Acionamentos_e_Comandos_Eletricos.pdf

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DEMAT - DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS
COORDENAÇÃO DE ELETROMECÂNICA E MECATRÔNICA
Fundamentos para o Ensino Técnico  Teoria, problemas e exercícios  Guias de Aulas Práticas
ANDRÉ BARROS DE MELLO OLIVEIRA
Campus I – Belo Horizonte
 MINAS GERAIS
Maio de 2015 Departamento de
Engenharia de Materiais
qe

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Av. Amazonas 5253 - Nova Suiça - Belo Horizonte - MG - Brasil
CEP 30.421-169 - Telefone: +55 (31) 3319-7000

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Prefácio
Este texto tem por objetivo principal oferecer um material básico de referência para a disciplina
Acionamentos e Comandos Elétricos, para os Cursos Técnicos de Eletromecânica e Mecatrônica do
CEFET-MG, do Departamento de Engenharia de Materiais – DEMAT.
O texto conta com oito capítulos, numa sequência que possibilita ao aluno consolidar os conceitos
teóricos através da leitura dos tópicos, dos exemplos resolvidos e da resolução de problemas e exercícios,
incluindo exercícios de simulação. Além disso, foram inseridos vários guias de aulas práticas (Apêndice
III) que os (as) alunos (as) utilizarão nas aulas em laboratório.
É importante que o leitor tenha como pontos de partida conceitos fundamentais da eletricidade,
como o conhecimento do Sistema Internacional de Unidades (SI), da notação científica e de grandezas
elétricas básicas. No primeiro capítulo são apresentados conceitos básicos de corrente alternada (CA),
com ênfase no sistema trifásico. Para um aprofundamento neste assunto, o aluno já conta com uma
disciplina no curso, Circuitos Elétricos.
Vale salientar que o presente texto não deve substituir a literatura técnica da área de
Acionamentos e Comandos Elétricos, pois as referências bibliográficas são, além de base desta obra,
muito enriquecedoras em aspectos teóricos e práticos. O bom aluno deve sempre ler e pesquisar os
assuntos referentes a esta disciplina do curso nos excelentes livros editados em português, além de
apostilas e tutoriais disponíveis na Internet.
Uma observação importante: considera-se no texto, para acionamento dos contatores, a tensão de
alimentação de 220 V. Caso contrário, será informada a tensão no esquema do acionamento, por exemplo,
contator acionado por 24 V (60 Hz).
Pede-se a compreensão dos alunos e professores pelos eventuais erros. Assim sendo, são
imensamente bem-vindas as críticas, sugestões e correções, que certamente contribuirão para a melhoria
deste material didático, que brevemente, poderá se transformar em livro.
Belo Horizonte, maio de 2015.
Professor André Barros de Mello Oliveira
E-mails: mellogalo@deii.cefetmg.br
mellogalo@gmail.com.br

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CEP 30.421-169 - Telefone: +55 (31) 3319-7000

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BIOGRAFIA
André Barros de Mello Oliveira nasceu em Belo Horizonte, Minas Gerais, em 17 de julho de 1969.
Formou-se em Engenharia Industrial Elétrica pelo Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas
Gerais (CEFET-MG), em dezembro de 1992. Obteve o título de Mestre em Engenharia Elétrica pela
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), em dezembro de 1998, na área de Eletrônica de
Potência. Atuou como professor em Escolas de formação técnica em Belo Horizonte, como o SENAI, a
Utramig, o SESI e o CEFET-MG, até 2001. De 2001 a 2006 foi professor/pesquisador nos cursos de
Engenharia de Telecomunicações e de Engenharia Elétrica do Centro Universitário de Belo Horizonte
(Uni-BH). Desde outubro de 2006 é professor efetivo do CEFET-MG, atuando inicialmente no campus
Varginha (2006 a 2014), nos cursos técnicos de Informática Industrial e Mecatrônica. Atualmente é
professor do DEMAT, Departamento de Engenharia de Materiais, no campus I, em Belo Horizonte, onde
leciona nos cursos técnicos de Mecatrônica, Eletromecânica e Mecânica.

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Acionamentos e Comandos Elétricos - Ensino Técnico – MECATRÔNICA
“Um país se constrói com Homens e Livros.”
Monteiro Lobato
“Vencer a si próprio é a maior das vitórias.”
Platão
“Nossa maior fraqueza está em desistir.
O caminho mais certo de vencer é tentar mais uma vez.”
Thomas Edison

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Lista de Abreviaturas
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas - atua em todas as áreas técnicas do país. Os textos
das normas são adotados pelos órgãos governamentais (federais, estaduais e municipais) e pelas firmas.
Compõe-se de normas: NB, TB (terminologia), SB (simbologia), EB (especificação), MB (método de
ensaio) e PB (padronização).
AC – Alternating Current (corrente alternada).
ANSI – American National Standards Institute, Instituto de normas dos Estados Unidos que publica
recomendações e normas em praticamente todas as áreas técnicas. Na área dos dispositivos de comando
de baixa tensão, tem adotado frequentemente especificações da UL e da NEMA.
AT – Alta Tensão.
BT – Baixa Tensão.
CA – Corrente Alternada.
CC – Corrente Contínua.
CNC – Controle Numérico Computadorizado.
CV – Cavalo-Vapor, unidade de potência mecânica, correspondente a 736 Watts.
DC – Direct Current (corrente contínua).
DIN – Deutshe Industrie Normen, Associação de normas industriais alemãs. Suas publicações são
devidamente coordenadas com as da VDE.
fem – força eletromotriz.
FT – Relé de Sobrecarga.
IEC – International Electrotechinical Comission. Comissão formada por representantes de todos os
paises industrializados. As recomendações do IEC, publicadas por esta comissão, são normalmente
adotadas na íntegra pelos diversos paises ou, em outros casos, está se processando uma aproximação das
normas nacionais ao texto destas internacionais.
HP – Horse-Power, unidade de potência mecânica, correspondente a 746 Watts.
K – Contator.
KT – Relé de Tempo.
MI – Motor de Indução.
MIM ou MM – Motor de Indução Monofásico.
MIT – Motor de Indução Trifásico.
NA – Normalmente Aberto (relativo ao tipo de contato de uma chave).
NEMA – National Electrical Manufactures Association, Associação americana dos fabricantes de
materiais elétricos.
NF – Normalmente Fechado.
 - Rendimento.
RPM (ou rpm) – Rotações por minuto.
UL – Underwriters’ Laboratories Inc., entidade nacional de ensaio da área de proteção contra incêndio,
nos Estados Unidos, que entre outras coisas, realiza ensaios de equipamentos elétricos e publica as suas
prescrições.
VCC – Tensão Contínua (o mesmo que VDC).
VDE – Verband Deutscher Elektrotechniker, Associação de normas alemãs que publica normas e
recomendações da área de eletricidade.
VF – Tensão de Fase (tensão elétrica entre fase e neutro, VFN).
VL – Tensão de linha (tensão elétrica entre duas fases, VFF).

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Sumário
Capítulo 1 - Revisão de conceitos e aplicações de Corrente Alternada (CA) .............................................................13
1.1 – Introdução .........................................................................................................................................................................13
1.2 – Geração de Corrente Alternada.........................................................................................................................................18
1.2.1 - Princípio de funcionamento de um gerador elementar....................................................................................................19
1.2.2 - Lei de Faraday – F.E.M. induzida...................................................................................................................................19
1.2.3 – Sinais CA – principais parâmetros .................................................................................................................................21
1.2.4 – Sinais CA – valores característicos e conceitos importantes..........................................................................................23
1.2.4.1 – Valor médio, VCC ou VDC........................................................................................................................................25
1.2.4.2 – Valor eficaz, Vef ou Vrms ........................................................................................................................................25
1.3 – Relacionando graus elétricos e tempo e graus elétricos e mecânicos................................................................................27
1.4 – Representação fasorial de uma grandeza elétrica senoidal................................................................................................28
1.4.1 – Fasores ...........................................................................................................................................................................28
1.4.2 - Representação matemática de um fasor ..........................................................................................................................29
1.4.3 – Operações matemáticas com fasores..............................................................................................................................31
1.4.3.1 – Fasores representados por números complexos ....................................................................................................31
1.5 - Comportamento de circuitos resistivos, indutivos e capacitivos em CA............................................................................35
1.5.1 – Circuito resistivo - corrente e tensão em fase...........................................................................................................35
1.5.2 – Circuito puramente indutivo – tensão adiantada de 90 graus da corrente...............................................................36
1.5.3 - Circuito puramente capacitivo – corrente adiantada de 90 graus da tensão............................................................37
1.5.4 – Impedância de circuito CA .......................................................................................................................................38
1.5.4.1 – Lei de Ohm para a impedância Z em Corrente Alternada.....................................................................................40
1.5.4.2 – Associação de impedâncias ...................................................................................................................................40
1.6 - Sistema trifásico.................................................................................................................................................................41
Capítulo 2 – Introdução aos motores elétricos ............................................................................................................51
2.1 – Introdução .........................................................................................................................................................................51
2.2 – Aplicações de motores CC e CA.......................................................................................................................................51
2.2.1– MotoresdeCorrenteContínua(ou motoresCC).................................................................................................................52
2.2.2 – Motores de Corrente Alternada (ou motores CA).....................................................................................................54
2.3 – O motor CA trifásico.........................................................................................................................................................55
2.3.1 – Motor de indução......................................................................................................................................................55
2.3.1.1 - Motor de indução com rotor do tipo gaiola de esquilo...........................................................................................56
2.3.1.2 - Motor de anéis ou com rotor bobinado ..................................................................................................................57
2.3.2 – Motor trifásico de múltiplas velocidades..................................................................................................................57
2.3.2.1 – Motor trifásico de enrolamentos separados...........................................................................................................58
2.3.2.2 – Motor Dahlander ...................................................................................................................................................58
2.4 – Partes constituintes............................................................................................................................................................58
2.5 – Princípio de funcionamento do motor CA.........................................................................................................................59
2.5.1 – Campo girante de um motor trifásico .......................................................................................................................59
2.5.2 – Velocidade síncrona (ns)...........................................................................................................................................66
2.5.3 – Escorregamento (s)...................................................................................................................................................67
2.5.3.1 – Tensões induzidas no rotor ....................................................................................................................................67
2.5.4 – Conjugado.................................................................................................................................................................69
2.5.5 – Energia, potência elétrica e potência mecânica .......................................................................................................70
2.5.6 – Potência aparente, ativa e reativa ............................................................................................................................71
2.5.7 – Fator de potência......................................................................................................................................................71
2.5.8 – Rendimento ...............................................................................................................................................................73
2.5.9 – Categorias de conjugado ..........................................................................................................................................74
2.6 – Principais características nominais....................................................................................................................................76
2.7 – Ligações de motores de indução .......................................................................................................................................79
2.7.1 – Ligações de motores de 6 (seis) terminais ................................................................................................................80
2.7.2 – Ligações de motores de 9 (nove) terminais...............................................................................................................81
2.7.3 – Ligações de motores de 12 (doze) terminais.............................................................................................................83

