Introduccion teoriade señales

©Victor Moisés Hernández Cham hdezcham@unex.es
TEMA 1
INTRODUCCIÓN A LA
TEORÍA DE LA SEÑAL

.
1.2
Sistemas de Transmisión de Datos
1.ELEMENTOS BÁSICOS DE UN SISTEMA DE COMUNICACIÓN
Un sistema de comunicación básico está compuesto por:
- fuente
- canal de comunicaciones
- destino.
Se denomina FUENTE a un ente o dispositivo que genera información. La
característica es que emite señales. No tiene por qué haber sido creado, puede
generarse en la naturaleza. Existen muchas fuentes de información que no son
analógicas ni digitales, por ejemplo, la voz.
Normalmente, existen dispositivos que traducen las señales al formato que el
medio es capaz de transmitir. Estos equipos son los transductores, se encuentran a
la entrada y salida del sistema físico normalmente. Estos dispositivos adaptan la
señal al medio físico, o simplemente convierten la señal del fuente a otro tipo de
señal. Tienen funciones muy variadas, también pueden ser conmutadores,
amplificadores…
Los transductores de entrada adecuan la señal que genera el fuente al medio
con el que trabajamos. De la misma forma, el destino puede recibir una señal que es
necesario “traducir” para que el receptor la entienda.
Por tanto, un sistema de comunicaciones básico engloba:
- Emisor ⇒ fuente + transductor de entrada.
- Canal de comunicaciones
FUENTE DESTINO
CANAL DE COMUNICACIONES
CANAL
DE
COMUNICACIONES
FUENTE TRANSDUCTOR
DE ENTRADA
DESTINOTRANSDUCTOR
DE SALIDA
EMISOR RECEPTOR

.
1.3
- Receptor⇒ transductor de salida + destino.
El canal de comunicaciones no sólo es el medio físico, es algo más, engloba
el hardware (medio físico) y el software (que maneja el medio físico). El canal
representa el camino lógico por donde va a ir la información. Existen muchos canales
dentro de un medio físico, y por cada canal, podemos establecer conexiones. El
medio físico va a estar aprovechado en función del número de canales que soporte.
En todo sistema de comunicaciones existen distorsiones, ruidos o
atenuaciones, tanto aleatorios como periódicos que interfieren la comunicación. Estas
distorsiones se deben a que trabajamos con medio físicos, que no son ideales y tienen
cierto margen de error. Dependiendo de la calidad del medio físico con el que
trabajemos tendremos un sistema más o menos inmune a este tipo de distorsiones.
Por ejemplo, la fibra óptica es mucho más inmune a las distorsiones que otros medios
físicos.
1.1. TIPOS DE SEÑALES EN COMUNICACIONES
Existen muchos tipos de señales:
- Periódicas: se repiten en el tiempo.
- Aleatorias.
- Deterministas: se producen siempre (en el medio).
Las señales, básicamente, se dividen en:
- señales analógicas.
- señales digitales.
1.1.1. Señales analógicas
Las señales analógicas son señales de variación lenta en el tiempo. No
cambian abruptamente de un estado a otro de energía, sino que varían lentamente.
Si tomamos en un intervalo de tiempo el valor de la señal analógica, está
compuesta por infinitos valores, es decir, una señal analógica en un intervalo de
tiempo toma infinitos valores de amplitud.
La representación gráfica de este tipo de señal, viene dada por las funciones
seno o coseno, como muestra la figura 1:

.
1.4
)tcos(Ax(t) 0θ+ω⋅= )tsenAx(t) 1θ+ω⋅= (
NOTA: cos (0) ⇒ máxima amplitud. 




 π
+θ=θ
2
sencos
sen (90) ⇒ máxima amplitud. 




 π
−θ=θ
2
cossen
Las señales analógicas, por ser de variación lenta se utilizan para
comunicaciones a larga distancia, entornos públicos, por ejemplo: red telefónica.
Vienen definidas por los parámetros: amplitud, fase y frecuencia.
- A ⇒ Amplitud: Voltaje o intensidad de la corriente.
- ω ⇒ Frecuencia angular: Se mide en seg
rad , también es
llamada pulsación angular. Es la velocidad de rotación a la que se
mueve la señal.
Frecuencia cíclica:
π
ω
=
2
f
Ciclo: Representa las veces que la señal analógica se repite en el tiempo.
Ejemplo: Sea la señal de la figura 2.
Figura 2. Señal analógica de 3 Hertz.
t1 t2
1 ciclo
1 seg
Figura 1. Señal cosenoidal

.
1.5
Por tanto, esta señal se mueve a tres ciclos por segundo, se mueve a 3 Hz.
segundo
ciclo
1HzHertcio1 == .
Por ejemplo, la frecuencia de la voz va desde 300Hz a 4000Hz.
La relación entre la frecuencia angular y la frecuencia cíclica viene dada por la
siguiente fórmula: f2π=ω
Periodo de la Señal: es el tiempo que tarda la señal en recorrer un ciclo:
f
1
T =
La distancia recorrida en ese tiempo se denomina Longitud de Onda, se representa
por λ. Normalmente se toma como la distancia entre picos. Se mide en metros.
Con la longitud de onda λ (≈ distancia que recorre) y el periodo de la señal T
(≈ tiempo que tarda) podemos averiguar la velocidad de propagación de la señal,
medida en metros por segundo:
π
ω
λ=⋅λ=
λ
=
2
f
T
v
Frecuencias muy grandes implican longitudes de onda pequeñas y, por tanto,
longitudes de onda grande implican frecuencias bajas.
t(t) ⋅ω=ψ ⇒ Fase instantánea de la señal.
θ0 ⇒ Fase inicial, en t=0.
1.1.2. Señales digitales
Son señales de variación brusca. Cambian de un estado a otro de energía en
un intervalo de bit.
Intervalo de Bit: Tiempo que manejan emisor y receptor para colocar uno o más bit
de información en el medio. Viene definido por el emisor y el receptor.
Las señales digitales son menos sensibles al ruido que las señales analógicas,
pero se atenúan más rápidamente. Cuanto menor sea el intervalo de bit, más
información se puede enviar. Por tanto, mayor ancho de banda tendremos y, en
consecuencia, mayor velocidad. El ideal en comunicaciones es conseguir dispositivos
que cambien de estados de energía muy rápidamente en tiempos muy pequeños.

