1. Département des Sciences Appliquées
Module d’Ingénierie
Sujets Spéciaux sur les Isolants (6MDI855)Hiver_Été 2012
Mini-Projet de Conception:
Exploration de l’origine de la force
diélectrophorétique agissant sur les
impuretés dans les diélectriques liquides-cas
d’un câble coaxial
Présenté par:
Koutoua Simon KASSI
Professeur:
Issouf FOFANA, PhD, P. Eng in Quebec,
Senior Member IEEE

2. 2 ©Koutoua Simon KASSI
Tables des Matières
Résumé.......................................................................................................................................... 4
Abstract .......................................................................................................................................... 4
Liste des abréviations .................................................................................................................. 5
Liste des symbôles....................................................................................................................... 6
Liste des Figures........................................................................................................................... 7
Liste des équations....................................................................................................................... 8
1. Introduction et Mise en situation......................................................................................... 9
2. Présentation du câble coaxial........................................................................................... 10
3. Objectif et Plan de travail................................................................................................... 11
4. Expression du champ E(r) en tout point tel que a<r<b ................................................. 11
4.1 Champ EL(r) dans le liquide............................................................................................ 12
4.2 Champ Ei(r) dans l’impureté........................................................................................... 12
5. Calcul de la densité de charges ....................................................................................... 12
6. Expression de l’Energie Electrostatique totale(W) ........................................................ 13
7. Expressions de la force électrostatique(FeL) agissant sur le liquide et de la force
diélectrophorétique(FDEPi) agissant sur les impuretés.......................................................... 13
7.1 Expression de la force électrostatique dans le liquide (FeL)..................................... 14
7.2 Expression de la force diélectrophorétique dans les impuretés (FDEPi) ................... 14
8. Simulations sur Matlab....................................................................................................... 15
8.1 Impureté d’eau dans l’huile............................................................................................. 15
8.1.1 Evolution des champs dans le liquide (EL) et dans l’impureté(Ei)..................... 15
8.1.2 Evolution de la force électrostatique dans le liquide(FeL) par unité de
longueur ............................................................................................................................... 16
8.1.3 Evolution de la force diélectrophorétique dans les impuretés(FDEPi)............. 17
8.1.4 Evolution de l’Energie Electrostatique totale(W)................................................. 17

3. 3 ©Koutoua Simon KASSI
8.1.5 Interprétation des résultats...................................................................................... 18
8.2 Impureté d’huile dans l’eau............................................................................................ 19
8.2.1 Evolution des champs dans le liquide (EL) et dans l’impureté(Ei) (éq.11 et
eq.12).................................................................................................................................... 19
8.2.2 Evolution de la force électrostatique dans le liquide(FeL) par unité de
longueur.(éq.8).................................................................................................................... 19
8.2.3 Evolution de la force diélectrophorétique dans les impuretés(FDEPi) ................ 20
8.2.3 Evolution de l’Energie Electrostatique totale(W)................................................. 20
8.2.4 Interprétation des résultats...................................................................................... 21
Conclusion ................................................................................................................................... 22
Bibliographie................................................................................................................................ 23
Annexes ....................................................................................................................................... 24

4. 4 ©Koutoua Simon KASSI
Résumé
L’objectif de ce projet est d’explorer l’origine de la force agissant sur les
impuretés dans les diélectriques liquides, de façon spécifique cette exploration
est faite sur un câble coaxial à isolation liquide.
A partir de l’étude de l’évolution des champs électriques dans le liquide et dans
les impuretés; de la densité de charges; des forces et de l’Energie
Electrostatique totale, nous avons montré que que la force qui s’exerce sur les
impuretés par phénomène de diélectrophorèse, appelée force
diélectrophorétique a pour principale origine le champ créé dans les impuretés
après application de la tension au conducteur central du cable. Il faut noter que
cette force est aussi influencée par les permittivités des cataminants(particules
constituant les impuretés) et du milieu qui est l’isolant liquide du câble.
Mots-clé: Diélectrophorèse-Impuretés-câble coaxial-diélectriques liquides-densité de charges
Abstract
The objective of this project is to explore the origin of the force acting on
impurities in insulating liquids; specifically the exploration is done on a coaxial
cable insulation liquid.
From the study of the evolution of electric fields in the liquid and in the impurities
;of the density of charges; of forces and total Electrostatic Energy, we have
shown that the force acting on impurities by phenomenon of dielectrophoresis,
called dielectrophoretic force mainly caused by the field created in the impurities
after the application of voltage to the central conductor of the cable. It’s important
to notice that, this force is also influenced by the permittivities of contaminants
(particles constituting the impurities) and the environment which is liquid-filled
cable.
Keywords: Dielectrophoresis-Impurities-Coaxial cable-Insulating liquids-Density of charges

