1.
การวิเคราะห์ความแปรปรวน

2.
2
2
การวิเคราะห์ความแปรปรวน (The analysis of Variance)
ในการทดสอบสมมุติฐานที่มีมากกว่า 2 ประชากร และ/หรือ มีเงื่อนไขมากกว่า 1 เงื่อนไข จาเป็นต้องใช้
วิธีการเปรียบเทียบด้วยการวิเคราะห์ความแปรปรวน (Analysis of Variance : ANOVA) เป็นวิธีการ
ตรวจสอบความเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นกับประชากรที่ศึกษาตั้งแต่ 3 ชุดขึ้นไป โดยให้ความสาคัญกับการ
ศึกษาความแตกต่างของค่าเฉลี่ยของประชากร (μ1, μ2, …, μk) ซึ่งมีความเหมือนกันหรือต่างกันในแต่ละ
กลุ่ม อันมีสาเหตุจากความแปรปรวนหรือความผันแปรในข้อมูลที่เกิดจาก 2 แหล่งคือ
1. ปัจจัยศึกษา (Treatment) เป็นปัจจัยที่สนใจศึกษา มีผลต่อค่าสังเกตที่เก็บรวบรวมอยู่
2. ปัจจัยแวดล้อมอื่นๆ (Error) เป็นปัจจัยอื่นๆ ที่ไม่อยู่ในสิ่งที่สนใจศึกษาไม่มีการควบคุม/ควบคุมไม่ได้
ปัจจัยเหล่านี้จะมีผลกระทบต่อค่าสังเกตที่เก็บรวบรวมด้วยเช่นกัน
∴ ความผันแปรในข้อมูล = ความผันแปรจากปัจจัยศึกษา + ความผันแปรจากปัจจัยแวดล้อมอื่นๆ

3.
3
3
การวิเคราะห์ความแปรปรวน (The analysis of Variance)
ถ้าจะตั้งสมมติฐานเพื่อทดสอบความแตกต่างของค่าเฉลี่ยของประชากร จะได้ว่า
H0: μ1 = μ2 = μ3 H1 : μi ≠ μj (อย่างน้อย 1 คู่ของ i, j ที่ i ≠ j)
ความแตกต่างที่เกิดขึ้นในแต่ละประชากรมาจากความผันแปรของข้อมูลจาก 2 สาเหตุคือจากปัจจัยศึกษา
และจากปัจจัยแวดล้อมอื่นๆ สามารถตั้งสมมติฐานได้ดังนี้
H0 : σtr
2 = σE
2 (สาเหตุของความผันแปรในข้อมูลมาจากปัจจัยแวดล้อมอื่นๆ)
H1 : σtr
2 > σE
2 (สาเหตุของความผันแปรในข้อมูลมาจากทั้งสองปัจจัย)
การวิเคราะห์ความแปรปรวน (Analysis of Variance : ANOVA) มี 2 แบบคือ
- กรณีพิจารณาปัจจัยเดียว (One way ANOVA or Completely Randomized Design: CRD)
- กรณี 2 ปัจจัย (Two-way ANOVA or Complete Randomized Block Design: CRBD)

4.
4
4
การวิเคราะห์ความแปรปรวน (The analysis of Variance)
ตัวอย่างการวิเคราะห์
แผ่นดิสก์จานวน 48 แผ่นซึ่งตัดออกมาจากแผ่นดีบุก 4 แผ่น ดังรูปที่ 10.1 แผ่นดิสก์ 12 แผ่นที่ตัดมาจากแผ่นดีบุกแผ่นที่1
(Strip # 1) จะส่งไปตรวจสอบที่ห้องปฏิบัติการ A ในทานองเดียวกัน แผ่นดิสก์ 12 แผ่นตัดจากแผ่นดีบุกแผ่นที่ 2 (Strip
# 2) จะส่งไปตรวจสอบที่ห้องปฏิบัติการ B อีก 24 แผ่นที่เหลือก็จะส่งไปตรวจสอบที่ห้องปฏิบัติการ C และ D ตามลาดับ