.
1.6
Una subdivisión de señales digitales se pueden obtener atendiendo a la
duración temporal, a la polaridad y a su número de estados o niveles de amplitud que
posean:
i. En función del número de estados:
• Señal digital binaria: Sólo puede tomar dos valores de energía
(cero y uno).
• Señal digital m-aria o multinivel: Toma más de dos estados o
niveles de energía.
Para cuantificar los estados de energía de una señal binaria se necesita un único
bit, mientras que para las m-arias se necesita más de uno. Existe una relación
entre el número de niveles o estados y los bits necesarios para codificar dichos
niveles. Esta relación viene dada por la fórmula:
n
2m ≤ o, lo que es igual nmlog2 ≤ , donde m es el número de estados que hay que
cuantificar y n el número de bits.
Ejemplo: Para cuantificar cuatro estados de energía nos bastaría con 2 bits, es decir, n = 2.
Para cuantificar seis estados de energía nos bastaría con 3 bits, es decir, n = 3.
1 1 1
00

.
1.7
Hay señales que cambian en un intervalo de bit múltiples veces. Éstas señales se
llaman multinivel, y permiten una cadencia en el canal muy superior a las señales
binarias.
Las señales multinivel se utilizan para comunicaciones de alta velocidad. Para
comunicaciones básicas se utilizan señales binarias, que permiten codificar
elementalmente la información a enviar.
ii. En función de la polaridad (nivel de energía):
• Señales unipolares: Son señales digitales que sólo pueden tomar
valores de amplitud positivos.
NOTA: el bit cero no tiene por qué corresponderse con el cero en amplitud.
• Señales bipolares: pueden tomar valores de amplitud positivos y
negativos.
iii. En función de la duración temporal:
• Señal NRZ (Not Return Zero): Es la señal digital que agota
completamente el intervalo de bit.
1 1 1
00
+5
-5

.
1.8
• Señal RZ (Return Zero): Son señales digitales que no agotan el
intervalo de bit y retornan a cero, es decir, tienden a cero antes de
acabar el intervalo.
En comunicaciones, es mejor trabajar:
• Bipolares ante unipolares: Las señales bipolares, tienen un
nivel de continua menor que las unipolares, por lo que necesitan menos
energía para transmitirse, se comportan mejor al atravesar los
dispositivos físicos, como por ejemplo, un transformador, y tienen menor
pérdida que las unipolares. Es más sencillo con estas señales detectar los
cambios y el estado del medio sin dar lugar a errores.
• RZ frente a NRZ: Básicamente porque el tiempo que queda
libre del intervalo de bit, puede aprovecharse para enviar otros tipos de
señales multiplexando las señales en el mismo intervalo de tiempo, por lo
que se aprovecha mejor el medio y se envía mayor cantidad de
información por seg.
• Señales multinivel frente a binarias: Mayor cantidad de
información por unidad de tiempo.
Vamos a ver un ejemplo, en la Figura 2 de las señales digitales definidas
anteriormente:

.
1.9
EJEMPLO: vamos a enviar la secuencia digital 10001101 con señales digitales
diferentes.
Otra ventaja de las señales digitales bipolares es que si la línea está a cero,
sabemos que está en reposo, mientras que en las unipolares no se sabe a que nos
referimos porque el cero no tiene por qué corresponderse con el cero en amplitud.
Se llama ancho de banda (B o W) de una señal al rango de frecuencias en el que
se mueve la señal. Existe ancho de banda de la señal y del medio. El ancho de banda
tiene relación con la duración de los impulsos digitales. Cuanto menor sea la
duración de los pulsos (τ) más cantidad de información podremos enviar por unidad
de tiempo(seg.).
τ
≈
1
B en Hercios.
Cuando hablamos de señales analógicas es el rango de frecuencias en el que se
mueve la señal, su notación normalmente es W o B como hemos comentado
anteriormente.
x(t
Digital Binaria
Digital Binaria RZ
Multinivel. 2
τ=0T
Multinivel. τ=0T
1
0 0 0
1 1
0
1
1 1
0
0 0
0 0
10
00
11
01
T0
τ
T0 duración del intervalo de bit.
τ ancho del impulso.
Figura 3. Tipos distintos de señalización digital.
Ancho de banda
Si se mueve entre 100 y 150, el ancho de banda
será: W=50MHz.

.
1.10
Cuando hablamos de señales digitales no se miden en Hz, sino en cadencia de bits
por segundo, es decir, la cantidad de bits por segundo que se envían por el canal de
comunicaciones.
1.1.3. Parámetros de una señal digital
• Velocidad de Información, vi:
Representa el número de bits que se envían con una señal digital binaria (un
intervalo de bit ⇒ un bit). Viene definida por:
0
i
T
1
v = , se mide en seg
bits
• Velocidad de Transmisión o modulación, vt: Es la inversa de la
duración de los impulsos y viene dad por
τ
=
1
vt , medida en baudios.
• Baudio: Es el número de señales que se envían al medio por unidad de
tiempo
Sólo para señales digitales binarias (dos estados, 1 bit necesario), es igual a
seg
bits . La relación entre ambas velocidades, vi y vt viene dada por ti vnv ⋅= ,
donde n es el número de bits necesarios para codificar los estados de energía
posibles de esa señal digital.
Ejemplo: si tenemos una señal multinivel con cuatro estados de energía y vt=9600
Baudios, podemos calcular seg
bits96002vi ⋅=
Sistemas analógicos típicos:
Ancho de Banda S/N
Telefonía baja calidad 2KHz. 10
Telefonía comercial 200-4000Hz. 20
Radiodifusión 5-15KHz. 45
Televisión 5-7MHz. 50
Videotelefonía 1MHz. 45
Videoconferencia 100MHz- 1GHz. 60

.
1.11
Sistemas digitales:
vi Pe
Telegrafía 50-9600Baudios 10-4
Ordenadores 104
-106
10-8
Terminales PCM 106
-108
(Redes) 10-9
Donde:
• S/N ⇒ Señal / Ruido. Cociente entre la potencia de la señal y el
ruido inherente.
• Pe ⇒ Probabilidad de error. Mide la cantidad de bits erróneos
que tiene la señal. Por ejemplo Pe=10-4
, de 10000 bits enviados uno es
erróneo.
Gráfica del espectro de frecuencia.
10Km 1Km 100m 10m 1m 10cm 1cm 1mm 0.1mm
Longitud de
onda
Frecuencia
30KHz 300KHz 3MHz 30MHz 300MHz 3GHz 30GHz 300GHz 3000GHz
Designación
LF
L
F
M
F
H
F
VH
F
U
HF
S
HF
E
HF
SE
HF
Banda 5 6 7 8 9 10 11 12
Radar
Aplicaciones
Audio
Radio
AM
Radio
FM

.
1.12
TV
Microondas
Radar
Infrarrojo
Decibelio: Unidad que compara magnitudes. Normalmente compara potencia de la
señal entre potencia de ruido. También mide distorsión y atenuación.
N
S
log101dB 10⋅=
Ejemplo: S=40dB ⇒
N
S
log1040dB 10⋅= , por lo que 4
10
N
S
= .
La potencia de la señal es 104
veces mayor que el ruido. Cuando el cociente tiende a
igualarse, sólo se escucha ruido y la señal se pierde. La mayoría de los ruidos afectan
principalmente a la amplitud y, en menor medida, a la frecuencia y a la fase de la
señal.
1.1.4. La ley de Shannon
Define la capacidad máxima de aceptación de información que puede tener
un canal de comunicaciones, es decir, la capacidad en bits/seg que puede soportar
un canal de comunicaciones.






