Dokumen tersebut berisi contoh-contoh penggunaan notasi sigma untuk menuliskan deret matematika dan menghitung nilainya. Contoh-contoh tersebut meliputi penulisan ulang deret aritmatika dan geometri menggunakan notasi sigma serta penghitungan nilai dari notasi sigma tertentu.
1. Contoh Notasi Sigma
Contoh 1:
Nyatakan dalam bentuk penjumlahan ∑=
+
5
1
)1(
k
kk
Jawab:
∑=
+
5
1
)1(
k
kk = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) + 5(5 + 1)
= 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6
= 2 + 6 + 12 + 20 + 30
Contoh 2:
Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma.
a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10
b.
5
4
4
3
3
2
2
1
+−+−
c. ab 5
+ a 2
b 4
+ a 3
b 3
+ a 4
b 2
Jawab:
a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2 × 1 + 2 × 2 + 2 × 3 + 2 ×4 + 2 × 5
= 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
= ∑=
5
1
2
k
k
b.
5
4
4
3
3
2
2
1
+−+− = (–1)
11
1
+
+ (–1) 2
12
2
+
+ (–1) 3
13
3
+
+ (–1) 4
14
4
+
= ∑= +
−
4
1 1
.)1(
k
k
k
k
c. ab 5
+ a 2
b 4
+ a 3
b 3
+ a 4
b 2
= a 1
b 16−
+ a 2
b 26−
+ a 3
b 36−
+ a 4
b 46−
= ∑=
−
4
1
6
k
kk
ba
Contoh 3:
2. Tentukan nilai-nilai notasi sigma berikut.
a. ∑=
10
1p
p b. ∑=
6
3
2
2
n
n
Jawab:
a. ∑=
10
1p
p = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 10
= 55
b. ∑=
6
3
2
2
n
n = 2(3 2
) + 2(4 2
) + 2(5 2
) + 2(6 2
)
= 18 + 32 + 50 + 72
= 172
Contoh 4:
Hitunglah nilai dari ∑=
−
4
1
2
)4(
k
kk
Jawab:
Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal di atas.
Cara 1:
∑=
−
4
1
2
)4(
k
kk = (1 2
– 4(1)) + (2 2
– 4(2)) + (3 2
– 4(3)) + (4 2
– 4(4))
= (1 – 4) + (4 – 8) + (9 – 12) + (16 – 16)
= – 3 – 4 – 3 + 0
= –10
Cara 2:
∑=
−
4
1
2
)4(
k
kk = ∑∑ ==
−
4
1
4
1
2
4
kk
kk
= ∑∑ ==
−
4
1
4
1
2
4
kk
kk
= (1 2
+ 2 2
+ 3 2
+ 4 2
) – 4( 1 + 2+ 3 + 4)
= (1 + 4 + 9 + 16) – 4(10)
= 30 – 40
= –10
3. Contoh 5:
Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa :
nkkk
n
k
n
k
n
k
16164)42(
11
2
1
2
+−=− ∑∑∑ ===
Jawab:
∑∑ ==
+−=−
n
k
n
k
kkk
1
2
1
2
)16164()42(
= ∑∑∑ ===
+−
n
k
n
k
n
k
kk
111
2
116164
nkk
n
k
n
k
16164
11
2
+−= ∑∑ ==
.............................................(terbukti)
Contoh 6:
Ubahlah batas bawah sigma menjadi 1 dari notasi sigma berikut :
a. ∑=
+
5
3
)1(
k
k
b. ∑=
−
4
0
)23(
k
k
Jawab:
a. ∑=
+
5
3
)1(
k
k = ∑∑ =
−
−=
+=++
3
1
25
23
)3(1)2(
kk
kk
b. ∑=
−
4
0
)23(
k
k = ∑
+
+=
−−
14
10
))1(23(
k
k
= ∑∑ ==
−=+−
5
1
5
1
)25()223(
kk
kk
Contoh 7:
Suatu deret dinyatakan dengan notasi sigma berikut :
a. ∑=
+
10
1
)12(
n
n b. ∑=
6
1
2
n
n
Deret apakah itu? Kemudian, tentukan nilainya.
Jawab:
4. a. ∑=
+
10
1
)12(
n
n = (2(1) + 1) + (2(2) + 1) + (2(3) + 1) + ... + (2(10) + 1)
= (2 + 1) + (4 + 1) + (6 + 1) + ... + (20 + 1)
= 3 + 5 + 7 + ... + 21
Tampak bahwa deret itu memiliki suku-suku yang selisihnya tetap, yaitu 2.
Jadi, deret itu adalah deret aritmetika dengan suku awal a = 3, beda b = 2, dan U
10 = 21. Nilai ∑=
+
10
1
)12(
n
n sama dengan nilai jumlah n suku pertama, S10 .
Dengan menggunakan jumlah 10 suku pertama yang kalian ketahui, diperoleh
S n = )(
2
1
nUan +
=
2
1
(10)(3 + 21)
= 120
Jadi, ∑=
+
10
1
)12(
n
n = 120
b. ∑=
6
1
2
n
n
= 2 1
+ 2 2
+ 2 3
+ 2 4
+ 2 5
+ 2 6
= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
Tampak bahwa deret itu memiliki rasio tetap, yaitu r = 2. Jadi, deret ini termasuk
deret geometri dengan suku awal a = 2 dan rasio r = 2. Oleh karena itu ∑=
6
1
2
n
n
=
S6. Karena r = 2 > 1, kita gunakan rumus berikut.
1
)1(
−
−
=
r
ra
S
n
n
12
)12(2 6
6
−
−
=S
1
)164(2 −
=
= 126