5.
5
5
การวิเคราะห์ความแปรปรวน (The analysis of Variance)
One way ANOVA or Completely Randomized Design: CRD
ผลการศึกษาความผันแปรจากความแตกต่างของแผ่นดีบุก ของห้องปฏิบัติการการตรวจสอบที่แตกต่าง เพื่อลดความผันแปรให้
ลดลงจึงออกแบบ การทดลองแบบ CRD ตัวอย่างทั้งหมด 48 แผ่นจะถูกสุ่ม(Random) โดยใช้ตารางเลขสุ่มช่วย เพื่อส่งตัวอย่าง
ไปตรวจสอบยังห้องปฏิบัติการทั้ง 4 แห่ง

6.
6
6
การวิเคราะห์ความแปรปรวน (The analysis of Variance)
Two-way ANOVA or Complete Randomized Block Design: CRBD
ถ้าดูที่ห้องปฏิบัติการ D จะพบว่ามีแผ่นดิสก์จาก Strip #1 มากถึง 5 ตัวอย่าง (แผ่นดิสก์ # 1, 2, 6, 9, 10) เพื่อป้องกัน
ไม่ให้เกิดความผิดพลาดลักษณะนี้ การบล็อกที่แผ่นดีบุก (หรือ Strip) จะช่วยให้เกิดการกระจายของตัวอย่างจากแต่ละ
Strip ไปยังห้องปฏิบัติการได้อย่างเท่าเทียมกัน (Homogeneous Conditions) ลักษณะการบล็อกปัจจัยที่อาจส่งผลให้
เกิดความแปรปรวนนี้จัดเป็น การทดลองแบบ CRBD ดังตารางที่ 10.2

7.
7
7
การวิเคราะห์ความแปรปรวน (The analysis of Variance)
การศึกษาผลกระทบจากปัจจัยศึกษา (Treatment Effect) สาหรับการทดลองที่มีระดับของปัจจัยจานวน a กลุ่ม มี
รูปแบบการทดลองได้ 2 แบบคือ Fixed–Effects Model และ Random–Effects Model สาหรับ Fixed–Effects
Model จะเป็นการออกแบบการทดลองที่กาหนดจานวนของปัจจัยศึกษาที่แน่นอน แต่ Random–Effects Model
จะสุ่มเลือกปัจจัยมาศึกษาเพียงบางส่วนเท่านั้น ในบทนี้จะมุ่งศึกษาเฉพาะกรณี Fixed–Effects Model

8.
8
8
Completely Randomized Design หรือ CRD
การทดลองแบบ CRD เป็นการทดลองที่มีการสุ่มตัวอย่างจากประชากร a กลุ่มเพื่อศึกษาผลกระทบของปัจจัย 1 ปัจจัยที่มีต่อ
ค่าสังเกตหรือข้อมูลที่ศึกษา yij โดยแต่ละกลุ่มจะประกอบด้วยตัวอย่างขนาด ni เมื่อ i คือจานวนของกลุ่มหรือจานวนระดับของ
ปัจจัยศึกษา (Treatment No.) = 1, 2, …, a และ j คือจานวนของตัวอย่างในแต่ละกลุ่มหรือจานวนครั้งของการทดลองใน
แต่ละระดับ (Sample No.) = 1, 2, …, ni

9.
9
9
Completely Randomized Design หรือ CRD
ในการทดลองมักกาหนดลาดับของการทดลองโดยสุ่ม เพื่อลดผลเรื่องความลาเอียง มีขั้นตอนดังนี้
1. การจัดหมายเลขลาดับการทดลอง
วิธีปฏิบัติ/ระดับ
ปัจจัย
หมายเลขการทดลอง (Experimental run number)
1
2
3
4
5
1
6
11
16
21
2
7
12
17
22
3
8
13
18
23
4
9
14
19
24
5
10
15
20
25

10.
10
10
Completely Randomized Design หรือ CRD
ในการทดลองมักกาหนดลาดับของการทดลองโดยสุ่ม เพื่อลดผลเรื่องความลาเอียง มีขั้นตอนดังนี้
2. เลือกหมายเลขแบบสุ่ม เพื่อกาหนดหมายเลขก่อนหลัง
ลาดับที่ หมายเลขการทดลอง ระดับปัจจัย
1
2
.
.
25
8
18
.
.
3
2
4
.
.
1
3. ทาการทดลองตามลาดับที่สุ่มไว้ในข้อ 2) จนครบทุกการทดลอง

