-Derivadas de funciones de varias variables

1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 1
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
[5.1] Hallar y representar gráficamente las curvas de nivel de la función 2(,)fxyxy.
Solución
Por definición 22,/mCxyxy .
Por tanto:
2220,/0,/0Cxyxyxyxy
2222,/,/mmCxyxymxyyx    si 0m

2. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
2 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
[5.2] Hallar y representar gráficamente las curvas de nivel de la función (,)1fxyxy
Solución
Por definición 2,/1mCxyxym.
Por tanto, como 1mxy , deducimos que 1m. En este caso:
Para 11:0,0mC
Para : 1m
Si ,0:11xyxymyx
Si ,0:11xyxymyx
Si 00:11xyxymyx
Si 00:11xyxymyx
Por tanto:
10,0C
22,/100,/100mCxyyxmxyxyyxmxy 22,/100,/100paxyyxmxyxyyxmxyra m

3. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 3
[5.3] Demostrar que los siguientes límites no existen:
1.- 2(,)(1,1) 1lim   xyxyxy
2.- 224(,)(0,0) lim xyxyxy
Solución
1.- 2(,)(1,1) 1lim   xyxyxy
Límites reiterados 221111121111111limlimlimlimlim111111limlimlim11       xyxxxyxxxyxxxyxxxxxyyxyy
Los límites reiterados existen y son distintos, por lo que no existe el límite doble.
2.- 224(,)(0,0) lim xyxyxy
Límites reiterados 224200022440000limlimlim00limlimlim0       xyxyxyxyxyxxyxyy
Existen y son iguales. Puede existir el límite doble.

4. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
4 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
Límites según una dirección, 2xmy 22442424442(,)(0,0)00limlimlim(1)1xyyyxmy xymymy xymyyym   
Los límites según diferentes parábolas existen y son distintos, por lo que no existe el límite doble.

5. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 5
[5.4] Estudiar la existencia de los siguientes límites:
1.- 222(,)(0,0)3lim xyyxy
2.- 222(,)(0,0) ()lim   xyxyxy
Solución
1.- 222(,)(0,0)3lim xyyxy
Límites reiterados 232220003224/32220000330limlimlim0limlimlimlim0         xyxyxyyyxyxyyyxyy
Existen y son iguales. Puede existir el límite doble.
Si realizamos un cambio a coordenadas polares: cossenxy    22224/32222(,)(0,0)0033sen[0,1] 0senlimlimlimsen0xyyxy         

6. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
6 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
2.- 222(,)(0,0) ()lim   xyxyxy
Límites reiterados 2222200022222000()limlimlim1()limlimlim1       xyxyxyxyxxyxxyyxyy
Existen y son iguales. Puede existir el límite doble.
Si realizamos un cambio a coordenadas polares: cossenxy     222222222(,)(0,0)00()(cossen)(cossen)limlimlim(cossen) xyxyxy      
Como el valor del límite depende del valor de  podemos concluir que  222(,)(0,0) ()lim   xyxyxy.

7. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 7
[5.5] Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
1.-   22 ,0,0(,) 0 ,0,0   xyxyxxyyfxyxy
2.-   2222 ,0,0(,) 0 ,0,0      xyxyxexyfxyxy
Solución
1.-   22 ,0,0(,) 0 ,0,0   xyxyxxyyfxyxy
Si , ,0,xy (,)fxy es continua por ser cociente de funciones continuas y el denominador no nulo.
Si , tenemos que comprobar que: ,0,xy
(,)(0,0) lim(,)(0,0)   xyfxyf
Si calculamos los límites reiterados: 22200001limlimlimlim0(0,0) xyxxxyxfxxyyxx  
Por tanto, como  (,)(0,0) lim(,) xyfxy, f no es continua en (0,0). Luego f es continua en 20,0.

8. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
8 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
2.-   2222 ,0,0(,) 0 ,0,0xyxyxexyfxyxy     
Si , ,0,xy0(,)fxy es continua por ser producto de funciones continuas.
Si , tenemos que comprobar que: ,0,xy
(,)(0,0) lim(,)(0,0)   xyfxyf
Si calculamos los límites reiterados: 222222220001000limlimlim0limlimlim00xyxyxyxxyxyyxyxexexee            
Existen y son iguales. Puede existir el límite doble.
Si realizamos un cambio a coordenadas polares: cossenxy     2222222222(cossen) (cossen) (,)(0,0)00(*) limlimcoslimcos0xyxyxyxeee        
(*) Utilizamos que es el producto de una función que tiende a cero por una función acotada.
Por tanto f es continua en . 2
[5.6] Estudiar la derivabilidad de la función:   2222() ,0,0(,) 0 ,0,0    xyxyxyxyfxyxy
Solución
Si , ,0,xy (,)fxy es derivable por ser cociente de funciones derivables y el denominador no nulo.

9. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Si , hay que estudiar la existencia de las derivadas parciales ,0,xy y 0,0 :   0000(0,0)(0,0)000,0limlim0(0,0)(0,0)000,0limlim0         hhkkffhfxhffkfyk
Por tanto f es derivable en . 2
[5.7] Estudiar la continuidad y derivabilidad de la siguiente función en el punto (0,0): 0(,) 0 0 xyxyxyfxyxy  
Solución
Comprobemos si (,)(0,0) lim(,)(0,0)   xyfxyf.
Si calculamos los límites reiterados: 000limlimlim0   xyxxyxxy
Si realizamos un cambio a coordenadas polares: cossenxy     22(,)(0,0)000cossen(cossen)cossenlimlimlimlimsencossencossencosxyxyxy    
Por tanto f no es continua en (0,0). Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 9

10. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
10 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
Para comprobar la derivabilidad en (0,0) analizamos la existencia de las derivadas parciales 0,0   fx y 0,0   fx:   0000(0,0)(0,0)000,0limlim0(0,0)(0,0)000,0limlim0         hhkkffhfxhffkfyk
Por tanto f es derivable y no continua en (0,0).
[5.8] Estudiar la continuidad y derivabilidad de la siguiente función en el punto (0,0): 2y 0(,) 3 0    xyfxyy
Solución
Comprobemos si . (,)(0,0) lim(,)(0,0)3   xyfxyf 2(,)(0,0)(,)(0,0) lim(,)lim0(0,0)3   xyxyfxyxyf
Por tanto f no es continua en (0,0).
Para comprobar la derivabilidad en (0,0) analizamos la existencia de las derivadas parciales 0,0   fx y 0,0   fx:   0000(0,0)(0,0)330,0limlim0(0,0)(0,0)030,0limlim         hhkkffhfxhffkfyk
Por tanto f no es derivable en (0,0).

11. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 11
[5.9] Comprobar que  cxazeaybx   es solución de la EDP :
0czbzazyx
Solución:
Se tiene: cxcxcxaaaxyczebezaea   
De donde: 0cxcxcxcxaaaaxycazbzczaebebaecea     
[5.10] Comprobar que 332xzyxy    es solución de la EDP:
3222(3)(3)xyxzyxyzz
Solución: 233423321;3xyxxzyzyyyy   
3222(3)(3xy xzyxyzz 233322433233221(3)33xxxyyxyyyyyy   32232233325322(3)3xxyxyxyyyyy   32232255(3)22(3)xxyxyxyy   

12. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
12 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
[5.11] Comprobar que la función 2lnyzxx  cumple la ecuación de Euler: 2zzxyzxy   
Solución: 222222ln2lnln1zyxyyxxxxxyxxyzxxzxxxyyxy  
Al sustituir en la ecuación de Euler: 222ln2ln2zzyxyxyxxxyxxyxyx   [5.12] Demostrar que la función , siendo 22(zyxy una función arbitraria y diferenciable, satisface la ecuación: 211zz xxyyy   
Solución:
Se tiene: 222zzyxyxy   
Sustituyendo: 21122zzyy xxyyyyy    

13. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 13
[5.13] Dada la función ()senx zxyxy    obtener lo más simplificadamente posible el valor de la expresión: zzxyxy   
Solución: 2sen()cossencos() zxxxyxxyxy xxyxyxyxyxyxy   sencos[1]   zxxyxxxxxyxyxy 2sen()cossencos() zxxxxxxy yxyxyxyxyxyxy   sencos[2]   zxxyxyyyxyxyxy

14. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
14 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
Haciendo [1] + [2]: ()senzzxxyxyxyxy  
[5.14] Dada la función 22220zyzx , demostrar que 211zzxxyyz   
Solución:  22222222222222222102022222zzzxzyzzxxxyzyzzzzzxxxyzxzyzz       222222222222221020222zyzzyzyzzxyyzzzyzyzyyyzyzzyz      

15. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 15
 22222222221122yzzzyxxxyyyzyzzxzyzz    22222222222211222yzyzzzyzzzyzzzyzz    211zzxxyyz   
[5.15] Se considera la función (,)zzxy definida mediante la ecuación: 2122yxyzxx  
donde designa una función arbitraria diferenciable. Hallar de manera simplificada el valor de la expresión diferencial: ()
zzxyxyxy  
Solución:
Al derivar la ecuación respecto a x e y2242222422xzyzxyzxyxxxxx  

16. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
16 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
2122222yzzxzxyxyxyx  
y sustituir en la expresión diferencial: 4222222zzxyyzxxzxyxyxyxyxyxyxy   21(422)(22)2212212xxyyzyxxzxxyzxyzxyz [5.16] Sea la función (,)zfxy definida implícitamente por la relación:
22224611xyzxyz
Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie (,)zfxy en el punto (1,1,1)P
Solución:
La ecuación del plano tangente a una superficie en un punto es: 0000(,,)Pxyz
000000(,)()(,)()xyzzzxyxxzxyyy  22224611022260xDzzxyzxyzxzxx    1(26)22(1,1,1)03xzzxzxzxxz   22224611022460yDzzxyzxyzyzyy    2(26)24(1,1,1)3/43yzzyzyzyyz  
Por lo tanto, la ecuación del plano tangente a la superficie dada en P(1 es: ,1,1) 310(1)(1)443334704zxyzyyz

17. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 17
[5.17] Dada la función , donde 232uxyvx    calcular dz
Solución:
Aplicando la regla de la cadena: 22323222(4)2228422166216(3)6        zzuzdvvxuvvxuvxxyxxuxvdxxyxzzuvyxyyuy
Luego: 232(6216)6zzdzdxdyxyxdxxydyxy   
[5.18] Comprobar que 1()(zyfaxygaxy , donde fy son funciones arbitrarias diferenciables de segundo orden, es solución de la EDP: g 22222zazyxyyy  
Solución:
Derivando respecto de : 222()(;zafgzafgxyxy   
Derivando respecto de y: 22()(zfgfgz yfgyfgyyyy  
Por tanto: 2()()()(z yfgfgyfgyfgyy 
De donde: 22222()azafgy yyyy    

18. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
18 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
[5.19] Dada la función , demostrar que 30zxzy 2223(3) (3) zz xyzx   
Solución:
Derivando implícitamente respecto de ()x: 22230(3) 3zzzzzzzxzxzxxxx    [1]
Derivando implícitamente respecto de (: )y 2221310(3)13zzzzzxzxyyy    [2]
Derivando [1] respecto de ()y: 222222222(3)6(3) (3) 3(3)(3)(3) zzzzxzzzxzzzzyyy xyyxyzxzxzxzx   
[5.20] Si 23cossenrrxeye     calcular (,) (,) rxy   utilizando propiedades del jacobiano.
Solución:
Utilizaremos la propiedad: (,)1(,)(,) (,) rxyxyr       225252332cossen(,)2cos3sen(,)3sencosrrrrrrxxeexyreeyyreer       
52252(2cos3sen)(2sen)rree
Luego: 552(,)11(,)(,)(2sen)2sen(,) rrrexyxyer       

19. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 19

20. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
20 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
[5.21] Obtener los extremos locales de la función
32(,)6632fxyxyxyxy
Solución:
Se determinan los puntos críticos (valores que anulan a las derivadas parciales): 2323660(,)66322630fxyxfxyxyxyxyfyxy   21227275,5,6502263331,1,222xyPxxxyxyP  
Hallamos la matriz hessiana 2222226662ffxxxyHffyxy    
Y los dos menores preferentes 2126fHxx    266123662xHHx   
En 1275,2P  hay un mínimo local ya que 123006036240HH 271175,24f 
En 231,2P  hay un punto silla, 21236240H 311,24f 

21. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 21
[5.22] Determinar los extremos locales de la función f definida por:
442(,)24yyfxyexxe
Solución 00fffxy    3232428808()0(44)0440yyyyyyfxxexxexfeexexey  
342232220(4)040imposible8()00(44)04(1)010yyyyyyyyyyyxeeexxexeeeeeeey   
Como 2211yxexx
Se obtienen dos puntos críticos: 12(1,0)y(1,0)PP.
Hallamos la matriz hessiana 22224222224888164yyyyffxxyxexeH xeexffyxy  
Y los dos menores preferentes 22122422248(248)(164)(8) yyyyfHxexHHxeexxe    
En hay un mínimo local ya que 1(1,0)P1224816016.12641280HH
1,01f
En hay también un mínimo local, 2(1,0)P1224816024.12641280HH
1,01f

22. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
22 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
[5.23] Sea la función fdefinida por: 22(,)fxyxyxy donde  es un número real. Hallar los valores de de forma que la función f tenga extremos locales.
Solución 2202020202040(4) 2fxyxyxfyxyyyyyy    
02y
Si el punto 00yx1(0,0)P es un punto crítico 
Si 2yx los puntos 2(,)Pxx son puntos críticos x
Si 2yx los puntos 3(,)Pxx son puntos críticos x
Veremos si son extremos estudiando la matriz hessiana y los menores preferentes en cada uno de ellos. 22222222ffxxyHffyxy      21222204(2)(2fHxHH     
1) 1(0,0)P
Al ser estudiamos las diferentes posibilidades para según el valor de 10H2H
(1a) es un mínimo local 22040(2H2)1 P
(1b) no es un extremo sino un punto de silla 220402H21P
(1c) Si 222H y es un caso dudoso con este criterio, pero observamos que 222222(,)2( 2(,)2( fxyxyxyxyfxyxyxyxy    
y, en ambos casos, para todos los puntos (,)xy(0,0) de un entorno del origen se cumple que en (,)(0,0)0fxyf 1P hay un mínimo local

23. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 23
2) 22y(,)Pxx
mientras que 222(,)2()0fxyxyxyxy2()(,)0fPfxx en hay un mínimo local 2P
3) 32y(,)Pxx
mientras que 222(,)2()0fxyxyxyxy3()(,)0fPfxx en hay un mínimo local 3P
[5.24] Sean las funciones 1 y ff definidas por:
221(,),(,)1fxyxyfxyxy
Hallar los extremos locales de f condicionados por la ecuación . 1(,)0fxy
Solución
Consideramos la función auxiliar 22(,,)(1)Lxyxyxy 2210xy y buscamos los puntos críticos que cumplan la ecuación  22020222222222021222021212111xyLyyxxxyxyxLxxyxyxxyyxyxyxyxy     
Si 11donde 2212112donde 222yyxxyyx      
Si 11donde 2212112donde 222yyxxyyx      
luego los puntos críticos son:

24. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
24 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
121111, y ,2222PP  asociados al valor 12  341111, y , 2222PP  asociados al valor 1= 2 
Además, la matriz 11002ffAxy   es de rango 1 siempre que (,)(0,0)xy
Hallamos la matriz hessiana orlada: 11221222120022()221212ffxyxyfLLHLxxxxyyfLLyyxy     
Para 111, y = 222P  :
10221121180,22211HLP     Mínimo local condicionado 11, 222f  
Para 211, y = 222P  :
20221121180,22211HLP    Mínimo local condicionado 11, 222f  

25. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 25
Para 311, y = 222P  :
30221121180,22211HLP   Máximo local condicionado 11, 222f 
Para 411, y = 222P  :
40221121180,22211HLP     Máximo local condicionado 11, 222f  
[5.25] Hallar los extremos condicionados de la función 2(,)zxyxy , estando ligadas las variables x e y por la relación 1xyab .
Solución:
Consideramos la función Lagrangiana: 22(,,)1xyLxyxyab  
Igualando a cero las derivadas parciales de la función Lagrangiana y teniendo presente la condición 1(,)10xyfxyab  se obtienen los posibles extremos relativos: 2222222222120212021010210abLxxabxaaxaxbyLaybyyxyybabxyabxyabababab       
Además, la matriz 11001/1/ffAxy   es de rango 1 ya que

26. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
26 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao
Para determinar si el punto es máximo o mínimo se calcula el determinante de la matriz hessiana orlada en dicho punto: 11221222212001/1/ 22()1/2001/02ffxyabfLLHLaxxyxbbfLLyyxy       
La función tiene un mínimo local en el punto 222222,ababxyabab   condicionado por la ecuación 1xyab . Además, 222222222,abababzababab   
[5.26] Sean las funciones 1 y ff definidas por:
1(,,),(,,)8fxyzxyxzyzfxyzxyz
Hallar los extremos locales de f condicionados por la ecuación . 1(,,)0fxyz
Solución
Resolveremos el problema por el método de los multiplicadores de Lagrange.
Consideramos la función auxiliar (,,,)(8)Lxyzxyxzyzxyz 80xyz y buscamos los puntos críticos que cumplan la ecuación  0008LyzyzxLxzxzyLxyxyzxyz          888yzyzxzyzyzxzxyxzxzxyyzxzxzxyxyxyzxyzxyxyz        
3281xyzxyzx  
Obtenemos un sólo punto crítico, el (2,2,2)P asociado al valor 1

27. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 27
Además, la matriz 111000444fffAyzxzxyxyz   en el punto es de rango 1. (2,2,2)P
Hallamos la matriz hessiana orlada 11122212222122221200011() 101110fffxyzyzxzxyfLLLxxxyxzyzzHL xzzfLLLyyxyyzxyyxfLLLzzxzyz         
que evaluada en el punto ( es: 04444011() 41014110HL     
y los dos últimos menores preferentes: 1122132221200444011616320410ffxyfLLHxxxyfLLyyxy         4011110111648011011110HH    
cuyos signos coinciden con (-1)1=(-1)nº de condiciones
Se deduce que la función (,,)fxyzxyxzyz1(,,) tiene un mínimo local en el punto condicionado por la ecuación (2,2,2)80zfxyzxy

28. EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL
28 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao