Memprediksi harga sayur menggunakan interpolasi, mata kuliah Matematika Teknik

1. MEMPREDIKSI HARGA SAYUR MENGGUNAKAN INTERPOLASI
Rini Indra Wati, Rizka Khumairoh
rini.indra@yahoo.com, rizkakhumairoh@ymail.com
ABSTRACT
Lately the demand for information is increasing. Information needed in quick
period and also accurate. This information will be helpful in many sectors. One of them is
economic sector. Some accuracy and speed of information in the economy use
mathematical sciences. The purpose in writing this article is to predict the price of
vegetables in the market by utilizing interpolation mathematics. The five samples of
vegetable prices will be calculated using the mathematical sciences polynomial
interpolation. The calculation result will be obtained from the variable 푦푘 and 푥푘 . With the
results obtained, the results show that the price of vegetables of the day-to day have
certain patterns. With the patterns so that they can be solved by interpolation. Estimated
price of vegetables will help in economic activity so all components or individuals involved
in the transaction of vegetables will be able to take appropriate measures, with an
estimate on vegetable prices that will be come.
Keywords: interpolation, vegetables, estimate
INTISARI
Akhir-akhir ini tuntutan akan informasi semakin tinggi. Dibutuhkan informasi
dalam jangka waktu yang cepat dan juga akurat. Adanya informasi ini akan sangat
membantu dalam berabagai sektor kehidupan, salah satunya adalah sektor ekonomi.
Keakuratan dan kecepatan informasi dalam dunia ekonomi salah satunya dengan
memanfaatkan ilmu matematika.
Tujuan dalam penulisan artikel ini adalah memprediksi harga sayur di pasaran
dengan memanfaatkan ilmu matematika interpolasi. Adapun lima sampel harga sayur,
akan dihitung dengan menggunakan ilmu matematika interpolasi polinomial. Hasil
perhitungan akan didapat dari variabel 푦푘 dan 푥푘 .
Dengan hasil yang didapatkan, hasilnya menunjukkan bahwa harga sayur dari
hari ke hari mempunyai pola-pola tertentu. Dengan adanya pola-pola tersebut sehingga
dapat dipecahkan dengan interpolasi. Perkiraan harga sayur ini akan membantu dalam
sektor ekonomi, sehigga semua komponen atau individu yang terlibat dalam transaksi
sayur-mayur akan dapat mengambil langkah yang tepat, dengan mengetahui perkiraan
harga sayur yang akan datang.
Kata kunci: interpolasi, sayur, perkiraan/prediksi

2. PENDAHULUAN
1. Latar belakang
Kebutuhan akan pemenuhan gizi merupakan hal yang harus terpenuhi bagi
setiap orang. Salah satunya dengan mengkonsumsi sayuran karena sayur
merupakan sumber nutrisi yang mengandung vitamin dan mineral yang diperlukan
bagi tubuh. Oleh karena itu, kebutuhan akan pemenuhan sayur ini tidak dapat
diabaikan begitu saja. Faktor-faktor yang mempengaruhi tinggi rendahnya konsumsi
sayur dipengaruhi oleh harga. Fluktuasi yang terjadi akhir-akhir ini diakibatkan oleh
kegagalan petani dan pedagang sayuran dalam mengatur pasokan yang sesuai
dengan permintaan konsumen. Semakin tinggi harga sayur, maka permintaan
konsumen pun akan sedikit sehingga konsumsi akan makanan yang kaya nutrisi ini
akan turun. Akan tetapi seballiknya, jika harga sayur makin rendah maka permintaan
konsumen pun akan meningkat. Sehingga kebutuhan akan bahan pangan yang
kaya akan nutrisi tersebut akan terpenuhi.
Di era globalisasi seperti sekarang ini, tingkat fluktuasi harga sangat tinggi.
Dan untuk mengendalikan harga pasar dan memprediksi harga sayur yang tidak
tentu, diperlukan sebuah rumus matematika salah satu caranya yaitu dengan
menggunakan interpolasi.
2. Batasan Masalah
Karena keterbatasan waktu dan agar pembahasan tidak menyimpang dari
tujuan, maka penulis perlu membatasi masalah sebagai berikut:
1) Pembahasan tentang interpolasi linier,
2) Pembahasan tentang interpolasi kuadratik
3) Pembahasan tentang interpolasi lagrange
4) Dan memprediksi harga dengan menggunakan polinomial
3. Tujuan
Tujuan dari penulisan artikel ini adalah sebagai berikut:
1) Memecahkan masalah dengan menggunakan rumus matematika,
2) Memprediksi harga sayur mayur,
3) Mengendalikan harga pasar.