11.
11
11
ขั้นตอนการวิเคราะห์ด้วยวิธีวิเคราะห์ความแปรปรวน(ANOVA)
1. รวบรวมข้อมูลต่างๆ ที่เกี่ยวข้อง โดยจานวนข้อมูลทั้งหมดคือจานวนการทดลอง * จานวนปัจจัย และจานวนทดลองซ้า
2. จาลองข้อมูลปัญหาด้วยตัวแบบทางสถิติเชิงเส้น ดังสมการ
yij = μ + τi + εij เมื่อ i = 1, 2, … , a และ j = 1, 2, … , n (กรณีของประชากร)
โดยที่ yij คือ ตัวแปรสุ่มหรือข้อมูลจากการทดลอง ณ ปัจจัยระดับที่ i ในการทดลองครั้งที่ j
μ คือ ค่าเฉลี่ยของประชากรทั้งหมด (Grand Mean)
τi คือ ผลกระทบเนื่องจากปัจจัยระดับที่ i (หรือเรียกว่า Treatment Effects ที่ i)
εij คือ ความผิดพลาดของการทดลองที่เกิดขึ้น ณ การทดลองระดับปัจจัยที่ i ในการทดลองครั้งที่ j
สมมุติให้ความผิดพลาดดังกล่าวมีการแจกแจงแบบปกติ ด้วยค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 และความแปรปรวนคงที่เท่ากับ
(Normally and Independently Distributed Random Variables)
)]
,
0
(
[ 2
2

 NID

12.
12
12
ขั้นตอนการวิเคราะห์ด้วยวิธีวิเคราะห์ความแปรปรวน(ANOVA)
3. การวิเคราะห์ปัญหาแยกออกเป็น 2 รูปแบบ ขึ้นกับขั้นตอนการเลือกระดับปัจจัยคือ
- ตัวแบบผลกระทบคงที่ (Fixed Effect Model) ตัวแบบที่มีการพิจารณาระดับปัจจัยเพียงอย่างเดียว
- ตัวแบบผลกระทบอย่างสุ่ม (Random Effect Model) ตัวแบบที่มีหลากหลายปัจจัย แต่จะสุ่มเลือกปัจจัยมาศึกษา
เพียงบางส่วนเท่านั้น

13.
13
13
การวิเคราะห์ตัวแบบปัญหาชนิดผลกระทบคงที่ (Fixed Effect Model)
ตัวอย่างเช่น ส่วนผสมของกาวชนิดหนึ่งมีอยู่ 3 สูตร ซึ่งแต่ละสูตรจะใช้เวลาในการแห้งแตกต่างกัน ทาการสุ่ม
ตัวอย่างของกาวทั้ง 3 สูตรได้ผลดังนี้ สูตรที่ 1 : 13 10 8 11 8 สูตรที่ 2 : 13 11 14 14
สูตรที่ 3 : 4 1 3 4 2 4

14.
14
14
การวิเคราะห์ตัวแบบปัญหาชนิดผลกระทบคงที่ (Fixed Effect Model)

15.
15
15
การวิเคราะห์ตัวแบบปัญหาชนิดผลกระทบคงที่ (Fixed Effect Model)

16.
16
16
การวิเคราะห์ตัวแบบปัญหาชนิดผลกระทบคงที่ (Fixed Effect Model)

17.
17
17
การวิเคราะห์ตัวแบบปัญหาชนิดผลกระทบคงที่ (Fixed Effect Model)

18.
21
21
Completely Randomized Block Design หรือ CRBD
การทดลองแบบ CRBD เป็นการทดลองที่มีการควบคุม (บล็อก) ตัวแปรบางตัวที่ส่งผลให้เกิดความคลาดเคลื่อนในการทดลอง
วิธีทดสอบที่จับคู่ค่าสังเกตหรือ Paired t – Test ถูกใช้ในการเปรียบเทียบค่าเฉลี่ย 2 กลุ่ม โดยมีการควบคุมตัวแปรที่ส่งผลให้เกิด
ความคลาดเคลื่อนในการทดลอง จึงอาจกล่าวได้ว่าการทดลองแบบ CRBD เป็นส่วนขยายต่อจากวิธีทดสอบที่จับคู่ค่าสังเกต แต่ใช้ใน
กรณีปัจจัยที่สนใจศึกษามีมากกว่า 2 ระดับ