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2.7.4 – Ligações de motores de duas velocidades (Dahlander)............................................................................................85
Capítulo 3 – Contator magnético ................................................................................................................................90
3.1 – Introdução .........................................................................................................................................................................90
3.2 – Contatores – aspectos construtivos, classificação e aplicações .........................................................................................91
3.2.1 – Classificação dos contatores ....................................................................................................................................92
3.2.2 – Tipos de contatores...................................................................................................................................................92
3.2.3 – Outras considerações................................................................................................................................................93
3.3 – Diagrama de carga ............................................................................................................................................................95
3.4 – Diagrama de comando.......................................................................................................................................................98
3.5 – Circuitos elétricos lógicos com contatores........................................................................................................................98
3.5.1 – Função lógica SIM (afirmação).................................................................................................................................99
3.5.2 – Função lógica NÃO (negação) ..................................................................................................................................99
3.5.3 – Função lógica E ou AND (associação em série)........................................................................................................99
3.5.4 – Função lógica OU (or) - associação em paralelo......................................................................................................99
3.5.5 – Função lógica não E (ou NAND).............................................................................................................................100
3.5.6 – Função lógica não OU (ou EXOR)..........................................................................................................................100
3.5.7 – Função lógica OU exclusivo (EXOR) ......................................................................................................................100
Capítulo 4 – Dispositivos de proteção e de comando ...............................................................................................115
4.1 – Introdução .......................................................................................................................................................................115
4.1.1 - Curto-circuito e proteção ........................................................................................................................................116
4.2 – Fusíveis...........................................................................................................................................................................116
4.2.1 - Operação do fusível.................................................................................................................................................117
4.2.2 - Fusível – definição clássica.....................................................................................................................................117
4.2.3 - Classificação ...........................................................................................................................................................118
4.2.4 - Principais características........................................................................................................................................119
4.3 – Disjuntores......................................................................................................................................................................125
4.3.1 - Aspectos construtivos de um disjuntor.....................................................................................................................125
4.3.2 – Curvas de disparo do Disjuntor..............................................................................................................................127
4.3.3 – Disjuntor diferencial residual (DR)........................................................................................................................127
4.3.3.1 - Princípio de proteção das pessoas .......................................................................................................................128
4.4 – Relés de sobrecarga.........................................................................................................................................................131
4.4.1 – Relé de sobrecarga bimetálico com botão RESET e tecla multifunções .................................................................132
4.4.2 – Relés eletrônicos.....................................................................................................................................................134
4.5 – Relé de tempo .................................................................................................................................................................136
4.5.1 – Relés de tempo eletrônicos......................................................................................................................................137
Capítulo 5 – Dispositivos de acionamento e de sinalização......................................................................................145
5.1 – Botão de comando...........................................................................................................................................................145
5.1.1 – Tipos de contato......................................................................................................................................................145
5.2 – Chave de fim-de-curso ....................................................................................................................................................150
5.3 – Sinalizadores...................................................................................................................................................................150
5.4 – Tomadas de uso industrial...............................................................................................................................................152
Capítulo 6 – Comando de motores trifásicos com contator ......................................................................................158
6.1 – Comando local e à distância............................................................................................................................................158
6.2 – Partida direta...................................................................................................................................................................158
6.3 – Reversão de rotação (manual e semi-automático)...........................................................................................................159
6.3.1 – Chave reversora de comando manual.....................................................................................................................160
6.3.2 – Chave reversora de comando semi-automático ......................................................................................................161
6.4 – Motor de duas velocidades (Dahlander)..........................................................................................................................164
6.5 – Comando condicionado de motores elétricos..................................................................................................................165

x
Capítulo 7 – Sistemas de partida de motores elétricos de indução............................................................................177
7.1 – Introdução .......................................................................................................................................................................177
7.2 – Chave estrela-triângulo manual e semi-automática.........................................................................................................178
7.2.1 - Vantagens e desvantagens da partida Y-...............................................................................................................178
7.2.2 – Diagrama da chave de partida estrela-triângulo no modo manual........................................................................180
7.2.3 – Diagrama da chave de partida estrela-triângulo no modo semi-automático..........................................................180
7.2.4 – Dimensionamento dos contatores para a chave de partida estrela-triângulo.........................................................181
7.2.5 – O Conjugado de partida da chave estrela-triângulo ..............................................................................................182
7.3 – Chave compensadora semi-automática ...........................................................................................................................184
7.3.1 – Equacionamento do torque de partida da chave de partida compensadora ...........................................................186
7.3.2 – Correntes da chave compensadora.........................................................................................................................189
7.3.2.1 – O Autotransformador...........................................................................................................................................189
7.3.2.2 – Equacionamento das correntes da chave compensadora.....................................................................................191
7.4 – Chave para motor de indução com rotor bobinado..........................................................................................................193
7.4.1 – Chave de partida para motor de indução com rotor bobinado...............................................................................195
Capítulo 8 – Motor monofásico ................................................................................................................................201
8.1 – Motor monofásico - princípio de funcionamento e componentes....................................................................................201
8.1.2 – A partida em um motor monofásico........................................................................................................................201
8.1.3 – Características principais do motor monofásico ....................................................................................................204
8.1.4 – Motor monofásico x motor trifásico........................................................................................................................204
8.2 – Diagramas de ligação em 127 V e em 220 V ..................................................................................................................205
8.2.1 – Motor monofásico de 2 terminais ...........................................................................................................................205
8.3 – Sistema de reversão de rotação no MM ..........................................................................................................................206
Apêndice I – Plano de Ensino da disciplina Acionamentos e Comandos Elétricos ..................................................211
Apêndice II – Informações úteis. Normas e símbolos utilizados em comandos elétricos.........................................214
Apêndice III – Guias de aulas práticas......................................................................................................................215
Aula Prática 1 - ACIONAMENTO DE LÂMPADAS E MEDIÇÃO DE CORRENTE E TENSÃO MONOFÁSICAS .............................................216
Aula Prática 2 - COMANDOS DE ACIONAMENTO POR CHAVES E MEDIÇÃO DE VALORES TRIFÁSICOS ...............................................218
Aula Prática 3 – CONTROLE DE CARGA UTILIZANDO CONTATOR E RELÉ DE TEMPO ........................................................................221
Aula Prática 4 - CHAVE DE PARTIDA DIRETA - MOTOR DE INDUÇÃO TRIFÁSICO (MIT) DE 6 TERMINAIS .........................................223
Aula Prática 5 – PARTIDA DE UM MOTOR ELÉTRICO COM COMANDO DIRETO E INTERMITENTE.......................................................225
Aula Prática 6 – PARTIDA DIRETA DE UM MIT COM REVERSÃO TEMPORIZADA ..............................................................................227
Aula Prática 7 – RELÉ ELETRÔNICO TEMPORIZADOR APLICADO NA PARTIDA E NA SINALIZAÇÃO DE UM MIT ..................................230
Aula Prática 8 – COMANDO CONDICIONADO DE CARGAS................................................................................................................234
Aula Prática 9 – MONTAGEM DE CHAVE DE PARTIDA MANUAL E AUTOMÁTICA PARA UM MOTOR DAHLANDER .............................238
Aula Prática 10 – MONTAGEM DE CHAVE DE PARTIDA ESTRELA-TRIÂNGULO SEMI-AUTOMÁTICA .................................................241
Aula Prática 11 – CHAVE DE PARTIDA COMPENSADORA.................................................................................................................244
Aula Prática 12 – MOTOR MONOFÁSICO – ACIONAMENTO MANUAL EM 127 E EM 220 V................................................................247
Aula Prática 13 – ACIONAMENTO E REVERSÃO AUTOMÁTICA DO MOTOR MONOFÁSICO.................................................................251
Aula Prática 14 – CHAVE DE PARTIDA PARA MIT COM ENROLAMENTOS SEPARADOS (2 VELOCIDADES) .........................................254
Aula Prática 15 – FRENAGEM DE MOTOR DE INDUÇÃO ...................................................................................................................256
Referências Bibliográficas ........................................................................................................................................258

xi
Alfabeto Grego
Maiúsculas Minúsculas
Nome
Clássico
Prefixos SI*
A  Alfa Fator Prefixo Símbolo
10-3
mili m
10-6
micro 
10-9
nano n
10-12
pico p
103
quilo k
106
mega M
109
giga G
1012
tera T
* SI: Sistema Internacional de Unidades, é um conjunto sistematizado e padronizado de
definições para unidades de medida, utilizado em quase todo o mundo moderno, que visa a
uniformizar e facilitar as medições e as relações internacionais daí decorrentes.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades
B  Beta
  Gamma
  Delta
E  Epsilon
Z  Zeta
H  Eta
  Theta
I  Iota
K  Kappa
  Lambda
M  Mu
N  Nu
  Xi (ksi)
O  Omicrón
  Pi
P  Rho
  Sigma
T  Tau
Y  Upsilón
  Phi
X  Chi
  Psi
  Ômega
"Escola de Atenas", Rafael Sanzio. Retrata filósofos gregos e personalidades da época do pintor.
Fonte: http://www.drsa.com.br/wp-content/uploads/2010/10/escola_atenas_rafael.jpg.

xii
Usina Hidrelétrica de Estreito. Descida do maior rotor Kaplan do Brasil. Agosto de 2010.
Fonte: http://www.uhe-estreito.com.br/ver_imgprincipal.php?noticia_id=129

Acionamentos e Comandos Elétricos CEFET-MG
13
Capítulo
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Capítulo 1 - Revisão de conceitos e aplicações de Corrente Alternada (CA)
1.1 – Introdução
No Brasil, a energia elétrica que é fornecida às residências, indústria e comércio, em geral, é
produzida nas usinas hidrelétricas, onde ocorre a conversão de energia mecânica em elétrica (produção de
tensão alternada pela rotação do eixo de um gerador trifásico, através de uma turbina acionada pela força
da água).
Em uma usina hidrelétrica, a água represada possui energia potencial gravitacional que se converte
em energia cinética. Essa energia cinética é transferida às turbinas, que movimentam o gerador. Este, por
sua vez, converte essa energia cinética em energia elétrica a qual será enviada através de condutores ao
seu destino, através das linhas de transmissão (da usina geradora até as subestações de distribuição) e das
linhas de distribuição (das subestações aos consumidores).
Outras formas de se obter energia elétrica estão ilustradas na Figura 1.1: energia eólica (força dos
ventos para tocar o eixo do gerador), energia solar, energia nuclear etc.
Figura 1.1 – Exemplos de fontes alternativas de Corrente Alternada (CA). Fonte: BOYLESTAD, R. L.
Introductory Circuit Analysis. 10th Edition, 2002. Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle
River, New Jersey 07458. All rights reserved.
As Figuras 1.2a e 1.2b mostram as partes constituintes de uma usina hidrelétrica.
- Questão importante: qual é a função do canal na entrada do duto? Responda se possível, com
suas palavras.

