Sistema de coordenadas

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
SANTIAGO MARIÑO
ASIGNATURA: MATEMÁTICA III
PROF: PEDRO BELTRAN SANTIAGO GUAIQUIRIAN
C.I: 26.385.646

INTRODUCCIÓN
 La presente presentacion tiene como objetivo el
desarrollo de los sistemas de coordenadas y los temas
que estan relacionados directa ó indirectamente con
estos
 Podremos identificar las características de un sistema de
ejes coordenados, así como de reconocer parejas
ordenadas, la igualdad entre ellas y su representación
gráfica. Este material nos dera de gran ayuda para
asociar la ubicación de puntos en mapas, dibujos,
juegos, entre otras situaciones de la vida, así como para
interpretar y presentar información de manera escrita
proveniente de diversos contextos, presentada en tablas
o gráficas (peso-talla, periódicos, internet, etc.) mediante
la utilización de parejas ordenadas en el plano
cartesiano.

 Sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o
más números (coordenadas) para determinar
unívocamente la posición de un punto u objeto
geométrico.1 El orden en que se escriben las
coordenadas es significativo y a veces se las identifica
por su posición en una tupla ordenada; también se las
puede representar con letras, como por ejemplo «la
coordenada-x». El estudio de los sistemas de
coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite
formular los problemas geométricos de forma
"numérica".
 Un ejemplo corriente es el sistema que
asigna longitud y latitud para localizar coordenadas
geográficas. En física, un sistema de coordenadas para

 El primero que expresó la posición de un punto en el
plano o en el espacio fue Descartes, por lo que se suele
referir a ellas como coordenadas cartesianas. Para
representar un punto en un plano, utilizó dos rectas
perpendiculares entre sí, d e forma que l a posición de el
punto se determinaba midiendo sobre los ejes las
distancias al punto.
 Sobre dichas rectas se definen definen vectores vectores
unitarios unitarios o versores perpendiculares entre sí
que son vectores de módulo unidad, que determinan una
base ortonormal.

COORDENADAS CARTESIANAS
 Un sistema de coordenadas cartesianas se
define por dos ejes ortogonales en un sistema
bidimensional y tres ejes ortogonales en un
sistema tridimensional, que se cortan en el
origen O.
 Las coordenadas de un punto cualquiera
vendrán dadas por las proyecciones del vector
de posición del punto sobre cada uno de los
ejes.

 Dado un vector del espacio tridimensional y tres
planos que se cortan en el punto de origen de r,
se definen las coordenadas cartesianas (x y z),
como las tres proyecciones ortogonales del
vector sobre las tres aristas aristas de
intersección de los planos perpendiculares; los
tres planos se identifican por yz, zx, xy
respectivamente.
 En un sistema de coordenadas cartesianas se
definen los versores (i, j, k) en la dirección de los
ejes x, y, z respectivamente.



 EN ESTE SISTEMA DE COORDENADAS, LA
POSICIÓN DE UN PUNTO P EN EL PLANO QUEDA
DETERMINADA MEDIANTE UNA PAREJA DE
NÚMEROS REALES ( X, Y) DE LOS CUALES EL
PRIMERO, X , REPRESENTA LA DISTANCIA DEL
PUNTO P AL EJE COORDENADO Y, EN TANTO QUE
EL SEGUNDO, Y , REPRESENTA LA DISTANCIA DEL
PUNTO P AL EJE X. ESTO SE REPRESENTA EN LA
FORMA:
LA DISTANCIA DE UN PUNTO AL
EJE Y SE LE LLAMA ABSCISA DEL
PUNTO, LA DISTANCIA DE UN
PUNTO AL EJE X SE LE LLAMA
ORDENADA DEL PUNTO.

REPRESENTACIÓN EN LOS EJES DE
COORDENADAS
 Los ejes de coordenadas dividen al plano en
cuatro partes iguales y a cada una de ellas se
les llama cuadrante.

EJEMPLO DE COORDENADAS
CARTESIANAS

COORDENADAS CILÍNDRICAS
Las coordenadas cilíndricas son una extensión del
sistema de coordenadas polares al espacio
tridimensional. Generalmente, en lugar de
utilizar x, y y z, se usan r, el ángulo theta y la
variable z, x o y. La última variable designa la
extensión máxima de una superficie. Para elegir que
variable dejar intacta, hay que observar la gráfica de
la función; la variable que no cambia es aquella
sobre cuyo eje abre la superficie.