+⋅=
N
S
1logWC 2
Donde:

.
1.13
W Ancho de Banda.
N
S
(watios)ruidodelpotencia
(watios)señalladepotencia
1.1.5. Teoría espectral de la señal
En comunicaciones, nos interesa, principalmente conocer la señal en el
dominio de la frecuencia, no sólo en el dominio temporal.
• Representación Temporal: Es la representación de una señal en el dominio
del tiempo. Sería el caso de las señales representadas hasta este momento.
• Representación Espectral: Se corresponde con la representación de una señal
en el dominio de la frecuencia, ya sea cíclica o angular. Sea la señal:
)tcos(Ax(t) 0 θ+ω⋅=
Vamos a trabajar con dos tipos de representaciones espectrales básicas:
Representación del espectro en amplitud ⇒ Consiste en representar en un
diagrama de dos ejes la amplitud de la señal en función de la frecuencia.
Representación del espectro en fase ⇒ Es la representación de la fase de la
señal en función de la frecuencia.
Los espectros, son rayas centradas a una frecuencia y con un determinado valor de
amplitud o de fase.
A
ω0 f
Amplitud
Espectro en amplitud
θ
ω0
Fase
Espectro en fase
f

.
1.14
Existe más de una representación válida del espectro en amplitud o en fase de
una señal, por ejemplo, para nuestra señal anterior tenemos que:
( ) ( )θ+ω⋅+θω⋅=θ+ω⋅= tcos
2
A
-t-cos
2
A
)tcos(Ax(t) 0000 ,
ya que como sabemos ( ) β⋅αβ⋅α=β±α sensencoscoscos m
( ) β⋅α±β⋅α=β±α cossencossensen
El espectro en amplitud anterior se podría representar también de la siguiente
manera, para frecuencias positivas y negativas.
Físicamente, no existe ninguna señal que se mueva con frecuencias
negativas, pero matemáticamente sí, por lo que se puede representar de esta manera.
El espectro en amplitud es siempre par en frecuencias (lo que aparece a la
derecha, aparece reflejado como un espejo a la izquierda).
La amplitud de la señal siempre se representa como el módulo, por lo que
siempre son valores positivos. Esto es debido al concepto, de que las amplitudes
representan en realidad un valor de energía o potencia de la señal y por tanto no es
posible tener en la vida real energías ni potencias negativas. Se representa
X(f)ox(t) .
El espectro en fase anterior se podría representar también de la siguiente manera:
2
A
ω0
f
Amplitud
-ω0
ω
f
Fase
-ω0
θ
-θ

.
1.15
El espectro en fase es siempre impar en frecuencia (lo que aparece a la derecha,
aparecerá a la izquierda pero en el cuadrante inverso).
Nota: Para el espectro en amplitud, es evidente que la representación de la señal no
depende de si la señal es de tipo senoidal o cosenoidal , no siendo así para el espectro
en fase debido al desfase de 2
π que existe entre el seno y el coseno.
Ejemplo: Dada la señal ( ) ( ) ( )7
600tcos2t252cos5
3
10t2sen48x(t) π+⋅+⋅π⋅−π+⋅π⋅+= ,
representar el espectro en amplitud y el espectro en fase.
El espectro en amplitud para frecuencias positivas viene dado por la figura 4:
El espectro para frecuencias positivas y negativas viene dado por la figura 5:
8
4
5
2
f10Hz. 25Hz.
π2
600
Hz.
Amplitud
2
10Hz.
8
5/2
25Hz.
1
π2
600
Hz.
f
Amplitud
2
10Hz.
5/2
25Hz.
1
π2
600
Hz.
Figura 4. Representación del espectro en amplitud
Figura 5. Representación del espectro para frecuencias + y -.

.
1.16
Para el cálculo correcto del espectro en fase debemos pasar los senos a cosenos y
los valores negativos a positivos mediante las fórmulas:
( ) ( )α=πα sen
2
-cos y ( ) ( )α=πα -cos-cos
La señal nos queda: ( ) ( ) ( )7
600tcos2-t252cos5
6
-10t2cos48x(t) π+⋅+π⋅π⋅+π⋅π⋅+= y sus
espectos serán:
1.2. DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER
El desarrollo en serie de Fourier es una excelente herramienta matemática
para el estudio de señales periódicas. Cualquier señal periódica se puede
descomponer, mediante el Desarrollo en Serie de Fourier en un sumatorio de senos
y cosenos, multiplicados por unas constantes, los coefiecientes del desarrollo que
representan valores de amplitud de la señal a determinadas frecuencias. Se define el
desarrollo de una señal x(t) como:
( )∑
∞
=
ω⋅+ω⋅+=
1n
nnnn
0
tsenbtcosa
T
2
T
a
x(t)
donde los coeficientes del desarrollo son na y nb :
-π/6
-π
f
10Hz. 25Hz.
π2
600
Hz.
Fase
π/7
f
Fase
-π/6
10Hz.
-π
25Hz.
π2
600
Hz.
π/7π/6
-10Hz.
π
-25Hz.
-
π2
600
Hz.
-π/7

.
1.17
∫ ⋅⋅=
T
0
nn dttcosx(t)a ω ∫ ⋅ω⋅=
T
0
nn dttsenx(t)b
Se puede integrar en el periodo que me convenga, los límites de la señal no tienen
por qué estar entre 0 y T.
Cada término desde uno a infinito representan las amplitudes de cada uno de los
armónicos (componentes de energía de la señal) esa señal a determinadas
frecuencias.
El desarrollo en serie de Fourier nos permite explicar el concepto físico de una señal.
El sumatorio representa los múltiples trocitos de energía que componen una señal, es
decir, las señales tienen múltiples componentes de frecuencia, denominados
armónicos, que vibran a una frecuencia múltiple de la fundamental.
La mayor cantidad de energía la aporta el armónico fundamental n = 1 ⇒
T
2
1
π
ω = .
De forma que para n muy pequeño los valores de amplitud son apreciables, la
potencia máxima de una señal se concentra en los primeros armónicos del desarrollo.
Para valores grandes de n los valores de amplitud son despreciables y la potencia que
aportan esos armónicos es despreciable.
Podemos encontrarnos el desarrollo en serie de Fourier como:
( )∑
∞
=
ω⋅+ω⋅+=
1n
nnnn0 tsenbtcosaax(t)
donde:
∫ ⋅=
T
0
0 dtx(t)
T
1
a es el término de continua de la señal y na y nb los
coeficientes del armónico enésimo.
∫ ⋅ω⋅=
T
0
nn dttcosx(t)
T
2
a ∫ ⋅ω⋅=
T
0
nn dttsenx(t)
T
2
b
Los espectros en amplitud y fase se representan como:
2
n
2
n baAmplitud +=
f f