14
(a)
(b)
Figura 1.2 – (a) Aspecto de uma Usina Hidrelétrica (UHE) – vista de perfil. (b) Esquema de barragem de UHE com
destaque para a turbina. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Hydroelectric_dam_portuguese.PNG
A Figura 1.3 mostra um zoom sobre a
operação da turbina. Note-se que o seu eixo é que
aciona o gerador de energia elétrica.
A Figura 1.4 mostra um perfil da represa
Grand Coulee que é atualmente a terceira usina
hidroelétrica mais potente do mundo.
A represa, localizada no Rio Columbia
(EUA), possui cerca de 1,6 km de comprimento,
e o dobro da altura das Cataratas do Niágara.
A sua construção foi iniciada em 1933,
tendo sido inaugurada a 22 de março de 1941,
quando possuía a maior capacidade de geração de
eletricidade do mundo – aproximadamente 21000
GWh/ano. Fonte:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Represa_Grand_Coulee
Figura 1.3 – Esquema de uma turbina que aciona
um gerador de uma usina hidrelétrica1
.
1
Fonte: http://www.eletrica.ufpr.br/~jean/Eletrotecnica/Material_Didatico/Aula03_Sistemas_Trifasicos.ppt

15
A instalação de uma turbina do tipo Francis é mostrada na Figura 1.5. Repare no diâmetro do
rotor da turbina, onde os técnicos trabalham. Na Figura 1.6 vê-se o rotor de uma turbina de um gerador da
usina de Itaipu.
A Turbina Francis é uma turbina hidráulica que foi desenvolvida pelo engenheiro americano
James B. Francis, em 1849, daí o seu nome. Turbinas Francis são adequadas para operar entre quedas de
40 m até 400 m. No Brasil, a usina hidrelétrica de Itaipu, assim como a usina hidrelétrica de
Tucuruí, usina hidrelétrica de Furnas, usina hidrelétrica de Foz do Areia, AHE de Salto Pilão e outras
funcionam com turbinas tipo Francis, com cerca de 100 m de queda de água. Fonte:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Turbina_Francis.
Figura 1.4 - Represa Grand Coulee, no estado americano de Washington, EUA.
Figura 1.5 - Uma das 6 novas turbinas Francis, que produzem 1 milhão de HP de potência (cerca de 745 MW), sendo instalada
na unidade 3 da represa Grand Coulee. Fonte: http://www.adrenaline.com.br/forum/showthread.php?t=111453

16
Figura 1.6 – Descida do rotor do gerador da Unidade Geradora 1 (turbina) da Usina Hidrelétrica Estreito.
Fonte: http://www.pnegrao.com.br/2010/12/montagem-da-primeira-unidade-geradora.html.
A usina hidroelétrica de ITAIPU, nacional, é uma das que mais produz eletricidade (veja a
matéria a seguir, dados de 2010). É um empreendimento binacional desenvolvido pelo Brasil e pelo
Paraguai no Rio Paraná. A potência instalada da usina é de 12.600 MW (megawatts), com 18 unidades
geradoras de 700 MW cada. A Figura 1.7 mostra o seu aspecto de sua barragem.
Itaipu fecha 2010 com geração de 85,9 milhões de MWh
Itaipu produziu em 2010 um total de 85.970.318 megawatts-hora (85,97 milhões de MWh), o suficiente
para suprir todo o consumo do Paraná durante três anos e sete meses. Ou então, os três estados da região Sul por um
ano e dois meses. O mesmo volume ainda abasteceria a demanda de Portugal por energia elétrica durante um ano e
oito meses.
Como comparação, a usina de Três Gargantas, na China, que tem maior capacidade instalada (maior
barragem e maior represa do mundo), fechou o ano anterior (2009) com 79,5 milhões MWh. A produção da
megausina chinesa em 2010 ainda não foi divulgada. A terceira maior produtora do mundo, a usina de Guri, na
Venezuela, produziu 53,4 milhões MWh em 2009. Quase a metade de Itaipu.
Com um detalhe: Itaipu foi projetada para gerar até 75 milhões MWh. Um número que foi superado já em
1995, com a produção de 77,2 milhões MWh. Depois disso, Itaipu sempre gerou acima do teto. Na maioria dos
anos, muito acima. Considerando a média dos últimos cinco anos, a geração chega a 91,1 milhões MWh, um
desempenho sem igual no setor elétrico mundial.
Fonte: www.itaipu.gov.br/sala-de-imprensa/noticia/itaipu-fecha-2010-com-geracao-de-859-milhoes-de-mwh
A Tabela 1.1 mostra uma comparação de alguns aspectos técnicos entre as usinas de Itaipu e a de
Três Gargantas (chinesa).

17
Tabela 1.1 – Quadro comparativo das usinas de Itaipu e de Três Gargantas (dados de 2010).
Fontes: http://www.itaipu.gov.br/energia/comparacoes e China Three Gorges Corporation.
Usina Itaipu (Brasil) Três Gargantas (China)
Turbinas 20 32 (6 subterrâneas)
Potência nominal 700 MW 700 MW
Potência instalada 14.000 MW
22.400 MW (quando completa, em
2011)
Recorde de
produção anual
94,7 bilhões kWh/ano (2008) 84,3 bilhões kWh/ano (2010)
Produção anual 85,9 bilhões kWh/ano (2010) 84,3 bilhões kWh/ano (2010)
Concreto utilizado 12,57 milhões m³ 27,94 milhões m³
Altura 196 metros 181 metros
Comprimento da
barragem
7.744 metros
(concreto, enroscamento e terra)
175 metros (dique de
Hernandárias)
4.149 metros (concreto 2.309 m e dique
Maoping 1.840 m)
Vertedouro -
capacidade de
vazão
62.200 m³/s 120.600 m³/s
Escavações 63,85 milhões m³ 134 milhões m³
Número de
pessoas
reassentadas
40 mil 1,13 milhão
Figura 1.7 – Aspecto da Barragem da Usina hidrelétrica de Itaipu.
Fonte: http://www.adrenaline.com.br/forum/showthread.php?t=111453.

18
1.2 – Geração de Corrente Alternada
A Figura 1.8 apresenta o esquema de um gerador elementar de uma espira, submetida à ação de
um fluxo magnético, interno à região entre os pólos norte e sul de um ímã.
Mas, o que é uma espira? Numa definição simples, uma espira constitui um tipo de circuito
elétrico, com aplicações na produção de campo magnético e eletricidade. É um componente encontrado
em geradores de energia elétrica, motores elétricos, transformadores e indutores, dentre outros.
Figura 1.8 – Aspecto básico de um gerador CA com um alternador para geração de uma tensão senoidal.
A Figura 1.9 mostra dois exemplos de bobinas, construídas a partir de um conjunto de espiras. A
Figura 1.10 mostra a aplicação de uma bobina em um disjuntor (dispositivo de proteção, a ser estudado no
capítulo 4).
(a) (b)
Figura 1.9 – (a) Detalhe de uma bobina. (b) Indutor ou bobina de comprimento l formado por N espiras.
O transformador é outro equipamento onde, a partir do projeto de suas bobinas (entrada: primário
e saída: secundário), se pode elevar ou reduzir a amplitude de um sinal alternado aplicado nos terminais
de entrada – veja a Figura 1.11a.
Estas bobinas são enroladas em torno de um núcleo comum (em baixa freqüência o núcleo é feito
de material magnético como o aço laminado e em alta freqüência é feito de materiais não magnéticos,
como o ferrite).
A Figura 1.11b mostra um transformador de potência (rede de distribuição de energia elétrica).

19
Figura 1.10 - Aspecto de um Disjuntor
(veja detalhe da bobina). Fonte:
http://www.abracopel.org.br
(a)
(b)
Figura 1.11 – (a) Esquema de um transformador
monofásico. (b) Transformador trifásico (rede de
distribuição de energia elétrica.
1.2.1 - Princípio de funcionamento de um gerador elementar
O condutor (na prática uma bobina) é girado por uma turbina a vapor ou qualquer outra forma de
energia mecânica. Esta rotação provoca uma alteração contínua no fluxo magnético em torno do
condutor, o que faz surgir uma tensão induzida sob forma senoidal no mesmo. A Figura 1.12a mostra uma
espira inclinada em relação às linhas de campo magnético (pelo vetor B

).
(a) (b)
Figura 1.12 – (a) Espira da Figura 1.8 inclinada por um ângulo alfa () em relação às linhas de campo magnético B. (b) A mesma
espira girando na região de campo magnético, o que produz uma tensão senoidal nos seus terminais. Fonte:
http://macao.communications.museum/images/exhibits/small/2_4_1_1_por.png
1.2.2 - Lei de Faraday – F.E.M. induzida
Está associado à quantidade de linhas de indução magnética que atravessa a superfície delimitada
por uma espira (1.1).
. .cos
B A
 
 (1.1)
BOBINA

20
Onde:
- B é dado em Tesla [T]; A é a área da espira, em m2
e  é o ângulo
determinado entre a reta normal à superfície e a direção do vetor
indução.
A Lei de Faraday, também chamada de lei da Indução
Eletromagnética, está relacionada com a força eletromotriz induzida em uma
espira, quando há variação de fluxo magnético com o tempo.
“A f.e.m. em volts, induzida em um circuito é igual ao negativo
da taxa de variação com que o fluxo magnético através do circuito
está mudando no tempo”. (Michael Faraday, 1791-1867 – Figura
1.13). Matematicamente a Lei de Faraday é expressa por (1.2):
N
t



 

(1.2)
Fig. 1.13 - Michael Faraday.
A variável N, nesta equação, é o número de espiras e o sinal negativo indica a polarização da
f.e.m. induzida (Lei de Lenz).
Para uma variação infinitesimal (valores do delta, , tendendo para zero), utiliza-se a derivada,
d/dt. Logo, para uma função cosenoidal - veja a Equação (1.1):
cos sen
d
x x
dx
  (1.3)
A função seno é a derivada do co-seno, daí:
 
 
 
cos
cos
. sen
Nd BA
Nd
dt dt
d
NBA k
dt




 
   
     
.
k sen
 
 (1.4)
Onde k = B.A.N é o valor máximo da tensão ou f.e.m. induzida.
Logo, teremos
max em  = 90 graus (sen 90o
= 1).
min em  = 270 graus (sen 270o
= - 1).
A Figura 1.14 mostra a formação de uma senóide de acordo com o giro de uma espira. Pela
Equação (1.4), determina-se o valor da f.e.m. induzida nos instantes 1, 2, 3, 4 e 5.
Outra interpretação da formação da senóide da Figura 1.13 leva em conta que:
- para os instantes 1, 3 e 5, onde a f.e.m. é nula, isto se justifica pelo fato de que não há variação
de fluxo magnético. A variação máxima ocorre nos intervalos entre os instantes 1 e 2 (variação max
positiva), 2 e 3 (max negativa), 3 e 4 e 4 e 5.

21
Figura 1.14 – Um ciclo completo da tensão CA com o giro de 360 graus de uma espira.
Pela Figura 1.15, pode-se acompanhar o ciclo completo da senóide formada pelo giro de um
fasor, indicado no diagrama indicando um ciclo de 0 a 360 graus.
Para um gerador de 2 pólos (norte e sul), a rotação de uma bobina ao longo de 360º geométricos
(ou graus mecânicos) gera sempre 1 ciclo de 360º elétricos de tensão (gerador de 2 pólos). Observe que,
por exemplo, para um ângulo  de 90 graus – veja a Equação (1.4), a tensão induzida na espira é máxima,
já que 0
max
.sen .sen90 .
k k
  
  
Figura 1.15 – Dois ciclos de tensão alternada gerados pela rotação de uma espira.
Fonte: B. Grob, Eletrônica Básica, 4a. Ed. New York: McGraw Hill, 1977.
1.2.3 – Sinais CA – principais parâmetros
• Período (T) - duração de um ciclo ou ainda o intervalo de tempo entre dois pontos da curva de mesma
situação (picos positivos ou negativos, p. ex.).
É medido em segundos (s).
• Freqüência (f) – número de repetições de um movimento ou ainda a quantidade de ciclos que cabem
em um segundo.