19.
22
22
Completely Randomized Block Design หรือ CRBD
yijk = μ + τi + βj + εijk เมื่อ i = 1, 2, … , a และ j = 1, 2, … , b และ k = 1, 2, … , r
โดยที่ yijk คือ ตัวแปรสุ่มหรือข้อมูลจากการทดลอง ณ ปัจจัยระดับที่ I กลุ่มที่ j ครั้งที่ k
μ คือ ค่าเฉลี่ยของประชากรทั้งหมด (Grand Mean)
τi คือ ผลกระทบเนื่องจากปัจจัยระดับที่ i (หรือเรียกว่า Treatment Effects ที่ i)
βj คือ ผลกระทบเนื่องจากกลุ่มที่
εijk คือ ความผิดพลาดของการทดลองที่เกิดขึ้น ณ การทดลองระดับปัจจัยที่ i กลุ่มที่ j ครั้งที่ k
ซึ่ง εijk มีการแจกแจงแบบปกติ ด้วยค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 และความแปรปรวนคงที่ และกาหนดให้ระดับปัจจัย
และกลุ่มเป็นตัวแบบคงที่ (Fixed Effect Model) ดังนั้นจะได้ว่า จะได้สมมุติฐานที่ต้องทดสอบคือ
)]
,
0
(
[ 2

 NID
ijk 
 
= =
=
=
a
i
b
j
i
i and
1 1
0
0 

H0: μ1 = μ2 = ... =μa H1 : μi ≠ μj (อย่างน้อย 1 คู่ของ i, j ที่ i ≠ j)

20.
23
23
Completely Randomized Block Design หรือ CRBD
และทานองเดียวกัน การออกแบบการทดลองชนิดสุ่มสมบูรณ์ (CRB) สามารถเขียนสมมุติฐานได้อีกแบบคือ
ตัวสถิติทดสอบคือ
0
:
0
...
: 1
2
1
0 
=
=
=
= i
a H
H 



)
,
1
(
;
1 E
E
Tr a
MS
MS
F 
 −
=
=
ในกรณีไม่มั่นใจว่า ปัจจัยกลุ่มที่เลือกมา ณ ระดับต่างๆ มีความแตกต่างกันจริง อาจทดสอบสมมุติฐานเกี่ยวกับปัจจัยกลุ่มเพิ่มเติมได้
โดยตั้งสมมุติฐานดังนี้
ตัวสถิติทดสอบคือ
0
:
0
...
: 1
2
1
0 
=
=
=
= j
b H
H 



)
,
1
(
;
2 E
E
B b
MS
MS
F 
 −
=
=
B
Tr
T
E 


 −
−
=
B
Tr
T
E 


 −
−
=

21.
24
24
Completely Randomized Block Design หรือ CRBD
การวิเคราะห์ความแปรปรวน 2 ทาง

22.
25
25
Completely Randomized Block Design หรือ CRBD
เช่นเดียวกันกับการทดลองแบบ CRD การวิเคราะห์ความแปรปรวนของการทดลองแบบ CRBD จะกระทาได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขทั้ง 3 ของ
ประชากรเป็นจริงเสียก่อน

23.
26
26
Completely Randomized Block Design หรือ CRBD
ในที่นี้สามารถประมาณค่าความแปรปรวนค่าผิดพลาดที่แท้จริง
ของค่าตอบสนอง (S2) โดยใช้ค่าคะเนของค่าเฉลี่ยผลบวกกาลัง2
แบบการจาแนกทางเดียว จะได้ว่า
ในกรณีไม่มั่นใจว่า ปัจจัยกลุ่มที่เลือกมา ณ ระดับต่างๆ มีความ
แตกต่างกันจริง อาจทดสอบสมมุติฐานเกี่ยวกับปัจจัยกลุ่มเพิ่มเติม
โดยที่ B
Tr
T
E 


 −
−
=
abr
N
N
y
y
SS
a
i
b
j
r
k
ijk
T =
−
= 
= = =
,
2
...
1 1 1
2
N
y
br
y
SS
a
i
i
Tr
2
...
1
2
..
−
= 
=
N
y
ar
y
SS
b
j
j
B
2
...
1
2
.
.
−
= 
=
และ SSE สามารถทาการคานวณได้จากการหักลบ
B
Tr
T
E SS
SS
SS
SS −
−
=
?
?
?
1 
SS
MS
a
SS
MS Tr
Tr =
−
= 
E
E
E
SS
MS
S

=
=
2