9. 合同”≡”は同値関係を形成する。
①a≡a mod m OK!
②a≡b mod m なら b≡a mod m OK!
③a≡b mod m ,b≡c mod m なら a≡c mod m OK!
この定義より、”=”や”∽”も同値です。
しかし≧は同値ではありません。
なぜなら②a≧bならb≧a を満たさないから。
12. 中国剰余定理
X≡a1 mod m1
X≡a2 mod m2
X≡a3 mod m3 (m1,m2,m3は互いに素)をみたす
最小のxを求める。
m=m1*m2*m3,
M1=m/m1,M2=m/m2,M3=m/m3 とするとき
Yi*Mi≡1mod mi (i=1,2,3)となるYiをもとめる。
すると、X=∑ai*yi*Mi mod m (1≦i≦3)となる。
15. 証明
Yi*Mi≡1mod mi より両辺にaiをかけて
aiYiMi≡ai mod mi ①
miはMj(i≠j)の約数になるので
Mjの倍数はmiで割り切られます。
つまり、ajYjMj ≡0 mod mi
よって、∑ ajYjMj ≡0 mod mi (I≦j≠i≦n) ②
∴x=①+②= aiYiMi+ ∑ ajYjMj (I≦j≠i≦n)
= ∑ aiYiMi(I≦i≦n)≡ai mod mi
37. 例:Aさんの公開鍵(p.q.A)=(23,7,4),秘密鍵a=6
(7の6乗 mod 23 =4 となる。117649÷23 =5115…4)
平文7をBさんはb=3を使い暗号化
B=g^3 mod p =21
c=A^b*m mod p =11 (21,11)をAさんに送信
AさんはB^(p-1-6)*c mod p =7
よってAさんはBさんからの平文を得た。