O documento apresenta resoluções de equações do segundo grau. Resume as principais informações da seguinte forma: 1) São mostradas 34 equações do segundo grau resolvidas passo a passo, encontrando os valores de x que anulam a equação. 2) É apresentada a fórmula geral para resolução de equações do segundo grau, relacionando os coeficientes a, b e c com as raízes x1 e x2. 3) São mostrados exemplos numéricos aplicando a fórmula geral para encontrar as raízes de equ

1. 12
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
EQUAÇÃO DA FORMA: ax² + bx = 0
x' = 0
coloca-se o x em evidência: x(ax + b) x'' = ax + b = 0
x 3x − 18 = 0 x' = 0 x  x − 9 = 0 x' = 0
01 3x − 18 = 0 x '' = 6 02 x−9=0 x '' = 9
3x = 18 x=9
x=6
2x  x  4 = 0 x' = 0 25x  x − 4 = 0 x' = 0
03 x  4 = 0 x ' ' = −4 04 x−4=0 x ' ' = 44
x = −4 x=4
x  x − 7 = 0 x' = 0 x  x − 6 = 0 x' = 0
05 x − 7 = 0 x '' = 7 06 x−6=0 x '' = 6
x=7 x=6
2x  x − 2 = 0 x' = 0 x 9x − 4 = 0 x' = 0
07 x − 2 = 0 x '' = 2 08 9x − 4 = 0 4
x '' =
x=2 9x = 4 9
4
x=
9
4x  x − 5 = 0 x' = 0 3x x  6 = 0 x' = 0
09 x − 5 = 0 x '' = 5 10 x6=0 x ' ' = −6
x=5 x = −6
x −x  3 = 0 x' = 0
11 −x  3 = 0 x '' = 3
−x = −3
x=3
EQUAÇÃO DA FORMA: ax² + bx = 0
2
2x = 32
2 32
x = 49 x ' = −7 2x 2 = x ' = −4
12 13 2
x =  49 x '' = 7 2 x '' = 4
x=7 x = 16
x =  16
x=4

2. 3x 2 = 3 x ' = −1 2
x = 25
14 3 15 x ' = −5
x2 = x '' = 1 x =  25
3 x '' = 5
2 x=5
x =1
x = 1
x=1
x 2  3x − 3x − 9 = 0
9x 2 = 1
16 x2 − 9 = 0 x ' = −3 17 1 1
x' =−
x2 = 9 x '' = 3 x2 = 3
9
x = 9 1
x=3 x=
1
1
9
x'' =
3
x=
3
25x 2 = 16
36 − x2 = 0
18 16 4 19
x2 = x' = − −x 2 = −36 x ' = −6
25 5 x 2 = 36 x '' = 6
x=
4
16
25
x '' =
4
5
x =  36
x=6
x=
5
x2 = 4 x ' = −2
x '' = 2 x2 = 5 x ' = − 5
20 x = 4 21 x = 5 x ' ' = 5
x=2
4x 2 = 9 3
9 x' = −
22 2
x2 =
4 3
x '' =
x=
3
9
4
2
x=
2
x' =
−b −  b2 − 4ac
EQUAÇÃO COMPLETA: ax² + bx + c = 0 2a
−b   b 2 − 4ac
x '' =
2a

3. −−8 ±  −82 − 4 . 1 . 15 8−2 82
x= x' = x '' =
2.1 2 2
8 ±  64 − 60 6 10
x= x' = x'' =
23 2 2 2
8 ± 4 x' = 3 x'' = 5
x=
2
8±2
x=
2
−−9 ±  −92 − 4 . 1 . 18 9−3 93
x= x' = x '' =
2. 1 2 2
9 ±  81 − 72 6 12
x= x' = x'' =
24 2 2 2
9 ± 9 x' = 3 x'' = 6
x=
2
9±3
x=
2
−−3 ±  −32 − 4 . 1 . 2 3 −1 31
x= x' = x '' =
2 .1 2 2
3 ± 9 − 8 2 4
x= x' = x '' =
25 2 2 2
3 ± 1 x' = 1 x'' = 2
x=
2
3±1
x=
2
−−5 ± −52 − 4 . 1 . 6 5−1 51
x= x' = x '' =
2.1 2 2
5 ±  25 − 24 4 6
x= x' = x '' =
26 2 2 2
5 ± 1 x' = 2 x'' = 3
x=
2
5±1
x=
2
−−7 ±  −72 − 4 . 1 . 12 7 −1 71
x= x' = x '' =
2 .1 2 2
7 ±  49 − 48 6 8
x= x' = x'' =
27 2 2 2
7 ± 1 x' = 3 x '' = 4
x=
2
7±1
x=
2