5. 5 ©Koutoua Simon KASSI
Liste des abréviations
DEV : Densité d’énergie par unité de
volume
DEVL : Densité d’énergie par unité
de volume dans le liquide
DEVi : Densité d’énergie par unité de
volume dans l’impureté
FDEPi : Force Diélectrophorétique
dans les impuretés
FeL : Force électrostatique dans le
liquide
DEP : Diélectrophorèse

6. 6 ©Koutoua Simon KASSI
Liste des symbôles
W [J]: Energie Electrostatique totale
ρL[C/m]: Densité de charges linéique
ε0 [F/m]: Permittivité du vide
εL [F/m] : Permittivité du liquide
εi[F/m] : Permittivité de l’impureté
D[C/m2
] : Déplacement électrique
Q[C/m2
] : Charge totale ou nette à
l’intérieur de la surface de Gauss
V0[kV] : Tension appliquée au
conducteur central
L[cm] : Longueur du câble coaxial
a[cm] : Rayon du conducteur central
f[cm] : Rayon intérieur de l’impureté
g[cm] : Rayon extérieur de
l’impureté
b[cm] : Rayon intérieur de
l’enveloppe externe
EL[kV/cm] : Champ électrique dans
le liquide
Ei[kV/cm] : Champ électrique dans
l’impureté
µ : Moment dipolaire
R[cm] : Rayon de la particule(du
contaminant) ‘sous l’effet de la FDEPi ’
supposée sphérique

7. 7 ©Koutoua Simon KASSI
Liste des Figures
Figure 1: Câble coaxial avec isolant solide ............................................................................ 10
Figure 2: Câble coaxial avec isolant liquide ........................................................................... 10
Figure 3: Evolution des champs dans le liquide (EL) et dans l'impureté (Ei) cas
'impureté d'eau dans l'huile' ...................................................................................................... 16
Figure 4: Evolution de la force électrostatique dans le liquide(FeL) cas 'impureté d'eau
dans l'huile' .................................................................................................................................. 16
Figure 5: Evolution de la force diélectrophorétique dans les impuretés (FDEPi)............. 17
Figure 6: Evolution de l'Energie Electrostatique totale cas 'impureté d'eau dans l'huile' 17
Figure 7: Evolution des champs dans le liquide (EL) et dans l'impureté (Ei) cas
'impureté d'huile dans l'eau' ...................................................................................................... 19
Figure 8: Evolution de la force électrostatique dans le liquide (FeL) par unité de longueur
cas 'impureté d'huile dans l'eau'............................................................................................. 19
Figure 9: Evolution de la force diélectrophorétique dans les impuretés (FDEPi)............. 20
Figure 10: Evolution de l'Energie Electrostatique totale cas 'impureté d'huile dans l'eau'
....................................................................................................................................................... 20
Figure 11: Evolution du rayon extérieur de l’impureté g en fonction du rayon intérieur f24

8. 8 ©Koutoua Simon KASSI
Liste des équations
Équation 1: Expression générale du champ E(r).................................................................. 11
Équation 2: Expression du champ dans le liquide EL(r) ...................................................... 12
Équation 3: Expression du champ dans les impuretés Ei(r) ............................................... 12
Équation 4: Expression de la densité de charges ................................................................. 12
Équation 5: Formule générale de la densité d’énergie........................................................ 13
Équation 6: Expression de la densité d’énergie dans le liquide et dans l'impureté......... 13
Équation 7: Expression de l’Energie Electrostatique totale(W)........................................... 13
Équation 8: Expression de la force électrostatique dans le liquide (FeL)............................ 14
Équation 9: FDEPi(Force diélectrophorétique) forme 1........................................................... 14
Équation 10: FDEPi(Force diélectrophorétique) forme 2......................................................... 14
Équation 11: Expressions de EL codée dans Matlab ............................................................ 15
Équation 12: Expression de Ei codée dans Matlab............................................................... 15
Équation 13: Formule générale du champ dans les couches de diélectriques
composites pour câbles............................................................................................................. 15
Équation 14: Expression de l’Energie électrostatique totale simplifiée forme 1 .............. 18
Équation 15: Expression de l’Energie électrostatique totale simplifiée forme 2 .............. 21
Équation 16: Expression du rayon extérieur de l’impureté g en fonction du rayon
intérieur f ...................................................................................................................................... 24