22
É medida em Hertz (Hz).
1
f
T
  Logo, 1
T
f
 . Daí, Hz = 1/s ou s-1
.
• A frequência do sistema elétrico no Brasil é de 60 Hz; em outros países se usa 50 Hz.
• Curiosidade 1: na área de telefonia celular, os padrões de frequência de operação atuais estão na faixa
de GHz (lembre-se de que 1 G = 1 x 109
).
• Curiosidade 2: para ondas de rádio (sinais sonoros), temos os sinais em AM (amplitude modulada) e
em FM (frequência modulada). O Rádio FM oferece maior qualidade sonora do que o AM, já que a
sua banda de passagem é de 200 kHz por canal, bem maior que os 10 kHz do rádio AM. Fonte:
http://www.willians.pro.br/frequencia/cap3_espectro.htm
EF - Exercícios de Fixação
Série 1
EF1 – Para a forma de onda de corrente CA (e
mA) da Figura 1.16, pede-se encontrar o seu
período e a sua frequência e desenhar outro
sinal de corrente com freqüência duas vezes
maior.
Figura 1.16.
EF2 – Por que, na construção de uma bobina, utiliza-se o fio de cobre envernizado?
EF3 – Explicar matematicamente (através de uma ou mais equações) por que em uma bobina com muitas
espiras se consegue induzir mais tensão elétrica.
EF4 – Seja o esquema da Figura 1.17.
a) Por que a corrente é alternada no resistor R?
b) Se um técnico projeta uma espira 3 x menor em relação à apresentada nesta figura, o que ocorre com o
valor de pico da senóide produzida? Justifique.
c) Se a espira fica parada, há indução de tensão nos terminais do resistor R?
EF5 – Examinar a Figura 1.18 e explicar porque a corrente é contínua no circuito externo (representado
pelo resistor R).
Figura 1.17. Figura 1.18.

23
1.2.4 – Sinais CA – valores característicos e conceitos importantes
A equação geral de um sinal de tensão senoidal (o mesmo vale para um sinal de corrente) é dada,
de acordo com a Lei de Faraday, pela Equação (1.5):
max
v( t) = V .sen (ωt + )
  (1.5)
Onde:
1) v(t) é o valor instantâneo da tensão;
2) Vmax é o máximo valor que a tensão pode atingir,
também denominada de amplitude ou tensão de pico (ver
a Figura 1.19);
3) Valor de pico-a-pico, Vpp : é a distância entre os
valores máximo e mínimo. Matematicamente, para um
sinal simétrico como o da Figura 1.19, este parâmetro é:
max max max
( ) 2
pp
V V V V
    (1.6) Fig. 1.19 – Representação de uma senóide.
4) O ângulo  (phi, legra grega) é o ângulo de fase inicial, que indica a posição angular onde se inicia o
semiciclo positivo da forma de onda senoidal.
Pela Figura 1.20a vê-se que o semiciclo positivo começa antes do zero (0) no eixo t. A onda
senoidal está ADIANTADA em relação ao instante 0 (zero). O ângulo de fase é considerado positivo (ou
seja,  > 0) na Equação (1.5).
Já na Figura 1.20b o semiciclo positivo começa após o instante zero (0) no eixo t. Portanto, a
onda senoidal está ATRASADA em relação ao instante 0 (zero) e o ângulo de fase é considerado negativo
( < 0) na Equação (1.5).
(a) (b)
Figura 1.20 – (a) Ângulo de fase  > 0 (onda senoidal ADIANTADA em relação a t = 0.
(b) Ângulo de fase  < 0 (onda senoidal ATRASADA em relação a t = 0.
Na Equação (1.5) t =  é um ângulo (onde  é uma letra grega, teta), onde  é a frequência
angular (rad/s) e t é o tempo (s). Graficamente,  é representado no eixo horizontal.
 =t = (2/T).t [rad] (1.7)
E
Exemplo 1.1 - A expressão 0
( ) 5.sen (100 35 )
v t t
   mostra que este sinal está com um ângulo de fase 
= 350
, logo, encontra-se adiantado em relação ao instante 0 s (ou ao ângulo 00
).
Teste: para t = 0, 0
( ) 5.sen (35 ) 2,87 V.
v t
   Veja a forma de onda deste sinal na Figura 1.21, bem como o
valor instantâneo em t = 0, para um ângulo de fase  = 350
. Nesta figura, o ângulo de fase está indicado com a
letra grega , ao invés de .

24
Figura 1.21.
5)  (letra grega ômega) indica a velocidade de giro angular, dada por
 = 2f ou  = 2 / T [rad/s] (1.8)
onde f = freqüência e T = período.
6) Identificação de grandezas elétricas variantes no tempo
As grandezas elétricas, quando variantes no tempo, são identificas pela letra MINÚSCULA. Por
exemplo: v(t), tensão CA e i(t), corrente CA.
Quando se quer escrever/identificar os parâmetros destas grandezas, como valor máximo, valor
de pico-a-pico, valor médio, valor eficaz etc., faz-se o uso de letras MAIÚSCULAS.
Exemplo: pp max RMS DC
V ,V ,V ,V etc.
Série 2
EF6 – Sejam as formas de onda da Figura 1.22. Pede-se determinar as equações de i(t) e v(t). As duas
formas de onda estão em fase? Justifique.
Figura 1.22 – EF6 (BOYLESTAD, 2002). Figura 1.23 - EF7 (BOYLESTAD, 2002).
Copyright © 2003 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458. All rights reserved.
EF7 – Seja a tensão senoidal (Figura 1.23), cuja equação é v(t) = 20 sen (500..t -  /4).
a) Qual é o seu valor máximo, Am? Qual é a sua velocidade angular () em rad/s?
b) Qual é o seu ângulo de defasagem inicial () em rad? Encontre este parâmetro em ms.
c) Encontre para este sinal o período (T) em s e a freqüência (f) em Hz.
EF8 – Para o sinal da Figura 1.24, pede-se encontrar, com base nas informações:
Escala vertical: 2 V/div. e 1 A/div. Escala Horizontal: 0,2 ms / div.
a) o período de i(t) e e(t), em ms e a amplitude de pico a pico do sinal e(t);
b) o defasamento em graus e em ms entre os sinais e(t) e i(t).
( + )

- Am.sen 

25
1.2.4.1 – Valor médio, VCC ou VDC
O valor médio de uma função representa o
resultado líquido da variação de uma grandeza física
como deslocamento, temperatura, tensão, corrente, etc.
(MUSSOI, 2006).
Para uma grandeza em função do tempo, por
exemplo, o valor médio é dado pela soma das áreas
positivas e negativas que são descritas periodicamente
ao longo do tempo. Fig.1.24 – Dois sinais defasados no tempo
(BOYLESTAD, 2002).
Assim, para uma forma de onda, como mostra a
Figura 1.25, o valor médio é determinado pela área total
sob a curva, dividido pelo período da forma de onda.
A equação (1.9) retorna o valor médio de uma
função, e é apropriada para funções simétricas como a
onda quadrada, onda triangular etc.
Comprimento da curva
med
A Areas sob a curva
V
T
 
  (1.9) Fig. 1.25 – Exemplo gráfico do valor médio
de uma forma de onda (MUSSOI, 2006).
E
Exemplo 1.2 - Qual é o valor médio da forma de onda da Figura 1.26?
Figura 1.26 (BOYLESTAD, 2002).
Solução:
E
Exemplo 1.3 - Determine o valor médio para a forma de onda da Figura 1.27.
Solução:
       
4 2 2 2 3 2 1 2
8
8 4 6 2 12
1,5.
8 8
medio
V
       

  
  
Figura 1.27 (MUSSOI, 2006).
1.2.4.2 – Valor eficaz, Vef ou Vrms
O valor eficaz de uma função representa a capacidade de produção de trabalho efetivo de uma
grandeza variável no tempo entre as excursões positivas e negativas da mesma.
Para uma grandeza senoidal (ver a Figura 1.28), cuja equação no domínio do tempo é dado por
v(t) = Vmax sen t, o seu valor eficaz é dado pela Equação (1.10).

26
max
2
ef
V
V  (1.10)
Para entender de modo simples o significado
físico do valor eficaz (também conhecido como
valor RMS, de root mean square, valor médio
quadrático), faz-se a análise da potência elétrica
fornecido a um mesmo resistor, primeiro com uma
fonte de tensão contínua e depois com uma fonte CA
senoidal, como mostra a Figura 1.29.
No primeiro circuito, alimentado pelo sinal
em CC:
1 1 127 100 1,27 .
I V R A
  
Daí, P1 = V1I1 = 127 V  1,27 A
= 161,29 W.
Figura 1.28 – Conceito gráfico do valor eficaz
de uma senóide (MUSSOI, 2006).
Figura 1.29 - Circuitos para medição da potência RMS num resistor. Simulação no Software PSpice®
.
O segundo circuito é alimentado por um sinal senoidal, que é ajustado para que um amperímetro
indique uma corrente de 1,27 A (alternada), a fim de que seja dissipada a mesma potência que no
primeiro circuito.
Logo,
P2 RMS = 127 VRMS . 1,27RMS A = 161,29 WRMS.
O valor ajustado para a senóide equivale a uma tensão contínua a qual aplicada a um elemento
resistivo, dissipa a mesma potência (em CA) que no primeiro circuito (em CC).
O circuito da Figura 1.30 mostra um modo prático de se medir a energia térmica entregue por
ambas as fontes ao resistor R.
Figura 1.30 – Circuito para medição da energia dissipada pelo resistor alimentado por fontes
CC e CA. Fonte: BOYLESTAD, R. L. Introductory Circuit Analysis. 10th Edition, 2002.

27
Em resumo: o valor da tensão eficaz ou da corrente eficaz é o valor que produz numa resistência o
mesmo efeito que uma tensão/corrente contínua constante desse mesmo valor.
Observações:
• Os instrumentos comuns de medição em corrente alternada (voltímetros, amperímetros e multímetros)
fornecem valores eficazes somente para sinais senoidais;
• Para medir o valor eficaz de uma forma de onda de tensão (ou de corrente) não perfeitamente senoidal
deverá ser usado um voltímetro (ou amperímetro) mais sofisticado, conhecido como True RMS (Eficaz
Verdadeiro) que é capaz de fazer a integração da forma de onda e fornecer o valor eficaz exato para
qualquer forma de onda.
• Para uma forma de onda contínua constante (de tensão ou corrente, por exemplo) o valor eficaz é igual
ao valor médio.
1.3 – Relacionando graus elétricos e tempo e graus elétricos e mecânicos
De acordo com a Figura 1.15, é muito simples relacionar graus elétricos (referentes a grandezas
elétricas, obviamente) e o tempo em segundos.
Supondo que um ciclo da senóide desta figura (360 graus) ocorre em um tempo de 10 ms, para
encontrar, por exemplo o instante onde ocorre o primeiro valor máximo positivo (vB), basta resolver a
regra de três simples:
360 graus 10 ms
090 graus tB
Encontra-se para tB o instante 2,5 ms, correspondente a ¼ de ciclo.
Para relacionarmos graus elétricos e mecânicos, basta aplicar a seguinte definição:
Numa máquina de p pólos (veja a Figura 1.31), uma rotação completa do rotor corresponderá a
p/2 ciclos de tensão. A denominação da posição do rotor de graus mecânicos e do ângulo correspondente
a cada valor do ciclo de tensão gerada de graus elétricos permite estabelecer a seguinte relação:
2
elet mec
p
 
  (1.11)
Onde elet = graus elétricos (em graus ou radianos); mec = graus
mecânicos (físicos, em graus ou radianos) e p = número de pólos.
(a) (b)
Figura 1.31 – (a) Gerador elementar CA monofásico de 2 pólos. (b) Gerador elementar CA trifásico de 2 pólos.

