Este documento resume los principales métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales. Explica brevemente el método de la bisección, la interpolación lineal, Newton-Raphson, punto fijo, Bairstow y división sintética. Incluye ejemplos para ilustrar cada método y destaca que Newton-Raphson converge más rápido pero requiere calcular derivadas, mientras que la bisección es más lento pero no necesita derivadas.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO
SEDE BARINAS
ASIGNATURA: ANALISIS NUMERICO
Nombre (s) y Apellido (s): Santa Duran
C.I. 11.927.304
Carrera: Ingeniería Industrial

2. Las ecuaciones no lineales están determinadas de acuerdo a la estructura del
análisis numérico, definiéndolo como una disciplina ocupada de describir,
analizar y crear algoritmos, para resolver problemas matemáticos.
En el presente trabajo se podrá comprender de manera clara el sistema no
lineal, tomado de incógnitas. De la misma manera se desarrollaran temas
contenidos en la resolución numérica de esta naturaleza, tomando como
referencia las técnicas aplicadas por Newton – Raphson.
INTRODUCCION

3. CONTENIDO
• Ecuaciones no lineales
• Bisección
• Interpolación lineal. Secante
• Newton – Raphson
• Punto fijo
• Bairstow
• División sintética

4. ECUACIONES NO LINEALES
Llamamos sistema no lineal a un sistema
de ecuaciones en el que una o ambas de
las ecuaciones que forman el sistema es
una ecuación no lineal, es decir, cuando
alguna de las incógnitas que forman parte
de la ecuación no son de primer grado. Por
tanto en este tipo de sistemas nos podemos
encontrar polinomios de segundo grado,
raíces, logaritmos, exponenciales….
La mayor parte de estos sistemas se resuelven
utilizando el método de sustitución, aunque en
algunos casos puede ocurrir que no sea la
forma más sencilla. A continuación veremos
algunos de estas excepciones a través de
ejemplos. Podemos distinguir por tanto algunos
casos:

5. CASO NRO. 01
• SI UNA DE LAS ECUACIONES ES LINEAL Y
LA OTRA NO LINEAL
En este caso utilizaremos siempre el método de sustitución:
1. Despejamos una de las incógnitas en la ecuación lineal (ahora no podemos elegir la que
queramos).
2. 2ªecuación: y = 7- x
Sustituimos su valor en la primera ecuación:
3. Obtenemos una ecuación de segundo grado en una de las incógnitas (en este caso en x), la
desarrollamos y resolvemos utilizando la fórmula conocida:
4. Por último, como hemos obtenido dos valores de
x, sustituimos en la ecuación que obtuvimos en
el primer paso, obteniendo también dos valores
de y: Si x=3, y = 7-3=4
Si x=4, y = 7-3=4
5. Las soluciones del sistema son: (3,4) y (4,3).

6. CASO NRO. 02
• SI AMBAS ECUACIONES SON NO LINEALES Y AMBAS INCÓGNITAS SON DE
SEGUNDO GRADO O EN AMBAS ECUACIONES LA INCÓGNITA DE SEGUNDO
GRADO ES LA MISMA
En este caso podemos resolver el sistema utilizando el método de
reducción, aunque la ecuación que nos quede tras eliminar una de las
incógnitas será una ecuación se segundo grado:
1. Para poder eliminar una de las incógnitas (la x, por ejemplo)
multiplicamos la primera ecuación por 2, y la segunda ecuación por -3.
2. Resolvemos la ecuación que es una ecuación de segundo grado
incompleta que nos da dos soluciones, que luego sustituiríamos en una
de las ecuaciones para halla los valores de x.
3. Como las raíces nos salen negativas, el sistema no tiene solución.

