El documento habla sobre las transformaciones isométricas en geometría, incluyendo traslaciones, rotaciones y reflexiones. También describe los ejemplos de estas transformaciones en las obras de arte de M.C. Escher, especialmente sus teselaciones que muestran figuras cambiando e interactuando a través de metamorfosis.

1. Unidad IV : Geometría TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS.

2. LOS EJE DE COORDENADA Plano cartesiano

6. TRANSFORMACIONES En una transformación isométrica: 1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura. 2) Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta). ISOMÉTRICAS

7. Unidad de aprendizaje: Transformaciones Isométricas Son traslaciones Regulares y semi-regulares.- Se obtiene con un vector (i,, j) Se obtiene con Un ángulo de giro Se obtiene entorno A un eje de simetría y a un centro. T. De ESCHER Transformaciones Isométricas Traslaciones Rotaciones Reflexiones Teselaciones

8. Tipos de transformaciones isométricas

10. Ejemplos de transformaciones isométricas en la naturaleza.-

11. Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo.

12. Axial (reflexión respecto de un eje) Central (reflexión respecto de un punto) O

13. Cada punto y su imagen o simétrico equidistan del eje de simetría. El trazo que une un punto con su simétrico es perpendicular al eje de simetría. A’ A

14. El centro de rotación es el punto medio del trazo que une un punto con su simétrico. Una simetría central equivale a una rotación en torno al centro de simetría en un ángulo de 180º. O A’ A

15. En torno al eje X El simétrico de P(a,b) es P’(a,-b) En torno al eje Y El simétrico de P(a,b) es P’(-a,b) En torno al origen El simétrico de P(a,b) es P’(-a,-b) P P’     P P’  P  P’

16. Se puede considerar una traslación como el movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño.

17. Al deslizar la figura todos los puntos describen líneas rectas paralelas entre sí.

18. En una traslación se distinguen tres elementos: Dirección (horizontal, vertical u oblicua). Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo). Magnitud del desplazamiento (distancia entre la posición inicial y final de cualquier punto)

19. En este caso se debe señalar las coordenadas del vector de traslación. Estas son un par ordenado de números (x,y), donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical.

20. En el par ordenado la primera componente recibe el nombre de abscisa y la segunda componente el nombre de ordenada .

21.  A(4,6)  A’ (2,3) Traslación de A(4,6) a través del vector v(-2,-3) Traslación de B(-5,2) a través del vector v(4,4)  B(-5,2)  B’(-1,6) Traslación de C(-4,-2) a través del vector v(7,1)  C(-4,-2)  C’(3,-1)

22. Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha. Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda. Signo positivo: desplazamiento hacia arriba. Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.

23. Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura.

24. El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se efectúa la rotación. La magnitud de rotación , que corresponde al ángulo, éste está determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura obtenida después de la rotación. El sentido de giro , positivo (antihorario), negativo (horario) O M M’ N’ N .

25. Rotación en 90º en torno al origen: A x y A x y A’ A’ x’ y’ x’ y’ Entonces: x’ = -y y’ = x Luego: A(x,y) => A’(-y,x)

26. Rotación en 180º en torno al origen: A x y A’ x’ y’ A x y A’ x’ y’ Entonces: x’ = -x y’ = -y Luego: A(x,y) => A’(-x,-y)

27. Importante Toda transformación isométrica, mantiene la forma y tamaño de una figura geométrica, por lo tanto el perímetro y el área no sufren variación.

28. A B C A’ B’ C’ A’’ B’’ C’’ A’’’ B’’’ C’’’ TRASLACIÓN DE FIGURAS 11 UNIDADES A LA DERECHA 5 UNIDADES ABAJO 8 UNIDADES A LA DERECHA Y 8 ABAJO

29. A’ B’ C’ A B C A’’ C’’ 90º ROTACIÓN DE FIGURAS

30. A B C A’ B’ C’ A’’ B’’ C’’ A’’’ B’’’ C’’’ REFLEXIÓN DE FIGURAS CON EL EJE Y CON EL EJE X CON RESPECTO A LA RECTA m m

31. A B C A’ B’ C’ A’’ B’’ C’’ HOMOTECIA DE FIGURAS

35. Teselaciones de Escher

37. TESELACIONES DE ESCHER

40. Otros ejemplos de Teselaciones de Escher