1) O documento apresenta algoritmos aproximativos para problemas NP-difíceis como cobertura de vértices, caixeiro viajante e soma de subconjuntos; 2) Para o problema de cobertura de vértices é apresentado um algoritmo 2-aproximativo de tempo polinomial; 3) Para o problema do caixeiro viajante é apresentado um algoritmo que constrói um ciclo hamiltoniano a partir de uma árvore geradora mínima, garantindo que o comprimento do ciclo seja no máximo o comprimento do ciclo ótimo

1. Algoritmos Aproximativos
Fernando Simeone
Mestrado em Ciência da Computação
Universidade Federal de Lavras
!
Projeto e Análise de Algoritmos (2014/2)

2. Tópicos
• Introdução
• Conceitos
• O problema de cobertura de vértices
• O problema do caixeiro viajante
• O problema da soma de subconjuntos
• Considerações finais
• Referências

3. Introdução

4. Introdução

5. Introdução
• Problemas com alto custo computacional;

6. Introdução
• Problemas com alto custo computacional;
• Problemas da classe NP-difícil;

7. Introdução
• Problemas com alto custo computacional;
• Problemas da classe NP-difícil;
• Problemas de grande relevância prática.

8. Introdução

9. Introdução
• Requisitos dos problemas da classe NP-difícil:

10. Introdução
• Requisitos dos problemas da classe NP-difícil:
1. Encontrar a solução ótima

11. Introdução
• Requisitos dos problemas da classe NP-difícil:
1. Encontrar a solução ótima
2. Em tempo polinomial

12. Introdução
• Requisitos dos problemas da classe NP-difícil:
1. Encontrar a solução ótima
2. Em tempo polinomial
3. Para todas as instâncias

13. Conceitos

14. Problemas de Otimização
Problemas de
MAXIMIZAÇÃO
Problemas de
MINIMIZAÇÃOX

15. Fator de aproximação
ρ(n)C C*
Algoritmo
ρ(n)-aproximativo

16. Problemas de Minimização

17. Problemas de Minimização
0 < C* ≤ C

18. Problemas de Minimização
0 < C* ≤ C
ρ(n) ≥ C
C*

19. Problemas de Maximização

20. Problemas de Maximização
0 < C ≤ C*

21. Problemas de Maximização
0 < C ≤ C*
ρ(n) ≥ C*
C

22. Problemas de Otimização
ρ(n) ≥ max C* , C
C C*

23. Esquema Aproximativo
𝟄 > 0
algoritmo (1 + 𝟄)-aproximativo

24. O problema de
cobertura de vértices

25. O problema de cobertura de
vértices
b dc
e f
a
g h

26. O problema de cobertura de
vértices
b dc
e f
a
g h

27. Algoritmo Aproximativo
COBERTURA-VÉRTICES-APROXIMADO (G)
1
C = ∅
2
E' = G.E
3
enquanto E' ≠ ∅
4
escolha uma aresta (u, v) ∈ E'
5
C = C ∪ {u, v}
6
remover de E' todas as arestas incidentes em u ou v
7
retorna C
O(V + E)

28. COBERTURA-VÉRTICES-APROXIMADO (G)
1
C = ∅
2
E' = G.E
3
enquanto E' ≠ ∅
4
escolha uma aresta (u, v) ∈ E'
5
C = C ∪ {u, v}
6
remover de E' todas as arestas incidentes
em u ou v
7
retorna C
Algoritmo Aproximativo
b dc
e f
a
g h
C = {}
!
E' = {(a,b), (a,e), (b,c), (b,g), (c,d),
(d,g), (d,h), (e,f), (f,g)}

29. COBERTURA-VÉRTICES-APROXIMADO (G)
1
C = ∅
2
E' = G.E
3
enquanto E' ≠ ∅
4
escolha uma aresta (u, v) ∈ E'
5
C = C ∪ {u, v}
6
remover de E' todas as arestas incidentes
em u ou v
7
retorna C
Algoritmo Aproximativo
b dc
e f
a
g h
C = {a, b}
!
E' = {(c,d), (d,g), (d,h), (e,f), (f,g)}