7. CASO NRO. 03
• AMBAS SON ECUACIONES NO LINEALES, PERO NO DE SEGUNDO GRADO,
SINO UTILIZANDO ALGUNA FUNCIÓN, YA SEAN LOGARITMOS,
EXPONENCIALES O LA FUNCIÓN INVERSA.
En este caso, resolveremos el sistema utilizando un método nuevo: el cambio de variable.
Gracias a este método obtenemos un sistema más fácil de manejar,
reduciéndose a uno de los casos anteriores:
1. Realizamos el cambio de variable apropiado: u=1/x, v=1/y.
2. Escribimos el sistema en función de u y v:
3. Como podemos observar, es un sistema del tipo que hemos mencionado en el caso 1, luego lo
resolvemos por el método de sustitución. Por el que obtenemos los siguientes valores:
Si v = 2, u = 3, Si v = -3, u = -2.
4. Por último tenemos que deshacer el cambio: x=1/u, y=1/v. Por tanto las soluciones que
obtenemos son: (1/3, 1/2) y (-1/2, -1/3)

8. BISECCIÓN
Este método consiste en obtener una mejor aproximación de la raíz a partir de un intervalo inicial
(a,b) en el cual hay un cambio de signo en la función, es decir: f(a)f(b)<0.
Se obtiene el punto medio:
Xm es la nueva aproximación a la raíz, y se vuelve a tomar un intervalo, pero ahora mas pequeño,
considerando que siga existiendo un cambio de signo en la función, es decir, el nuevo intervalo
queda determinado por:

9. El método termina cuando se cumple con alguna condición de paro, en este programa la condición
es la tolerancia :
Este es un método “de encierro”, para aplicarlo se debe contar con un intervalo inicial, en donde
f(a)*f(b) < 0. Este método requiere de menos pasos en un programa, sin embargo converge mas
lentamente que el de Newton-Raphson.
Los pasos del método son los siguientes:
1. Localizar un intervalo que contenga al menos una raíz.
2. Dividir el intervalo en dos partes iguales reteniendo la mitad en donde f(x) cambia de signo,
para conservar al menos una raíz.
3. Repetir el procesó varias veces hasta cumplir con la tolerancia deseada.
si: f(m) f(b)<0 entonces conservar (m,b) como el sem. intervalo que contiene al menos una raíz.
A cada paso se le llama “iteración” y reduce el intervalo a la mitad.

10. Después de cada iteración el intervalo re reduce a la mitad, después de n iteraciones, el intervalo
original se había reducido 2n veces, por lo tanto, si el intervalo original es de tamaño “a” y el
criterio de convergencia aplicado al valor absoluto de la diferencia de dos Xm consecutivas es
“ ”, entonces se requerían “n” iteraciones donde “n” se calcula con la igualdad de la expresión:
de donde: iteraciones que se requieren.

11. Buscar la raíz de x5 - x + 3 = 0
f (-2) = (-2)5 - (-2) + 3 = -32 + 2 + 3 = -27 negativo
f (-1) = (-2)5 - (-1) + 3 = -1 + 1 + 3 = 3 positivo
Debe haber por lo menos una raíz en (-2,-1)
= -1.5
f (-1.5) = (-1.5)5 - (-1.5) + 3 = - 7.59 + 1.3 + 3 = -3.09375 negativo
El intervalo donde cambia el signo es (-1.5,-1)
EJEMPLO

12. f (-1.25) = (-1.25)5 - (-1.25) + 3 = -3.0 + 1.25 + 3 = 1.19824 positivo
La raíz “R” esta en el intervalo (-1.5,-1.25) -1.375
f (-1.375)2 = (-1.375)5 - (-1.375) + 3 = -0.5398 negativo
Hay que determinar un numero máximo de iteraciones. Normalmente esto se hace
considerando una “tolerancia” , esto es: El valor absoluto de la diferencia de la
debe ser menor que la tolerancia o el resultado de alguna fórmula de error debe ser menor
que la tolerancia dada. Una de las fórmulas de error mas útiles es la del error relativo
porcentual aproximado 100 %

13. Ventajas: este método se aplica a cualquier función continua y no requiere derivadas
Desventajas: es un método lento.
Una de las limitaciones de este método es que puede resultar un polo considerándolo como
un “cero” ,por ejemplo, la sig. función tiene un cambio de signo cerca del origen.
En este caso, nunca se va a encontrar una raíz, aunque haya un cambio de signo en la función
en el intervalo dado.