 Las coordenadas cilíndricas r y ϕ son las
coordenadas polares de P medidas en el plano
paralelo XY que pasan por él, y las definiciones
de los vectores vectores unitarios y no cambian.
La posición de P perpendicular al plano XY se
mide por la coordenada z. Consideramos un
cilindro de radio R y altura H, la posición del
punto P viene dada por

 CONSIDERAMOS UN CILINDRO DE RADIO R Y
ALTURA H, LA POSICIÓN DEL PUNTO P VIENE
DADA POR:

 En el sistema de coordenadas cilíndricas un
punto P del espacio se representa por un trio
ordenado (r, , z), tal que:
 (r, ) es una representación polar de la proyección
de P en el plano XY.
 z es la distancia de (r, ) a P.
 r puede tomar los valores desde 0 a ∞. Los valores
de q estarán entre 0 y 2¶.

APLICACIÓN DEL SISTEMA DE
COORDENADAS CILINDRICAS

COORDENADAS CILINDRICAS
 Deducción de la fórmula del área de un círculo.

Ejemplos de coordenadas
cilindricas

SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS
 Coordenadas esféricas. En Matemáticas y más
específicamente, Geometría Analítica, dícese de la forma
de identificar un punto en el espacio
tridimensional colocado en la superficie de
una esfera con centro en el origen y radio determinado
mediante tres magnitudes: una distancia y
dos ángulos o (r,a,b) donde r, el radio de la esfera; a,
la longitud y la latitud es b ambos últimos expresados
en radianes de forma parecida a como se hace con las
coordenadas terrestres.
 Por lo general, suele obviarse el radio ya que éste suele
definirse de antemano, dejando solo las otras
dimensiones para caracterizar el punto en cuestión.
 La relación con la ubicación de puntos relativos por
ejemplo a la superficie terrestre es evidente, siendo vital
en la geografía y la navegación, así como de estrellas y

 Todo punto A en el espacio tridimensional puede
definirse mediante tres dimensiones (en la
imagen se identifica con la terna (r,a,b)):
 Una distancia radial r donde .
 Longitud ( ): La amplitud en radianes del
ángulo XOAx, en sentido antihorario, donde Ax es
la proyección del vector en el plano XOY.
 Latitud (b en la figura): La amplitud en radianes
del ángulo ZOA, .
 A esta forma de definir la posición de A se
denomina coordenadas esféricas de A.
 Es muy común convenir previamente el radio y
reducir las coordenadas solo a los ángulos
longitudinales y latitudinales, de forma que la
mayoría de las veces se expresa la coordenada
de un punto de la forma .
 A las circunferencias definidas de fijar el radio y la
latitud se les conoce como paralelos, cuyos planos
son paralelos a XOY y a las circunferencias
verticales definidas al dejar constantes las
magnitudes del radio y la longitud se les
llama meridianos.

COORDENADAS ESFERICAS
 Determinar la formula del volumen de una esfera:

COORDENADAS ESFERICAS

Ejemplos de coordenadas esfericas

Ecuacion general de la recta
 Ecuación general de la linea recta
La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A,
B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN
GENERAL de primer grado en las variables x e y.
La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos
excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la
forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción,
quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce
como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el
siguiente teorema:
 TEOREMA
La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R;
A y B no son simultáneamente nulos, representan una línea recta.

Demostración
 Caso 1 Se puede Considerar varios casos:
 A = 0, B diferente de 0.
 En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C =
0, de donde
La ecuación (2) representa
una línea recta paralela al
eje x y cuyo intercepto con
el eje y es:

Demostración
 Caso 2
En este caso, la ecuación (1) se transforma en
Ax + C = 0, de donde
(3)
La ecuación (3) representa una
línea recta paralela al eje y, y
cuyo intercepto con el eje x
es :

Demostración
 Caso 3 En este caso, la ecuación (1) puede escribirse
en la siguiente forma:
(4)
La ecuación (4) representa una
línea recta, cuya pendiente es y
cuyo intercepto con el eje viene
dado por

Observaciones
 Es posible escribir la ecuación general de la línea
recta en varias formas, de tal
manera que solo involucre dos constantes. Es decir,
si A, B y C son todos distintos de cero, podemos
escribir la ecuación (1), en las siguientes formas
equivalentes:
 Esto indica que para determinar la ecuación de una
recta en particular, necesitamos conocer dos
condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un
punto y la pendiente, en concordancia con lo
establecido en los numerales anteriores.