30. COBERTURA-VÉRTICES-APROXIMADO (G)
1
C = ∅
2
E' = G.E
3
enquanto E' ≠ ∅
4
escolha uma aresta (u, v) ∈ E'
5
C = C ∪ {u, v}
6
remover de E' todas as arestas incidentes
em u ou v
7
retorna C
Algoritmo Aproximativo
b dc
e f
a
g h
C = {a, b, c, d}
!
E' = {(e,f), (f,g)}

31. COBERTURA-VÉRTICES-APROXIMADO (G)
1
C = ∅
2
E' = G.E
3
enquanto E' ≠ ∅
4
escolha uma aresta (u, v) ∈ E'
5
C = C ∪ {u, v}
6
remover de E' todas as arestas incidentes
em u ou v
7
retorna C
Algoritmo Aproximativo
b dc
e f
a
g h
C = {a, b, c, d, e, f}
!
E' = {}

32. Algoritmo Aproximativo
b dc
e f
a
g h
Solução Encontrada
b dc
e f
a
g h
C = {b, d, e, f}
Solução Ótima
C = {a, b, c, d, e, f}

33. COBERTURA-VÉRTICES-APROXIMADO (G)
1
C = ∅
2
E' = G.E
3
enquanto E' ≠ ∅
4
escolha uma aresta (u, v) ∈ E'
5
C = C ∪ {u, v}
6
remover de E' todas as arestas incidentes
em u ou v
7
retorna C
Fator de Aproximação
b dc
e f
a
g h
A = { (a, b), (c, d), (e, f) }
A

34. COBERTURA-VÉRTICES-APROXIMADO (G)
1
C = ∅
2
E' = G.E
3
enquanto E' ≠ ∅
4
escolha uma aresta (u, v) ∈ E'
5
C = C ∪ {u, v}
6
remover de E' todas as arestas incidentes
em u ou v
7
retorna C
Fator de Aproximação
b dc
e f
a
g h
A = { (a, b), (c, d), (e, f) }
A
|A| ≤ |C*|

35. COBERTURA-VÉRTICES-APROXIMADO (G)
1
C = ∅
2
E' = G.E
3
enquanto E' ≠ ∅
4
escolha uma aresta (u, v) ∈ E'
5
C = C ∪ {u, v}
6
remover de E' todas as arestas incidentes
em u ou v
7
retorna C
Fator de Aproximação
b dc
e f
a
g h
A = { (a, b), (c, d), (e, f) }
A
|A| ≤ |C*|
|C| = 2|A|

36. COBERTURA-VÉRTICES-APROXIMADO (G)
1
C = ∅
2
E' = G.E
3
enquanto E' ≠ ∅
4
escolha uma aresta (u, v) ∈ E'
5
C = C ∪ {u, v}
6
remover de E' todas as arestas incidentes
em u ou v
7
retorna C
Fator de Aproximação
b dc
e f
a
g h
A = { (a, b), (c, d), (e, f) }
A
|A| ≤ |C*|
|C| = 2|A|
|C| ≤ 2|C*|

37. COBERTURA-VÉRTICES-APROXIMADO (G)
1
C = ∅
2
E' = G.E
3
enquanto E' ≠ ∅
4
escolha uma aresta (u, v) ∈ E'
5
C = C ∪ {u, v}
6
remover de E' todas as arestas incidentes
em u ou v
7
retorna C
Fator de Aproximação
b dc
e f
a
g h
A = { (a, b), (c, d), (e, f) }
A
|A| ≤ |C*|
|C| = 2|A|
|C| ≤ 2|C*|
ρ(n) = 2

38. COBERTURA-VÉRTICES-APROXIMADO (G)
1
C = ∅
2
E' = G.E
3
enquanto E' ≠ ∅
4
escolha uma aresta (u, v) ∈ E'
5
C = C ∪ {u, v}
6
remover de E' todas as arestas incidentes
em u ou v
7
retorna C
Fator de Aproximação
b dc
e f
a
g h
A = { (a, b), (c, d), (e, f) }
A
|A| ≤ |C*|
|C| = 2|A|
|C| ≤ 2|C*|
ρ(n) = 2
Algoritmo 2-aproximativo
de tempo polinomial

