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Semelhante a [PRML] パターン認識と機械学習（第3章：線形回帰モデル）
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[PRML] パターン認識と機械学習（第3章：線形回帰モデル）
- 3. 【目次】第三章：線形回帰モデル 3.1 線形基底モデル 3.1.1 最尤推定と最小二乗法 3.1.2 最小二乗法の幾何学 3.1.3 逐次学習 3.1.4 正則化最小二乗法 3.1.5 出力変数が多次元の場合 3.2 バイアス‐バリアンス分解 3.3 ベイズ線形回帰 3.3.1 パラメータの分布 3.3.2 予測分布 3.3.3 等価カーネル 3
- 4. 【目次】第三章：線形回帰モデル 3.4 ベイズモデル比較 3.5 エビデンス近似 3.5.1 エビデンス関数の評価 3.5.2 エビデンス関数の最大化 3.5.3 有効パラメータ数 3.6 固定された基底関数の限界 4
- 5. 3.1 線形基底関数モデル 入力変数に関して非線形な線形結合を考えることで、単純な線形 回帰モデルを拡張 y(x, w) = w ϕ (x) =w ϕ(x) パラメータwに関して線形、入力データxに対して非線形 ϕを基底関数と呼ぶ j=0 ∑ M−1 j j ⊤ 5
- 7. 多項式基底関数 ϕ (x) = xj j 7
- 8. ガウス基底関数 ϕ (x) = exp − 単峰性であることから、局所性を持つという j { 2s2 (x − μ )j 2 } 8
- 9. シグモイド基底関数 σ(a) = 1/ 1 + exp(−a) をロジスティックシグモイド関数と するとき、 ϕ (x) = σ { } j ( s x − μj ) 9
- 10. 3.1.1 最尤推定と最小二乗法 目標関数tが決定論的な関数y(x, w)と加法性のガウスノイズの和 で与えられると仮定する t = y(x, w) + ϵ ϵの尤度は次式で表せる p(t∣X, w, β) = N(t∣y(x, w), β )−1 10
- 11. 線形基底関数における対数尤度関数の最 大化 前式の尤度関数 p(t∣X, w, β) = N(t ∣w ϕ(x ), β ) wに関して最大化したものを0とおいて解く ∇ ln p(t∣w, β) = β t −w ϕ(x ) ϕ(x ) = 0 ただし、E (w) = t −w ϕ(x ) を誤差関数とし て定義する n=1 ∏ N n ⊤ n −1 n=1 ∑ N { n ⊤ n } n ⊤ D 2 1 ∑n=1 N { n ⊤ n }2 11
- 12. 計画行列 最小二乗問題の正規方程式 w = (Φ Φ) Φ t N × M 行列 Φ を計画行列と呼ぶ Φ = ML ⊤ −1 ⊤ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ϕ (x )0 1 ϕ (x )0 2 ⋮ ϕ (x )0 N ϕ (x )1 1 ϕ (x )1 2 ⋮ ϕ (x )1 N ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ϕ (x )M−1 1 ϕ (x )M−1 2 ⋮ ϕ (x )M−1 N ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 12
- 13. ムーア・ペンローズの擬似逆行列 行列 Φ を行列 Φ のムーア・ペンローズの逆擬似行列と呼ぶ Φ = (Φ Φ) Φ 一般の逆行列の概念の非正方行列への拡張 逆行列を持たない行列であっても近似的な解を導出可能 [参考] 大人になってからの再学習 一般逆行列・ムーア・ペンロー ズ逆行列 http://zellij.hatenablog.com/entry/20120811/p1 † † ⊤ −1 ⊤ 13
- 14. 3.1.2 最小二乗法の幾何学 それぞれの基底関数を N 次元ベクトル φとみなすとき、最小二乗 回帰関数 y はデータベクトル t の基底関数ϕ (x)で張られる線形 部分空間 S 上への正射影となる j 14
- 15. 3.1.3 逐次学習 確率的勾配降下法により、データ点を一度に一つだけ用いてモデ ルのパラメータを更新 w =w − η∇E 二乗和誤差関数の場合（LMS﴾Least Mean Square﴿アルゴリズム） w =w − η(t −w ϕ )ϕ (τ+1) (τ) n (τ+1) (τ) n (τ)⊤ n n 15
- 18. 3.2 バイアス・バリアンス分解 過学習の問題 基底関数の数を限定するとモデルの表現能力が限られる 正則化項の導入は正則化係数の適切な値を求める必要がある ⇒ ベイズアプローチによるパラメータの周辺化が解決 その前に... ⇒ 頻度主義の立場からバイアスとバリアンスの概念からモデルの 複雑さを考える 18
- 19. 期待二乗損失 関数値 y(x)，最適値 h(x)，目標変数 tによる期待二乗損失 E(L) = y(x) − h(x) p(x)dx + h(x) − t p(x, t)dxdt 第一項は誤差 第二項はデータに含まれる本質的なノイズ ∫ { }2 ∫ ∫ { }2 19