9. 9 ©Koutoua Simon KASSI
1. Introduction et Mise en situation
L’huile est 20 à 30 fois plus efficace que l’air pour évacuer la chaleur dans
l’appareillage de puissance (câbles, transformateurs, bornes de traversée,
disjoncteurs, etc.). Sa tenue diélectrique varie entre 80 et 400kV/cm, tandis que
l’air à pression atmosphérique possède une tenue diélectrique de l’ordre de
30kV/cm. La tenue diélectrique des isolants liquides dépend de la durée de
l’application de la tension. En effet les contaminants macroscopiques (particules
solides, bulles de gaz, gouttelettes d’eau, etc.) se déplacent par phénomène de
diélectrophorèse [1][2].
En dehors de l’ionisation par impact d’électrons libres, le phénomène de
diélectrophorèse est probablement le plus important qui détermine la rigidité
diélectrique dans les liquides. Dans ce mini-projet, nous utilisons un câble
coaxial pour explorer l’origine de la force agissant sur les impuretés dans les
diélectriques liquides. Le conducteur central et le manteau externe sont
considérés parfaits.

10. 10 ©Koutoua Simon KASSI
2. Présentation du câble coaxial
Comme indiqué sur la figure ci-dessous un câble coaxial est composé de
quatre parties à savoir l’âme conductrice ou conducteur central ; l’isolant; la
tresse métallique et le manteau externe ou gaine de protection.
Figure 1: Câble coaxial avec isolant solide
Dans ce mini-projet nous étudions un câble coaxial avec isolant liquide
représenté sur la figure2.
Figure 2: Câble coaxial avec isolant liquide

11. 11 ©Koutoua Simon KASSI
3. Objectif et Plan de travail
L’objectif de ce mini-projet est d’explorer l’origine de la force agissant sur les
impuretés dans les diélectriques liquides, en particulier celles d’un câble coaxial
par l’étude de l’évolution des champs électriques dans le diélectrique
liquide(espace conducteur central et manteau externe). Nous nous efforcerons
d’atteindre cet objectif en exécutant le plan suivant :
-Expression du champ E(r) en tout point tel que a<r<b dans le liquide et dans les
impuretés.
-Expression de la densité de charge en utilisant les conditions aux limites.
-Expression de l’énergie électrostatique par intégration par le volume (volume
infinitésimal).
-Expressions des forces électrostatiques dans le liquide par unité de longueur.
-Expressions des forces diélectrophorétiques dans les impuretés.
-Simulations sur Matlab pour mettre en évidence l’évolution des champs
électriques, des forces et de l’énergie électrostatique totale.
-Interprétations des résultats
4. Expression du champ E(r) en tout point tel que a<r<b
Considérons un contour de Gauss, le théorème de Gauss appliqué à ce contour
donne[3][4][5]:
et Q=
.2
( )
2
LS
Ls
L
L
Dds Q avec D E L
E ds L
E rL L
E r
r
 
 
  

 
 





Équation 1: Expression générale du champ E(r)

12. 12 ©Koutoua Simon KASSI
4.1 Champ EL(r) dans le liquide
La permittivité étant notée L on a :
( )
2
L
L
L
E r
r

 

Équation 2: Expression du champ dans le liquide EL(r)
4.2 Champ Ei(r) dans l’impureté
La permittivité étant notée i on a :
( )
2
L
i
i
E r
r

 

Équation 3: Expression du champ dans les impuretés Ei(r)
5. Calcul de la densité de charges
A l’aide des conditions aux limites, on a [4][5][6]:
      
0
0
0
( ) ( )
2 2 2
ln ln ln
2 2
a b
a b
b a
f g b
L L L
L i La f g
f b gL L
a g f
L i
V V V E r dr E r dr
V dr dr dr
r r r
V r r r
  
     
 
 
    
  
  
 
  
0
1 1
ln ln ln
2
L
L i
f b g
V
a g f

  
      
                
02
1 1
ln ln
L
L i
V
bf g
ag f


 

   
   
   
Équation 4: Expression de la densité de charges

13. 13 ©Koutoua Simon KASSI
6. Expression de l’Energie Electrostatique totale(W)
La formule générale de la densité d’énergie(énergie par unité de volume) est
donnée par[6][7] :
31
. ( ). ( ) /
2
DEV E r D r J m   
Équation 5: Formule générale de la densité d’énergie
Celles dans le liquide et dans l’impureté sont données par :
2
2
1 1 1
. . . .
2 2 2 2 2
1 1 1
. . . .
2 2 2 2 2
L L L
L
L L
L L L
i
i i
DEV
r r r
DEV
r r r
  
    
  
    
 
   
 
 
   
 
Équation 6: Expression de la densité d’énergie dans le liquide et dans l'impureté
Pour établir la relation de l’énergie électrostatique totale , intégrons la densité
d’énergie par le volume en considérant un volume infinitésimal dv=2πrdr
2
2
2
1 1 1 1 1 1 1
. .2 .
2 2
1 1
ln ln
4
f g b
L
a f g
L i L
L
L i
W DEVdV DEV rdr
W dr dr dr
r r r
bf g
W
ag f