4. −6 ±  62 − 4 . −1 . −5 −6 − 4 −6  4
x= x' = x '' =
2 . −1 −2 −2
−6 ±  36 − 20 −10 −2
x= x' = x '' =
28 −2 −2 −2
−6 ±  16 x' = 5 x '' = 1
x=
−2
−6 ± 4
x=
−2
x=
−2 ±  22 − 4 . 1 . −8 x' =
−2 − 6
x'' =
−2  6
2 .1 2 2
−2 ±  4  32 −8 4
x= x' = x '' =
29 2 2 2
−2 ±  36 x ' = −4 x '' = 2
x=
2
−2 ± 6
x=
2
x 2 − 3x  2 = 0 3−1 31
x' = x'' =
−−3 ±  −32 − 4 . 1 . 2 2 2
x= 2 4
2 .1 x' = x '' =
30 3 ± 9 − 8 2 2
x= x' = 1 x '' = 2
2
3 ± 1
x=
2
3±1
x=
2
x 2 − 2x = 3x − 6 5−1 51
x' = x'' =
x 2 − 2x − 3x  6 = 0 2 2
x 2 − 5x  6 = 0 x' =
4
x'' =
6
31 −−5 ± −52 − 4 . 1 . 6 2 2
x= x' = 2 x '' = 3
2.1
5 ±  25 − 24
x=
2
5 ± 1
x=
2
5±1
x=
2

5. 2
x = 9x − 18 9−3 9 3
2 x' = x'' =
x − 9x  18 = 0 2 2
−−9 ±  −92 − 4 . 1 . 18 6 12
x= x' = x '' =
32 2.1 2 2
9 ±  81 − 72 x' = 3 x '' = 6
x=
2
9 ± 9
x=
2
9±3
x=
2
2
8x − 6x − 1 = 0 6−2 62
x' = x '' =
−−6 ± −6 − 4 . 1 . 8
2
16 16
x= 4 8
2 .8 x' = x '' =
33 6 ±  36 − 32 16 16
x= 1 1
16 x' = x '' =
4 2
6 ± 4
x=
16
6±2
x=
16
2
12x − 5  40x − 72x = 30x − 15 62 − 58 62  58
x' = x'' =
12x 2  40x − 72x − 30x − 5  15 = 0 24 24
12x 2 − 62x  10 = 0 x' =
4
x '' =
120
34 −−62 ±  −622 − 4 . 12 . 10 24 24
x= 1 x'' = 5
2 . 12 x' =
6
62 ±  3.844 − 480
x=
24
62 ±  3.364
x=
24
62 ± 58
x=
24

6. Produto das raízes (c)
Soma das raízes (b)
a=1 x² – 7 + 12 = 0
se + : raízes de mesmo sinal
se – : raízes de sinais diferentes
se + : resultado da soma é negativo
se – : resultado da soma é positivo
Produto Soma +12 (raízes de mesmo sinal) -7 (resultado positivo)
1 e 12 12 13 x' = 3
2e6 12 8 -3 e -4 ou 3 e 4 x'' = 4
3e4
3e4 12 7
35
a)
Produto Soma +6 (raízes de mesmo sinal) -5 (resultado positivo) x' = 2
1e6 6 7 x'' = 3
2e3 6 5 -2 e -3 ou 2 e 3 2e3
b)
Produto Soma +20 (raízes de mesmo sinal) -9 (resultado positivo) x' = 4
1 e 20 20 21 x'' = 5
2 e 10 20 12 -4 e -5 ou 4 e 5 4e5
4e5 20 9
c)
Produto Soma -21 (raízes de sinais diferentes) +4 (resultado negativo)
-1 e 21 - 21 20 x' = -7
-3 e 7 - 21 4 -3 e 7 ou 3 e -7 x'' = 3
3 e -7
d)
Produto Soma +20 (raízes de mesmo sinal) -12 (resultado positivo)
1 e 20 20 21 x' = 2
2 e 10 20 12 -2 e- 10 ou 2 e 10 x'' = 10
2 e 10
4e5 20 9