=
n
n
a
b-
arctcgFase

.
1.18
Ejemplo: Sea la señal dada:
( ) ( ) ( ) ( )3
-00t6sen7
7
600tcos2t252cos5
3
10t2sen48x(t) π⋅+π+⋅+⋅π⋅−π+⋅π⋅+=
donde ω=600t seg
rad 1
, la amplitud será 2
n
2
n ba + , es decir, 22
72 +
1.2.1. Desarrollo en Serie de Fourier complejo
El desarrollo en Serie de Fourier se puede poner en forma compleja o
exponencial. La fórmula compleja del desarrollo en serie, a la que llegaremos
posteriormente, es la siguiente:
∑
∞
∞=
ω
⋅=
-n
tj
n
n
eC
T
1
x(t)
donde Cn es un número complejo con su módulo y su fase correspondiente:
nj
nn eCC θ
⋅= nnn jbaC −=
2
n
2
nn baC += , por tanto, el módulo de Cn es la amplitud: 2
n
2
n ba + .
nn
*
n jbaC += ⇒ Conjugado de Cn.
Sustituimos an y bn en los valores de Cn :
( ) ∫∫
∫∫
⋅⋅=⋅ω⋅−ω⋅
=⋅ω⋅−⋅ω⋅=−=
ω
2T
2T-
tj-
2T
2T-
nn
2T
2T-
n
2T
2T-
nnnn
dt.ex(t)dttsenjtcosx(t)
dttsenx(t)dttcosx(t)jbaC
n
quedándonos:
∫ ⋅⋅= ω
2T
2T-
tj-
n dtex(t)C n
∫ ⋅⋅= ω
2T
2T-
tj*
n dtex(t)C n

.
1.19
Sabiendo que:
( )






⋅π
=ω
⋅π
=ω
= ωω
T
n-2
T
n2
ee
n-
n
tj-tj n-n
Obtenemos:
∫ ⋅⋅= ω
2T
2T-
tj-*
n dtex(t)C n-
.
Es decir, ( )
*
nn- CC = , el conjugado es un cambio de signo de la exponencial.
Fórmula De Euler: La exponencial compleja está relacionada con el seno y el
coseno a través de esta fórmula: θ⋅±θ=θ±
senjcose j
Donde
2
ee
tcos
t-jtj
n
nn ωω
+
=ω y
j2
ee
tsen
t-jtj
n
nn ωω
−
=ω
Obtenemos las exponenciales decreciente y creciente de la siguiente manera:
j2
ee
jtsenj
t-jtj
n
nn ωω
−
⋅=ω⋅ multiplicamos el seno por (j)
tj-
t-jtjt-jtj
nn
n
nnnn
e
j2
ee
j
2
ee
tsenjtcos ω
ωωωω
=
−
⋅−
+
=ω⋅−ω hacemos la resta
Como tsenjtcose nn
t-j n
ω⋅−ω=ω
y
j2
ee
-jtsenj-
t-jtj
n
nn ωω
−
⋅=ω⋅ multiplicamos el seno por (–j).
Real
Imaginaria
je 2j
+=π
1e j0
=1e j
−=π
je 23j
−=π

.
1.20
tj
t-jtjt-jtj
nn
n
nnnn
e
j2
ee
j
2
ee
tsenjtcos ω+
ωωωω
=
−
⋅+
+
=ω⋅+ω Hacemos la suma
Además como también tsenjtcose nn
tj n
ω⋅+ω=ω+
A partir de esto, vamos a ver como se obtiene el desarrollo en forma compleja
paso a paso:
( )=ω⋅+ω⋅+= ∑
∞
=1n
nnnn
0
tsenbtcosa
T
2
T
a
x(t)
=















 −
⋅+







 +
⋅+= ∑
∞
=
ωωωω
1n
t-jtj
n
t-jtj
n
0
j2
ee
b
2
ee
a
T
2
T
a nnnn
(sustituyo seno y
coseno)
( ) =















 −
⋅++⋅+= ∑
∞
=
ωω
ωω
1n
t-jtj
n
tj-tj
n
0
j
ee
beea
T
1
T
a nn
nn
simplificando
( ) ( )[ ]=−⋅−+⋅+= ∑
∞
=
ωωωω
1n
tj-tj
n
tj-tj
n
0 nnnn
eejbeea
T
1
T
a
(multiplico bn por j)
( ) ( )[ ]=+⋅+−⋅+= ∑
∞
=
ωω
1n
nn
tj-
nn
tj0
jbaejbae
T
1
T
a nn
(saco factor común)
[ ]=⋅+⋅+= ∑
∞
=
ωω
1n
*
n
tj-
n
tj0
CeCe
T
1
T
a nn
(sustituyo por los valores
correspondientes)
[ ]=⋅+⋅+= ∑
∞
=
ωω
1n
n-
tj-
n
tj0
CeCe
T
1
T
a nn
(por definición de conjugado)
∑
∞
−∞=
ω
⋅=
n
tj
n
n
eC
T
1
(cambioloslímiteseincluyoel término cero)
Por tanto:
∑
∞
∞=
ω
⋅=
-n
tj
n
n
eC
T
1
x(t) donde el módulo de Cn es la amplitud.
La ventaja del desarrollo en forma compleja es su menor coste en cuanto a
cálculo matemático comparándola con la forma convencional del desarrollo.

.
1.21
1.2.2. Desarrollo en Serie de Fourier en forma real
Partimos de la fórmula del desarrollo en forma compleja:
=⋅= ∑
∞
∞=
ω
-n
tj
n
n
eC
T
1
x(t)
[ ]=⋅⋅= ∑
∞
∞=
ωθ
-n
tjj
n
nn
eeC
T
1
(sustituyo Cn por definición)
( )[ ]=⋅= ∑
∞
∞=
θ+ω
-n
tj
n
nn
eC
T
1
(saco factor común)
( ) ( )
=















 +
⋅+= ∑
∞
=
θ+ωθ+ω
1n
t-jtj
n
0
2
ee
C
T
2
T
a nnnn
(saco el término cero y
cambio los límites)
( )∑
∞
=



 θ+ω⋅++=
1n
nn
2
n
2
n
0
tcosba
T
2
T
a
(sustituyo el módulo de Cn y el
resto por el coseno)
Se pueden aplicar cualquiera de las tres fórmulas para el cálculo matemático.
Para señales periódicas en forma de senos y cosenos se suele utilizar la primera, para
señales digitales la segunda, puesto que es más fácil calcular Cn que an y bn.
Nota: Como es bien sabido si una función es par, el término bn se anula, mientras
que si la función es impar se anula el término an. Una función es par si se cumple que
x(t) = x(-t) e impar si x(t) = -x(-t).
Vamos a ver un pequeño ejemplo para asentar los conceptos teóricos.
Ejemplo: Dada una señal de periodo T tal que T)x(tx(t) += , vamos a calcular el
espectro en amplitud con el desarrollo en forma compleja.
τ
x(t)
t
A
2TT/-T/2
τ/2-

