induksi matematika.pptx

University of Marci Faree
Table of Content Bab 1 Bab 2 Bab 3 Bab 4 Question
Nama
kelompok
Kelompok 1
INDUKSI
MATEMATIKA
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Hom
e

Table of Content Bab 1 Bab 2 Bab 3 Bab 4
Home
• Achmad Zea C Shiraath D
(22091397040)
• Ahmad Isha Latif Qolbi
(22091397041)
• Ibnu Salim H
(22091397043)
• Septi Isdayanna
(22091397045)
• Kevin Cahyo Pratama
Nama
kelompok
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Question

Bab 1 Bab 2 Bab 3 Bab 4
Home Table of Content
BAB 1
Pengertian nduksi
matematika dan bentuk
umum induksi
matematika
BAB 2
Prinsip induksi
sederhana
BAB 3
Prinsip induksi yang
dirampatkan
BAB 4
Prinsip induksi kuat
Nama
kelompok
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Question

Home
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Table of Content
Pengertian induksi
matematika
Nama
kelompok
Induksi matematika adalah
metode pembuktian untuk
proposisi yang berkaitan dengan
bilangan bulat.
Question

Home
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Table of Content
Pengertian induksi
matematika
Nama
kelompok
Melalui induksi matematika kita
dapat mengurangi Langkah-
Langkah pembuktian bahwa
semua bilangan bulat termasuk
ke dalam suatu himpunan
kebenaran dengan hanya
sejumlah Langkah terbatas.
Sehingga tanpa induksi
matematika, kita tentu
membuktikannya dengan
mencoba semua bilangan bulat,
yang sudah jelas itu tidak
mungkin
Question

Setiap bilangan bulat positif n (n ≥
2) dapat dinyatakan sebagai
perkalian dari (satu atau lebih)
bilangan prima.
1
Untuk semua n ≥ 1, 𝑛3
+ 2𝑛
adalah kelipatan 3
2
Bentuk umum induksi
matematika:
Nama
kelompok Question
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T

Di dalam sebuah pesta, setiap
tamu berjabat tangan dengan
tamu lainnya hanya sekali saja.
Jika ada n orang tamu maka
jumlah jabat tangan yang terjadi
adalah n(n-1)/2.
3
Banyaknya himpunan bagian
yang dapat dibentuk dari sebuah
himpunan yang beranggotakan n
elemen adalah 2𝑛
4
Bentuk umum induksi
matematika:
Nama
kelompok Question
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T

Home
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Nama
kelompok Table of Content
Prinsip induksi
sederhana
Prinsip induksi sederhana adalah salah
satu teknik penting dalam matematika
diskrit yang digunakan untuk
membuktikan bahwa suatu pernyataan
matematis benar untuk semua bilangan
bulat positif.
Question

Home
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Nama
Prinsip ini memiliki
dua langkah utama:
Basis induksi: Pertama,
pernyataan harus dibuktikan
benar untuk nilai awal tertentu
(biasanya n=1 atau n=0).
1
Langkah induksi: Selanjutnya,
diasumsikan bahwa pernyataan
benar untuk suatu bilangan
bulat positif n, dan kemudian
dibuktikan bahwa pernyataan
itu juga benar untuk n+1.
2
Question

Home
Nama
Contoh
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
• Langkah 1 - Basis Induksi: Pernyataan tersebut harus dibuktikan benar untuk n=1.
Pernyataan: Untuk setiap bilangan bulat positif n, jumlah bilangan bulat
positif pertama n adalah n(n+1)/2.
• Jumlah bilangan bulat positif pertama adalah 1, dan n(n+1)/2 = 1(1+1)/2 = 1.
Oleh karena itu, pernyataan tersebut benar untuk n=1.
Question

Home
Nama
Contoh
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
• Langkah 2 - Langkah Induksi: Diasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar
untuk suatu bilangan bulat positif n, dan kemudian dibuktikan bahwa pernyataan
itu juga benar untuk n+1.
• Misalkan pernyataan tersebut benar untuk n. Dalam hal ini, jumlah bilangan bulat
positif pertama n+1 adalah jumlah bilangan bulat positif pertama n ditambah n+1.
Menurut asumsi induksi, jumlah bilangan bulat positif pertama n adalah n(n+1)/2,
sehingga:
Question

Home
Nama
Contoh
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
• jumlah bilangan bulat positif pertama n+1
= n(n+1)/2 + (n+1)
= (𝑛2 + n)/2 + (n+1)
= (𝑛2
+ n + 2n + 2)/2
= (𝑛2 + 3n + 2)/2
= (n+1)(n+2)/2
• Oleh karena itu, pernyataan tersebut juga benar untuk n+1.
Question

