Ricardo Luiz Gerardi Braga é graduado em Licenciatura Plena em Matemática pela Universidade do Estado da Bahia e está cursando pós-graduação em Metodologia do Ensino da Matemática pelo Instituto de Conhecimento Latino-Americano. O documento apresenta conceitos fundamentais sobre limites de funções, incluindo exemplos e propriedades dos limites de constantes, soma, diferença, produto e quociente. Além disso, aborda limites de potências e raízes, e a noção de função contínua.

1. RICADRO LUIZ GERARDI BRAGA
GRADUAÇÃO: GRADUADO EM LICENCIATURA
PLENA EM MATEMÁTICA PELA UNIVERSIDADE
DO ESTADO DA BAHIA - UNEB E PÓS
GRADUANDO EM METODOLOGIA DO ENSINO
DA MATEMÁTICA PELO INSTITUTO DE
CONHECIMENTO LATINO-AMERICANO – ICLA

2. LIMITE
Idéia intuitiva de limite.
Consideremos uma figura de forma quadrada e de
área igual a 1.
1
1

3. Desenvolvemos as seguintes etapas.
 Colorimos a metade da figura em azul.
Área colorida: 1/2

4.  Colorimos a metade do que restou em branco.
Área colorida:
1/2+1/4 = 3/4

5.  Colorimos a metade do que restou em branco.
Área colorida:
1/2+1/4+1/8 = 7/8

6. Continuando esse processo sucessiva e
independentemente, a região colorida vai preenchendo
quase todo o quadro inicial, isto é, a área vai se
aproximando de 1, ou seja, vai tendendo a 1.
1/2, 3/4, 7/8, 15/16, ...
Dizemos que o limite da função é igual a 1.

7. DEFINIÇÃO DE LIMITE
X
Y
L
a
f(x)
Dizemos que o limite da
função f(x), quando x
tende ao valor de a, é o
número real L, se, e
somente se, os números
reais da imagem de f(x)
permanecerem perto de
L, para qualquer valor de
x próximo de a.
Lim f(x) = L
X a

8. Lim f(x) = L
X a
Podemos ainda calcular o limite quando existir f(x) em
todos os pontos de um intervalo aberto que contenha
“a” e os limites laterais, tanto pela direita como pela
esquerda, tiverem o mesmo valor L. Então:
Lim f(x) = L
X a_
Lim f(x) = L
X a+
= =

9. PROPRIEDADES DOS LIMITE
Limite de uma constante
Lim k = k
X Xo
Exemplos:
Lim 5 = 5
X 2
Lim -3 = -3
X 5
O limite de uma constante é a própria constante.

10. O limite da soma de duas ou mais funções é igual a
soma dos limites dessas funções.
Lim [f(x)+ g(x)] = Lim f(x)+ Lim g(x)
X Xo
Exemplos:
X Xo X Xo
Lim (x+3) = Lim x + Lim 3
X 2 X 2 X 2
= 2 + 3 = 5
 Limite da soma

11. O limite da diferença de duas ou mais funções é igual a
diferença dos limites dessas funções.
Lim [f(x) - g(x)] = Lim f(x) - Lim g(x)
X Xo
Exemplos:
X Xo X Xo
Lim (2x - 5) = Lim 2x - Lim 5
X 2 X 2 X 2
= 4 - 5 = -1
 Limite da diferença

12. O limite do produto de duas ou mais funções é igual ao
produto dos limites dessas funções.
Lim [f(x).g(x)] = Lim f(x). Lim g(x)
X Xo
Exemplos:
X Xo X Xo
Lim (2x2) = Lim 2 . Lim x2
X 2 X 2 X 2
= 2. 22 = 8
 Limite do produto

13. O limite do quociente de duas funções é igual ao
quociente dos limites dessas funções. Exceto quando o
limite do divisor for igual a zero.
Exemplos:
Lim f(x)
X Xo
Lim g(x)
X Xo
X Xo
f(x)
g(x)
Lim =
X 2
X + 3
X + 4
Lim =
Lim x+3
X 2
Lim x+4
X 2
2+3
2+4
= =
5
6
 Limite do quociente

14. O limite de uma potência enésima de uma função é
igual à potência enésima do limite dessa função.
Exemplos:
 Limite de uma potência
Lim (5x)2 = (Lim 5x)2 = (5.1)2 = 25
X 1 X 1

15. O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz
enésima do limite dessa função.
 Limite de uma raiz
Exemplos:
Lim √4x = √ = √4.3 = √12 = 2√ 3
X 3
X 3
lim 4x

16. FUNÇÃO CONTÍNUA
Uma função f(x) definida num intervalo ε com o
ponto a pertencente a ε, é dita contínua em x =
a se:
Lim f(x) = f(a)
X a
Exemplo: Verificar se a função f(x) abaixo é continua
em x = 3.
X2 - 4
X - 2
f(x) =

17. EXERCÍCIOS
Calcule o limite das funções abaixo.

18. BIBLIOGRAFIA
• IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática
elementar. São Paulo: Atual.1993. V. 8
• GUIDORIZZI, H. Um curso de cálculo diferencial
e integral. Rio de Janeiro : LTC, 2002
• GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José
Roberto. Matemática: uma nova abordagem. V.
3 – FTD, 2001