   

  
 
  
    
   
    
     
    
 
  
Équation 7: Expression de l’Energie Electrostatique totale(W)
7. Expressions de la force électrostatique(FeL) agissant sur le liquide et
de la force diélectrophorétique(FDEPi) agissant sur les impuretés
Le but de ce mini-projet étant d’explorer l’origine de la force agissant sur les
impuretés dans les diélectriques liquides, nous mettons ici en évidence les forces
agissant sur le liquide et sur les impuretés et plus particulièrement la dernière qui
est créée par le phénomène de diélectrophorèse[8].

14. 14 ©Koutoua Simon KASSI
7.1 Expression de la force électrostatique dans le liquide (FeL)
2
0
( ) . ( ) .L
( ) / ( )
( ) /
2
21
( ) / .
2 1 1 1
ln ln ln
eL L L
eL L L
L
eL
L
eL
L
L i L
F r Q E r avec Q
F r L E r
F r L
r
V
F r L
r f g b
a f g



 

 
  
 


 
 
 
     
       
      
Équation 8: Expression de la force électrostatique dans le liquide (FeL)
7.2 Expression de la force diélectrophorétique dans les impuretés (FDEPi)
Selon la littérature scientifique [1][8][9], l’expression cette force est donnée par :
  3
. 4 : moment dipolaire
2
L i L
DEPi i i
i L
F gradE avec R E
  
  
 

 

Équation 9: FDEPi(Force diélectrophorétique) forme 1
Elle peut se mettre sous la forme suivante :
 
   
 
   
3
3 2
2
3
3
4 .
2
2 avec : Facteur de clausius Mossotti
2
2 1
= 2 . avec R estimé égal à .
2 2 2 2
i L
DEPi L i i
i L
i L
L i
i L
i L L
L
i L i
F R E gradE
R K E K
g f
R
r
 

 
 
   
 
  

  




      
    
   
   
Équation 10: FDEPi(Force diélectrophorétique) forme 2
Le signe du facteur de Clausius Mossotti, détermine le type de
diélectrophorèse(DEP) :
- Ԑi > ԐL(K>0) correspond à la DEP positive ( les particules dans les impuretés
sont attirées vers les zones de fort gradient de champ électrique )

15. 15 ©Koutoua Simon KASSI
- Ԑi < ԐL(K<0) correspond à la DEP positive ( les particules dans les impuretés
sont attirées vers les zones de faible gradient de champ électrique )
8. Simulations sur Matlab
Le volume de l’impureté (Vi) représente 10% du volume total (VT) de l’isolant
liquide, cette indication nous permet de déterminer g(cf. ,eq.16 en annexe1).
8.1 Impureté d’eau dans l’huile
8.1.1 Evolution des champs dans le liquide (EL) et dans l’impureté(Ei)
Les expressions de EL et de Ei codées dans Matlab sont :
0
( )
2
( )
1 1 1
. . ln ln ln
L
L
L
L
L
L i L
E r
r
V
E r
f g b
r
a f g

 

  


     
       
      
Équation 11: Expressions de EL codée dans Matlab
0
( )
2
( )
1 1 1
. . ln ln ln
L
i
i
i
i
L i L
E r
r
V
E r
f g b
r
a f g

 

  


     
       
      
Équation 12: Expression de Ei codée dans Matlab
Les équations ci-dessus (11) et (12) sont parfaitement conformes à la formule
générale du champ dans les couches de diélectriques composites pour câbles
qui est de la forme :
1 3 12
1 1 1 2 2
( )
1 1 1 1
ln ln ln ... ln
n
i n
x x
i i i n n
U U
E x
r r rr
x x
r r r r
 
   
 

 
       
                  

Équation 13: Formule générale du champ dans les couches de diélectriques composites pour câbles

16. 16 ©Koutoua Simon KASSI
Figure 3: Evolution des champs dans le liquide (EL) et dans l'impureté (Ei) cas 'impureté d'eau dans l'huile'
8.1.2 Evolution de la force électrostatique dans le liquide(FeL) par unité de
longueur
L’équation codée dans Matlab est l’équation 8.
Figure 4: Evolution de la force électrostatique dans le liquide(FeL) cas 'impureté d'eau dans l'huile'
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x 10
4
Champsélectriques(liquide/impureté)
rayon(r)
EL(Champ Electrique dans le liquide)
Ei(Champ Electrique dans les impuretés)
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
x 10
-17
Forceélectrostatiquedansleliquide
rayon(r)
FeL(Force électrostatique dans le liquide)