3. TINJAUAN PUSTAKA
Dalam pengertian matematika dasar, interpolasi merupakan suatu pendekatan
numerik yang perlu dilakukan, bila kita memerlukan nilai suatu fungsi 푦 = 푦(푥) yang tidak
diketahui perumusannya secara tepat, pada nilai argumen 푥 tertentu, bila nilainya pada
argumen lain disekitar argumen yang diinginkan diketahui.
Macam-macam interpolasi:
1. Interpolasi Linier
Misalkan kita mempunyai 푚 buah data 푥, dan tiap-tiap 푥 mempunyai pasangan y,
yang merupakan fungsi 푥, dengan perkataan lain y = f(x). Untuk suatu harga 푥̅
dengan 푥̅ terletak diantara dua nilai, 푥 yang ada pada himpunan data, misalnya.
푥푘 < 푥̅ < 푥푘+1
Interpolasi linier untuk meramalkan nilai y= f(푥̅) dapat dilakukan dengan
menganggap bahwa 푦푘 dan 푦푘+1 dihubungkan oleh suatu garis lurus, seperti
gambar berikut.
푥푘 푥푘+1
푦푘+1
푦̅
푦푘
푥̅
Secara geometrik, peramalan garis L yang menghubungkan titik (푥푘 , 푦푘 ) dengan
titik (푥푘+1, 푦푘+1) dapat dinyatakan oleh persamaan :
푦 = 푦푘 +
푦푘+1 − 푦푘
푥푘+1 − 푥푘
(푥 − 푥푘 ) ... (1)
Sehingga
푦̅ = 푦푘 +
푦푘+1 − 푦푘
푥푘+1 − 푥푘
(푥̅ − 푥푘 ) ... (2)
2. Interpolasi kuadratik
Misanya kita menginterpolasi pada titik, dimana 푥푘 ≤ 푥 ≤ 푥푘+1. Kita pilih tiga titik
(푥푘−1, 푦푘−1), (푥푘 , 푦푘 ), dan(푥푘+1, 푦푘+1). Akan ditentukan persamaan kuadrat yang
melalui tiga titik tersebut.
Dalam hal ini disebelah kanan titik yang akan diinterpolasi ada satu data,
sedangkan disebelah kiri ada dua data. Cara sebaliknya juga dapat digunakan.