Home
Nama
Contoh
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
• Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 dan jika benar untuk n, maka benar
juga untuk n+1, maka dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk
semua bilangan bulat positif. Dengan demikian, prinsip induksi sederhana
digunakan untuk membuktikan bahwa jumlah bilangan bulat positif pertama n
adalah n(n+1)/2.
Question

Studi Kasus
Dari gambar (a) disamping, dapat kita lihat terdapat 4 domino
yang ditata rapi dengan jarak berdekatan. Sehingga, jika kita
mendorong domino "k" ke arah kanan, maka domino tersebut
akan merobohkan domino nomor "(k+1)", begitu seterusnya.
Hal itu bisa kita lihat pada gambar (b).
Gambar (c) menunjukkan bahwa dorongan terhadap domino
pertama merupakan analogi dari bilangan 1 menjadi anggota
himpunan x. Sehingga, pada akhirnya semua domino akan
roboh. Dengan kata lain, domino yang mempunyai nilai bilangan
asli akan roboh.
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Question
Nama
kelompok

Penerapan
Misalkan ada satu deret bilangan asli 1,2,3,4,...,n. Jumlah
deret bilangan (Sn) untuk n=3 adalah 1+2+3=6 dan untuk
n=4 adalah 1+2+3+4=10, begitu seterusnya. Dari pola
tersebut, dapat diperoleh rumus Sn = n(n+1)/2.
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Question
Nama
kelompok

Pembuktian
Untuk membuktikan bahwa rumus diatas benar, kita
menggunakan prinsip efek domino. Jika domino pertama
jatuh, maka domino kedua harus jatuh. Dan jika domino
kedua jatuh, maka domino ketiga juga harus jatuh, begitu
seterusnya sampai domino ke n. Dari prinsip tersebut, kita
dapat membahasakannya secara matematis melalui tiga
langkah, yaitu:
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Question
Nama
kelompok

Pembuktian
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Basis induksi : n=1 (benar)
Dengan mengacu pada efek domino secara matematis,
kita masukkan n=1 ke rumus Sn.
S1 = 1(1+1)/2 = 1.
Langkah induksi : n=k (benar)Sk = k(k+1)/2
Hipotesis induksi : jika rumus benar untuk n=k,
maka rumus tersebut juga harus benar untuk n=(k+1).
Sk+1 = (k+1)(k+2)/2
Rumus tersebut diperoleh dari :
Sk+1 = 1+2+3+4+...+k+(k+1)
Sk+1 = [1+2+3+4+...+k] + (k+1)
Sk+1 = Sk + (k+1)
Sk+1 = k(k+1)/2 + (k+1)
Sk+1 = (k+1)(k/2 +1)
Sk+1 = (k+1)((k+1)+1 / 2)
Jadi, rumus penjumlahan deret Sn benar untuk n=k+1
Question
Nama
kelompok

Home
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Nama
kelompok Table of Content Question
Prinsip induksi
yang dirampatkan • Prinsip induksi sederhana hanya bisa dipakai untuk
n ≥ 1.
• Untuk sembarang n ≥ 𝑛0 kita menggunakan prinsip
induksi yang dirampatkan.
• Misal 𝑃(𝑛) adalah proposisi (pernyataan) tentang
bilangan bulat. Akan dibuktikan 𝑃(𝑛) benar untuk
semua bilangan bulat 𝑛 ≥ 𝑛0

Home
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Nama
𝑃(𝑛0) benar
1
Jika 𝑃(𝑛) benar, maka 𝑃(𝑛 + 1)
juga benar untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑛0,
sehingga 𝑃(𝑛) benar untuk
semua bilangan bulat 𝑛 ≥ 𝑛0.
2
Untuk
membuktikan 𝑃(𝑛)
benar, cukup
ditunjukkan:

Home
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Nama
Contoh
• Basis induksi:
Untuk n = 4:
4! = 24 dan 24
= 16, sehingga 4! > 24
. Jadi P(4) benar.
Pernyataan: Untuk semua bilangan bulat positif 𝑛 ≥ 4, jumlah bilangan
bulat positif n adalah 𝑛! > 𝟐𝒏

Home
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Nama
Contoh
• Langkah induksi:
andaikan P(n) benar, yaitu n! > 2𝑛 untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 4.
akan dibuktikan P(n + 1) juga benar yaitu (n + 1)! > 2(𝑛+1).
Langkah pembuktiannya sebagai berikut:
(n + 1)! = (n + 1)n!
> (n + 1)2𝑛
(berdasarkan hipotesis induksi)
> 2.2𝑛
= 2𝑛+1
(karena n ≥ 4 maka (n + 1) ≥ 5 > 2)
• jadi (n + 1)! > 2(𝑛+1). Dengan kata lain P(n + 1) benar untuk setiap n ≥4.