17. 17 ©Koutoua Simon KASSI
8.1.3 Evolution de la force diélectrophorétique dans les impuretés(FDEPi)
L’équation codée dans Matlab est l’équation 10
Figure 5: Evolution de la force diélectrophorétique dans les impuretés (FDEPi)
8.1.4 Evolution de l’Energie Electrostatique totale(W)
L’équation codée dans Matlab est l’équation 7
Figure 6: Evolution de l'Energie Electrostatique totale cas 'impureté d'eau dans l'huile'
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
x 10
-24
Forcediélectrophorétiquedanslesimpuretés
rayon(r)
FDEPi(Force diélectrophorétique dans les impuretés)
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
0.275
0.28
0.285
0.29
0.295
0.3
0.305
0.31
EnergieElectrostatiquetotale
rayon interieur impureté(f) en cm
W(Energie Electrostatique totale)

18. 18 ©Koutoua Simon KASSI
8.1.5 Interprétation des résultats
 Champs électriques ( EL et Ei)
On constate une décroissance hyperbolique des champs électriques , en effet
leurs expressions sont fonction de l’inverse de r, cette évolution est conforme à
la théorie. Le champ électrique étant égal au rapport du déplacement
électrique(D) sur la permittivité (Ԑ)[4], il croit avec la décroissance de la
permittivité (Ԑ).Cette définition confirme les valeurs plus élévées du champ EL
par rapport au champ Ei pour chaque valeur de r, en effet ici ԐL=3Ԑ0 et Ԑi=80Ԑ0.
 Force électrostatique dans le liquide(FeL)
L’évolution de cette force est similaire à celle du champ EL , ce qui confirme la
théorie(cf.,sect.7.1).
 Force diélectrophorétique dans les impuretés(FDEPi)
Elle est générée par le champ Ei, son évolution est symétriquement similaire à
celle de Ei. Elle dépend intrinsèquement de Ei , de la permittivité du liquide(ԐL)
et de celle de l’impureté(Ԑi). L’origine de cette force est donc ainsi établie[1][8].
 Energie Electrostatique totale(W)
Son évolution est similaire à celle d’une fonction logarithme népérienne
croissante du fait de son expression mathématique approximée, cette
expression est établie comme suit : Partant de l’équation 7 et en négligeant
l’inverse de la permittivité de l’impureté(Ԑi), on aboutit à :
2
1
ln avec f comme variable
4
L
L
bf
W
ag

 
  
   
  
Équation 14: Expression de l’Energie électrostatique totale simplifiée forme 1
L’augmentation de W en fonction de l’augmentation de f nous amène à tirer la
conclusion suivante : Moins il ya d’impuretés dans le liquide plus l’énergie
électrostatique totale est élévée, en effet g augmente avec l’augmentation de
f(cf., fig.11 en annexe1) et cette évolution de g et de f entraine une dimunition de
la différence (g-f) donc la diminution de l’épaisseur des impuretés et par
conséquent la diminution de la quantité d’impuretés.

19. 19 ©Koutoua Simon KASSI
8.2 Impureté d’huile dans l’eau
8.2.1 Evolution des champs dans le liquide (EL) et dans l’impureté(Ei) (éq.11
et eq.12).
Figure 7: Evolution des champs dans le liquide (EL) et dans l'impureté (Ei) cas 'impureté d'huile dans l'eau'
8.2.2 Evolution de la force électrostatique dans le liquide(FeL) par unité de
longueur.(éq.8)
Figure 8: Evolution de la force électrostatique dans le liquide (FeL) par unité de longueur cas 'impureté
d'huile dans l'eau'
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x 10
5
Champsélectriques(liquide/impureté)
rayon(r)
EL(Champ Electrique dans le liquide)
Ei(Champ Electrique dans les impuretés)
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
3
4
5
6
7
8
9
10
x 10
-19
Forceélectrostatiquedansleliquide
rayon(r)
FeL(Force électrostatique dans le liquide)

20. 20 ©Koutoua Simon KASSI
8.2.3 Evolution de la force diélectrophorétique dans les impuretés(FDEPi)
L’expression de la FDEPi codée dans Matlab est l’équation 10 :
Figure 9: Evolution de la force diélectrophorétique dans les impuretés (FDEPi)
8.2.3 Evolution de l’Energie Electrostatique totale(W)
L’équation codée dans Matlab est l’équation 7
Figure 10: Evolution de l'Energie Electrostatique totale cas 'impureté d'huile dans l'eau'
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x 10
-20
Forcediélectrophorétiquedanslesimpuretés
rayon(r)
FDEPi(Force diélectrophorétique dans les impuretés)
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
EnergieElectrostatiquetotale
rayon interieur impureté(f) en cm
W(Energie Electrostatique totale)