14. INTERPOLACION LINEAL. SECANTE.
La interpolación lineal es un procedimiento muy utilizado para estimar los valores que toma
una función en un intervalo del cual conocemos sus valores en los extremos (x1, f(x1)) y
(x2,f(x2)). Para estimar este valor utilizamos la aproximación a la función f(x) por medio de
una recta r(x) (de ahí el nombre de interpolación lineal, ya que también existe la interpolación
cuadrática). La expresión de la interpolación lineal se obtiene del polinomio interpolador de
Newton de grado uno.
RECTA DE INTERPOLACIÓN LINEAL
Veamos los pasos que tenemos que seguir para hallar la recta de regresión:
1. Dados los puntos de la función (x1, y1) y (x2, y2), queremos estimar el valor de la
función en un punto x en el intervalo x1<x<x2.
2. Para hallar la recta de interpolación nos fijaremos
en la siguiente imagen.

15. Para ello utilizamos la semejanza de los triángulos ABD y CAE, obteniendo la siguiente
proporcionalidad de segmentos: AB/AC=BD/CE.
3. Despejando el segmento BD (ya que el punto D es el que desconocemos) obtenemos:
BD=(AB/AC)∙CE. Traduciendo al lenguaje algebraico obtenemos que:
Y despejando y, obtenemos:
La misma expresión que se obtiene al utilizar el polinomio interpolador de Newton que ya
habíamos comentado. Recordad que y1=f(x1) y análogamente y2=f(x2).

16. INTERPOLACION NEWTON - RAPHSON
INTERPOLACION DE NEWTON
Se basa en la obtención de un polinomio a partir de un conjunto de puntos dado,
aproximándose lo mas posible a la curva buscada. La ecuación general para la obtención
de la función por este método es: Donde las “bi” se obtienen mediante la aplicación de una
serie de funciones incluidas en una tabla de diferencias.
EJEMPLO
Suponiendo que tenemos
4 puntos, la tabla de
diferencias tiene la
siguiente forma:

17. Con esto, la ecuación quedaría de la siguiente forma:
Teniendo los siguientes puntos:
Calculamos su tabla:
Obteniendo el siguiente polinomio:

18. Método de Newton-Raphson: Si se desarrolla una función f(x) en serie de
Taylor hasta orden 1 en torno a un valor dado tenemos Si x esta cerca de
la raíz de f(x) entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x = + −+ − f x f ′ x x x Ox x x 0
≈+ − f ( x ) f ′( xxx ) ( ) Entonces ( ) ( ) f x x x f x ≅ − ′ y un proceso
iterativo puede ser llevado a cabo como ( ) ( ) n n nn xf xf xx ′ +1 −=
Métodos Abiertos El algoritmo de Newton se usa ampliamente debido a
que en la proximidad de la raíz, converge más rápidamente que los otros
métodos vistos. La derivada puede calcularse numéricamente a partir de
( ) ( ) ( ) ; 1 fx h fx f x h h + − ′ ≅ < < ( ) ( ) ().
Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la
función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una
interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado
1, se denota de la siguiente manera interpolación lineal de una variable.

19. PUNTO FIJO
El método del punto fijo es un método interactivo o que permite resolver sistemas de ecuaciones
no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función
de la forma f (x), siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva a,
requiere volver a escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma x= g(x).
Llamemos x a la raíz de f. Supongamos que ex iste y es conocida la función g tal que: f (x)=x-g
del dominio.
Entonces:
F(x)=0 x – g (x) =0 x= g(x)
Tenemos, pues, a como punto fijo de .

