ação

Resposta Inicial Rápida (RIR) ou Headstart
– Procedimento elaborado por Lucas e Crosier (1982)
para melhorar a sensitividade do CUSUM no início do
processo.
– A resposta inicial rápida (RIR), ou headstart, coloca os
iguais a um valor não-
nulo,
normalmente igual a H/2. Isso é chamado de
headstart de 50%.
– Benefícios do headstart
• Se o processo começa sob controle (no valor-alvo), o
CUSUM rapidamente cairá para zero e o headstart
terá pouco efeito;
• No entanto, caso o processo comece em algum nível
diferente do valor alvo, o headstart permitirá ao
CUSUM detectar isso rapidamente.
0 0
valores iniciais de C 
e C 

Considerações Finais em relação ao CUSUM Tabular
• Cusum Unilateral
– Note que o gráfico CUSUM é construído a partir de dois procedimento
unilaterais (C+ e C-)
– Há situações onde apenas um procedimento é util. Por exemplo:
• Em um processo químico a característica de interesse é a viscosidade de um
produto.
• Considere que se a viscosidade ficar abaixo do valor-alvo não há problema.
No entanto, qualquer aumento na viscosidade deve ser detectado
rapidamente.
– O CMS poderia ser calculado facilmente a partir da aproximação de
Siegmund.

Considerações Finais em relação ao CUSUM Tabular
• Cusum com Sensitividades Diferentes
– É também possível planejar CUSUMs com sensitividades diferentes nos
lados superior e inferior
– Isso seria útil em situações onde, por exemplo, uma mudança acima do
alvo é mais crítica do que mudanças abaixo do alvo.

Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente
Ponderada - EWMA
• Introdução
– É também uma boa alternativa aos gráficos de Shewhart quando estamos
interessados em detectar pequenas mudanças.
– Tem desempenho equivalente ao gráficos de controle CUSUM tabular.
– É, de certa forma, mais fácil de estabelecer e operar.
– É tipicamente usado para observações individuais (n=1).
No entanto, também veremos o caso de subgrupos racionais de tamanho
n>1.
– Foi introduzido por Roberts em 1959
EWMA - Média Móvel Exponencialmente Ponderada

• Definições
– O gráfico da Média Móvel Exponencialmente Ponderada
(MMEP) é definido como
zi  xi  (1 )zi1
– onde 0 <   1é uma constante, e o valor inicial exigido para i=1 é o
alvo do processo, ou seja
z0  0
– Quando o valor alvo não é conhecido, a média aritmética dos dados
pode ser usado
z0  x
Ponderada - EWMA

– Continuando a substituir recursivamente zi-j, j=2, 3, ..., t, obtemos
• Definições
– Note que zi é uma média ponderada de todas as observações anteriores:
zi  xi  (1 )zi1 
zi  xi  (1 )xi1  (1 )zi2  
z  x  (1 )x  (1 )2
z
i i i1 i 2
j
i (1 )i
z
(1 ) x
z 

i1
∑
j 0
i j 0
Ponderada - EWMA

• Definições
– Os pesos (1-)j decrescem geometricamente com a idade da média
amostral.
– Como a MMEP pode ser considerada uma média de todas as observações
passadas e corrente, o gráfico da MMEP é insensível a hipótese de
normalidade.
– Assim, tal gráfico é ideal para ser usado com observações
individuais.
Ponderada - EWMA

• Definições
– Se as observações xi são variáveis aleatórias independentes com variância
2, então a variância de zi é dada por:
i zi
2i
2
2
2
0
2 2
j

1 (1 )





 2  

Var(z ) ⇒  

2
(1 )2
j

Var(z ) 
) (1 )2i
Var(z ) 
 (1 ) Var(x
Var(z ) 


 
i ∑
i1
j
0
i1
i ∑
j 0
i j
i1
j
0
Var(zi )  V
ar ∑(1 ) x (1 ) z  
j
i
i j
0
Progressão Geométrica
Ponderada - EWMA

• Definições
– O gráfico de controle MMEP pode ser construído através da plotagem de zi
versus o número da amostra i. A linha central e os limites de controle são:
– Em breve discutiremos sobre a escolha de L e .
2i
0
2i
0


1 (1 )


 

 2  

LIC   L
LM 
0
1 (1 )





 2  

LSC   L
Ponderada - EWMA

• Definições
– Note que [1-(1- )2i] se aproxima de 1 quando i se torna grande. Logo,
após alguns períodos de tempo, os limites de controle se aproximarão
dos valores de estado estacionário, dados por:
– No entanto, recomenda-se enfaticamente na prática o uso dos limites
exatos.
 