28
1.4 – Representação fasorial de uma grandeza elétrica senoidal
1.4.1 – Fasores
Uma grandeza senoidal pode ser representada por um vetor que gira com velocidade angular
constante , em rad/s. Se este representa uma grandeza elétrica (tensão ou corrente), damos a ele o nome
de FASOR (Figura 1.32).
Figura 1.32 – (a) Representação fasorial de uma grandeza senoidal x(t), ilustrada em (b).
Notas:
1) o FASOR não é como o vetor, pois possui somente módulo e sentido (horário ou anti-horário);
2)  = 2f  frequência angular (rads/s).
Na Figura 1.33 a onda B está adiantada ou atrasada da onda A? Qual é o ângulo de fase?
(a) (b)
Figura 1.33 – Ondas senoidais. (a) Formas de onda. (b) Diagrama de fasores.
Na Figura 1.34 vêem-se dois sinais, de tensão, v(t) e de corrente, i(t). No primeiro gráfico o
defasamento é de 180 graus (sinais fora de fase). No segundo gráfico as grandezas estão em fase (ângulo
de defasagem nulo entre ambas as formas de onda).
Figura 1.34 – Sinais em contra fase e em fase.

29
O oscilograma da Figura 1.35 mostra três sinais de tensão. Qual deles está mais adiantado? Os
três sinais possuem a mesma freqüência? Justifique.
Figura 1.35 – Três senóides defasadas entre si.
1.4.2 - Representação matemática de um fasor
FASOR é um NÚMERO COMPLEXO que representa a amplitude (alguns autores utilizam o
valor máximo; outros o valor eficaz) e a fase (ângulo de fase) de uma tensão ou corrente senoidal. Neste
texto será adotado o valor eficaz como amplitude do fasor.
DOMÍNIO DO TEMPO:  
max
x(t) = X sen ωt+ FORMA POLAR: eficaz
X X 

E
Exemplo 1.4
Seja um sinal de  
0
( ) 180. 377 45
v t sen t
  [V]. Qual é a sua forma polar?
Solução:
Na forma polar ele pode ser representado como:   0
180 2 45 V.
V 
Relembrando, o valor eficaz de um sinal senoidal é max 2
ef
V V
 
E
Exemplo 1.5
Um fasor é representado como 0
5 15 A
I   . Pede-se encontrar a expressão de i(t) e a queda de tensão em
um resistor R de 10 ohms por onde circula esta corrente, escrita no domínio do tempo e na forma polar.
Solução:
a) i(t) será representado no domínio do tempo como:  
0
( ) 5 2. 15 .
i t sen t

 
b) Da Lei de Ohm, vR(t) = Ri(t).
   
0 0
0
( ) ( ) 10 5 2. 15 50 2. 15
50 -15 .
R
R
v t R i t sen t sen t
Na forma polar V V
 
      
 

30
Série 3
EF9 - Escreva a função e desenhe a forma de onda de um sinal senoidal 1 com freqüência 50 Hz e valor
de pico de 5 V. Adote este sinal como referência (angulo 0°).
EF10 - Suponha um sinal senoidal 2 atrasado de 90° em relação ao sinal 1, com valor de pico de 2 V e
mesma frequencia. Escreva a função e a forma de onda do sinal 2.
EF11 - Desenhar o diagrama fasorial dos sinais 1 e 2. Qual o período destes sinais?
EF12 - Desenhe um sinal senoidal com período 1 ms e valor eficaz (rms) de 8 V, adiantado de 45° em
relação à referência. Escreva a função e o diagrama fasorial do sinal.
EF13 - Uma certa tensão elétrica é descrita pela equação v = 120 sen 377t.
a) Qual é a tensão instantânea quando t = 10 ms ?
b) A onda co-seno (com o mesmo aspecto da onda senoidal) é deslocada da onda senoidal de 90 graus
(1/4 de período à frente). Escreva a equação da onda de tensão dada neste exercício na forma co-senoidal
e desenhe a mesma no oscilograma da Figura 1.36.
EF14 - Se uma tensão CA tiver um valor máximo de 155,6 V, qual será o ângulo de fase para o qual a
tensão instantânea é de 110 V?
Figura 1.36 – EF 14.
EF15 – Encontre o defasamento entre as formas de onda de tensão e corrente nas duas situações da Figura
1.37 (formas de onda em (a) e em (b)).
(a) (b)
Figura 1.37 – EF15.

31
1.4.3 – Operações matemáticas com fasores
Na análise de circuitos elétricos, a representação trigonométrica (expressões trigonométricas, no
domínio do tempo) permite realizar algumas operações matemáticas entre as grandezas tensão, corrente e
potência elétricas, mas de modo trabalhoso.
A representação fasorial surge então como uma importante ferramenta, já que facilita as
operações matemáticas, pois os sinais senoidais de tensão, de corrente e de potência podem ser
representados através de fasores e estes, por sua vez, podem ser representados por números complexos.
Os números complexos são operados por uma álgebra própria, bem mais simples que os cálculos
envolvendo trigonometria. A Figura 1.38 explica isto de forma bastante visual.
Assim, uma forma de onda senoidal dada por v(t) = 5 sen (30t + 450
) poderá ser representada na
forma retangular ou polar na seguinte forma:
v(t) = 5 sen (30t + 450
)  0
5
45 V
2
ef v
V V 
  
Figura 1.38 – Representação em diagrama de blocos da operação com fasores (MUSSOI, 2006).
1.4.3.1 – Fasores representados por números complexos
Um fasor é um vetor radial girante, como já foi visto, e permite realizar com facilidade operações
algébricas entre os sinais de um sistema elétrico.
Basta, para isto, utilizar uma ferramenta matemática para a sua representação, a qual faz uso dos
números complexos.
Um número complexo pode ser representado na forma retangular (ou forma cartesiana), como
mostra a Figura 1.39. É um número composto por uma parte real e uma parte imaginária:
Z a jb
  (1.12)
onde j é um operador matemático que desloca um fasor real de  90 graus para o eixo imaginário (logo, o fasor b,
deslocado de + 90 graus é representado por + jb e, deslocado de – 90 graus, é representado por - jb). Assim, j é
considerado um operador rotacional.

32
Figura 1.39 – Álgebra fasorial e números complexos.
O operador j, apresentado na Equação (1.12), é denominado operador complexo e definido:
1
j   (1.13)
Na matemática é utilizado o operador i é usado invés do j, mas em Eletricidade o fator i poderia
ser confundido com o valor instantâneo da corrente, daí o uso preferencial do j.
Na Figura 1.38 o coeficiente a representa a projeção de Z no eixo real e b representa a projeção
de Z sobre o eixo imaginário.
O ângulo do fasor pode ser encontrado facilmente da Equação (1.14):
 
1
tan b a
 
 (1.14)
já que tan  = b/a, onde
a = cateto adjacente e
b = cateto oposto (ao ângulo teta, ), como ilustra a Figura 1.40.
Figura 1.40 – O fasor Z e seus componentes a e b.
Resumindo, as relações apresentadas anteriormente possibilitam transformações entre as notações
RETANGULAR  POLAR e POLAR  RETANGULAR.
 
2 2
1
Forma polar Z
Z = a + jb
a b
Z Z tg b a
  
  

 
  



33
E
Exemplo 1.6
Um fasor representado forma POLAR como
0
1 30 A
I   será representado na forma
RETANGULAR ou COMPLEXA como I = (1.cos 300
) + j (1.sen 300
)  I = 0,87 + 0,5 j.
1.4.3.2 – Adição e Subtração entre Fasores
Para estas operações, utiliza-se a forma retangular para obter o fasor resultante. Sejam os fasores
1 1 1
Z a jb
  e 2 2 2
Z a jb
  , sobre os quais se deseja obter:
SOMA: 1 2
Z Z Z
  
12( ) 1 1 2 2
12( ) 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
soma
soma
Z a jb a jb
Z a a j b b
   
   
SUBTRAÇÃO: 1 2
Z Z Z
  
12( .) 1 1 2 2
12( .) 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
Subtr
Subtr
Z a jb a jb
Z a a j b b
   
   
Em resumo:
1) na operação de soma e subtração entre dois fasores, trabalha-se na forma complexa e somam-se
ou subtraem-se separadamente os coeficientes reais e os imaginários;
2) soma e subtração algébrica de números complexos são feitas na forma retangular.
E
Exemplo 1.7 - Determinar a resultante de 1 2
Z Z Z
  , onde: 1 2
5 2 e 5 7.
Z j Z j
   
Solução:
(5 5) (2 7)
10 5
Z j
Z j
   


 

E
Exemplo 1.8
Qual é a resultante C12 dos fasores indicados na Figura 1.41?
Solução: 12 12
(2 3) (4 1) 5 5
C j C j
      
O fasor resultante está desenhado na Figura 1.42. Conferir as suas coordenadas.
Figura 1.41.
Figura 1.42.

34
1.4.3.3 – Multiplicação e divisão entre fasores
a) Multiplicação
A multiplicação de números complexos deve ser feita na forma polar, não sendo recomendável
a multiplicação na forma retangular, embora possa ser realizada (os cálculos ficam difíceis). Multiplicam-
se os módulos e somam-se algebricamente os ângulos.
Sejam dois números complexos escritos na forma polar:
1 1 1 2 2 2
C Z e C Z
 
 
A multiplicação destes entes será dada por:
1 2 1 2 1 2
C C Z Z  
   
b) Divisão
A divisão de números complexos também deve ser feita na forma polar. O processo é análogo ao
da multiplicação, porém, deve-se, ao dividir C1 por C2, dividir os seus respectivos coeficientes e subtrair
os seus respectivos ângulos.
De modo resumido:
dividem-se os módulos e subtraem-se algebricamente os ângulos.
Matematicamente, pode-se escrever:
1 1
1 2
2 2
C Z
C Z
 
 
A Tabela 1.2 mostra um resumo de alguns parâmetros e operadores de tensão e corrente elétricas.
Tabela 1.2 – Representações matemáticas de sinais senoidais.

35
1.5 - Comportamento de circuitos resistivos, indutivos e capacitivos em CA
Os componentes passivos - resistores (R), indutores (L), capacitores (C) – possuem
comportamentos distintos quando conectados em uma fonte de CA. Todos estes tendem a fazer oposição
à passagem da corrente, porém cada qual irá provocar ou não um defasamento entre os ângulos da tensão
e o da corrente.
1.5.1 – Circuito resistivo - corrente e tensão em fase
Considerando a carga R puramente resistiva (Figura 1.43), a potência fornecida pelo gerador AC
será totalmente absorvida por R. Isto ocorre porque a corrente (iR) e tensão (vR) presentes em R estão na
mesma fase.
A oposição à passagem da corrente é dada pelo valor ôhmico de R, ou seja:
max
max
R R
R
R
V sen t
v v
i sen t
R R R
i I sen t



   

Figura 1.43 – Circuito CA com carga puramente resistiva.
E
Exemplo 1.9 (BOYLESTAD, 2002)
Dado um circuito puramente resistivo como o da Figura 1.43, onde, esboçar as suas formas de
onda de v(t) e i(t) e o seu diagrama fasorial. São dados: R = 2 ohms e i(t) = 4 sen (t + 300
) A.
Solução:
O fasor de corrente será dato por: 0 0
4
30 2,83 30 .
2
I A A
 
Logo, a tensão v(t) na forma polar será encontrada por:
0 0 0 0 0
0 2,83 30 = 2 0 2,83 30 5,66 30 .
V R I R V
     
No domínio do tempo, encontra-se v(t) por:
   
 
0
max
0
( ) . 5,66 2 30
( ) 8,0. 30
v t V sen t t sen t
v t sen t
   

    
 
A Figura 1.44a mostra as formas de onda de v(t) e i(t). Os respectivos fasores estão desenhados
na Figura 1.44b, em fase (00
de deslocamento entre ambos).