.
1.22
Vamos a calcular Cn paso a paso.
En los intervalos (-T/2, -τ/2) y (T/2, τ/2), la señal vale cero, por lo que cambiamos
los límites de integración. En el intervalo (-τ/2, τ/2), que son los nuevos límites de
integración, la función x(t)=A, por lo que también lo sustituimos.
∫∫∫
τ
τ
ω
τ
τ
ωω
=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=
2
2-
tj-
2
2-
tj-
2T
2T-
tj-
n dteAdtex(t)dtex(t)C nnn
=








ω
⋅=
τ
τ
ω
2
2-n
tj-
j-
e
A
n
(Integramos)
=








⋅
−
⋅
ω
⋅
=
τωτω
j2
eeA2 2-j2j
n
nn
(sustituimos los valores y multiplicamos
y dividimos por dos)
=τω⋅
ω
⋅
= 2sen
A2
n
n
(sustituimos por el seno)
=
ω
τω
⋅=
n
n 2sen
2A
=
τ⋅ω
τω
⋅τ=
2
2sen
A
n
n
(multiplicamos y dividimos por τ/2)
=
τ⋅
⋅π
τ⋅
⋅π
⋅τ=
2
T
n2
2
T
n2
sen
A (sustituimos ωn por
T
n2 ⋅π
)
=
τ⋅⋅π
τ⋅⋅π
⋅τ=
T
n
T
n
sen
A (simplificamos)
=
τ⋅⋅π⋅
τ⋅⋅π⋅
⋅τ=
nf
nfsen
A (sustituimos f por
T
1
)
)fsinc(nA τ⋅⋅⋅τ= (tomamos x= n f τ)
Representemos el coeficiente Cn:

.
1.23
Cuando x tiende a cero, el límite de 1
2
2sen
n
n
=
τω
τω
, por lo que el valor de amplitud
máxima es Aτ.
Cuando
τ
π
=ω
2
n ⇒ 0sen =π . Los valores de ω que hacen que el seno se anule, hacen
que la función se corte con el eje de abscisas.
T
1)(n2
T
n2
1
+⋅π
=ω
⋅π
=ω +nn ; ⇒ La distancia entre cada par de rayas de la señal es
el armónico fundamental.
Cualquier señal periódica:
Tiene espectro en amplitud discreto.
Cada raya espectral está separada de la adyacente una distancia T2π , el
armónico fundamental.
En el primer corte con el eje de abscisas se concentra la máxima
cantidad de energía de la señal. Esta es una buena elección para
elegir el ancho de banda de la señal.
τ
≈
K
B .
El ancho de banda es inversamente proporcional a τ. Si disminuimos la duración del
pulso el primer corte con el eje se traslada a frecuencias más altas. Además si T, el
periodo disminuye entonces:
ω
C
Aτ
τπ2
τπ4
τπ6
T2π ⇒ es la frecuencia

.
1.24
Si T<<< ⇒ aumenta la distancia entre rayas, el primer corte con el eje
se desplaza a la derecha, es decir, se producirá a frecuencias mayores. Se
envían más pulsos por segundo, y por tanto, más volumen de información
por unidad de tiempo. Esto implica también un aumento de la frecuencia de
la señal.
Si T>>> ⇒ disminuye la distancia entre rayas, el primer corte con el
eje se produce a frecuencias más bajas. Se envían menos pulsos por
segundo, y por tanto menos información. Disminuye la frecuencia.
Si T ⇒ ∞ ⇒ el espectro deja de ser discreto, al tender las rayas a
juntarse. La señal deja de ser periódica y se mueve con una sola frecuencia.
Desaparece el concepto de armónico y el sumatorio del desarrollo se
convierte en la integral de Riemann.
Matemáticamente:
∑
∞
∞=
ω
⋅=
-n
tj
n
n
eC
T
1
x(t) ⇒ ∫∫
∞
∞
ω
∞
∞
ω
ω⋅⋅ω
π
=ω∆⋅⋅=
-
tj
-
tj
n de)X(
2
1
eC
T
1
x(t)
• ωn ⇒
T
2π
=ω desaparece el concepto de armónico.
•
ω∆
π
=
2
T
• ∆ω ⇒ dω.
• Cn ⇒ X(ω).
La función continua de la frecuencia se define como:
Transformada directa de Fourier: ∫
∞
∞
ω
⋅⋅=ω
-
tj-
dtex(t))X(
y su inversa como:
Transformada inversa de Fourier: ∫
∞
∞
ω
ω⋅⋅ω
π
=
-
tj
de)X(
2
1
x(t)
Tanto una como la otra nos van a servir para pasar de un domino temporal a
otro (de la frecuencia) y a la inversa. Si tengo una señal x(t), y quiero obtener su

.
1.25
espectro en frecuencia utilizo la transformada directa de Fourier. Del dominio de la
frecuencia al dominio temporal se pasa utilizando la transformada inversa de Fourier.
Este par de transformadas vienen representadas como:
x(t) ↔ X(ω)
TF[x(t)] = X(ω)
x(t) = TF-1
[X(ω)]
El estudio de las señales periódicas, que no existen en la naturaleza, nos permite, a
través de la transformada estudiar el comportamiento en el dominio de la frecuencia
de señales no periódicas, que sí son más comunes encontrarnos en la realidad.
1.2.3. Funciones especiales. El impulso unitario
Es un impulso ideal: Se produce en el límite A ⇒ ∞ y τ ⇒ 0 de la función pulso.
Su representación matemática viene dada por la función Delta de Dirac δ(t), la cual
representa dicho impulso unitario.
1A
A
0
→τ⋅



∞→
→τ
, es decir, el área = base * altura, tiende a uno.
La función delta de Dirac es un impulso de intensidad unitaria centrado en un
instante de tiempo o de frecuencia o en cualquier dominio transformado.
En comunicaciones, esta función se utiliza como función prueba de circuitos
físicos. Si excito un circuito físico con δ(t), el circuito responde con una función h(t),
la respuesta a ese impulso. De esta forma, conociendo h(t), conoceremos cómo
responde el circuito a cualquier señal x(t), de entrada.
δ(t)
τ
∞→
→τ
A
0
Figura 6. Función impulso unitario

.
1.26
1.2.4. Diferencia en pulso e impulso
- Pulso ⇒ es real.
- Impulso ⇒ no es real, es un límite.
Ejemplo: Representación de un pulso centrado en el origen. Sea la señal x(t) dada:


