Utilizar la definición de límite de funciones para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y muestra gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.

1. Bloque Temático
Límites y Continuidad
Concepto Límite y Notación
Límites Laterales
Existencia del Límite
Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez

2. Apertura: Evaluación Diagnóstica
Esta evaluación te servirá a ti y a tu profesor para identificar los
aprendizajes adquiridos hasta el momento, así como los necesarios
para el estudio de los contenidos de este bloque temático.

3. APERTURA: Evaluación Diagnóstica
Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 2𝑥 + 5, hallar:
Ejercicio #1 𝒇 𝟐 =
Ejercicio #2 𝒇 𝟐 =
Ejercicio #3 𝒇
𝒂
𝟓
=
Ejercicio #4 En la siguiente función, realice la
gráfica cuando x=-4,-3,-2,1,6: h 𝑥 = − 𝑥 + 3
5 Trace la gráfica de la función, donde se observen
las intersecciones de x, es decir cuando g 𝑥 = 0
𝒈 𝒙 = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐

4. Competencia Específica
Utilizar la definición de límite de funciones para
determinar analíticamente la continuidad de una función
en un punto o en un intervalo y muestra gráficamente los
diferentes tipos de discontinuidad.

5. Introducción
Las dos grandes áreas del Cálculo, denominadas Cálculo
Diferencial y Cálculo Integral, se basan en el concepto
fundamental de límite. En este bloque, el enfoque que
haremos a este importante concepto será intuitivo,
centrado en la compresión de ¿qué es un límite?,
mediante el uso de ejemplos utilizando un proceso
numérico, gráfico y analítico.

6. Idea intuitiva del límite
Sea la función definida por la ecuación 𝑓 𝑥 =
2𝑥2−3𝑥−2
𝑥−2
para
toda 𝐱 ∈ ℝ, 𝒙 ≠ 𝟐
Verificar el comportamiento de la función cuando x tiende a 2
X f(x)
1.25
1.5
1.75
1.9
1.99
1.999
1.9999
X f(x)
2.75
2.5
2.25
2.1
2.01
2.001
2.0001

7. Proceso Analítico Notas
𝑓 𝑥 =
2𝑥2 − 3𝑥 − 2
𝑥 − 2
𝑑𝑜𝑚𝑓 𝑥 = ℝ − {𝑥|𝑥 = 2}
𝐷 = −∞, 2 ∪ (2, ∞)
lim
𝑥→2
2𝑥2
− 3𝑥 − 2
𝑥 − 2
Factorizando el trinomio de la
forma
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Por agrupación
lim
𝑥→2
(2𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
Realizando la División entera
𝑎 ⋅ 𝑏
𝑎
= 𝑏
lim
𝑥→2
(2𝑥 + 1) Aplicando las propiedades y
teoremas de los límites

8. Propiedades de Linealidad
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ± 𝐾
lim
𝑥→𝑎
𝑐𝑓 𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑐 ⋅ 𝐿
Teoremas Límites Básicos
lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎 lim
𝑥→𝑎
𝑏 = 𝑏

9. Idea intuitiva del límite
De la gráfica puede observarse
que, aunque la función 𝑓 no
esta definida para 𝑥 = 2,
cuando x toma valores muy
cercano a 2 la función se
aproxima a 5, lo que escribimos
como:
lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 = 5

10. Definición 1
Escriba
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
Que se expresa como: “el límite de 𝒇(𝒙) cuando 𝒙
tiende 𝐚, es igual a 𝑳”
Si podemos acercar arbitrariamente los valores de
𝒇(𝒙) a 𝑳 (tanto como desee) escogiendo una 𝒙 lo
bastante cerca de 𝒂, pero no igual a 𝒂

11. Definición 2
Definición informal
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
Si 𝒇(𝒙) puede hacerse arbitrariamente próximo al
número 𝐿 al tomar 𝑥 suficientemente cerca de,
pero diferente de un número 𝒂, por la izquierda y
por la derecha de 𝒂, entonces el límite de 𝒇(𝒙)
cuando 𝑥 tiende a a es 𝑳.

