Dokumen tersebut membahas tentang materi persamaan diferensial orde satu, termasuk persamaan diferensial eksak, faktor integral, solusi umum, dan pemanfaatannya dalam penyelesaian rangkaian listrik.

1. Kuliah III
Matematika Teknik I
Indra Jaya Mansyur
Rianindrajaya@yahoo.com

2. Materi I
Persamaan Diferensial
Orde Satu

3. Persamaan Diferensial Orde Satu
• Persamaan terpisahkan
• Persamaan yang dapat dijadikan berbentuk
terpisahkan
• Persamaan Diferensial Eksak
• Faktor Integral
• Solusi umum persamaan diferensial orde
satu
• Pemanfaatan PDL pada penyelesaian
Rangkaian Listrik

4. Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan diferensial yang berbentuk
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 (1)
disebut eksak bila bagian kiri adalah diferensial total
atau eksak
Terlihat bahwa PD itu eksak bila terdapat fungsi
u(x,y) sehingga
M
x
u
=
∂
∂ N
y
u
=
∂
∂
(a.) (b.)
(2)dy
y
u
dx
x
u
du
∂
∂
+
∂
∂
=
(3)

5. Persamaan Diferensial Eksak
Syarat Eksak: (4)
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
Solusi:
)(ykdxMu += ∫
)(xldyNu += ∫
(5)
(b)
(a)

6. Persamaan Diferensial Eksak
Contoh 1: Selesaikanlah xy’ + y + 4 = 0
Jawab:
Sesuaikan dengan bentuk (1)
(y + 4) dx + x dy = 0
yaitu M = y + 4 dan N = x
Terlihat bahwa
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
Jadi persamaannya adalah persamaan
diferensial eksak

7. Persamaan Diferensial Eksak
Contoh 1: Selesaikanlah xy’ + y + 4 = 0
Jawab:
Jadi
4
)(
)()(
+==+=
∂
∂
+=
+=+= ∫∫
yM
dx
dl
y
x
u
xlxy
xldyxxldyNu
4=
dx
dl
l = 4x + c
u = xy + 4x + c 4−=
x
c
y

8. Persamaan Diferensial Eksak
Contoh 2: Selesaikanlah
2 x sin 3y dx + 3 x2
cos 3y dy
= 0
Jawab:
yxN
dy
dk
yx
y
u
ykyx
ykdxyxykdxMu
3cos33cos3
)(3sin
)(3sin2)(
22
2
==+=
∂
∂
+=
+=+= ∫∫
2
arcsin
3
1
x
c
y =

9. Persamaan Diferensial Orde Satu
• Persamaan terpisahkan
• Persamaan yang dapat dijadikan berbentuk
terpisahkan
• Persamaan Diferensial Eksak
• Faktor Integral
• Solusi umum persamaan diferensial orde
satu
• Pemanfaatan PDL pada penyelesaian
Rangkaian Listrik

10. Faktor Integral
Kadang-kadang PD
P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 (1)
tidak eksak, tetapi dapat dibuat eksak
dengan jalan memperkalikannya dengan
suatu fungsi F(x,y) ( ≠ 0 ) yang disebut
faktor integral PD persamaan (1).

11. Faktor Integral
Contoh 1: Selesaikanlah x dy – y dx = 0
Jawab:
Persamaan diferensial ini tidak eksak. Faktor
integralnya adalah
sehingga diperoleh
y = c x
2
1
x
F =
0))(( 2
=





=
−
=−
x
y
d
x
dxydyx
dxydyxxF

12. Persamaan Diferensial Orde Satu
• Persamaan terpisahkan
• Persamaan yang dapat dijadikan berbentuk
terpisahkan
• Persamaan Diferensial Eksak
• Faktor Integral
• Solusi umum persamaan diferensial orde
satu
• Pemanfaatan PDL pada penyelesaian
Rangkaian Listrik

13. Solusi Umum
Persamaan Diferensial Orde Satu
Bentuk umum Persamaan Diferensial Linier (PDL)
ber-orde satu:
y’ + f(x) y = r(x) (1)
Jika r(x) =0 disebut homogen dan r(x) ≠ 0 disebut
tidak homogen.
y’ + f(x) y = 0 (2)
dapat diselesaikan dengan jalan memisahkan
variabel: dxxf
y
dy
)(−=
∫=
− dxxf
ecxy
)(
)(

14. Solusi Umum
Persamaan Diferensial Orde Satu
Solusi Persamaan Diferensial Linier (PDL) orde satu
tidak homogen adalah:
[ ]∫ += −
cdxreexy hh
)(
dimana
∫= dxxfh )(