 τ≤≤τ−
=
restoelen0
2t2A
)t(x
Un pulso viene definido por la siguiente representación 




 −
⋅Π⋅
τ
tot
A , donde:
A ⇒ Amplitud del pulso.
Π ⇒ Símbolo que representa el pulso.
to ⇒ Instante en el que se produce.
τ ⇒ Duración del pulso, es decir, ancho de pulso.
CIRCUITO
FÍSICO
δ(t) y(t)
A
τ
A ∞
τ 0

.
1.27
Propiedades de δ(t).
La función impulso unitario sólo define sus propiedades dentro de una
integral. Son las siguientes:
• ( ) 0
-
0 tt1dtt-t =∀=⋅∫
∞
∞
δ
• ( ) 0
-
0 tt0dtt-t ≠∀=⋅∫
∞
∞
δ
• ( ) )f(tdtf(t)t-t 0
-
0 =⋅⋅δ∫
∞
∞
• ( ) 0tj-
-
tj-
0 edtet-t ω
∞
∞
ω
=⋅⋅δ∫
• ( ) ( ) ( )21
-
21 t-tdtt-tt-t δ=⋅δ⋅δ∫
∞
∞
• ( ) ( )∫∫
∞
∞
∞
∞
⋅δ=⋅δ
--
dtt-dtt
• ( ) ( )∫∫
∞
∞
ω
∞
∞
=⋅⋅δ↔=⋅δ
-
tj-
-
1dtet1dtt
Nota: En realidad no se habla de amplitud de la función delta de Dirac, sino de
intensidad.
Si tengo una función continua puedo ponerla como sumatorio ( )[ ]∑ δ⋅ nT-tn , de rayas
centradas en instantes de tiempo distintos, puedo descomponerla en un sumatorio de
funciones delta de Dirac.
1
tt0
( )0t-tA δ⋅
1
t
t =0
( )tA δ⋅
1
f
( )0f-fA δ⋅
f0

.
1.28
1.2.5. Señales de Energía y señales de Potencia
En comunicaciones existen dos tipos de señales de energía:
- Señales de potencia: Cuando trabajamos con señales periódicas el
concepto de energía finita no existe. La energía de una señal periódica,
teóricamente, se alcanzaría en el infinito. A estas señales se les llama señales de
potencia y su cálculo viene dado por la potencia media de la señal:
∫ ⋅=
T
0
2
m dtx(t)
T
1
P
Si calculamos la potencia media de cada armónico y la comparamos con la
potencia media de la señal, podemos observar el porcentaje de energía que aporta
ese armónico al total de la señal.
Nota: De la teoría de circuitos sabemos que la potencia que se disipa en un
resistor R viene dada por
R
(t)v
P
2
= . Por convenio R=1Ω.
- Señales de energía: Las señales de energía tienen una duración finita,
son señales no periódicas y su energía se puede cuantificar en un intervalo de
tiempo finito. Las señales de energía son señales con un comportamiento finito,
en un intervalo de tiempo tienen un valor significativo y después se anulan.
Normalmente son exponenciales decrecientes del tipo τ
⋅ t-
eA . El valor de energía
viene dado por:
∫
∞
∞
⋅=
-
2
T dtx(t)E
1.2.6. Propiedades de la Transformada de Fourier
La transformación de Fourier tiene una serie de propiedades que son
peculiares y la definen en ambos dominios.

.
1.29
• UNÍVOCA: No existen dos señales diferentes en el tiempo que tengan la
misma transformada en el dominio de la frecuencia. Los pares de
transformadas son únicos.
x(t)↔X(ω)
y(t)↔Y(ω)
z(t)↔Z(ω)
• LINEALIDAD Y HOMOGENEIDAD: La transformada de una suma de varias
funciones en el dominio del tiempo multiplicadas por constantes, es
igual a la suma de las transformadas de estas funciones multiplicadas
por las constantes correspondientes.
Z(f)KY(f)KX(f)Kz(t)Ky(t)Kx(t)K 321321 ⋅+⋅+⋅→⋅+⋅+⋅
Homogeneidad: Si tengo en el dominio temporal una señal multiplicada
por unas constantes, en el dominio de la frecuencia también estará
multiplicada por esas constantes, es decir, las constantes que existen en
un dominio se mantienen al pasar la señal a otro dominio.
Linealidad: Si tengo en el dominio temporal sumas o restas de señales,
al pasar al dominio de la frecuencia obtengo sumas o restas de sus
transformadas.
• DERIVABILIDAD
)X(x(t) ω↔
)X(j
dt
dx(t)
ω⋅ω↔
Es decir, si tengo una señal x(t) y obtengo su transformada, derivando esa
señal x(t) con respecto al tiempo lo que estoy haciendo es aumentar las
componentes de alta frecuencia de la señal, es decir, la señal se traslada a
frecuencias más altas. Se puede aplicar con las derivadas segunda, tercera…
Demostración:
Sea x(t) la TF-1
[X(ω)] ∫
∞
∞
ω
ω⋅⋅ω
π
=
-
tj
de)X(
2
1
x(t)

.
1.30
[ ]
∫∫
∞
∞
ω
∞
∞
ω
ω⋅⋅ω⋅ω
π
=ω⋅⋅ω
π
=
-
tj
-
tj
de)X(j
2
1
d
dt
ed
)X(
2
1
dt
x(t)d
Donde )X(j ω⋅ω es una función de frecuencia F(ω) que es la derivada de la
señal original.
Esta propiedad implica que para ampliar las componentes de la señal en
el dominio de la frecuencia, sólo la tengo que derivar en el dominio temporal
y en el de la frecuencia la obtengo ampliada.
• TEOREMA DEL DESPLAZAMIENTO EN EL TIEMPO
)X(x(t) ω↔
)X(e)t-x(t 0t-j
0 ω⋅↔ ω
Es decir, si desplazamos el pulso en el dominio temporal una magnitud
t0, en el dominio de la frecuencia se produce un desfase 0t-j
e ω
dependiente de
ese desplazamiento en el dominio temporal.
Demostración:
Sea ∫
∞
∞
ω
⋅⋅=ω
-
tj-
dtex(t))X( la transformada directa de Fourier, si desplazamos t0:
=⋅⋅=ω ∫
∞
∞
ω
-
tj-
0 dte)t-x(t)X( (Por sustitución






=
+=
=
dudt
tut
t-tu
0
0
obtengo)
=⋅⋅= ∫
∞
∞
+ω
-
)t(uj-
duex(u) 0
=⋅⋅⋅∫
∞
∞-
tj-uj-
dueex(u) 0ωω
(el término 0t-j
e ω
no
depende de la integral)
)X(eduex(u)e 00 tj-
-
uj-tj-
ω⋅=⋅⋅= ω
∞
∞
ωω
∫
Nota: para la demostración desplazo t0, no sustituyo t por (t - t0).
ω
0t-j
e)X( ω
⋅ω
t
t0
A
x(t-t0)

