ポアソン分布についてもっと知りたい人向け。

1. ポアソン分布の式を
忘れない方法
及び二項分布との関係
2014-07-25 下野寿之
数式には馴染んでるけど、確率分布は
覚え切れない人向けの資料です。

2. ポアソン分布とは
よく教科書にある例:
プロイセン陸軍で1875年から1894年の間に
年間で馬に蹴られて死亡した兵士数」の例:
→ パラメータ0.61のポアソン分布によく従う。
教科書的な定義 :
バラメータ n と p=λ/n の二項分布の n→+∞ の極限分布が
パラメータ λ のポアソン分布になる。(ポアソンの極限分布 1837年)
ポアソン分布の密度関数の式 : λk e-λ / k!
平均も分散も λ に等しい。
← この事実は、日常生活上も広く実用的に応用できる。
期待値λ個の現象は、実際の観測をすると λから “平均的” に √ λ 個揺らぐ。
( √ は平方根のルート ) 100個なら10個揺らぐし、1万回なら100個揺らぐ。
— このページは Wikipedia からたくさん引用しています。
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3. ポアソン分布の確率密度の式を
忘れない方法 :
λk e-λ / k! ← 大事なのに、意外と覚えにくい. ..
日常生活で年に10回くらい応用できる場面があるのに.. (!?)
ということで、簡単に自然に思い出せる方法 :
「テイラー展開」 (ちょっと昔の高校数学) を使う。
eλ = 1 + λ + λ2/2! + λ3/3! + λ4/4! + λ5/5! + …
両辺を eλ で割る。
1 = e-λ + λe-λ + λ2e-λ/2! + λ3e-λ/3! + …
右辺の各項を 0, 1, 2, 3,.. と番号付けしたときの
番号 k の所が求めたい確率に等しい!
—主たる話は以上!
..

4. 補足 : 二項分布をポアソン分布で表す
λ ← np と代入するとして、パラメータnとpの二項分布に対して
nCk pk (1-p)n-k = { λk e-λ / k! } × { (n-λ)(n-k) e-(n-λ) / (n-k)! } × n!(e/n)n
つまり、k のみをいろいろ動かして値を比で比較したいとき、定数倍を消去して
nCk pk (1-p)n-k ∝ { λk e-λ / k! } × { (n-λ)(n-k) e-(n-λ) / (n-k)! }
すなわち、二項分布(n,p) の密度関数は、
(1) λ←np のポアソン分布の密度関数
(2) λ←n(1-p) のポアソン分布の
密度関数のグラフを
x=n/2の直線で鏡映して
作られる関数
積を定数倍したものになる(右図参照)。
この考え方はカイ2乗検定の導出にも
使える(多分)。

5. (参考) 前ページのグラフを生成するRコード
plot(-2:12,dbinom((-2:12),10,.7),type="b", lty=2,
ylim=c(0,0.4),cex=1.5,lwd=2,xlab="",ylab="", main="How a binom dist. is derived from
two Poisson dist. through multiplication")
points ( -2:12, dpois(-2:12,7) , type="b", lty=2, col="blue1", pch=16)
points ( 12:-2, dpois(-2:12,3) , type="b", lty=2, col="red2", pch=16)
abline(v=c(0,5,10),lty=c(3,2,3),lwd=c(1,1.5,1),col=c(1,"red2",1))
legend(x=-2, y=0.41, legend=c("Binom( 10 , 0.7 )","Poisson(7)","Poisson(3) mirror
reflected by x=5")
, bg="white", col=c("black","blue","red"),pch=c(1,16,16),lwd=c(1.5,1,1),lty=2)
— 前ページで「多分」と書いたのは、著者が5年前に見つけたと思ったのだが、
今この文書を作成中にその方法をよく思い出せないので、自信が無いため。
— ここに書いた話は 10年位前に著者が自分で気が付いたことを、いろいろな人にしゃべってきて
誰も知らないので、とりあえず書きまとめておくことで、今後の説明の手間を軽減するために作った。
ただし、二項分布をポアソン分布の積で表す話は、そのような話をある人から聞いて、自分で再構成した
ものである。参考文献があれば、是非知りたい。