1. Modelli di scomposizione
di serie storiche
Giancarlo Bruno – Istat
XI Conferenza nazionale di statistica
20 febbraio 2013

2. Indice
1. Motivazione
2. L’approccio classico alla scomposizione delle serie storiche
3. Approccio moderno per la scomposizione di serie storiche

3. Motivazione
120
100
80
60
40
1990 1995 2000 2005 2010 2015

4. Motivazione
120
100
80
60
40
1990 1995 2000 2005 2010 2015

5. Motivazione
120
100
80
60
40
1990 1995 2000 2005 2010 2015

6. Motivazione
110
100
90
80
1990 1995 2000 2005 2010 2015

7. Scomponibilità di una serie
storica
L’ipotesi di base che faremo è che esiste la possibilità di
scomporre una serie storica in componenti, ad esempio:
• Tendenza
• Stagionalità
• Componente erratica o irregolare
La serie osservata Yt sarà data dalla somma di tutte o alcune
di queste:
Yt = µt + γt + εt

8. Approccio classico alla
scomposizione
Nell’approccio cosiddetto classico le componenti vengono
rappresentate mediante opportune funzioni matematiche note,
a meno di un ridotto numero di parametri che possono essere
stimati mediante i dati disponibili.
Tali funzioni riproducono quelle che si ritengono essere le
caratteristiche salienti delle componenti.

9. Tendenza
La tendenza (trend) rappresenta la variabilità della serie
connessa a movimenti riconducibili al lungo periodo; in
generale, quindi, essa è supposta essere abbastanza “liscia”.
Nell’approccio classico la tendenza è rappresentata da una
funzione del tempo, ad esempio:
• tendenza costante: µt = α
• tendenza lineare: µt = α + β1 t
• tendenza quadratica: µt = α + β1 t + β2 t 2
• tendenza esponenziale: µt = eα+β1 t

10. Stagionalità
La componente stagionale ha la caratteristica di ripetersi in
maniera regolare ogni s periodi, dove s è la frequenza della
serie osservata: 4 per serie trimestrali, 12 per serie mensili,
ecc.
Essa può essere caratterizzata in vari modi, ad esempio
mediante s variabili dicotomiche. In questo caso la stagionalità
è data da:
s s
γt = δi Dit con δi = 0
i=1 i=1
dove Dit assume valore 1 nella stagione i e 0 altrove, mentre i
coefficienti δi ne misurano l’effetto.

11. Componente irregolare
Nell’approccio classico questa è l’unica componente stocastica,
in genere rappresentata da un rumore bianco, ossia un
processo non prevedibile a partire dalla conoscenza del suo
passato.
εt ∼ WN(0, σ 2 )

12. Stima dei coefficienti
Ipotizzando che la serie osservata sia composta da una
tendenza lineare, dalla componente stagionale e da quella
irregolare:
Yt = µt + γt + εt
s
= α + β1 t + δi Dit + εt t = 1, · · · , T
i=1
è possibile stimare i coefficienti α, β1 e δi con i MQO.

13. Limiti dell’approccio classico
L’approccio classico ha alcuni inconvenienti:
• Occorre ipotizzare una precisa forma funzionale per le
componenti; questo implica tra l’altro una notevole dose di
soggettività, che può essere fonte di problemi soprattutto
se il modello deve essere usato anche in previsione.
• Le componenti sono molto “rigide”. Spesso può essere
preferibile un approccio “locale”.

14. Esempio
La serie artificiale accanto 200
rappresenta un esempio di
come la scelta di una 180
funzione analitica possa
essere controversa. 160
140
120
0 20 40 60 80 100 120

15. Esempio
La serie artificiale accanto 200
rappresenta un esempio di
come la scelta di una 180
funzione analitica possa
essere controversa. 160
Si potrebbe, infatti, scegliere
una tendenza lineare
140
120
0 20 40 60 80 100 120

16. Esempio
La serie artificiale accanto 200
rappresenta un esempio di
come la scelta di una 180
funzione analitica possa
essere controversa. 160
Si potrebbe, infatti, scegliere
una tendenza lineare
140
oppure quadratica
120
0 20 40 60 80 100 120

17. Esempio
La serie artificiale accanto 200
rappresenta un esempio di
come la scelta di una 180
funzione analitica possa
essere controversa. 160
Si potrebbe, infatti, scegliere
una tendenza lineare
140
oppure quadratica o anche
data dalla composizione di
120
due tendenze lineari.
La scelta, anche solo 0 20 40 60 80 100 120
implicitamente, contiene
una valutazione previsiva.

18. Esempio
Problemi analoghi 120 IPI
emergono con serie tendenza
reali. In questo caso 100
abbiamo l’indice della
produzione industriale, 80
rappresentato come
composto da un trend 60
polinomiale di 5◦ grado e
una stagionalità 40
deterministica. I residui
1990 1995 2000 2005 2010 2015
sono lontani dall’essere
white noise!

19. Uso di metodi locali
Dei limiti dell’approccio globale si ha consapevolezza da lungo
tempo nella letteratura empirica sulle serie storiche.
Allo scopo di superarli sono stati escogitati vari metodi, che
essenzialmente si caratterizzano per essere in qualche modo
locali.