39. O problema do
caixeiro viajante

40. O problema do caixeiro
viajante
b
d
c
e f
a g
12

41. O problema do caixeiro
viajante
b
d
c
e f
a g

42. Inequalidade Triangular
b
c
a
dist(a, b) + dist(b, c) ≥ dist(a, c)

43. Algoritmo Aproximativo
𝜣(V2)
CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua ordem de
visitação em um percurso de pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H

44. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Algoritmo Aproximativo
b
d
c
e f
a g

45. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Algoritmo Aproximativo
b
d
c
e f
a g

46. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Algoritmo Aproximativo
b
d
c
e f
a g
1
5
3
4
6
7
2
H = {a, b, d, e, f, g, c, a}

47. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Algoritmo Aproximativo
H = {a, b, d, e, f, g, c, a}
b
d
c
e f
a g

48. Algoritmo Aproximativo
b
d
c
e f
a g
b
d
c
e f
a g
b
d
c
e f
a g
b
d
c
e f
a g
1
5
3
4
6
7
2

49. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Fator de Aproximação

50. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Fator de Aproximação
c(T) ≤ c(H*)

51. Algoritmo Aproximativo
b
d
c
e f
a g
W
W = {a, b, d, e, f, g, f, e, d, c, d, b, a}

52. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Fator de Aproximação
c(T) ≤ c(H*)

53. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Fator de Aproximação
c(T) ≤ c(H*)
c(W) = 2c(T)

54. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Fator de Aproximação
c(T) ≤ c(H*)
c(W) = 2c(T)
c(W) ≤ 2c(H*)

55. Algoritmo Aproximativo
b
d
c
e f
a g
W = {a, b, d, e, f, g, f, e, d, c, d, b, a}
H = {a, b, d, e, f, g, c, a}

56. Algoritmo Aproximativo
b
d
c
e f
a g
W = {a, b, d, e, f, g, f, e, d, c, d, b, a}
H = {a, b, d, e, f, g, c, a}

57. Algoritmo Aproximativo
b
d
c
e f
a g
W = {a, b, d, e, f, g, f, e, d, c, d, b, a}
H = {a, b, d, e, f, g, c, a}

58. Algoritmo Aproximativo
b
d
c
e f
a g
W = {a, b, d, e, f, g, f, e, d, c, d, b, a}
H = {a, b, d, e, f, g, c, a}

59. Algoritmo Aproximativo
b
d
c
e f
a g
W = {a, b, d, e, f, g, f, e, d, c, d, b, a}
H = {a, b, d, e, f, g, c, a}

60. Algoritmo Aproximativo
b
d
c
e f
a g
W = {a, b, d, e, f, g, f, e, d, c, d, b, a}
H = {a, b, d, e, f, g, c, a}

61. Algoritmo Aproximativo
b
d
c
e f
a g
W = {a, b, d, e, f, g, f, e, d, c, d, b, a}
H = {a, b, d, e, f, g, c, a}

62. Algoritmo Aproximativo
b
d
c
e f
a g
W = {a, b, d, e, f, g, f, e, d, c, d, b, a}
H = {a, b, d, e, f, g, c, a}

63. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Fator de Aproximação
c(T) ≤ c(H*)
c(W) = 2c(T)
c(W) ≤ 2c(H*)

64. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Fator de Aproximação
c(T) ≤ c(H*)
c(W) = 2c(T)
c(W) ≤ 2c(H*)
c(H) ≤ c(W)

65. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Fator de Aproximação
c(T) ≤ c(H*)
c(W) = 2c(T)
c(W) ≤ 2c(H*)
c(H) ≤ c(W)
c(H) ≤ 2c(H*)

66. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Fator de Aproximação
c(T) ≤ c(H*)
c(W) = 2c(T)
c(W) ≤ 2c(H*)
c(H) ≤ c(W)
c(H) ≤ 2c(H*)
ρ(n) = 2

67. CAIXEIRO-VIAJANTE-APROXIMADO (G, c)
1
seleciona vértice r ∈ G.E para ser a raiz
2
T = PRIM(G, c, r)
3
H = vértices ordenados de acordo com sua
ordem de visitação em um percurso de
pré-ordem em T
4
retorna ciclo hamiltoniano H
Fator de Aproximação
c(T) ≤ c(H*)
c(W) = 2c(T)
c(W) ≤ 2c(H*)
c(H) ≤ c(W)
c(H) ≤ 2c(H*)
ρ(n) = 2
Algoritmo 2-aproximativo
de tempo polinomial

68. O problema da soma
de subconjuntos

69. O problema da soma de
subconjuntos
S = {1, 3, 5, 15, 18, 26}
!
t = 41

70. Algoritmo Exato
S = {1, 3, 5, 15, 18, 26} t = 41

71. Algoritmo Exato
S = {1, 3, 5, 15, 18, 26}
L0
= {0}
t = 41

72. Algoritmo Exato
S = {1, 3, 5, 15, 18, 26}
L0
= {0}
L1
= L0
∪ L0
+ 1 = {0} ∪ {1} = {0,1}
t = 41

73. Algoritmo Exato
S = {1, 3, 5, 15, 18, 26}
L0
= {0}
L1
= L0
∪ L0
+ 1 = {0} ∪ {1} = {0,1}
L2
= L1
∪ L1
+ 3 = {0,1} ∪ {3, 4} = {0, 1, 3, 4}
t = 41

74. Algoritmo Exato
S = {1, 3, 5, 15, 18, 26}
L0
= {0}
L1
= L0
∪ L0
+ 1 = {0} ∪ {1} = {0,1}
L2
= L1
∪ L1
+ 3 = {0,1} ∪ {3, 4} = {0, 1, 3, 4}
Li
= Li-1
∪ Li-1
+ xi
…
t = 41

75. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln

76. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos
maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln

77. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos
maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln
S = {1, 3, 6}, t = 5

78. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos
maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln
S = {1, 3, 6}, t = 5
n = 3

79. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos
maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln
S = {1, 3, 6}, t = 5
n = 3

80. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos
maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln
S = {1, 3, 6}, t = 5
n = 3
L0 = {0}
estado inicial

81. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos
maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln
S = {1, 3, 6}, t = 5
n = 3
L0 = {0}
estado inicial

82. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos
maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln
S = {1, 3, 6}, t = 5
n = 3
L0 = {0}
estado inicial
L1 = {0, 1}
xi = 1

83. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos
maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln
S = {1, 3, 6}, t = 5
n = 3
L0 = {0}
estado inicial
L1 = {0, 1}
xi = 1

84. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos
maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln
S = {1, 3, 6}, t = 5
n = 3
L0 = {0}
estado inicial
L1 = {0, 1}
xi = 1
L2 = {0, 1, 3, 4}
xi = 3

85. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos
maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln
S = {1, 3, 6}, t = 5
n = 3
L0 = {0}
estado inicial
L1 = {0, 1}
xi = 1
L2 = {0, 1, 3, 4}
xi = 3

86. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos
maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln
S = {1, 3, 6}, t = 5
n = 3
L0 = {0}
estado inicial
L1 = {0, 1}
xi = 1
L2 = {0, 1, 3, 4}
xi = 3
L3 = {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}
xi = 6

87. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos
maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln
S = {1, 3, 6}, t = 5
n = 3
L0 = {0}
estado inicial
L1 = {0, 1}
xi = 1
L2 = {0, 1, 3, 4}
xi = 3
L3 = {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}
xi = 6