15. Solusi Umum
Persamaan Diferensial Orde Satu
Contoh 1: Selesaikanlah y’ – y = e2x
Jawab:
Dari soal di atas diperoleh: f = -1 dan r = e2x
sehingga
diperoleh
∫ ∫ −=−== xdxdxfh
[ ] [ ] xxxxxxx
ceeceecdxeeexy +=+=+= ∫
− 22
)(

16. Solusi Umum
Persamaan Diferensial Orde Satu
Contoh 2: Selesaikanlah xy’ + y + 4 = 0
Jawab:
Sesuaikan dengan bentuk umum PDL
Dari soal di atas diperoleh:
dan
x
y
x
y
41
' −=+
x
f
1
=
x
r
4
−=
xe
xdx
x
dxfh
h
=
=== ∫ ∫ ||ln
1
4
41
)( −=





+





−= ∫ x
c
cdx
x
x
x
xy

17. Solusi Umum
Persamaan Diferensial Orde Satu
Contoh 3:
Selesaikanlah soal syarat awal berikut
y’ + y tan x = sin 2x y(0) = 1
Jawab:
Dari soal di atas diperoleh: f = tan x dan r = sin
2x = 2 sin x cos x, sehingga
xrexexe
xdxxdxfh
hhh
sin2;cos;sec
|sec|lntan
===
===
−
∫ ∫
[ ] xxccdxxxxy 2
cos2cossin2cos)( −=+= ∫

18. Solusi Umum
Persamaan Diferensial Orde Satu
Jawab 3:
Kenakan syarat awal y = 1 bila x = 0, yaitu:
1 = c – 2 atau c
= 3
Jadi jawabnya adalah:
y = 3 cos x – 2 cos2
x

19. Persamaan Diferensial Orde Satu
• Persamaan terpisahkan
• Persamaan yang dapat dijadikan berbentuk
terpisahkan
• Persamaan Diferensial Eksak
• Faktor Integral
• Solusi umum persamaan diferensial orde
satu
• Pemanfaatan PDL pada penyelesaian
Rangkaian Listrik

20. Pemanfaatan PDL pada
Penyelesaian Rangkaian Listrik
Contoh 1:
Suatu sistem listrik yang dapat dinyatakan sebagai
tahanan R yang dipasang seri dengan induktor L pada
sumber tegangan tetap v(t) tepat pada saat t = 0. Yang
ingin dicari adalah arus I(t) yang mengalir setelah
pemasangan tersebut. R dalam satuan ohm, L dalam
Henry, tegangan dalam volt dan waktu t dalam detik.
Jawab: ????

21. Pemanfaatan PDL pada
Penyelesaian Rangkaian Listrik
Jawab 1:
Model matematik rangkaian ini adalah
)()( tv
dt
di
LtRi =+ i(0) = 0
Hal 1: v(t) = E tetap dengan polaritas seperti pada gambar berikut
R
E L

22. Pemanfaatan PDL pada
Penyelesaian Rangkaian Listrik
Jawab 1 (cont.):
PDL menjadi
Solusi jawab umumnya adalah
L
E
i
L
R
dt
di
=+
at
atat
ec
R
E
L
R
acdte
L
E
eti
−
−
+=
=



+= ∫ ;)(
syarat awal i(0) = 0 maka jawab khususnya adalah
)1()( /τt
e
R
E
ti −
−=

23. Pemanfaatan PDL pada
Penyelesaian Rangkaian Listrik
Jawab 1 (cont.):
dimana (time-constant). Secara grafis i(t) dapat
digambarkan sebagai berikut.
i(t)
0 t

24. Pemanfaatan PDL pada
Penyelesaian Rangkaian Listrik
Jawab 1:
Hal 2 : v(t) = Vm sin ωt, maka jawab umum adalah




+= ∫
−
cdtte
L
V
eti atmat
ωsin)(
)sin()(
222
φω
ω
−
+
+= −
t
LR
V
ecti mat
dimana
R
L
L
R
a
ω
φ arctan, == φ
R
ω L
222
LR ω+

25. Pemanfaatan PDL pada
Penyelesaian Rangkaian Listrik
Jawab 1 (cont.):
t
0 π 3π 5π t0
i(t)
suku exponensial
transient
steady state

26. Pemanfaatan PDL pada
Penyelesaian Rangkaian Listrik
Contoh 2:
Rangkaian seri R dan C; R dalam ohm dan C dalam
Farad. Rangkaian dipasang pada sumber tegangan
v(t) pada saat t = 0 dan muatan awal kapasitor C
adalah nol
Jawab: ????

27. Terima Kasih