4. Interpolasi kuadratik
Bentuk umum polinomial yang berbentuk persamaan persamaan kuadrat x adalah:
푝(푥) = 푎0 + 푎1푥 + 푎2푥2 ... (3)
Koefisien persamaan (5.14) akan ditentukan sehingga polinom tersebut melalui
tiga titik data yang kita ambil. Jadi, untuk 푥 = 푥푘−1:
2 ... (4)
푦푘−1 = 푎0 + 푎1푥푘−1 + 푎2푥푘−1
Dengan cara yang sama untuk 푥 = 푥푘 dan 푥 = 푥푘+1
2 ... (5)
푦푘 = 푎0 + 푎1푥푘 + 푎2푥푘
2 ... (6)
푦푘+1 = 푎0 + 푎1푥푘+1 + 푎2푥푘+1
Persamaan (4), (5), dan (6) adalah tiga persamaan linier dengan variabel 푎0, 푎1, 푎2.
Untuk membuktikan bahwa persamaan (4), (5), dan (6) mempunyai jawaban unik,
kita tinjau persamaan homogennya.
2 = 0
푎0 + 푎1푥푘−1 + 푎2푥푘−1
2 = 0 ... (7)
푎0 + 푎1푥푘 + 푎2푥푘−1
2 = 0
푎0 + 푎1푥푘+1 + 푎2푥푘+1
Jika jawaban persamaan (5) ada, paling tidak ada satu koefisien a yang tidak
nol, dan jika jawaban tersebut kita subtitsikan ke persaman (7) maka akan kita
dapatkan polinom pangkat dua dengan tiga akar, yaitu 푥푘−1, 푥푘 , 푥푘+1. karena
persamaan kuadrat hanya memiliki dua akar saja, maka jawaban nol trival
persamaan (7) tidak ada. Jadi persamaan (7) mempunyai jawaban unik.
Untuk menyelesaikan persaman (4), (5). (6), kita tentukan tiga persamaan
kuadrat baru.
휋푘−1 = (푥 − 푥푘 )(푥 − 푥푘+1)

5. 휋푘 = (푥 − 푥푘−1)(푥 − 푥푘+1) ... (8)
휋푘+1 = (푥 − 푥푘 )(푥 − 푥푘+1)
Karena kita tahu 푥푖 adalah diskret, maka
휋푘−1(휋푘−1) ≠ 0
휋푘 (휋푘 ) ≠ 0 ... (9)
휋푘+1(휋푘+1) ≠ 0
Sedangkan
휋푘−1(휋푘 ) = 휋푘−1(푥푘+1) = 0
휋푘 (휋푘+1) = 휋푘 (푥푘+1) = 0 ... (10)
휋푘+1(휋푘 ) = 휋푘+1(푥푘−1) = 0
Sedangkan kita tuliskan 푃(푥) sebagai kombinasi linier dari tiga fungsi 휋 tersebut.
푃(푥) = 푏푘−1휋푘−1 + 푏푘휋푘 + 푏푘+1휋푘+1 ... (11)
Persamaan (11) juga merupakan bentuk umum polinom kuadrat.
Dengan memasukkan 푥 = 푥푘+1 pada persaman (11) kita dapatkan
푦푘−1 = 푏푘−1휋푘−1(푥푘−1)
Dengan cara yang sama diperoleh
푦푘 = 푏푘휋푘 (푥푘 )
푦푘+1 = 푏푘+1휋푘+1(푥푘+1)
Dengan demikian harga 푏 pada persamaan (11) dapat ditentukan.
Persamaan (11) dapat dituliskan menjadi
푃(푥) = 푦푘−1
휋푘−1(푥)
휋푘−1(푥푘−1)
+ 푦푘
휋푘(푥)
휋푘(푥푘)
+ 푦푘+1
휋푘+1(푥)
휋푘+1(푥푘+1)
... (12)
3. Interpolasi Lagrange
Pada interpolasi lagrange kita menggunakan n tititk, dan akan ditentukan polinom
derajat n-1 yang melalui n titik tersebut.pemilihan titik-titik yang akan digunakan
harus diperhatikan, karena mungkin akan timbul galat akibat ketidaktepatan
pemilihan titik-titik yang dipakai.
Anggap kita mempunyai n data (푥1, 푦1), (푥2, 푦2), … . . , (푥푛 , 푛)
Persamaan umum polinom pangkat n-1 adalah:
푃(푥) = 푎0 + 푎1푥 + 푎2푥2 + ⋯ + 푎푛−1푥푛−1
... (13)
Polinom ini akan melalui n titik, maka
2 + ⋯ + 푎푛−1푥푛−1
푦1 = 푎0 + 푎1푥1 + 푎2푥1
2 + ⋯ + 푎푛−1푥푛−1
푦2 = 푎0 + 푎1푥2 + 푎2푥2
2 + ⋯ + 푎푛−1푥푛−1
푦푛 = 푎0 + 푎1푥푛 + 푎2푥푛