.
1.31
• TEOREMA DEL DESPLAZAMIENTO EN FRECUENCIA.
)X(x(t) ω↔
)-X(x(t)e 0
tj 0
ωω↔⋅ω
Es decir, si desplazamos el pulso en el dominio de la frecuencia ω0, en el
dominio temporal se produce un desfase tj 0
e ω
.
Demostración:
Sea ∫
∞
∞
ω
⋅⋅=ω
-
tj-
dtex(t))X( la transformada directa de Fourier, si desplazamos
ω0:
[ ] ∫∫
∞
∞
ωω
∞
∞
ωωω
⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅
-
t-j(-
-
tj-tjtj
dtex(t)dtex(t)ex(t)eTF 000 )
∫
∞
∞
ωω
⋅⋅=ωω
-
)t-j(-
0 dtex(t))-X( 0
• TEOREMA DE DUALIDAD
La propiedad de dualidad nos dice que si conocemos pares de
transformadas y alguna de ellas nos aparece en el dominio contrario no es
necesario el cálculo de la integral de Fourier. Veamos con un ejemplo
gráfico.
Sean los pares de transformadas:
)X(x(t) ω↔
t
tj 0
ex(t) ω
⋅
ω
ω0
X(ω-ω0)

.
1.32
[ ] )x(2X(t)TF ω⋅π↔
Para frecuencias cíclicas, sabemos que f2 ⋅π=ω , nos queda:
X(f)x(t) ↔
[ ] x(-f)X(t)TF ↔
Demostración:
Sea ∫
∞
∞
ω
⋅⋅ω
π
=
-
tj
dte)X(
2
1
x(t) la transformada inversa de Fourier:
∫
∞
∞
ω
⋅⋅
π
=ω
-
jt
dteX(t)
2
1
)x( (Cambio de variable






ω
ω
por t
port
)
[ ] ∫
∞
∞
ω
⋅⋅=
-
tj-
dteX(t)X(t)TF (Transformada directa de Fourier por definición)
∫
∞
∞
ω
⋅⋅=ω⋅π
-
jt
dteX(t))x(2 (Pasamos
π2
1
al otro lado de la igualdad)
Si observamos las dos últimas ecuaciones, podemos comprobar que son iguales pero
con signo contrario. Cambiamos el signo en la última ecuación, nos queda:
τ
x(t)
t
A
ω
2
2sen
A)X(
τ⋅ω
τ⋅ω
⋅τ⋅=ω
TF[X(t)]
ωt
X(t)

.
1.33
[ ] )x(-2X(t)TF ω⋅π=
Nota: el signo sólo va a tener sentido para funciones impares, ya que para las pares
sabemos que x(ω) = x(-ω)
Para señales tanto periódicas como no periódicas se cumple que: X(ω) = X(-ω),
porque las transformadas son complejos y sabemos que Cn=C-n.
• PROPIEDADES DE LOS ESPECTROS.
Como ya vimos anteriormente, el espectro en amplitud es siempre par
frecuencia y el espectro en fase es siempre impar en frecuencia.
1.3. SISTEMAS LINEALES
Para estudiar el comportamiento de las señales al atravesar los sistemas
físicos la transformada de Fourier es una herramienta muy válida. A través de
ella podemos conocer también el comportamiento en frecuencia de dichos
sistemas, es decir cómo responden en frecuencia los circuitos físicos que
fabricamos.
Sistema Físico: Son componentes hardware que responden al paso de las señales
con una determinada salida a una determinada entrada. Por ejemplo, un circuito
RC.
Según su comportamiento, existen dos tipos de sistemas físicos:
- Sistemas Lineales.
- Sistemas No Lineales.
Los sistemas lineales, cumplen unas propiedades que los caracterizan en sí
mismo y que se definen a continuación:
• Homogeneidad y Linealidad.
SISTEMA
FÍSICO
x(t) y(t)
a·x(t) a·y(t)

.
1.34
• Invarianza en el tiempo: Se dice que un sistema físico es
invariante en el tiempo si:
Es decir, si la señal entra al sistema físico con un desfase temporal τ, la salida del
sistema estará retardada la misma magnitud. Si no se cumpliera alguna de estas
propiedades el sistema sería no lineal.
Un sistema lineal queda completamente definido por la función H(jω),
denominada FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA O FUNCIÓN DE RESPUESTA EN
FRECUENCIA, donde jω es el argumento complejo que indica que dicha función es
una función compleja de la frecuencia.
La función H(jω) es una función continua de la frecuencia que define completamente
el comportamiento en frecuencia del sistema lineal cuando lo atraviesan
determinadas señales. Todo sistema lineal viene definido:
Si conocemos dos parámetros del sistema lineal, podemos determinar el
tercero, es decir:
- si nos dan x(t) y H(jω) podemos conocer la salida y(t).
- si nos dan y(t) y H(jω) podemos conocer la entrada x(t).
- si nos dan y(t) y x(t) podemos conocer la función respuesta en
frecuencia H(jω).
H(jω) es, por definición, la transformada de Fourier de la función h(t),
función respuesta al impulso unitario. La función impulso unitario es una función
“prueba” de sistemas físicos.
x(t) ↔X(jω)
y(t) ↔Y(jω)
x(t-τ) y(t-τ)
H(jω)
x(t) y(t)

.
1.35
h(t) ↔H(jω)
Si tenemos un sistema lineal que responde a la salida con la función h(t),
significa que la señal de entrada es la función impulso unitario δ(t).
Si conocemos como responde un sistema a la función impulso unitario δ(t),
podemos saber como responde este mismo sistema a cualquier señal de entrada x(t).
Es decir, conozco δ(t) y en consecuencia la función respuesta a un impulso unitario
h(t), calculando TF[h(t)]=H(jω), que es la función de respuesta en frecuencia del
sistema lineal. Por tanto, conociendo la entrada x(t) y H(jω), puedo determinar la
salida y(t).
Vamos a ver como responde un sistema lineal a una señal de entrada x(t):
[ ] ∫
∞
∞−
−
⋅⋅== ωω
π
ω ω
dejXtxjXTF tj
)(
2
1
)()(1
[ ] ∫
∞
∞−
−
⋅⋅== ωω
π
ω ω
dejYtyjYTF tj
)(
2
1
)()(1
δ(t) h(t)
∑
∞
∞−
τ−δ⋅τ= )t()(x)t(x
t
δ(t) nos permite hacer discreta cualquier
señal continua, porque nos permite
descomponerla en impulsos.
H(jω)
x(t) y(t)

.
1.36
Cada uno de los infinitos valores que toma la señal de entrada x(t) viene afectado en la
misma proporción por H(jω). Por tanto:
∫
∞
∞−
⋅⋅⋅= ωωω
π
ω
dejHjXty tj
)()(
2
1
)(
)()()( ωωω jHjXjY ×= Producto.
Para obtener la salida sólo tendríamos que obtener la transformada inversa de Fourier de
Y(jω).
Del mismo modo:
)(
)(
)(
ω
ω
ω
jH
jY
jX =
)(
)(
)(
ω
ω
ω
jX
jY
jH =
Ejemplo: Supongamos un circuito RC como el de la figura:
Su función de respuesta en frecuencia viene dada por:
01
1
)(
ωω
ω
j
jH
+
=
Y su magnitud por:
( )2
01
1
)(
ωω
ω
+
=jH
Su representación espectral se puede ver en la figura 7:
R
C
v0(t)vi(t)
ωω0
0,707
Figura 7. Repuesta en frecuencia de un circuito RC.