20. Componenti stocastiche
L’uso di componenti stocastiche permette di rendere più
verosimili e flessibili i modelli per le componenti.
Prendiamo ad esempio una tendenza lineare deterministica:
µ t = α + β1 t
In questo modello ogni osservazione del campione riceve lo
stesso peso nella stima dei parametri e contribuisce allo stesso
modo alla previsione. In questo senso il metodo di
scomposizione classico può essere visto come un metodo
globale.

21. Tendenza stocastica
Una possibile “flessibilizzazione” consiste nel rendere
stocastica tale componente, ossia nel rendere variabili i
coefficienti α e β1 .
Ciò può essere illustrato riformulando la tendenza lineare in
forma ricorsiva:
µt = µt−1 + β1

22. Tendenza stocastica
Una possibile “flessibilizzazione” consiste nel rendere
stocastica tale componente, ossia nel rendere variabili i
coefficienti α e β1 .
Ciò può essere illustrato riformulando la tendenza lineare in
forma ricorsiva:
µt = µt−1 + β1
a questa espressione è possibile aggiungere un elemento
2
aleatorio ηt ∼ N(0, ση ), ottenendo:
µt = µt−1 + β1 + ηt

23. Tendenza stocastica
È immediato osservare che:
t
µt = µ 0 + ηi + β1 t
i=1
quindi, trascurando il fattore iniziale µ0 , la tendenza
complessiva è il risultato della composizione di un trend lineare
deterministico, β1 t, e di una passeggiata aleatoria, t ηi .
i=1
La varianza del disturbo casuale ηt e la distanza dall’origine,
determineranno la maggiore o minore possibilità di
allontanamento della serie complessiva dal trend
deterministico.

24. Esempio
30
µt = β1 + µt−1 + ηt
20
con ηt ∼ N(0, 0,1)
e β1 = 0,3
10
tendenza deterministica
0 tendenza stocastica
0 20 40 60 80 100

25. Tendenza stocastica
L’esempio precedente può essere ulteriormente generalizzato,
considerando come variabile e stocastico anche il termine β1 ,
cosiddetto drift o deriva.
Un modello spesso utilizzato è il seguente (cd. local linear
trend):
µt = µt−1 + βt + ηt
βt = βt−1 + ζt
2
con ηt ∼ N(0, ση )
2
ζt ∼ N(0, σζ )
E(ηt ζt ) = 0

26. Esempio
40
µt = µt−1 + βt + ηt
βt = βt−1 + ζt 30
20
con ηt ∼ N(0, 0,1)
ζt ∼ N(0, 0,01) 10
β0 = 0,3
Local linear trend
0 Local level with drift
0 20 40 60 80 100

27. Esempio
In alcuni casi può essere 40
desiderabile diminuire la
variabilità di breve periodo 30
della tendenza.
È possibile ottenere una 20
componente più liscia
(smooth trend) ponendo 10
2
ση = 0
Local linear trend
0 Smooth trend
µt = µt−1 + βt
0 20 40 60 80 100
βt = βt−1 + ζt
con ζt ∼ N(0, 0,01)

28. Componente stagionale
Analogamente alla trend anche la stagionalità può essere resa
stocastica, e dunque in qualche modo evolutiva nel tempo.
Ad esempio, si può ipotizzare che la somma degli effetti su s
periodi non sia esattamente pari a 0, ma uguale alla
realizzazione di una variabile aleatoria con media nulla:
s
2
δi = κt κ ∼ N(0, σκ )
i=1

29. Esempio
In questo esempio si può 120
notare l’adattamento che si
ottiene con un semplice 100
modello composto da uno
smooth trend, una 80
componente stagionale
stocastica e un disturbo 60
residuo.
IPI
40 Local linear trend
1990 1995 2000 2005 2010 2015

30. Esempio
In questo esempio si può 120
notare l’adattamento che si
ottiene con un semplice 100
modello composto da uno
smooth trend, una 80
componente stagionale
stocastica e un disturbo 60
residuo.
IPI
Inoltre è possibile calcolare 40 Local linear trend
un intervallo di confidenza
1990 1995 2000 2005 2010 2015
per le componenti così
stimate.

31. Stima
Non ci soffermeremo qui sulla stima dei parametri e delle
componenti dei modelli quali quelli qui presentati,
genericamente noti come modelli strutturali di serie storiche
(Structural Time Series Models).
In questa sede basti dire che sotto l’ipotesi di normalità e
incorrelazione seriale dei disturbi e di loro incorrelazione
contemporanea, la stima di parametri e componenti può essere
ottenuta in modo relativamente semplice attraverso il cosiddetto
filtro di Kalman, presente in tutti i principali pacchetti statistici
che comprendono un modulo per l’analisi delle serie storiche.

32. Conclusioni
• In questa presentazione abbiamo mostrato l’utilità di
scomporre una serie storica in componenti non osservabili
• È stato introdotto l’approccio cosiddetto classico,
evidenziandone le potenzialità e i punti di debolezza
• Abbiamo quindi descritto una possibile generalizzazione
dell’approccio classico, ottenuta rendendo stocastiche le
componenti

33. Conclusioni
• In questa presentazione abbiamo mostrato l’utilità di
scomporre una serie storica in componenti non osservabili
• È stato introdotto l’approccio cosiddetto classico,
evidenziandone le potenzialità e i punti di debolezza
• Abbiamo quindi descritto una possibile generalizzazione
dell’approccio classico, ottenuta rendendo stocastiche le
componenti
Grazie dell’attenzione