36
(a) (b)
Figura 1.44 – (a) Formas de onda do circuito do Exemplo 1.8. (b) Fasores de i(t) e v(t). Fonte: Robert L. Boylestad.
Introductory Circuit Analysis, 10ed. Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey. All rights
reserved.
1.5.2 – Circuito puramente indutivo – tensão adiantada de 90 graus da corrente
Seja uma bobina alimentada por um
sinal CA senoidal (Figura 1.45).
Um indutor oferece uma oposição à
variação de corrente i(t) devido à sua
propriedade de auto-indução de tensão. Esta
oposição estabelecida por um indutor em um
circuito AC senoidal pode ser encontrada
aplicando a equação Figura 1.45 – Circuito puramente indutivo alimentado
por uma fonte de tensão senoidal (MUSSOI, 2006).
Efeito = Causa / Oposição  Oposição = Causa / Efeito
Do circuito da Figura 1.45:
Oposição
max
max max
max max max
.
2
2
L ef
L ef
V
V V L I
L
I
I I I


    
Esta oposição à corrente iL é a reatância indutiva do indutor L – Equação (1.15).
XL = L = 2π f L (1.15)
onde: XL: reatância indutiva Ω; f: frequência em Hertz (Hz) e L: indutância em Henry (H).
A tensão induzida na bobina é fornecida pela Equação (1.16).
. ( )
L
v L di t dt
 (1.16)
(a) (b)
Figura 1.46 – (a) Formas de onda do circuito indutivo puro (Figura 1.42). (b) Fasores.

37
Pela Figura 1.46a é fácil verificar que quando a derivada diL(t)/dt é máxima (instante A, igual em
ângulo a 90 graus), a tensão induzida na bobina é máxima. Para o instante B, diL(t)/dt é nula e, pela
Equação (1.16), vL(t) = 0. Na Figura 1.46b vê-se o fasor VL adiantado de 900
do fasor IL.
Observando as formas de onda da Figura 1.47 - agora com a corrente iL(t) na referência, ou seja,
com ângulo de fase nulo - se conclui que:
nos terminais de um indutor num circuito CA, a tensão sempre estará adiantada de 900
em
relação à corrente.
Figura 1.47 – Sinais de i(t) e vL(t) para o circuito da Figura 1.45 (BOYLESTAD, 2002). Fonte: Robert L. Boylestad.
Introductory Circuit Analysis, 10ed. Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458. All
rights reserved.
1.5.3 - Circuito puramente capacitivo – corrente adiantada de 90 graus da tensão
A oposição à passagem da corrente iC(t) em um circuito capacitivo puro (Figura 1.48) é
determinada pela reatância capacitiva do capacitor C, expressa por:
 
1 1
2
C
X
C fC
 
   (1.17)
Onde:  = frequência angular, em
rad/s; XC: reatância capacitiva em ohms (Ω); f:
frequência do gerador em Hertz (Hz) e C:
capacitância em Farad (F).
As formas de onda deste circuito são
visualizadas na Figura 1.49. A corrente em um
capacitor é encontrada pela Equação (1.18).
( )
( ) C
C
dv t
i t C
dt
  (1.18)
Fig. 1.48 – Circuito capacitivo puro, alimentado
por uma fonte de tensão senoidal.
(a) (b)
Figura 1.49 – (a) Ondas de corrente e tensão em um circuito capacitivo puro. (b) Fasores.

38
Analisando a Figura 1.49a, vê-se que o máximo da corrente ocorre quando a derivada da tensão
no capacitor é máxima (inclinação da reta tangente na curva vc(t), em 90 graus), o que é fácil comprovar
com a Equação (1.18).
Se conclui então que: nos terminais de um capacitor num circuito CA, a corrente sempre estará
adiantada de 900
em relação à tensão. Na Figura 1.49b vê-se o fasor IC adiantado de 900
do fasor VC.
1.5.4 – Impedância de circuito CA
A impedância Z, dada pela relação entre tensão e corrente num circuito misto, contendo
elementos resistivos (R), capacitivos (C) e indutivos (L), representa a medida da oposição que este
circuito oferece à passagem de uma corrente alternada (MUSSOI, 2006).
Os elementos XL e XC (reatâncias indutiva e capacitiva, respectivamente), são fasores que são
posicionados no eixo imaginário, enquanto que a resistência R fica posicionada no eixo real do plano
complexo, também chamado de Plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand.
As Figuras 1.50 e 1.51 mostram a disposição destes fasores no plano complexo. O fasor XL está
posicionado para cima, com ângulo de + 900
enquanto XC está posicionado para baixo, com ângulo de -
900
. Estes dois fasores são denominados de componentes reativas de um circuito, ou seja, armazenam
energia. Já o resistor é um elemento passivo, pois somente dissipa a energia elétrica que recebe.
(a) (b) (c)
Figura 1.50 (MUSSOI, 2006) – Diagrama fasorial de impedância (Z). (a) Reatâncias indutiva e capacitiva (disposição no eixo
imaginário do plano complexo). (b) Z resultante em um circuito RL (resistência + reatância indutiva). (c) Z resultante em um
circuito RC (resistência + reatância capacitiva).
Do diagrama fasorial da Figura 1.51, a impedância COMPLEXA ou retangular é:
 
( )
L C
Z R j X X
    (1.19)
Como encontrar o módulo da impedância Z?
O módulo de Z é encontrado aplicando-
se o teorema de Pitágoras no triângulo formado
pelos fasores R (cateto adjacente ao ângulo  ou
T ou ainda ) e pela resultante X = XL – XC, a
qual é o cateto oposto ao ângulo .
Figura 1.51 – Diagrama fasorial de impedância (Z).
 
2
2
L C
Z R X X
   (1.20)

39
O ângulo da impedância é calculado por:  
1
tan
T L C
X X R
 
 
 
  . Daí, na forma POLAR, a
impedância Z é dada pela Equação (1.21). Os componentes de Z podem ser encontrados em função do
ângulo T – Equações (1.22) e (1.23).
T
Z Z 
  (1.21)
cos T
R Z 
  (1.22)
T
X Z sen 
  (1.23)
Se são conhecidas as equações de v(t) e i(t) em um circuito – indicadas a seguir -, determina-se a
sua impedância Z (assunto do próximo item).
Equações de tensão e corrente no domínio do tempo, onde Vp = Vmax:
A Tabela 1.3 mostra de modo muito didático, as relações físicas e matemáticas entre tensão e
corrente elétrica nos elementos passivos de um circuito RLC.
Tabela 1.3 (MUSSOI, 2006).
E
Exemplo 1.10
Dado o diagrama fasorial da Figura 1.52, onde o ângulo da impedância é
de 60 graus, pede-se calcular:
a) o módulo da impedância Z;
b) o valor de XL (reatância indutiva);
c) a representação de Z na forma complexa;
d) a representação de Z na forma polar.
Solução: Figura 1.52.
Pela expressão (1.22), cos T
R Z 
  
0 0
2 cos60 2 cos60 4 .
Z Z
     
a) 0
4 60 3,46 .
L T
X Z sen sen

     

40
b) 4 (3,46 0) 4 3,46 .
Z j j
     
c)
0
4 60 .
Z  
1.5.4.1 – Lei de Ohm para a impedância Z em Corrente Alternada
Como já é sabido, a Lei de Ohm relaciona as grandezas tensão e corrente elétricas através de uma
constante de proporcionalidade, expressa pela oposição entre a causa (tensão aplicada) e efeito (corrente).
Para um circuito CA, a relação entre a tensão e a corrente é a impedância Z. No domínio fasorial, tem-se:
T V I
Z V I
  
 (1.25)
Onde, obviamente o ângulo da impedância é .
T V I
  
 
1.5.4.2 – Associação de impedâncias
As impedâncias, da mesma forma que as resistências, podem ser associadas, em série e em
paralelo. As Figuras 1.53 e 1.54 mostram os esquemas destas associações e as suas respectivas equações,
para se encontrar a impedância equivalente.
1
n
eq i
i
Z Z

 
Impedância equivalente de
uma associação em série.
Figura 1.53 – Associação em série de impedâncias e sua equação de Z equivalente.
1
1
n
eq
i i
Z
Z

 
  
 

Impedância equivalente de
uma associação em paralelo.
Figura 1.54 – Associação em paralelo de impedâncias e sua equação de Z equivalente.
E
Exemplo 1.11 - Encontre a impedância equivalente para um circuito RLC série, onde os parâmetros são
dados por:
R = 10 , XL = 15  e XC = 5 .
Solução: ( ) 10 15 5
10 10 .
L C
Z R jX jX j j
Z j
      


  

E
Exemplo 1.12 - Mostrar que, para duas impedâncias conectadas em paralelo, a sua impedância
equivalente é dada pela razão entre o produto e a soma entre elas.
Solução:
2 1 1 2
1 2 1 2 2 1
1 1 1 1 1
eq
eq eq eq
Z Z Z Z
Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
 
      
 

41
1.6 - Sistema trifásico
O sistema trifásico consta de três ondas senoidais defasadas entre si de 120 graus. A Figura 1.55a
mostra um gerador trifásico e a Figura 1.55b as bobinas deste gerador. Se conectadas com o ponto neutro
(N) em comum, tem-se a ligação em estrela (Y).
A Figura 1.56 mostra um gerador de dois pólos girando a uma velocidade n em RPM, produzindo
um campo girante com velocidade  em rad/s.
(a) (b)
Figura 1.55 – (a) Gerador trifásico. (b) Bobinas do gerador, defasadas entre si de 120 graus. Fonte: Robert L. Boylestad.
Introductory Circuit Analysis, 10ed. Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458. All
rights reserved.
Figura 1.56 – (a) Modelo elementar de um gerador trifásico. Repare nas fases a, b e c
e a conexão do neutro. (b) Formas de onda (defasamento de 120 graus entre as tensões).
Definições importantes:
- Tensão de fase (VF ou VFN): é a tensão de cada fase em relação ao condutor neutro.
- Tensão de linha (VL ou VFF): é a tensão entre duas fases (por exemplo, vab na Figura 1.56a).
- Em qualquer instante de tempo (veja a Figura 1.56b), a soma fasorial das três tensões de fase de um
gerador trifásico é nula (BOYLESTAD, 2002).
A Figura 1.57 mostra as formas de onda de um sistema abc (tensões de fase e de linha).
A representação fasorial das tensões trifásicas está ilustrada na Figura 1.58a. As três tensões de
fase (VFN) são defasadas entre si de 120 graus e têm o mesmo módulo. Tomando como base esta figura,
pode-se obter o fasor de uma tensão de linha (VFF), o qual será calculado posteriormente através da
aplicação matemática da Lei dos Cossenos.

42
Figura 1.57 – Formas de onda de um sistema trifásico equilibrado (tensões de fase e de linha).
Fonte: http://www.ee.pucrs.br/~fdosreis/ftp/Eletronica_de_Potencia/trifasico1.gif
A tensão de linha vbc (entre as fases b e c), é encontrada pela Equação (1.26). Para se obter o
fasor cn
-V bastou desenhar o mesmo com defasamento de 180 graus.
b c bn cn bn cn
V =V -V =V -V =V + (-V )
bc
      
(1.26)
(a) (b)
Figura 1.58 – (a) Diagrama fasorial para um gerador trifásico – tensões de fase. (b) – Obtendo a tensão
de linha vbc, a partir das tensões nas fases b e c em relação ao neutro (regra do paralelogramo).