Funciones de varias variables
 El deseo de abordar problemas del mundo real, nos
conduce a tomar en cuenta que, en general,
cualquier situación o fenómeno requiere de más de
una variable para su precisa descripción. Por
ejemplo, el volumen de un cilindro depende del radio
de la base y de su altura; la posición de un móvil en
un momento determinado requiere para su exacta
especiación, además del tiempo, de las tres
coordenadas espaciales. Si adicionalmente se
requiere lavelocidad a la cual se desplaza,
tendremos una función vectorial f que a cada vector
de cuatro componentes (ubicación espacial y
tiempo) le asigna la velocidad
V del móvil en ese punto y en ese instante:
f(x; y; z; t) = v

 Observamos entonces que de acuerdo con la
situación especifica que queramos describir,
requerimos el tipo de función adecuada. Según si el
dominio D y el rango R son subconjuntos de R; R2 o
R3 las funciones se clasifican de la siguiente forma:
Función Nombre
En cada caso, donde aparece R3 lo podemos sustituir
por R2 y el nombre se conserva.

 Las denominaciones escalar o vectorial se refieren a
si la imagen de la función es un numero o es un
vector.
 Ejemplo: la función g esta definida por
g (x, y, z) = x2+y2-z
 Entonces el paraboloide circular z= x2+y2, mostrado
en la figura, es la superficie de nivel de g en 0. La
superficie de nivel de g en el numero k tiene la
ecuación z + k = x2 + y2 , un paraboloide circular
cuyo vértice es el punto (0,0 –k) sobre el eje z. en al
figura muestra las superficies de nivel para k igual a
-4,-2, 0, 2 y 4

 Ejemplo: Supongamos que tenemos una placa
metálica de grandes dimensiones.
La temperatura (en grados centígrados) de la
placa es función de las coordenadas de cada uno
de sus puntos y viene dada por:
T(x, y) = 500 - 0,6x2 - 1,5y2
Representación grafica de la
función T (x, y)

Método para hallar el dominio
 Para hallar el dominio despejamos (y) y analizamos
el comportamiento de (x). Al hacer este despeje
podemos considerar tres casos:
 i. La (x) hace parte del denominador de una fracción.
Dé un ejemplo.R: Sea la relación R = {(x, y) / 2xy -
3y - 5 = 0} definida en los Reales.
 ii. Despejar(y)

Método para hallar el dominio
 ¿Qué valores debe tomar (x) (en el denominador)
para que sea diferente de cero?
 R/:
Cómo se halla el dominio de una relación, cuando la
(x) queda en el denominador al despejar (y).R: Si al
despejar (y) en una expresión (en una relación),
encontramos que la (x) hace parte del denominador de
una fracción, entonces para determinar el dominio de
dicha relación hay que hacer que el denominador sea
diferente de cero y se despeja la (x).

Dominio de funciones de varias
variables
 Si recordamos el concepto de dominio que
vimos para las funciones reales y lo adaptamos
al contexto de las funciones de varias variables,
podemos dar como definición:
 Entendemos como dominio de una función de
varias variables aquellos puntos del espacio
origen para los cuales la función puede
evaluarse.
 Efectivamente si nos fijamos en los siguientes
ejemplos de funciones f:R2→R.

variables
 Ejemplo:
 Vemos que si queremos evaluar la función para el
caso (x,y)=(0,0) no podemos, puesto que nos
encontramos con una división por cero que no
puede efectuarse. Por lo tanto observamos que
existe un punto para el cual la funciónno es
evaluable. En este caso diremos que el dominio de
la función es el conjunto de los puntos del
espacio R2excepto el origen de coordenadas (0,0).
Representando el resultado del dominio por
exclusión tendremos que:
Dom f = R2-{(0,0)}

variables
 Ejemplo:
En este caso ya no anula al denominador sólo el punto (0,0).
Efectivamente, si estudiamos la ecuación de dos variables:
x2-y2=0
Tenemos que:
O sea, en este caso los puntos del espacio R2 para los que la
función no es evaluable son los que pertenecen a las
rectas y=x e y=-x, donde queda contemplado también el
punto (0,0). Con lo que daremos el resultado del dominio por
exclusión así:
Dom f = R2-{(x,y)∈R2 : y=x ; y=-x}

variables
 Cálculo de dominios
Para evaluar dominios en los casos de funciones de
varias variables contemplaremos los mismos casos
que los estudiados en el tema de funciones en R. La
diferencia radica sólo en que ahora las ecuaciones o
inecuaciones a resolver incorporarán más de una
variable, y su solución se corresponderá con un
conjunto de puntos del espacio origen de la función.
Ya hemos podido observar los casos en los
ejemplos anteriores.