6. Pengaruh pemilihan titik yang digunakan
Dengan cara serupa pada interpolasi kuadratik dapat ditunjukkan bahwa
푎0, 푎1, … , 푎푛adalah unik. Untuk menyelesaikan persamaan (11), didefinisikan
polinom-polinom derajat n − 1 sebagai berikut:
푝1(푥) = (푥 − 푥2)(푥 − 푥3) … (푥 − 푥푛 )
푝2(푥) = (푥 − 푥1)(푥 − 푥3) … (푥 − 푥푛 )
.
.
.
푝푘 (푥) = (푥 − 푥1) … (푥 − 푥푘−1)(푥 − 푥푘 ) … (푥 − 푥푛 )
.
.
.
푝푛 (푥) = (푥 − 푥1)(푥 − 푥2) … (푥 − 푥푛−1)
Secara ringkas
푝푖 (푥) = Π (푥 − 푥푗 ) 푛푗
=1
푗≠1
, 푖 = 1 ℎ푖푛푔푔푎 푛 ... (14)

7. HASIL DAN PEMBAHASAN
Tabel 1. Harga Sayuran dalam Periode Tertentu
Tanggal Jenis Sayuran
Kentang Sawi Cabai Tomat Bawang
Merah
1 5009 1050 5000 1553 10023
2 5010 1053 5001 1554 10028
3 5019 1056 5005 1556 10034
4 5044 1062 5014 1560 10045
5 5099 1070 5030 1567 10065
6 5180 1080 5055 1578 10098
7 5301 1092 5091 1519 10148
8 5470 1106 5139 1541 10219
Barangkali 푦푘 yang menghilang akan kita prediksi tersebu dapat saja sembarang
bilangan, tetapi proses perhitungan menunjukkan selisih-selisih yang kuat ke arah
polinomial, yang menyarankan bahwa delapan 푦푘yang diberikan dan kedua bilangan 푦푘
yang akan diramalkan semuanya termasuk ke dalam polinomial seperti itu.
Untuk menghitung harga kentang pada tanggal 9 dan 10, yaitu:
Kentang (푥푘 ) 5009 5010 5019 5044 5099 5180 5301 5470
Tgl (푦푘) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5009 5010 5019 5044 5099 5180 5301 5470 5695 5984
1 9 25 49 81 121 169 225 289
8 16 24 32 40 48 56
8 8 8 8 8 8
Dengan menambahkan lagi dua bilangan 8 kepada baris dari selisih-selisih ketiga, maka
dengan cepatnya kita membekalkan sebuah bilangan 56 dan sebuah bilangan 64
kepada baris dari selisih-selisih kedua, dan sebuah bilangan 225 dan bilangan 289
sebagai selisih-selisih pertama yang baru, dan kemudian meramalkan 푦9 = 5695, 푦10 =
5984.