21. 21 ©Koutoua Simon KASSI
8.2.4 Interprétation des résultats
 Champs électriques ( EL et Ei)
L’évolution des champs est identique au cas précédent, ici par contre pour une
valeur du rayon r donnée entre a et b la valeur du champ Ei > EL car Ԑi=3Ԑ0 et
ԐL=80Ԑ0 (Ԑi < ԐL).
 Force électrostatique dans le liquide(FeL)
L’évolution de cette force est similaire à celle du champ EL , ce qui confirme la
théorie(cf. sect.7.1), il faut préciser ici que les valeurs de la force sont inférieures
au cas précédent, cela est du aux faibles valeurs que prend EL .
 Force diélectrophorétique dans les impuretés(FDEPi)
Elle est générée par le champ Ei, son évolution est similaire à celle de Ei. Elle
dépend intrinsèquement de Ei , de la permittivité du liquide(ԐL) et de celle de
l’impureté(Ԑi). L’origine de cette force est donc ainsi établie[1][8].
 Energie Electrostatique totale(W)
Son évolution est similaire à celle d’une fonction logarithme népérienne
décroissante du fait de son expression mathématique approximée, cette
expression est établie comme suit : Partant de l’équation 7 et en négligeant
l’inverse de la permittivité dans le liquide(ԐL), on aboutit à :
2
1
ln avec f comme variable
4
L
i
g
W
f

 
  
   
  
Équation 15: Expression de l’Energie électrostatique totale simplifiée forme 2
La dimunition de W en fonction de l’augmentation de f nous amène à tirer la
conclusion suivante : Les valeurs élévées du champ Ei par celles du champ EL
agissant sur les particules dans l’impureté, ont pour effet la disperson de ces
contaminants dans le liquide , ce qui a pour conséquence une dimunition de
l’énergie électrostatique totale(W).

22. 22 ©Koutoua Simon KASSI
Conclusion
Au terme de ce travail, après l’éxécution de notre plan de travail(cf. sect.3), nous
pouvons dire que la force qui s’exerce sur les impuretés par phénomène de
diélectrophorèse, appelée force diélectrophorétique a pour origine principale le
champ créé dans les impuretés après application de la tension au conducteur
central du cable. Il faut noter que cette force est aussi influencée par le facteur
de Clausius Mossotti , ce facteur était fonction des permittivités des
cataminants(particules constituant les impuretés) et du milieu qui le liquide. Le
signe de ce facteur détermine d’ailleurs le type de DEP(Diélectrophorèse)
positive ‘pDEP’ ou négative ‘nDEP’.

23. 23 ©Koutoua Simon KASSI
Bibliographie
[1] Issouf Fofana, Notes de Cours Sujets Spéciaux sur les Isolants Electriques
6MDI 855, Ete 2012., 1 vols. UQAC(Université du Québec à Chicoutimi).
[2] Adel Mustapha BENSELAMA, “Modélisation numérique du comportement
d’une particule sous champ électrique dans les microsystemes : de la
déformation au déplacement,” Université Joseph Fourier, 2005.
[3] Issouf Fofana, Notes de Cours Ingénierie de la haute tension, 6MIG 930, 6th
ed., vol. 1. Chicoutimi: UQAC(Université du Québec à Chicoutimi), 2012.
[4] Robert Resnick and David Halliday, Electricité et Magnétisme Physique 2,
3rd ed., vol. 2, 2 vols. Ottawa Canada: Editions du renouveau pédagogique
Inc., 8955, blvd St-Laurent, Montreal(Québec) H2N 1M6, 1979.
[5] R. Annequin et J.Boutigny, Electricité 1-Mathématiques Supérieures,, 4th ed.
VUIBERT, Librairie Vuibert Boulevard Saint-Germain, 63, Paris, 1979.
[6] Elie Boridy, Electromagnétisme Théorie et Applications, Revue et corrigée.,
1 vols. Québec, Canada: Presse de l’Université du Quebec, Le delta I 2875
boul. Laurier , bur.450 Sainte-Foy(Quebec) Canada G1V2M2, 2003.
[7] Christophe Volat and Shahab Farokhi, Notes de Cours Electromagnétisme
6GEI310, Hiver 2009., 1 vols. UQAC(Université du Québec à Chicoutimi),
2009.
[8] Salomon Sven, “Manipulation de microparticules exploitant la force de
diélectrophorèse : applications dédiées au tri d’espèces biologiques et à
l’assemblage de nano objets,” Université de Toulouse III-Paul Sabatier,
Toulouse, 2011.
[9] Mohamed KHARBOUTLY, “Modélisation, réalisation et commande d’un
système de micro-manipulation sans contact par diélectrophorèse,”
UNIVERSITÉ DE FRANCHE-COMTÉ, 2011.