 
 

 

 2  

 2  

0
0
LIC   L
LSC   L
Ponderada - EWMA

 
 
Gráfico MMEP
• Exemplo
– Valor alvo (0) = 10
–  = 1
– n = 1
–  = 0,1
– L = 2,7
Amostra Xi
1 9,45
2 7,99
3 9,29
4 11,66
5 12,16
6 10,18
7 8,04
8 11,46
9 9,20
10 10,34
11 9,03
12 11,47
13 10,51
14 9,40
15 10,08
16 9,37
17 10,62
18 10,31
19 8,52
20 10,84
21 10,90
22 9,33
23 12,29
24 11,50
25 10,60
26 11,08
27 10,38
28 11,62
29 11,31
30 10,52
Exemplo
Ponderada - EWMA

Gráfico MMEP
2.(1)
2.(1)
 
9,73
1 (1 0,1)


 0,1

 2  0,1
 
10,27
1 (1 0,1)
 0,1

 2  0,1
LIC  10  2,7(1)
LSC  10  2,7(1) 
• Exemplo
– Os valores para a amostra 1 são:
z1  0,1.(9,45)  (1 0,1).10  9,945
Ponderada - EWMA

Gráfico MMEP

10,36
2.(2)
2.(2)
 
9,64
1 (1 0,1)


 0,1

 2  0,1
1 (1 0,1)

 0,1

 2  0,1
LIC  10  2,7(1)
LSC  10  2,7(1) 
• Exemplo
– Os valores para a amostra 2 são:
z2  0,1.(7,99)  (1 0,1).9,945  9,7495
Ponderada - EWMA

Valores
além dos
limites
Amostra Xi Zi
1 9,45 9,9450
2 7,99 9,7495
3 9,29 9,7036
4 11,66 9,8992
5 12,16 10,1253
6 10,18 10,1307
7 8,04 9,9217
8 11,46 10,0755
9 9,20 9,9880
10 10,34 10,0232
11 9,03 9,9238
12 11,47 10,0785
13 10,51 10,1216
14 9,40 10,0495
15 10,08 10,0525
16 9,37 9,9843
17 10,62 10,0478
18 10,31 10,0740
19 8,52 9,9186
20 10,84 10,0108
21 10,90 10,0997
22 9,33 10,0227
23 12,29 10,2495
24 11,50 10,3745
25 10,60 10,3971
26 11,08 10,4654
27 10,38 10,4568
28 11,62 10,5731
29 11,31 10,6468
30 10,52 10,6341
EWMA
Ponderada - EWMA

Gráfico MMEP — Minitab
EWM
A
9 12 15 18 21 24 27 30
Sample
6
3
10,75
10,50
10,25
10,00
9,75
9,50
_
X=10
+2,7SL=10,619
-2,7SL=9,381
EWMA
Chart
EWMA
Ponderada - EWMA

Planejamento de um Gráfico de Controle MMEP
– O gráfico MMEP é muito eficaz contra pequenas mudanças no
processo.
– Os parâmetros do planejamento do gráfico MMEP são L e .
– É possível escolher esses parâmetros de modo a obtermos um bom
desempenho do CMS, próximo ao observado no gráfico CUSUM.
– Lucas e Saccucci (1990) apresentam um estudo com o CMS para alguns
valores de (L, ).
Ponderada - EWMA

CMS para vários Esquemas de Controle MMEP
(adaptado de Lucas e Saccucci (1990))
Multiplo de sigma
L = 3,054
lamb.=0,4
L=2,998
lamb.=0,25
L=2,962
lamb.=0,2
L=2,812
lamb.=0,1
L=2,615
lamb.=0,05
Shewhart
0,00 500,0 500,0 500,0 500,0 500,0 370,4
0,25 224,0 170,0 150,0 106,0 84,1 281,1
0,50 71,2 48,2 41,8 31,3 28,2 155,2
0,75 28,4 20,1 18,2 15,9 16,4 81,2
1,00 14,3 11,1 10,5 10,3 11,4 43,9
1,50 5,9 5,5 5,5 6,1 7,1 15,0
2,00 3,5 3,6 3,7 4,4 5,2 6,3
2,50 2,5 2,7 2,9 3,4 4,2 3,2
3,00 2,0 2,3 2,4 2,9 3,5 2,0
4,00 1,4 1,7 1,9 2,2 2,7 1,2
Ponderada - EWMA

• Conclusões: Estudo de Lucas e Saccucci(1990)
– Valores de 0,05    0,25 funcionam bem na prática
•  = 0,05,  = 0,1 e  = 0,2 são escolhas populares.
– Utilizar valores menores de  para detectar pequenas mudanças.
– L = 3 funciona razoavelmente bem com valores maiores de  ( > 0,25)
– Quando   0,10, deve-se trabalhar com 2,6  L  2,7.
Ponderada - EWMA