20. MÉTODO DE BAIRSTOW
Se trata de un proceso iterativo que combina los métodos de Muller y Newton-Rapshon. Para
poder realizarlo, debemos de partir de dos polinomios cuadráticos:
Dados los datos anteriores, debemos seguir estos pasos:
1. Debemos localizar en el problema fn(x) y r0 y s0 (los valores iniciales)
2. Ahora, utilizando el método de Newton-Rapshon (explicado en otro artículo) calculamos:
**Nota: Cuando decimos residuo nos referimos al resto de la división, es decir, nos debe de dar
un cociente exacto.
3. Se hallan las raíces f2(x) utilizando la fórmula general
4. Calculamos:
5. Ahora hacemos:

21. 6. En caso de que el polinomio sea de grado mayor que 3, volvemos al paso 2
7. En caso contrario, terminamos el ejercicio.
Los pasos anteriormente expuestos sirven para llegar a la solución deseada. EL objetivo final es
hallar las raíces, tanto las reales como las imaginarias. Como no quiero que queden dudas, voy a
poner un ejemplo, y lo resolveré siguiendo el orden que hemos establecido.
Dado un polinomio:
Considérese r0=-1 y s0=-1
1. Ya sabemos que son r0=-1 y s0=-1, tal como se indica arriba, y anotamos también f5(x).
2. Aplicamos Ruffini para sacar factor común a ese f5(x):

22. *Nota: Hemos obviado el cálculo por Ruffini, pues ya se ha explicado en otra lección, pero bueno,
que sepáis que sale de ahí.
Por tanto, las raíces de x2 +0.5x – 0.5=0 son:
x1=0.5
x2=-1
3. Se hallan ahora las raíces de f2(x), que es la función que nos ha quedado después de hallar las
primeras raíces exactas:
Por tanto, igualando a cero:
x2 – 2x +1.25=0
x3 = 1 + 0.5i
x4 = -1- 0.5i

23. 4. f1(x) =(x – 2)
Por tanto, la raíz de ese polinomio, igualando a cero: x5=2
Para finalizar, planteamos todas las raíces que hemos ido encontrando:
x = [0.5, 1, (1 + 0.5i), (1 – 0.5i), 2]
Y esta será la solución al ejercicio.
** Las «ies» expresan la parte de la solución que es número imaginario, ya que
la solución queda con una raíz cuadrada negativa:

24. Es un método rápido y exacto para dividir un polinomio entre un polinomio lineal de la
forma . El método se describe en la forma siguiente:
Se colocan los coeficientes de en orden descendente de las potencias de x, colocando cero
como coeficiente de cada potencia que no aparezca.
Después de escribir el divisor en la forma , se usa para generar la segunda y la tercera fila
así: se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica por ; se suma el producto al
segundo coeficiente del dividendo, se multiplica esa suma por y se suma al tercer
coeficiente del dividendo. El proceso se sigue hasta que un producto se suma al término
constante del dividendo.
El último número de la tercera fila es el residuo; los otros números de la tercera fila son los
coeficientes del cociente, que es de un grado menor que .
DIVISIÓN SINTETICA

25. EJEMPLO

26. CONCLUSION
De acuerdo a los conceptos y procedimientos desarrollados en este trabajo se
puede concluir que de acuerdo a la utilidad de cada uno de los métodos se
podrán aplicar para la resolución de ejercicios según los pasos correspondientes.
En el contexto de los cálculos aplicados se podrán poner el practica
procedimientos que conllevan a una solución aproximada de los ejercicios
planteados, mediante pasos ya estipulados bajo la norma de métodos aplicados
constructivos para los algoritmos numéricos.
De la misma manera se recomienda aplicar los procedimientos de manera que a
través del análisis en las ecuaciones será factible obtener una solución certera.

27. BIBLIOGRAFIA
04 de julio 2019. Ecuaciones lineales. Venezuela. La guía.
https://matematica.laguia2000.com/general/sistema-de-ecuaciones-no-
lineales
04 de julio 2019. Bisección, Venezuela. Universidad Autónoma Metropolitana.
http://test.cua.uam.mx/MN/Methods/Raices/Biseccion/Biseccion.php
05 de julio 2019. interpolación lineal. Venezuela. La guía.
https://matematica.laguia2000.com/general/interpolacion-lineal
05 de julio 2019. Newton. Venezuela. Análisis numérico. http://esimecu-
anumerico.blogspot.com/2011/06/interpolacion-de-newton.html

28. ANEXOS
VIDEOS. ENLACES
https://www.youtube.com/watch?v=qvJ2Ndez6ng
https://www.youtube.com/watch?v=emg6rXWwf2k