24. 24 ©Koutoua Simon KASSI
Annexes
Annexe1: Expression du rayon extérieur de l’impureté g en fonction du
rayon intérieur f
Le volume de l’impureté (Vi) représente 10% du volume total (VT), on peut donc
écrire que (cf., sect.8) :
   
 
2 2 2 2
2 2 2
10% 0,1
0.1
i TV V g f b a
g b a f
     
   
Équation 16: Expression du rayon extérieur de l’impureté g en fonction du rayon intérieur f
La représentation de cette fonction donne la figure ci-dessous :
Figure 11: Evolution du rayon extérieur de l’impureté g en fonction du rayon intérieur f
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Evolutiondurayonextérieurimpureteencm
rayon interieur impureté(f) en cm
g(rayon extérieur impurete en cm)

25. 25 ©Koutoua Simon KASSI
Annexe2 : Code Matlab pour le cas ‘Impureté d’eau dans l’huile’
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% MINI PROJET ETE 2012_SS ISOLANTS_IFofana_Cas 'impureté d'eau dans
l'huile'
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Question 4 de l'énoncé du mini-projet
clear all
close all
eo=8.854*10^(-12);% permitivité du vide
eL=3*eo; % permitivité dans le liquide
ei=80*eo; %permitivité dans l'impureté
a=1 ;% rayon du conducteur central en cm
b=3 ;% rayon intérieur de la gaine extérieure du cable coaxial en cm
f=2 ;%rayon intérieur de l'impureté
g=sqrt(0.1*(b^2-a^2)+ f^2);%rayon extérieur de l'impureté
Vo=5e4; % tension appliquée au conducteur central
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%4.a Evolution des champs électriques/liquide et impurete
r=1:0.01:3;
EL=Vo*(1./(r*(log(b*f)-log(a*g)+ (eL/ei)*(log(g)-log(f)))));
Ei=Vo*(1./(r*((ei/eL)*(log(b*f)-log(a*g))+ (log(g)-log(f)))));
rhoL_1=2*pi*Vo*(1./((1/eL)*(log(b*f)-log(a*g)+ (1/ei)*(log(g)-
log(f)))));
%%%Evolution de la force électrostatique dans le liquide
FeL=((rhoL_1)^2)./(2*pi*r*eL); % force par unité de longueur
%%%Fei=((rhoL_1)^2)./(2*pi*r*ei) % force par unité de longueur , ça ne
concerne pas les impuretés
%%%Evolution de la force diélectrophorétique dans l'impureté(FDEP)
R=(g-f)/4;% rayon d'une particule dans l'impureté( valeur
approximative)
YoK=(rhoL_1)^2./(2*pi*ei)^2;
AdoK=(eL - ei)./(ei + 2*eL);
KSK=(1./(r)).*(1./(r)).*(1./(r));
BlK=R^3;
FDEPi=YoK*4*pi*eL*AdoK*BlK.*KSK;% force diélectrophorétique agissant
sur une particule dans l'impureté
plot(r,EL,'r', 'LineWidth',1.5)
hold on
plot(r,Ei,'g','LineWidth',1.5)
ylabel('Champs électriques(liquide/impureté)')
xlabel('rayon(r)')
legend('EL(Champ Electrique dans le liquide)','Ei(Champ Electrique dans
les impuretés)','Third','Location','NorthEastoutside')
grid
% break

26. 26 ©Koutoua Simon KASSI
figure()
plot(r,FeL,'g','LineWidth',1.5)
%hold on
% plot(r,Fi,'k','LineWidth',1.5), ça ne concerne pas les impuretés
ylabel('Force électrostatique dans le liquide')
xlabel('rayon(r) ')
legend('FeL(Force électrostatique dans le
liquide)','Second','Third','Location','NorthEastOutside')
grid
% break
figure()
plot(r,FDEPi,'g','LineWidth',1.5)
ylabel('Force diélectrophorétique dans les impuretés ')
xlabel('rayon(r) ')
legend('FDEPi(Force diélectrophorétique dans les
impuretés)','Second','Third','Location','NorthEastOutside')
grid
% break
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%4.b Energie électrostatique totale
A=1.5:0.01:2.5 % f est remplacé par A
rhoL=9.863e-6
B = sqrt(0.1.*(b.*b - a.*a) + A.*A)% g est remplacé par B
W=((rhoL^2)/(4*pi))*((1/eL)*(log(b*A)-log(a*B))+ (1/ei)*(log(B)-
log(A)));
figure()
plot(A,W,'y','LineWidth',1.5)
ylabel('Energie Electrostatique totale')
xlabel('rayon interieur impureté(f) en cm')
legend('W(Energie Electrostatique
totale)','Second','Third','Location','NorthEastOutside')
grid
% graphe de g en fonction de f
figure()
plot(A,B,'y','LineWidth',1.5)
ylabel('Evolution du rayon extérieur impurete en cm')
xlabel('rayon interieur impureté(f) en cm')
legend('g(rayon extérieur impurete en
cm)','Second','Third','Location','NorthEastOutside')
grid