– O gráfico MMEP não funciona bem para grandes mudanças
– Uma abordagem para melhorar a habilidade do gráfico em detectar grandes
mudanças é o procedimento combinado MMEP-Shewhart (Lucas, 1982)
• Construir um gráfico Shewhart para zi
• Neste caso, recomenda-se o uso de limites de controle de 3,25 ou 3,5.
• O aumento de 0,25 ou 0,5 nos limites de controle no gráfico de Shewhart é
justificado pelo fato de estarmos interessados em detectar grandes mudanças
• O gráfico MMEP ficaria “responsável” por pequenas alterações na média,
enquanto que o gráfico de Shewhart se encarregaria em detectar grandes
alterações.
– Um sinal fora de controle em qualquer (ou ambos) os gráficos constitui num
sinal de ação
Ponderada - EWMA

Subgrupos Racionais
– O gráfico MMEP se estende facilmente ao caso de média de
subgrupos racionais (n>1).
– Basta substituir xi por xi (a média amostral ou do subgrupo)
nas fórmulas anteriores e substituir  por
 x   / n
Ponderada - EWMA

Robustez do MMEP à Não- Normalidade
– Lembre-se que o gráfico de Shewhart para observações individuais era muito
sensível a não-normalidade, acarretando em um número excessivo de
alarmes falsos.
– Borror, Montgomery, Runger (1999) comparam o desempenho do CMS0
(sob controle) do gráfico de Shewhart e do gráfico MMEP para
observações individuais. No estudo foram utilizadas:
• A distribuição Gama para representar o caso de distribuições
assimétricas;
• A distribuição t-Student para representar distribuições simétricas com
caudas mais pesadas que a Normal.
– Os resultados são apresentados a seguir:
Ponderada - EWMA

Lambda
L
0,05
2,492
0,1
2,703
0,2
2,86
1
3
Normal 370 371 371 370
Gama(4,1) 372 341 259 97
Gama(3,1) 372 332 238 85
Gama(2,1) 372 315 208 71
Gama(1,1) 369 274 163 55
Gama(0.5,1) 357 229 131 45
Comprimento Médio da Sequencia sob Controle (CMSo)
Distribuições Assimétricas
Shewhart
Ponderada - EWMA

Lambda
L
0,05
2,492
0,1
2,703
0,2
2,86
1
3
Normal 370 371 371 370
t(50) 369 365 353 283
t(40) 369 363 348 266
t(30) 368 361 341 242
t(20) 367 355 325 204
t(15) 365 349 310 176
t(10) 361 335 280 137
t(8) 358 324 259 117
t(6) 351 305 229 96
t(4) 343 274 188 76
Comprimento Médio da Sequencia sob Controle (CMSo)
Distribuições Simétricas
Shewhart
Ponderada - EWMA

• Conclusões Importantes do Estudo
– Distribuições Não-Normais tem o efeito de reduzir sensivelmente o
CMS sob controle do gráfico de Shewhart para observações
individuais.
• Isso aumentará drasticamente o número de alarmes falsos.
– Um MMEP escolhido adequadamente terá um desempenho muito bom
em relação a distribuições tanto Normais quanto Não-Normais
• Logo, é extremamente recomendado o uso de um gráfico MMEP bem
planejado como gráfico de controle para medidas individuais.
Ponderada - EWMA

Exemplo 1
•Uma máquina é usada para encher latas com óleo aditivo de
motor. Uma única lata é amostrada a cada hora e o seu peso,
medido. Como o processo de enchimento é automático,
ele tem uma variabilidade muito estável, e uma experiência
longa indica que σ=0,05 oz. As observações individuais para
24 horas de operação são mostradas a seguir.
Ponderada - EWMA

Exemplo 1 (continuação)
Ponderada - EWMA

a) Suponha que o alvo do processo seja 8,02 oz, estabeleça um
cusum tabular para esse processo. Planeje o cusum usando os
valores h=4,77 e k=0,5.
b) Suponha que os dados representem observações
tomadas imediatamente após um ajuste que pretendia levar o
processo de volta ao alvo de µ=8,0. Estabeleça e aplique um cusum
RIR (headstart de 50%) para monitorar esse processo.
c) Estabeleça um gráfico de controle MMEP com λ=0,2 e L=3
para esse processo. Interprete os resultados.
Exemplo 1 (continuação)
Ponderada - EWMA

•Gere 20 valores de X, X~N(10,1), e outros 20 para
X~N(9,1). Cria um vetor com os 40 valores gerados (na
mesma sequência). Descubra qual dos dois dispositivos,
algoritmo CUSUM (k=4,774 e k=0,5) ou o gráfico MMEP
(L=2,859 e λ=0,20), sinaliza com mais rapidez o
deslocamento na média do processo (de 10 para 9).
Exemplo 2
Ponderada - EWMA

Aula 6 CUSUM _ EWMA_do livro Montgomery _controle estatístico de processo - CEP

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