1. 時系列の相関係数の
解釈は注意を要する
ランダムウォーク同士の相関係数は
±0.72の外側に15%が分布することなど
2014年4月20日 下野寿之

2. 初めに：ブラウン運動とランダムウォーク
• ブラウン運動は花粉中の微粒子の “生きている”
運動として、1828年に植物学者のブラウンが発見、
これを1905年にアインシュタインが熱運動に由来さ
せる理論を発表
ブラウン運動は、x座標とy座標をそれぞれ
ランダムウォークとすることで作ることが
出来る。

3. “ランダムウォークと時刻の相関係数” の
分布についてのヒストグラム
• ±0.87の外側に20%が分布し、 ±0.94の外側に5%が分布する。
±0.66の外側に50%が分布する。±0.89の外側に15%が分布し、±0.93が最頻値である。
• 経済指標などの値の変動のグラフと共に、年や月との相関係数の高さを示すグラフがよく
存在するが、大きな誤解を与えてしまう。相関係数が単に大きいことだけでは、ランダ
ムウォークと弁別は困難。

4. “独立なランダムウォーク同士の相関係数” の
分布についてのヒストグラム
• ±0.67の外側に20%が分布し、±0.83の外側に5%が分布する。
±0.41の外側に50%が分布し、±0.72の外側に15%が分布する。
• 2個の時系列のグラフの 同じ時刻ごとの値のペアについて 相関係数が高くても、
単にそれだけでは 将来の動き方が連動するとは、とても言いがたい。

5. (参考) 分位点プロット
― ヒストグラムでは分位を読み取ることは難しいので、分位点プロット化した。
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0% 25% 50% 75% 100%
ランダムウォークに関係する相関係数の絶対値の分位点プロット
ランダムウォーク同士の相関係数の絶対値 ランダムウォークと等差数列の相関係数の絶対値

6. 参考: 数の精度についての簡単な考察
信頼性の高い数値を求めるには、 KとLの値をいろいろ変化させて試す必要あり。
> K=1e5;L=31;
replicate(3,median(replicate(K,abs(cor(cumsum(rnorm(L)),cumsum(rnorm(L))))))) ;
[1] 0.4160581 0.4175198 0.4163474
> K=1e5;L=1e3;
replicate(3,median(replicate(K,abs(cor(cumsum(rnorm(L)),cumsum(rnorm(L))))))) ;
[1] 0.4123227 0.4133370 0.4154217
> K=1e5;L=1e2;
replicate(3,median(replicate(K,abs(cor(cumsum(rnorm(L)),cumsum(rnorm(L))))))) ;
[1] 0.4160729 0.4155231 0.4121305
> K=1e6;L=1e2;
replicate(3,median(replicate(K,abs(cor(cumsum(rnorm(L)),cumsum(rnorm(L))))))) ;
[1] 0.4149759 0.4145197 0.4131180

7. まとめ :
• 連続に変化するような時系列データについて、単に回帰を取るだけ
では、ほとんど意味が無い。（相関係数0.95程度以上の場合は除
く。）
• 複数の連続に変化するような時系列データの、各時刻の値につい
て、相関係数が高いことを根拠にそれらの時系列データの間に相関
関係があるとは言えない。（相関係数0.83程度以上の場合は除く。）

8. さらに考察として加えたいこと
 ヒストグラムの形は、数式で表すことはできないか？
 ２個のヒストグラムに何か関係は無いか？
 今回のランダムウォークはガウス乱数を1000個用いて累
和をとることで生成したが、精度として十分であるか？
 時系列データのトレンドを把握するには、計算上は差分
を取ると良いと言えそうだが、では、どういう差分を取
るのが適切であるか。
 この話題は時系列関係なので、参考文献は多数あるはず
（単位根検定などの話も重要。）