Home
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Nama
Contoh
• kesimpulan:
karena P(4) dan P(n + 1) terbukti benar untuk setiap n ≥ 4. maka P(n) benar untuk
semua
bilangan bulat positif n ≥ 4.

Home
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Nama
Studi kasus
Di kantor pos tersedia perangko 3 sen dan 5 sen. Biaya pos
pengiriman surat menggunakan kedua perangko tersebut.
Buktikan pernyataan “untuk membayar biaya pos sebesar n
sen (n ≥ 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen
perangko 5 sen saja” adalah benar.

Home
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Nama
Studi kasus
Basis induksi: untuk membayar biaya pos sebesar 8 sen,
dapat digunakan satu buah perangko 3 sen dan satu buah
perangko 5 sen saja. Ini jelas benar.
Langkah induksi: andaikan P(n benar, yaitu untuk
membayar biaya pos sebesar n(n ≥ 8) sen dapat
digunakan perangko 3 sen dan 5 sen (hipotesis induksi).
Kita harus menunjukkan bahwa P(n + 1) juga benar,
yaitu untuk membayar biaya pos sebesar n + 1 sen juga
dapat menggunakan perangko 3 sen dan perangko 5
sen. Sehingga ada dua kemungkinan yang perlu
diperiksa yaitu,

Home
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Nama
Studi kasus
Kemungkinan pertama, misalkan kita membayar biaya pos
senilai n sen dengan sedikitnya satu perangko 5 sen. Dengan
mengganti satu buah perangko 3 sen maka akan diperoleh
susunan perangko senilai n + 1
Kemungkinan kedua, jika tidak ada perangko 5 sen yang
digunakan, biaya pos senilai n sen menggunakan perangko 3
sen semuanya. Karena n ≥ 8, setidaknya harus digunakan tiga
buah perangko 3 sen. Dengan mengganti tiga buah perangko
3 dengan dua buah perangko 5 sen akan dihasikan nilai
perangko n+ 1 sen.
Karena basis dan langkah induksi benar, maka proposisi
diatas terbukti benar.

M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Home Table of Content Question
Nama
kelompok
Prinsip induksi
kuat
Prinsip induksi kuat merupakan salah satu metode
penting dalam membuktikan suatu pernyataan
matematis yang terkait dengan bilangan bulat positif.

M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Nama
kelompok
Prinsip ini memiliki
dua langkah utama:
Langkah dasar: Pernyataan
tersebut harus terbukti benar
untuk bilangan bulat pertama,
yaitu 1
1
Langkah induksi: Pernyataan
tersebut diasumsikan benar
untuk suatu bilangan bulat
positif k, dan kemudian kita
membuktikan bahwa
pernyataan tersebut juga benar
untuk bilangan bulat k+1.
2

M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Nama
kelompok
Contoh
• Langkah Dasar: Terbuktikan untuk n = 1.
Pernyataan: Untuk setiap bilangan bulat positif n, 𝟐𝒏 > n.
• Langkah Induksi: Asumsi 2𝑘 > k, kemudian buktikan 2(𝐾+1) > k+1.

M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T
Nama
kelompok
Contoh
• Berdasarkan asumsi, kita memiliki: 2(𝐾+1)
= 2 * 2𝐾
.Kita juga tahu bahwa 2𝐾
> k
(berdasarkan asumsi). Sehingga, 2(𝐾+1) = 2 * 2𝐾 > 2 * k. Kita juga tahu bahwa 2 *
k > k+1 untuk setiap k > 1. Dengan demikian, 2(𝐾+1)
> 2 * k > k + 1.
Pernyataan: Untuk setiap bilangan bulat positif n, 𝟐𝒏 > n.
• Jadi, pernyataan benar untuk k+1 jika benar untuk k.
• Dengan menggunakan prinsip induksi kuat, kita dapat membuktikan bahwa untuk
setiap bilangan bulat positif n, 2𝑛
> n.

FOR YOUR LISTENING!
Thank
You
So
Nama
kelompok Question
M
A
T
E
M
A
T
I
K
A
D
I
S
K
R
I
T

induksi matematika.pptx

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a induksi matematika.pptx

Semelhante a induksi matematika.pptx (20)

Último

Último (20)

induksi matematika.pptx