8. Untuk menghitung harga sawi pada tanggal 9 dan 10, yaitu:
Sawi (푥푘 ) 1050 1052 1055 1075 1096 1127 1170 1227
Tgl (푦푘) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1050 1052 1055 1062 1075 1096 1127 1170 1227 1300
1 3 7 13 21 31 43 57 73
2 4 6 8 10 12 14 16
2 2 2 2 2 2 2
Dengan menambahkan lagi dua bilangan 2 kepada baris dari selisih-selisih ketiga, maka
dengan cepatnya kita membekalkan sebuah bilangan 14 dan sebuah bilangan 16
kepada baris dari selisih-selisih kedua, dan sebuah bilangan 57 dan bilangan 73 sebagai
selisih-selisih pertama yang baru, dan kemudian meramalkan 푦9 = 1227, 푦10 = 1300.
Untuk menghitung harga cabai pada tanggal 9 dan 10, yaitu:
Cabai (푥푘 ) 5000 5001 5005 5014 5030 5055 5091 5139
Tgl (푦푘) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5000 5001 5005 5014 5030 5055 5091 5139 5203 5281
1 4 9 16 25 36 48 64 81
3 5 7 9 11 12 16 17
2 2 2 2 2 2 2
Dengan menambahkan lagi dua bialangan 2 kepada baris dari selisih-selisih ketiga,
maka dengan cepatnya kita membekalkan sebuah bilangan 16 dan sebuah bilangan 17
kepada baris dari selisih-selisih kedua, dan sebuah bilangan 64 dan bilangan 81 sebagai
selisih-selisih pertama yang baru, dan kemudian meramalkan 푦9 = 5203, 푦10 = 5281.
Untuk menghitung harga tomat pada tanggal 9 dan 10, yaitu:
Tomat (푥푘 ) 1553 1554 1556 1560 1567 1578 1519 1541
Tgl (푦푘) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1553 1554 1556 1560 1567 1578 1519 1541 1570 1607
1 2 4 7 11 16 22 29 37
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1 1
Dengan menambahkan lagi dua bilangan 1 kepada baris dari selisih-selisih ketiga, maka
dengan cepatnya kita membekalkan sebuah bilangan 7 dan sebuah bilangan 8 kepada
baris dari selisih-selisih kedua, dan sebuah bilangan 29 dan bilangan 37 sebagai selisih-selisih
pertama yang baru, dan kemudian meramalkan 푦9 = 1570, 푦10 = 1607.

9. Untuk menghitung harga bawang merah pada tanggal 9 dan 10, yaitu:
B.Merah(푥푘 ) 10023 10028 10034 10045 10065 10089 10148 10219
Tgl (푦푘) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10023 10028 10034 10045 10065 10098 10148 10219 10344 10502
5 6 11 20 33 50 71 96 125
1 5 9 13 17 21 25 29
4 4 4 4 4 4 4
Dengan menambahkan lagi dua bilangan 4 kepada baris dari selisih-selisih ketiga, maka
dengan cepatnya kita membekalkan sebuah bilangan 29 dan sebuah bilangan 33
kepada baris dari selisih-selisih kedua, dan sebuah bilangan 96 dan bilangan 125
sebagai selisih-selisih pertama yang baru, dan kemudian meramalkan 푦9 = 10.344, 푦10 =
10.502.
KESIMPULAN
Dalam ilmu matematika, kita dapat memecahkan masalah yang terjadi pada
kehidupan sehari-hari, salah satunya dengan memprediksi harga sayur. Dengan adanya
perkiraan harga sayur, maka setiap orang yang berkaitan dengan transaksi sayur mayur
seperti petani, pedagang, distributor, dll dapat mengambil langkah yang tepat sehingga
memperoleh hasil yang memuaskan.
DAFTAR PUSTAKA
Djodjodihardjo, Harijono. 2000. Metode Numerik. Jakarta: PT. Gramedia pustaka Utama.
Scheid, Francis. 1992. Teori dan Soal-Soal Analisis numerik. Jakarta: Erlangga.
BIODATA PENULIS
Nama Lengkap : Rini Indra Wati
Tempat / Tanggal Lahir : Pasuruan / 03 November 1993
Alamat lengkap : Jl. Jombang 1B No. 16, Malang
E-mail : rini.indra@yahoo.com
Asal S1, Bidang Ilmu : Pendidikan Teknik Informatika, Universitas Negeri
Malang
Spesialisasi dan minat keilmuan : Informatika
Nama Lengkap : Rizka Khumairoh
Tempat / Tanggal Lahir : Pasuruan / 01 Agustus 1993
Alamat lengkap : Jl. Jombang 1A No. 41, Malang
E-mail : rizkakhumaroh@ymail.com
Asal S1, Bidang Ilmu : Pendidikan Teknik Informatika, Universitas Negeri
Malang
Spesialisasi dan minat keilmuan : Informatika