7. e)
Produto Soma -16 (raízes de sinais diferentes) -6 (resultado positivo)
-1 e 16 -16 15 x' = -2
-2 e 8 -16 6 -2 e 8 ou 2 e -8 x'' = 8
-2 e 8
-4 e 4 -16 0
f)
Produto Soma +28 (raízes de mesmo sinal) -11 (resultado positivo) x' = 4
1 e 28 28 29 x'' = 7
2 e 14 28 16 -4 e -7 ou 4 e 7 4e7
4e7 28 11
Δ > 0 → 2 raízes reais e distintas
−b ±  Δ 2
x= Δ = b − 4ac Δ = 0 → 2 raízes reais e iguais
2a
Δ < 0 → não possui raiz real
Para raízes reais e distintas, então Δ > 0 Para raízes reais e iguais, então Δ = 0
2
−6 − 4 . 3 . m  0 −62 − 4 . 1 . 3m = 0
36 − 12m  0 36 − 12m = 0
36 36
−12m  −36 −12m = −36
(pág. 119) (pág. 120)
12m  36 12m = 36
m 3 m =3
Para raízes reais e distintas, então Δ > 0 Para raízes reais e distintas, então Δ > 0
2 2
−10 − 4 . 1 .  2m − 1  0 −4  − 4 . 1 .  k − 3  0
100 − 4 2m − 1  0 16 − 4  k − 3  0
37 100 − 8m  4  0 38 16 − 4k  12  0
−8m  −104 −4k  −28
8m  104 4k  28
m  13 k7
Para raízes reais e iguais, então Δ = 0 Para raízes reais e distintas, então Δ > 0
−22 − 4 . 3k . −1 = 0 −82 − 4 . 4 . 2k  0
4  12k = 0 64 − 32k  0
39 12k  4 = 0 40 −32k  −64
12k = −4 32k  64
4 k2
k =−
12
1
k =−
3

8. Para raízes reais e iguais, então Δ = 0 Para raízes reais e distintas, então Δ > 0
2  2m2 − 4 . 1 . m 2 = 0 −2m2 − 4 . m . 3 = 0
4  8m  4m 2 − 4m 2 = 0 4m2 − 12m = 0
41 8m = −4 42 m  4m − 12 = 0 m' = 0
4 4m − 12 = 0 m'' = 3
m =−
8 4m = 12
1 m=3
m =−
2
Soma das raízes: −b Diferença das raízes: Δ
a a
c
Produto das raízes: Soma dos inversos das raízes: −b
a c
43 Soma das raízes: −1 Produto das raízes: −12
= −1 = −12
1 1
Diferença das raízes: 1 2 − 4 . 1 . −12
=  1  48 =  49 = 7
1
O inverso das raízes:
Produto das raízes:
1 Ex.: 1
x' = c x' = 3 3=
x'' =1 3
a 1
x' . x '' = 1 x '' = 1 3
3 3. = =1
3 3
44 2x 2 − 5x  k = 0 1 k
k' = =1
k '' 2
k ' . k '' = 1 k=2
Produto das raízes:
45 2 2
1 3m
mx  4x  7x  3m = 0 m' = =1
m ''  m  4
m' . m'' = 1 3m = 4  4
3m − m = 4
2m = 4
m =2