12. Notación
El análisis del concepto de límite se facilita al
usar una notación especial. Si el símbolo de
flecha → representa la palabra tiende, entonces
el simbolismo
𝑥 → 𝑎−
Indica que x tiende al número a por la izquierda
𝑥 → 𝑎+
Significa que x tiende a a por la derecha

13. Límites por dos lados
Si tanto el límite por la
izquierda como el límite
por la derecha existen y
tienen un valor común.
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
Entonces:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿

14. Existencia o no existencia
La existencia de un límite de una función f cuando x
tiende a a, no depende de si f está definida en a, sino
sólo de si está definida para x cerca del número a.
Por ejemplo:
Se observa aunque
𝑓 −4 = 5
lim
𝑥→−4
16 − 𝑥2
4 + 𝑥
= 8

15. Límite no existe
En general, el límite por los lados no existe cuando:
Caso 1:
Si alguno de los dos límites laterales
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) o lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) no existe.
Caso 2:
Si lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿1 y lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿2, pero 𝐿1 ≠ 𝐿2

16. ActividadDeterminar los siguientes límites,
utilizando para ello la representación
gráfica de la función g, que se da a
continuación:

17. Actividad
La gráfica de la función definida
por partes
𝒇 𝒙 =
𝒙 𝟐
,
−𝒙 + 𝟏𝟎,
𝒙 < 𝟐
𝒙 > 𝟐
lim
𝒙→𝟐
𝒇(𝒙) =
𝒙 → 𝟐− 1.9 1.99 1.999
𝑓(𝑥)
𝒙 → 𝟐+ 2.1 2.01 2.001
𝑓(𝑥)

18. Actividad
La gráfica de la función definida por partes
𝒇 𝒙 =
𝒙 + 𝟐,
−𝒙 + 𝟔,
𝒙 ≤ 𝟓
𝒙 > 𝟓
lim
𝒙→𝟓
𝒇(𝒙) =
𝒙 → 𝟓− 4.9 4.99 4.999
𝑓(𝑥)
𝒙 → 𝟓+ 5.1 5.01 5.001
𝑓(𝑥)

19. Actividad
Una forma indeterminada
𝒇 𝒙 =
𝒙
𝒙
𝟏,
−𝟏,
𝒙 > 𝟎
𝒙 < 𝟎
lim
𝒙→𝟎−
𝒇(𝒙) =
lim
𝒙→𝟎+
𝒇(𝒙) =
Se concluye:
lim
𝒙→𝟎
𝒇(𝒙) =

20. Actividad
Un límite trigonométrico importante
𝒇 𝒙 =
sin 𝒙
𝒙
Se concluye:
lim
𝒙→𝟎
𝒇(𝒙) =
𝒙 → 𝟎− ‒0.1 ‒0.01 ‒0.001
𝑓(𝑥) 0 0 0
𝒙 → 𝟎+ 0.1 0.01 0.001
𝑓(𝑥) 0 0 0

21. Actividad
Un límite por la derecha
𝒇 𝒙 = 𝒙
Se concluye:
lim
𝒙→𝟎+
𝒇(𝒙) =
𝒙 → 𝟎− ‒0.1 ‒0.01 ‒0.001
𝑓(𝑥)
𝒙 → 𝟎+ 0.1 0.01 0.001
𝑓(𝑥)

22. Actividad
Límite trigonométrico
𝒇 𝒙 =
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝒙
Se concluye:
lim
𝒙→𝟎
𝒇(𝒙) =
𝒙 → 𝟎− ‒0.1 ‒0.01 ‒0.001
𝑓(𝑥)
𝒙 → 𝟎+ 0.1 0.01 0.001
𝑓(𝑥)