88. Algoritmo Exato
SOMA-SUBCONJUNTOS (S, t)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
remover de Li todos os elementos
maiores que t
6
retorna maior elemento em Ln
S = {1, 3, 6}, t = 5
n = 3
L0 = {0}
estado inicial
L1 = {0, 1}
xi = 1
L2 = {0, 1, 3, 4}
xi = 3
L3 = {0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10}
xi = 6
Tamanho de Li pode chegar a 2i

89. Algoritmo Aproximativo
Estratégia: desconsiderar alguns elementos de Li
Li = {1, 5, 28, 29, 45, 50, 51, 55, 58, 63, 64}

90. Algoritmo Aproximativo
Estratégia: desconsiderar alguns elementos de Li
Li = {1, 5, 28, 29, 45, 50, 51, 55, 58, 63, 64}

91. Algoritmo Aproximativo
Estratégia: desconsiderar alguns elementos de Li
Li = {1, 5, 28, 29, 45, 50, 51, 55, 58, 63, 64}
TRIM(Li, δ) = {1, 5, 28, 45, 50, 55, 58, 63}

92. Algoritmo Aproximativo
Estratégia: desconsiderar alguns elementos de Li
Li = {1, 5, 28, 29, 45, 50, 51, 55, 58, 63, 64}
TRIM(Li, δ) = {1, 5, 28, 45, 50, 55, 58, 63}
y ≤ z ≤ y
1 + δ

93. Algoritmo Aproximativo
Li = {1, 5, 28, 29, 45, 50, 51, 55, 58, 63, 64}
y ≤ z ≤ y
1 + δ

94. Algoritmo Aproximativo
Li = {1, 5, 28, 29, 45, 50, 51, 55, 58, 63, 64}
y ≤ z ≤ y
1 + δ
z y
Se y ≤ z(1 + δ), remover y

95. Esquema Aproximativo
TRIM (L, δ)
1
m = |L|
2
L'= ⟨yi⟩
3
z = yi
4
para i = 2 até m
5
se yi > z(1 + δ)
6
adicionar yi a L’
7
z = yi
6
retorna L'

96. Esquema Aproximativo
SOMA-SUBCONJUNTOS-APROXIMADO (S, t, ϵ)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
Li = TRIM(Li, ϵ/2n)
6
remover de Li todos os elementos maiores que t
7
retorna maior elemento em Ln

97. Esquema Aproximativo
SOMA-SUBCONJUNTOS-APROXIMADO (S, t, ϵ)
1
n = |S|
2
L0 = ⟨0⟩
3
para i = 1 até n
4
Li = MERGE-LIST(Li-1, Li-1 + xi)
5
Li = TRIM(Li, ϵ/2n)
6
remover de Li todos os elementos maiores que t
7
retorna maior elemento em Ln
Se n = 4 e ϵ = 0.4 então δ = ϵ / 8 = 0,05

98. Considerações Finais

99. Considerações Finais

100. Considerações Finais
• Algoritmos aproximativos são aplicáveis para problemas
de otimização da classe NP-difícil;

101. Considerações Finais
• Algoritmos aproximativos são aplicáveis para problemas
de otimização da classe NP-difícil;
• Conhecer o fator de aproximação possui importância
prática;

102. Considerações Finais
• Algoritmos aproximativos são aplicáveis para problemas
de otimização da classe NP-difícil;
• Conhecer o fator de aproximação possui importância
prática;
• Provar o fator aproximativo pode ser uma tarefa
complexa;

103. Considerações Finais
• Algoritmos aproximativos são aplicáveis para problemas
de otimização da classe NP-difícil;
• Conhecer o fator de aproximação possui importância
prática;
• Provar o fator aproximativo pode ser uma tarefa
complexa;
• Desenvolvimento de heurísticas.

104. Referências
Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., and Stein, C.
(2009). Introduction to Algorithms, Third Edition. The MIT
Press, 3rd edition.
!
Vazirani, V. V. (2001). Approximation algorithms. springer.
!
Williamson, D. P. and Shmoys, D. B. (2011). The design of
approximation algorithms. Cambridge University Press.

105. Obrigado
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