27. 27 ©Koutoua Simon KASSI
Annexe3: Code Matlab pour le cas ‘Impureté d’huile dans l’eau’
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% MINI PROJET ETE 2012_SS ISOLANTS_IFofana_Cas 'impureté d'huile dans
l'eau'
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Question 5 de l'énoncé du mini-projet
clear all
close all
eo=8.854*10^(-12);% permitivité du vide
eL=80*eo; % permitivité dans le liquide
ei=3*eo; %permitivité dans l'impureté
a=1; % rayon du conducteur central en cm
b=3 ;% rayon intérieur de la gaine extérieure du cable coaxial en cm
f=2; %rayon intérieur de l'impureté
g=sqrt(0.1*(b^2-a^2)+ f^2);%rayon extérieur de l'impureté
Vo=5e4 ;% tension appliquée au conducteur central
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%5.a Evolution des champs électriques/liquide et impurete
r=1:0.01:3;
EL=Vo*(1./(r*(log(b*f)-log(a*g)+ (eL/ei)*(log(g)-log(f)))));
Ei=Vo*(1./(r*((ei/eL)*(log(b*f)-log(a*g))+ (log(g)-log(f)))));
rhoL_1=2*pi*Vo*(1./((1/eL)*(log(b*f)-log(a*g)+ (1/ei)*(log(g)-
log(f)))));
%%%Evolution de la force électrostatique dans le liquide
FeL=((rhoL_1)^2)./(2*pi*r*eL); % force par unité de longueur
%%%Fei=((rhoL_1)^2)./(2*pi*r*ei) % force par unité de longueur , ça ne
concerne pas les impuretés
%%%Evolution de la force diélectrophorétique dans l'impureté(FDEP)
R=(g-f)/4;% rayon d'une particule dans l'impureté( valeur
approximative)
YoK=(rhoL_1)^2./(2*pi*ei)^2;
AdoK=(eL - ei)./(ei + 2*eL);
KSK=(1./(r)).*(1./(r)).*(1./(r));
BlK=R^3;
FDEPi=YoK*4*pi*eL*AdoK*BlK.*KSK;% force diélectrophorétique agissant
sur une particule dans l'impureté
plot(r,EL,'r', 'LineWidth',1.5)
hold on
plot(r,Ei,'g','LineWidth',1.5)
ylabel('Champs électriques(liquide/impureté)')
xlabel('rayon(r)')
legend('EL(Champ Electrique dans le liquide)','Ei(Champ Electrique dans
les impuretés)','Third','Location','NorthEastoutside')
grid
% break

28. 28 ©Koutoua Simon KASSI
figure()
plot(r,FeL,'g','LineWidth',1.5)
%hold on
% plot(r,Fi,'k','LineWidth',1.5), ça ne concerne pas les impuretés
ylabel('Force électrostatique dans le liquide')
xlabel('rayon(r) ')
legend('FeL(Force électrostatique dans le
liquide)','Second','Third','Location','NorthEastOutside')
grid
% break
figure()
plot(r,FDEPi,'g','LineWidth',1.5)
ylabel('Force diélectrophorétique dans les impuretés ')
xlabel('rayon(r) ')
legend('FDEPi(Force diélectrophorétique dans les
impuretés)','Second','Third','Location','NorthEastOutside')
grid
% break
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%5.b Energie électrostatique totale
A=1.5:0.01:2.5 % f est remplacé par A
rhoL=9.863e-6
B = sqrt(0.1.*(b.*b - a.*a) + A.*A)% g est remplacé par B
W=((rhoL^2)/(4*pi))*((1/eL)*(log(b*A)-log(a*B))+ (1/ei)*(log(B)-
log(A)));
figure()
plot(A,W,'y','LineWidth',1.5)
ylabel('Energie Electrostatique totale')
xlabel('rayon interieur impureté(f) en cm')
legend('W(Energie Electrostatique
totale)','Second','Third','Location','NorthEastOutside')
grid
% graphe de g en fonction de f
figure()
plot(A,B,'y','LineWidth',1.5)
ylabel('Evolution du rayon extérieur impurete en cm')
xlabel('rayon interieur impureté(f) en cm')
legend('g(rayon extérieur impurete en
cm)','Second','Third','Location','NorthEastOutside')
grid