43
Pela regra do paralelogramo, aplicada no diagrama fasorial da Figura 1.58b, se obtém o fasor
resultante (diagonal Vbc

).
Relembrando...
A rede elétrica CA monofásica é formada por dois fios, um chamado fase e outro chamado neutro. O fio
neutro possui potencial zero e o fio fase é por onde a tensão elétrica é transmitida. Como haverá diferença de
potencial entre a fase e o neutro, haverá tensão elétrica. O terra contém um sinal com zero volt absoluto. Ele é usado
para igualar o potencial elétrico entre equipamentos elétricos. Normalmente o condutor terra é ligado à carcaça
metálica do equipamento.
Fonte: Artigo: ATERRAMENTO. Gabriel Torres. Dezembro de 2002. Disponível em:
<http://www.clubedohardware.com.br/artigos/457>. Acesso em 22 dez 2010.
1.6.1 – Tensão de fase e tensão de linha
Sejam os fasores da Figura 1.59 - tensões de fase e de linha de um sistema trifásico equilibrado,
na sequência abc, como o do gerador da Figura 1.55. Estão aí destacadas as tensões nas fases a e b (em
relação ao neutro da conexão), para o cálculo do módulo da tensão de linha vab.
Para se calcular o módulo de uma tensão de linha, basta encontrar o fasor resultante de duas
tensões de fase. Por exemplo, foi escolhida na Figura 1.59, a tensão entre as fases a e b, ou seja, a tensão
de linha Vab.
Figura 1.59 – Composição vetorial das três tensões de linha, para um sistema trifásico equilibrado.
A resultante é: ab an bn an bn
V = V V V + ( V )
    
  
As tensões Van (lado superior do paralelogramo) e -Vbn formam um ângulo de 120 graus. Para se
encontrar a tensão de linha Vab basta aplicar a Lei dos Cossenos.
2 2 2 2 2 2 0
ab an bn an bn ab F F F F
2 2 2 2 2 2 2 2
L F F F F L F F F F
L F
V =V +(V ) - 2.V .(V ).cosα V =V +(V ) - 2.V .(V ).cos120
V =V +V - 2.V .(V ).(-0,5) V =V +V +V =3.V
V = 3.V



44
1.6.2 – Ligações em estrela e em triângulo
Em termos práticos, as alternativas mais comumente empregadas para a ligação de circuitos
trifásicos, envolvendo o gerador e a carga, são:
1. Gerador ligado em estrela (Y) e carga ligada em estrela (Y) – Figura 1.60a.
2. Gerador ligado em estrela (Y) e carga ligada em triângulo () – Figura 1.60b.
(a)
(b)
Figura 1.60 – (a) Conexão Y-Y entre gerador e carga de impedância Z, onde a corrente de linha e a de fase são as mesmas. (b).
Conexão Y- entre gerador e carga. Neste caso, a tensão de fase na carga é igual à tensão de linha do gerador (BOYLESTAD,
2002). Fonte: Robert L. Boylestad. Introductory Circuit Analysis, 10ed. Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc. Upper
Saddle River, New Jersey 07458. All rights reserved.
Na Figura 1.61, temos dois tipos de carga ligadas a uma mesma rede trifásica. A primeira está
ligada em estrela e a segunda em triângulo.

45
Figura 1.61 – Conexões Y-Y (primeira sequência) e Y- (segunda sequência) entre gerador e carga.
1.6.3 – Tensões e correntes nas ligações em estrela e em triângulo
A Figura 1.62 mostra as correntes de linha e de fase nas conexões triângulo e estrela (veja o
esboço das ligações).
Figura 1.62 – Relação entre as correntes de linha e de fase nas ligações triângulo e estrela.
Veja que na ligação em triângulo, a corrente de linha é maior que a de fase. E, na ligação em
estrela, a tensão de linha é maior que a de fase.
Notas:
1) na ligação em , a soma das correntes de fase é fasorial! Como estão defasadas de 120
graus, não vale a relação L F F F
I = I I 2I
  em qualquer vértice do triângulo;
2) o mesmo vale para a ligação em estrela, onde não vale a relação L F F F
V = V +V 2V
 ;
3) a ligação em triângulo não possui o condutor de neutro;
4) na conexão em Y, se o sistema for equilibrado, no condutor de neutro não circula corrente, ou
seja, N a b c
I = I I I 0.
  
E
Exemplo 1.13
Seja uma carga ligada em estrela (sistema trifásico equilibrado), onde a tensão de linha é dada por
Vab = 220 /300
VRMS. Desenhar esta tensão em um diagrama fasorial e calcular a sua tensão de fase.
Solução: diagrama fasorial (abaixo). A tensão de fase é:
VF = VL /1,73
= 220 / 1,73 = 127 Volts.

46
Série 4
EF16 – Seja uma carga equilibrada, alimentada em estrela por um gerador CA trifásico conectado
também em estrela, como mostra a Figura 1.63.
a) Encontre os ângulos 2 e 3 e o módulo das tensões de linha.
b) Encontre as correntes de fase na carga e mostre que no neutro tem-se 0.
F
I 

Figura 1.63 – Conexão Y-Y para uma carga indutiva. Fonte: Robert L. Boylestad. Introductory Circuit Analysis, 10ed.
Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458. All rights reserved.
EF17 – Um circuito série RLC é alimentado por uma fonte de tensão senoidal v1 (t), que, na forma polar,
é dada por V1 = 100 /00
V.
Os parâmetros do circuito são: R = 6 , XL = 10  e XC = 20 .
a) desenhar o triângulo de impedâncias e calcular o módulo da impedância;
b) determinar o valor da corrente na forma polar.
EF18 – Um circuito RL série é alimentado por uma fonte senoidal, v(t) = 10 sen t [V].
a) Sendo Z = 20 + j50 , calcular a corrente no mesmo para f = 10 Hz, 60 Hz e 200 Hz.
b) Desenhar os diagramas de impedância de v(t) e i(t) para as freqüências citadas.

47
LEP 1
Lista de Exercícios e Problemas 1 – 17 Questões
1) O gráfico da Figura 1 mostra as formas de onda de tensão e corrente em um elemento de circuito.
a) Escrever as suas equações, v(t) e i(t), indicando os valores aproximados de Vmax e Imax.
b) Pode-se dizer que este elemento é um _________________ (resistor/capacitor/indutor).
Figura 1 – Sinais v(t) e i(t) em um elemento de circuito.
2) Mostre matematicamente que uma onda
seno está defasada da onda cosseno de 90
graus. Veja a Figura 2.
3) Uma carga Z é alimentada por um sinal de
tensão 0
( ) 12 2 sen (377 15 )
v t   , a qual
provoca uma corrente i(t) dada por
0
( ) 3 2 sen (377 45 )
i t   .
Figura 2 (BOYLESTAD, 2002).
a) Determine: o módulo de Z, o ângulo T e o teor do circuito (mais indutivo ou mais capacitivo);
b) trace o triângulo de impedância e as formas de onda da tensão e da corrente na carga.
4) Um resistor R de 25 ohms tem uma potência média de 400 W. Determinar o valor máximo da corrente
iR(t), onde i(t) = Im.sen t. Nota: a potência média em um resistor é 2
max 2 .
DC
P V R

Resp.: Im = 5,66 A.
5) Encontre o valor instantâneo de v(t) = 100.sen 500t em t = 1,0 ms. Resp.: v(1 ms)  100 V.
Encontre também o período e a freqüência das seguintes formas de onda:
a) v1(t) = 10 - 5.cos (800t + 300
)
b) i2(t) = 5,5.sen 2
10t
Resp.: (a) T = 2,5 ms e f = 400 Hz; (b) T = 314,16 ms e f = 3,18 Hz.

48
6) Dada a forma de onda da Figura 3, encontre:
a) a sua equação;
b) o seu valor médio (VDC) em V;
c) o seu período em ms se  = 300 rad/s.
Resp.: (b) VDC = 15 V ; (c) T  20,94 ms.
Figura 3.
7) Seja a forma de onda apresentada na Figura 4.
Calcule o seu valor médio, sendo que
T
T
período
num
)
t
(
v
de
Total
Área
VDC 
Resp.: 6 V. Figura 4.
8) Um resistor R de 50  tem uma queda de tensão sobre ele dada por vR(t) = 120.sen (377t + 450
) V.
Calcule:
(a) o valor máximo da corrente neste resistor, i Rmax.
(b) a potência média dissipada em R. Dado: 2
max 2
DC
P V R
 .
Resp.: (a) i R max = 2,4 A. (b) W
144
PDC  .
9) Converta os seguintes números para a forma retangular.
a) 0
1 11,8 51
Z   0
15,8 215 A
C
I  0
13,7 142 V
R
V  0
16,9 36 V
T
V 
Resp.: (a) 7,43 + j9,17; (b) –12,9 – j9,06; (c) –10,8 + j8,43; (d) 13,67 + j9,93.
10) (a) Encontre a impedância total de dois componentes em paralelo que têm impedâncias dadas por:
Z1 = 300 /30o
 e Z2 = 400 /- 50o
. (b) Determinar os possíveis elementos do circuito e a corrente da
fonte V, se V na forma polar é V = 127 /30o
V.
11) Represente os fasores Z1, Z2 e Z3 na forma polar:
a) b) c) z3 = (z4 + z5 + z6) / z7 ,
onde:
z4 = 40 + j 55  ,
z5 = 100 - j 33  ,
z6 = - 20 - j 60  e
z7 = - 65 + j 90 .
Resp.: 0
10 53,1  Resp.: 0
10,77 68,2
  Resp.: 0
1,13 143,41
 
12) Um circuito RLC série possui os seguintes componentes:
0
50 30 V
T
V  , 6 ohms
R  , 9 ohms e
L
X  17 ohms.
C
X 
a) Calcule a sua impedância total e a máxima corrente do circuito.
b) Calcular a tensão na bobina, VL.
c) Quando XL = XC , que fenômeno elétrico ocorre neste circuito? O que se pode dizer a respeito da
corrente na fonte?

49
13) Para o circuito paralelo da Figura 5, pede-se:
a) calcule as correntes nos ramos e a corrente total ;
b) traçar o diagrama fasorial de IT e de VT;
c) encontrar Zeq através de VT / IT e comparar o cálculo com o
resultado obtido através da expressão
2
1
2
1
eq
Z
Z
Z
.
Z
Z

 .
Figura 5.
Resp.: (a) ]
A
[
82
,
5
j
46
,
13
I
];
A
[
12
I
];
A
[
82
,
5
j
46
,
1
I T
2
1 



 . (b) ].
[
32
,
3
j
49
,
7
Zeq 


14) Dado o circuito RL paralelo CA da Figura 6, pede-se:
a) mostrar que a impedância equivalente do circuito pode ser encontrada pela expressão:
Figura 6.
 
2 2 0 1
90 tan
eq L L L
Z RX R X X R

 
  
 
Sabendo-se que a freqüência da fonte CA é de 60 Hz,
calcule o valor de Zeq e represente-a na forma
cartesiana.
Resp.: Zeq = 16,34 + j 9,45 .
b) calcule a corrente total do circuito, IT, e representa-a na forma complexa. Resp.: IT = 5,83 – j 3,37 [A].
15) O diagrama fasorial da Figura 7 representa as
tensões e correntes de fase em uma carga trifásica
equilibrada na configuração estrela. É correto afirmar:
a. ( ) a corrente IC possui ângulo de (150o
- ) e o fator
de potência é igual ao cos .
b. ( ) a tensão VCA possui ângulo de + 150o
e a corrente
fasorial IB possui ângulo de -120o
.
c. ( ) a tensão VBC possui ângulo de -90o
e a carga é
resistiva.
d. ( ) a tensão VAB possui ângulo de -90o
e o fator de
potência é igual ao cos .
e. ( ) a tensão VBC possui ângulo de -90o
e o fator de
potência é igual ao cos .
Figura 7 – Diagrama fasorial de tensões
e correntes (sistema trifásico).
16) Três resistências de 20  estão ligadas em Y a uma linha trifásica de 240 V funcionando com um
fator de potência unitário (cos  = 1).
a) Calcule a corrente através de cada resistência.
b) Qual e a corrente de linha para esta conexão?
c) Qual é a potência consumida pelas três resistências.
Resp.: (a) 6,94 A. (b) idem. (c) 2890 W.
17) Uma carga equilibrada indutiva, onde em cada fase a impedância é Z = 10 + j10 ohms (Figura 8) é
alimentada por uma tensão de linha EL = 220 VRMS.
a) Qual é o ângulo de fase T?
b) Mostre que a potência ativa total da (carga em W) é dada por 2
3 .
T L
P RI

c) Calcule a potência ativa utilizando a equação 3 cos
T L L T
P V I 
 e compare o resultado com o
obtido no item (b).

50
Figura 8 – Carga equilibrada ligada em estrela. Fonte: Robert L. Boylestad. Introductory Circuit Analysis, 10ed.
Copyright ©2003 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey 07458. All rights reserved.
Principais Relações Trigonométricas
 
o
90
x
cos
x
sen 
 (1.1)  
o
90
x
sen
x
cos 
 (1.2)
x
cos
x
sen
x
tg  (1.3)     x
cos
x
-
cos
e
x
sen
x
sen 


 (1.4)
y
sen
cox
y
cos
x
sen
)
y
x
sen( 



 (1.5) y
sen
sen
y
cos
x
cos
)
y
x
cos( 


  (1.6)
   
 
y
x
cos
y
x
cos
2
1
y
sen
.
x
sen 


 (1.7)    
 
y
x
cos
y
x
cos
2
1
y
cos
.
x
cos 


 (1.8)
   
 
y
x
sen
y
x
sen
2
1
y
cos
.
x
sen 


 (1.9)
o
o
sen sen( 360 ) e
cos cos( 360 ), para qualquer inteiro N.
x x N
x x N
  
  
(1.10)
Funções Circulares – Triângulo Retângulo
Dado um triângulo retângulo ABC, como o mostrado na
Figura 5, pode-se escrever as equações (1.11), (1.12) e (1.13).
Figura 9.
cateto oposto b
sen θ = =
hipotenusa a
(1.11)
a
c
hipotenusa
adjacente
cateto
cos 

 (1.12)
cateto oposto b
tanθ
cateto adjacente c
  (1.13)
Sistema Trifásico – Potência Total em W:
3.
3 3. cos
L L
L F
T F F F
V V
I I
P P V I 
 



  


51
Capítulo
INTRODUÇÃO AOS MOTORES ELÉTRICOS
2
2
Capítulo 2 – Introdução aos motores elétricos
2.1 – Introdução
O motor elétrico pode se definido, de um modo simples e direto, como um equipamento que
converte energia elétrica em energia mecânica (em geral energia cinética) e desenvolve em seu eixo um
movimento de rotação e um conjugado (torque). A energia elétrica – fonte de alimentação - pode ser na
forma contínua (no caso dos motores CC) ou alternada (motores CA de indução, síncronos etc.).
Segundo informações da WEG Equipamentos Elétricos, o motor de indução é o mais usado de
todos os tipos de motores (cerca de 80 % a 90 % dos motores elétricos em serviço no mundo), pois
combina as vantagens da utilização de energia elétrica - baixo custo, facilidade de transporte, limpeza e
simplicidade de comando - com sua construção simples, custo reduzido, grande versatilidade de
adaptação às cargas dos mais diversos tipos e melhores rendimentos.
A Figura 2.1 apresenta um motor de indução em vista explodida. A Figura 2.2 mostra, de modo
bastante gráfico, os tipos de motores elétricos.
Figura 2.1 – Aspecto do motor de indução, em vista explodida. Disponível em:
http://www.weg.net/files/products/WEG-motores-eletricos-baixa-tensao-mercado-brasil-050-catalogo-portugues-br.pdf
2.2 – Aplicações de motores CC e CA
Como apresentado na Figura 2.2, os motores elétricos são divididos em duas categorias
principais, em função da fonte de alimentação: motores de corrente contínua (CC ou DC) e motores de
corrente alternada (CA ou AC) (FRANCHI, 2007).
A seguir são apresentadas algumas características básicas destes motores.

52
Figura 2.2 – Tipos de Motores Elétricos. Fonte: WEG Equipamentos Elétricos S.A. Disponível em:
http://www.weg.net/files/products/WEG-motores-eletricos-baixa-tensao-mercado-brasil-050-catalogo-portugues-br.pdf
2.2.1 – Motores de Corrente Contínua (ou motores CC)
O motor de CC foi o primeiro a ser utilizado na indústria, destacando-se pela simplicidade em se
controlar a velocidade de rotação em RPM e também o torque. Veja o aspecto de um motor CC industrial
na Figura 2.3. A Figura 2.4 mostra as partes principais do motor CC: a parte móvel (rotor ou armadura) e
a parte fixa ou estática (estator ou campo).
O Estator ou campo constitui a parte fixa do motor, possuindo sapatas polares formadas por
pacotes de lâminas de aço silício justapostas. Em torno das sapatas polares são enrolados os fios
condutores, que formam as bobinas.
O rotor ou armadura é a parte móvel, montado no eixo de transmissão ou de movimento do motor
CC. Possui também um pacote de lâminas de aço silício com ranhuras, onde são inseridas as suas
bobinas, cujos terminais são conectados eletricamente ao coletor.

53
Figura 2.3 – Motor de CC. Fonte: http://www.ted-kyte.com/3D/Pictures/DC%20Motor%20Open.jpg
(a) (b)
Figura 2.4 – Partes principais do motor CC – Estator (a) e Rotor (b).
Relembrando...
O motor de CC tem a sua operação baseada nas forças resultantes da interação entre o campo
magnético e a corrente que circula no seu enrolamento de armadura. Tais forças tendem a mover o
condutor num sentido perpendicular ao plano da corrente elétrica e do campo magnético (regra da mão
esquerda ou Regra de Fleming) – Figura 2.5. A Figura 2.6 mostra a ação motora em uma espira.
Figura 2.5 – Visualização do movimento de um condutor percorrido por corrente elétrica, no interior
de uma região onde há fluxo de linhas de campo magnético – Regra da Mão Esquerda (Fleming).

54
Figura 2.6 – Ação motora em uma espira: corrente produzindo movimento.
Os motores CC têm aplicações onde se requer um controle preciso de velocidade, que é a sua
principal característica. Devido à evolução da Eletrônica de Potência, hoje em dia estes motores são
acionados por fontes estáticas de CC com tiristores, com grande confiabilidade, manutenção simples e
baixo custo. Apesar do custo elevado, os motores CC ainda constituem uma alternativa em uma série de
aplicações onde é necessário o ajuste fino de velocidade.
Os acionamentos de corrente contínua, compostos por conversores CA/CC e motor CC possuem
excelentes propriedades técnicas de comando e regulação e garantem: regulagem precisa de velocidade,
aceleração constante e ampla sob qualquer condição de carga, aceleração e/ou desaceleração controlada e
finalmente um conjugado constante sob ampla faixa de velocidade com controle através da armadura.
O motor CC vem sendo substituído pelos motores CA acionados por inversores de freqüência.
Porém, em alguns processos o seu emprego é vantajoso, como:
- Máquinas de papel e de impressão;
- Máquinas têxteis
- Bobinadoras e desbobinadoras;
- Laminadoras;
- Extrusoras;
- Prensas;
- Máquinas de moagem (moinho de rolos)
- Ferramentas de avanço;
- Tornos;
- Mandrilhadoras;
- Indústria química e petroquímica;
- Indústria de borracha;
- Veículos de tração.
As principais características da máquina CC são:
- Altamente flexível e controlável;
- Torques de partida, aceleração e desaceleração elevados;
- É capaz de realizar inversões rápidas;
- Vasta gama de controle de velocidade e torque (uma variação de velocidade de 4:1 é obtida
facilmente com resistores, e de 40:1 com dispositivos eletrônicos);
- Torque máximo: é limitado por comutação e não por aquecimento, como em outras máquinas.
- Caras e frágeis devido ao comutador.
2.2.2 – Motores de Corrente Alternada (ou motores CA)
Os motores CA (veja a Figura 2.7) constituem a maioria das aplicações industriais,
principalmente porque a distribuição de energia elétrica é feita em CA. A sua configuração mais
econômica é o uso de motores de indução de Gaiola de Esquilo (aproximadamente 90 % dos motores CA

55
fabricados são deste tipo). A outra configuração é com rotor bobinado, composto de três bobinas em
estrela, com as características de partida suave e velocidade ajustável.
Figura 2.7 – Motores de indução. Fontes: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Silniki_by_Zureks.jpg
e http://www.onelectriccars.com/inside-the-tesla-roadster-sport/606/
O uso dos motores CA se justifica (e é predominante) quando não é necessário o ajuste e o
controle de velocidade e para potência inferior a 500 CV. Para aplicações com variação de velocidade
com motores CA, empregam-se inversores de freqüência.
Segundo FRANCHI,
O constante desenvolvimento da eletrônica de potência deve levar a um progressivo abandono dos
motores de corrente contínua. Isso porque fontes de tensão e freqüência controladas, que alimentam
motores de corrente alternada, principalmente os de indução de gaiola, já estão se transformando em opções
mais atraentes quanto ao ajuste e ao controle de velocidade (FRANCHI, Claiton Moro. Acionamentos
Elétricos. 2ª. Ed. São Paulo: Ed. Érica, 2007).
Serão estudados em maior profundidade neste capítulo apenas os motores CA, já que a imensa
maioria dos motores elétricos utilizados nos processos industriais pertence a essa categoria.
Quanto à velocidade de rotação, classificam-se os motores CA:
- Motor SÍNCRONO: aquele que opera com freqüência fixa, igual àquela da rede de alimentação
CA. Utilizado para faixas de grandes potências (devido ao custo alto para tamanhos menores). Neste
motor, a velocidade do rotor é igual a do campo girante do estator (assunto que será estudado a seguir).
- Motor ASSÍNCRONO – opera com velocidade que varia ligeiramente com a carga mecânica
aplicada ao eixo. A velocidade do rotor é diferente da velocidade do campo girante do estator.
2.3 – O motor CA trifásico
2.3.1 – Motor de indução
O motor assíncrono de indução (velocidade variável) tem atualmente uma aplicação muito grande
tanto na indústria como em utilizações domésticas, dada a sua grande robustez, baixo preço e partida fácil
(pode mesmo ser direta, em motores de baixa potência). É o motor mais utilizado nos processos
industriais nos dias de hoje.
Na sua configuração trifásica, o Motor de Indução Trifásico (MIT) apresenta, em relação aos
motores monofásicos, uma superioridade: é mais econômico tanto na construção como na utilização.
Geralmente é o mais utilizado para acionamento de compressores, bombas e ventiladores. O uso de MIT
se justifica a partir de 2 kW. Para potências menores, indica-se o motor de indução monofásico, o qual
será estudado no capítulo 8 (características construtivas e métodos de acionamento). Como vantagens em

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