- 20. 期待二乗損失の詳細 前式を分解 E(L) = (Bias) + variance + Noise ただし、 (Bias) = E [y(x; D)] − h(x) p(x)dx variance = E y(x; D) −E [y(x; D) p(x)dx noise = h(x) − t p(x, t)dxdt 2 2 ∫ { D }2 ∫ D[{ D }] ∫ ∫ { }2 20
- 24. バイアスとバリアンスに関する誤差値 予測性能が最適なモデルとは、バイアスとバリアンスをバランス 良く小さくするモデル ⇒ 最適な正則化パラメータ λ を選択することを意味し、テスト誤 差を最小化する 24
- 26. 3.3.1 パラメータの分布 モデルパラメータ w の事前確率分布を導入し、線形回帰モデルの ベイズアプローチを説明する 共役事前分布（期待値 m ，共分散 S ） p(w) = N(w∣m ,S ) 事後分布（m =S (S m + βΦ t)，S =S + βΦ Φ） p(w∣t) = N(w∣m ,S ) 最頻値は期待値と一致すること（ガウス分布による性質）から、 事後確率を最大にする重みベクトルはw =m となる 0 0 0 0 N N 0 −1 0 ⊤ N −1 0 −1 ⊤ N N MAP N 26
- 27. 3.3.1 パラメータの分布 議論の簡潔化のため、以降では事前分布を次式の等方的ガウス分 布とする p(w∣α) = N(w∣0, α I) そのとき、事後分布は次式で与えられる p(w∣t) = N(w∣m ,S ) m = βS Φ t S = αI + βΦ Φ −1 N N N N ⊤ N −1 ⊤ 27
- 28. 逐次ベイズ学習の例 1次元の入力変数xと1次元の目標変数を考え、次式の線形モデルを 用いる y(x, w) = w + w x 関数 f(x, a) = a + a x とする（a = 0.3，a = 0.5） 目標値 t は 一様分布 U(x∣ − 1, 1) から選ばれた x を f(x , a) を評価し、標準偏差 0.2 のガウスノイズを加える 0 1 0 1 0 1 n n n 28
- 31. 3.3.2 予測分布 パラメータ wの値ではなく、新しい入力データxの値に対する目 標変数tを予測する分布 p(t∣t, α, β) = p(t∣w, β)p(w∣t, α, β)dw = N(t∣m ϕ(x), σ (x)) ただし、 σ (x) = + ϕ(x) S ϕ(x) 右辺第一項：データに含まれるノイズ 右辺第二項：パラメータ w に関する不確かさ ∫ N ⊤ N 2 N 2 β 1 ⊤ N 31
- 33. 3.3.3 等価カーネル 線形基底関数モデルのパラメータ w を最適化したモデルを導出す ることを考える y(x, w) =w ϕ(x) w =m =S (S m + βΦ t) 上二式から、式導出 y(x,m ) =m ϕ(x) = βϕ(x) S ϕ(x )t = k(x,x )t ここで、等価カーネル k(x,x ) を次式で定義する k(x,x ) = βϕ(x) S ϕ(x ) ⊤ MAP N N 0 −1 0 ⊤ N N ⊤ ⊤ N n n n n ′ ′ ⊤ N ′ 33
- 34. ガウス基底関数に対する等価カーネル ガウス基底関数に対する等価カーネル k(x, x ) 右図の横軸は x 、縦軸は x に対応する (−1, 1)の区間の等間隔の200点の x の値からなるデータ集合 に基づく ′ ′ 34
- 35. 等価カーネルの役目 y(x) と y(x ) の共分散を導出（確率分布 p は共分散の計算時に 使用） p(w∣t) = N(w∣m ,S ) k(x,x ) = βϕ(x) S ϕ(x ) 上二式から、 cov y(x), y(x ) = cov[ϕ(x) w,w ϕ(x )] = ϕ(x) S ϕ(x ) = β k(x,x ) ⇒ 近傍点での予測平均は互いに強い相関を持ち、より離れた点の 組では相関は小さくなる ′ N N ′ ⊤ N ′ [ ′ ] ⊤ ⊤ ′ ⊤ N ′ −1 ′ 35
- 37. モデルエビデンスとは モデルの尤もらしさを示す値（手元にあるデータ集合 D が生成さ れる確率） p(D∣M ) = p(D∣w,M )p(w∣M )i ∫ i i 37
- 38. ベイズモデル比較のための仮定 以下4つを仮定する L 個のモデル M (i = 1, ⋯ , L) は観測されたデータ D 上の確率分布 分布 p は目標ベクトルtの集合上に定義される 入力値集合 X は既知 データ D はこれらのモデルのどれかに従って生成される { i} 38
- 39. モデルエビデンスの近似 事後分布が最頻値w の近傍で鋭く尖っているとき、全体の積 分は幅 Δw と最大値の積で近似可能 MAP post 39
- 40. パラメータが一つのみのモデル パラメータwに関する積分の単純近似によりモデルエビデンスを 解釈する p(D) = p(D∣w)p(w)dw ⋍ p(D∣w ) 対数をとる ln p(D) ⋍ ln p(D∣w ) + ln 第一項：一番尤もらしいパラメータ値によるデータへのフィ ッティングの度合い 第二項：モデルの複雑さに基づくペナルティ ∫ MAP Δwpre Δwpost MAP Δwpre Δwpost 40
- 41. パラメータが複数あるモデル 全てのパラメータが同じΔw /Δw を持つとする ln p(D) ⋍ ln p(D∣w ) + M ln モデルの適応パラメータMが増加することに比例し、複雑な モデルに対するペナルティが増加 post pre MAP Δwpre Δwpost 41