9. Produto das raízes:
46 mx 2 − x 2 − 8x  3 = 0 1 3
m' = =1
m ''  m − 1
m' . m'' = 1 3=m−1
m −1=3
m =31
m =4
2 2
x − 2n − 1 x  n − n − 12 = 0 Soma das raízes:
47 −−2n  1
x 2 − 2nx  x  n 2 − n − 12 = 0 =9
1
− −2n  1 = 9
2n − 1 = 9
2n = 9  1 2n = 10
n=5
Produto das raízes:
48 kx 2  2x2 − 5x  2k = 0 1 2k
k' = =1
k ''  k  2
k ' . k '' = 1 2k = k  2
2k − k = 2
k=2
Raízes simétricas:
Soma das raízes: Soma das raízes:
Ex.: x' = 3 3  −3 = 0
x ' = −x ' ' x '  −x ' ' = 0 x ' ' = −3
Soma das raízes:
49 2x 2  4mx − 8x  50 = 0 −−4m − 8
=0
2
− −4m  8 = 0
4m − 8 = 0
4m = 8
m =2
Média Aritmética: Média Geométrica: Média Harmônica:
x 1  x 1  ...  x n n
 x1 . x 2 ... x n n
n 1 1 1
 ...
Ex.: 3
1 . 3 . 9 = x1 x2 xn
Ex.: 3  4  5 = 4
3
3  27 = 3 Ex.: 2 12
=
1 1 5

2 3

10. 50 x 2 − 2ax  2bx  a  b2 = 0
−−2a  2b
1
Soma das raízes dividido por 2 M.A. = =0
2
b 2a − 2b 1
Média Aritmética: − M.A. = . =0
a 1 2
2 2a − 2b
M.A. =
2
M.A. = a − b
Raiz quadrada do M.G. =
a  b2
Média Geométrica: Produto das raízes: 1
M.G. = a  b2
 c
a
M.G. = a  b
51 2
m − 2 x − 2m − 1 x  m  2 = 0 Soma das raízes:
mx 2 − 2x 2 − 2mx  x  m  2 = 0 −−2m  1 1
=
m−2 4
−4−2m  1 = 1 m − 2
8m − 4 = m − 2
8m − m = −2  4
7m = 2
2
m =
7
52 2 2
hx  3x − 2hx  2x  h  4 = 0 Soma dos inversos das raízes:
−−2h  2 1
=
h  4 3
Soma dos inversos das raízes: −3−2h  2 = 1 h  4
−b 6h − 6 = h  4
c 6h − h = 4  6
5h = 10
h=2
53 Soma das raízes: Soma das raízes:
 −b
c
1 .

−b
c
−1
 −−4
2
= =2
4
2
2  1 . 2 −  = 3 . 1 = 3

11. 54 Produto das raízes: Soma das raízes:
−−4 k
= 4 =k
1 1
S R R S
S . R . S . R = 16
4 k . 4k = 16
4 2k = 16
4 2 = 16
k=1
55 Soma dos inversos das raízes: Soma dos inversos das raízes:
−b −k 5
=
c 36 12
−12k = 180
12k = −180
k = −15
56 Soma dos inversos das raízes: Média harmônica:
2
−b −−1 1 = 10
= 1
c m m
m
m
2 . = 10
1
2m = 10
m =5
57 Produto das raízes: Soma das raízes:
−−4 k
= 4 =k
1 1
S R R S
S . R . S . R = 256
4 k . 4k = 256
4 2k = 256
4 8 = 256
k=4
58 Soma dos inversos das raízes: Soma dos inversos das raízes:
−b −−5 5
=
c m 4
20 = 5m
5m = 20
m =4

12. 59
Soma das raízes: b −−10 x' = 2
x '  x '' = − x  4x =
a 1 x '' = 4 . 2 = 8
5x = 10
x=2 k = c = produto das raízes
2 . 8 = 16
60
Soma das raízes: b −−7 x' = 3
x '  x '' = − x  x  1 =
a 1 x '' = 4
xx1=7
2x = 7 − 1 k = c = produto das raízes
2x = 6 3 . 4 = 12
x=3