Superficie esférica
 Ecuación de una
esfera
Una esfera o
superficie esférica
es el lugar
geométrico de los
puntos de
coodenadas (x, y, z)
del espacio cuya
distancia a un punto
fijo C(a, b, c) que es
el centro de la
esfera, es una

 Posiciones relativas de recta y esfera
Una recta respecto a una esfera puede estar
situada:
 Exterior: Si no tienen ningún punto en común
 Tangente: cuando la recta toca a la esfera en un
único punto
 Secante: cuando la recta corta a la esfera en dos
puntos

 Para averiguar cuál de las tres posiciones se
tiene hay que calcular el valor d del centro de la
esfera al plano y lo comparamos con el radio r de
la misma:
Ejemp
lo:
Si d>r es exterior
Si d=r es
tangente
Si d< r es secante

Superficie cilíndrica
 Las superficies cilíndricas son superficies generadas por
una recta, cuando se desplaza a través de una curva
plana, manteniéndose siempre paralela a sí misma.
 A dicha recta se la llama generatriz de la superficie y a la
curva, directriz.

 La ecuación de una superficie cilíndrica de
directriz G y generatriz d (paralela a u → (u1, u2, u3) y
que corta a la directriz en P0(x0, y0, z0)) se obtiene
reemplazando en la ecuación de la curva directriz las
coordenadas de P0, despejadas de la ecuación de d.
Entonces, si las ecuaciones de y son:
despejando las coordenadas de P0 y reemplazándolas
en la ecuación de se obtiene:
Eliminando t de las ecuaciones anteriores se
obtiene la ecuación de la superficie cilíndrica.

 Si las generatrices de una superficie cilíndrica son
perpendiculares al plano que contiene a su directriz,
dicha superficie se llama recta, en caso contrario,
oblicua.
 Si la curva directriz pertenece a un plano coordenado y
la generatriz es perpendicular a dicho plano la ecuación
tiene una forma particular, en la que no aparece la
variable que corresponde al eje paralelo a la generatriz.
Así, las ecuaciones pueden ser F(x, y) = 0, F(x, z) = 0 o
F(y, z) = 0.
 Por ejemplo, x2 + y2 = 1 y z = x2 son las superficies
cilíndricas rectas que se muestran a continuación:

Elipsoide
 Un elipsoide con centro en el origen y cuyos
ejes coinciden con los ejes de coordenadas tiene
de ecuación:
 Donde a, b y c son los semiejes dele elipsoide.

Hiperboloide de una hoja
 Un hiperboloide de una hoja con centro en el
origen y cuyos ejes coinciden con los ejes de
coordenadas tiene de ecuación:
 Donde a, b y c son los semiejes del hiperboloide.

Hiperboloide de dos hojas
 Un hiperboloide de dos hojas con centro en el
origen y cuyos ejes coinciden con los ejes de
coordenadas tiene de ecuación:
 Donde a, b y c son los semiejes del hiperboloide.

Paraboloide elíptico
 Un paraboloide elíptico cuyo eje coincide con
el eje de coordenadas Z tiene de ecuación:
 Donde a y b son los semiejes
del paraboloide elíptico.

Paraboloide hiperbolico
 Un paraboloide hiperbólico de eje Z tiene de ecuación:

CONCLUSIÓN
 La ubicación de puntos en un plano cartesianos resulta
de gran utilidad para el estudio de diferentes fenómenos
naturales y sociales para los cuales se hace necesario
presentar e interpretar información procesada en
gráficas. Asimismo determinar puntos simétricos
respecto a un punto te será muy útil en la ubicación de
puntos en mapas, dibujos, juegos, estructuras
arquitectonicas entre otras situaciones de la vida.

Bibliografía
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