.
1.37
Con buen criterio deberíamos escoger el rango de frecuencias en el que la
señal tiene amplitudes apreciables. Vamos a tomar ω0 ,como ancho de banda, donde
H(jw) toma el valor 0,707.
El ancho de banda del sistema físico tiene que ser siempre mayor que el de la
señal, si no, a la salida obtendremos la señal recortada en sus parámetros.
Normalmente, los receptores tienen un ancho de banda superior al de la señal
que se envía. Por ejemplo, la televisión tiene mayor ancho de banda que la señal que
recibimos. Esto se puede observar en el ejemplo de la figura 8.
1.3.1. Modelo de Sistemas Lineales
Como en realidad la función impulso unitario no existe en la naturaleza,
vamos a ver un ejemplo de cómo se puede aproximar un pulso real a la función .
Vamos en realidad a modelar un sistema.
Siguiendo con el ejemplo del circuito RC. Sea un pulso de anchura A y duración
τ. Vamos al laboratorio y excitamos el sistema RC con este pulso y observamos su
salida. Reducimos el pulso a la mitad y seguimos viendo como responde el circuito
RC ( Ver figura 9). Como se puede observar llegado un punto por más que se
reduzca el pulso la “forma” de la señal no cambia. En este punto el pulso de duración
τ y amplitud V se puede aproximar al producto . Se dice que el sistema se
ha estabilizado.
ω0 ancho de banda del sistema.
ω1 ancho de banda de la señal.ωω0
0,707
ω1
Figura 8. Comparativa de anchos de banda.
δ(t)
Vτ·δ(t)

.
1.38
Por lo tanto, para nuestro circuito:
Si excito ese sistema lineal obtengo como respuesta RCt
e
RC
VT
th −
⋅=)( . Por lo que
puedo obtener la función de respuesta en frecuencia H(jω), puesto que es la
trasformada directa de Fourier de h(t).
Luego si:
vi(t)
tτ
V
En el límite
)t(V
0
V δ⋅τ



→τ
∞→
v0(t)vi(t)
V
τ
V
τ
V
τ
V
τ
V
τ
V
τ
V
τ 0
V
τ 0
vi(t) v0(t)
tt
tt
tt
tt
Figura 9. Modelado de un circuito RC al impulso unitario.

.
1.39
)(
)()(
0 



⋅=
⋅=
− RCt
i
e
RC
V
tv
tVtv
τ
δτ
Simplificando Vτ a la entrada y a la salida, nos queda a la entrada la función
impulso unitario δ(t) y a la salida la función respuesta a un impulso unitario h(t).
Los sistemas físicos tienen constantes de estabilización que permiten
conocer cuando el comportamiento o la respuesta del sistema no cambia y
permanece estable.
NOTA: Sólo a partir del momento en el que el sistema se
hace estable y, suponiendo que τ << cte. de estabilización del
sistema físico, este pulso de área Vτ se puede modelar como
una función δ(t) con intensidad Vτ, es decir, Vτ·δ(t).
1.3.2. Teorema de Convolución
Vimos que con la función δ(t), podíamos descomponer cualquier señal x(t)
en una suma infinita de impulsos centrados en instantes de tiempo distintos y con
intensidades dependientes de la amplitud de la señal x(t) en cada instante..
RCt
e
RC
1
)t(h −
⋅=
δ(t)
x(t)
t
x(τ)
∆τ Cuanto más estrecho sea, más nos aproximamos.

.
1.40
Por lo tanto nuestra señal se podrá poner como:
∑
∞
∞−
−⋅∆⋅= )()()( τδττ txtx
donde:
τ∆⋅τ)(x ⇒ es la intensidad del impulso haciendo la misma
suposición de antes.
)t( τ−δ ⇒ es el instante en el que se produce el impulso.
El sumatorio representa la señal x(t) completa.
Si τ 0, el incremento se transforma en diferencial, el sumatorio pasa a ser la
integral de Riemann, y nos queda:
∫
∞
∞−
⋅−⋅= ττδτ dtxtx )()()(
Sabemos que si la función impulso unitario δ(t) es la señal de entrada de un
sistema lineal, a la salida tenemos la función respuesta a un impulso unitario h(t).
Con esto puedo determinar para cualquier señal de entrada x(t), cual es la
señal de salida y(t).
Esto que estamos enunciando es el Teorema de Convolución.
La integral que representa la convolución viene dada por:
∫
∞
∞−
⋅−⋅= τττ dthxty )()()( Integral de Convolución
Se dice que y(t) es igual a x(t) convolucionado con h(t). La integral de
convolución es simétrica y por tanto:
∫
∞
∞−
⋅−⋅=∗= τττ dthxthtxty )()()()()(
δ(t) h(t)
x(t) y(t)

.
1.41
simétrica.esPorque
)t(x)t(h)t(y
)t(h)t(x)t(y



∗=
∗=
Por lo que:
∫
∞
∞−
⋅−⋅= τττ dtxhty )()()(
Vamos a ver otro ejemplo de respuesta de un sistema lineal a la función
exponencial compleja:
Para la exponencial compleja tenemos que:
Aplicando convolución:
=∗=∗= )()()()()( thtxtxthty
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
=⋅−⋅=⋅−⋅= ττττττ dtxhdthx )()()()( (Si
)-t(j
eA)-x(t
tj
eAx(t)
τω
τ
ω
⋅=⇒⋅= )
=⋅⋅⋅= ∫
∞
∞−
−
ττ ωτω
deeh jtj
)( (Sacamos el término que no
depende de τ)
∫
∞
∞−
−
⋅⋅= ττ ωτω
dehe jtj
)(
Es decir la función y(t) de salida es igual a la exponencial compleja
multiplicada por la función de respuesta en frecuencia H(jω).
∫
∞
∞−
−
⋅⋅= ττ ωτω
dehety jtj
)()(
Si particularizamos para una determinada señal de frecuencia ω0 tenemos:
tj
eA)t(x ω
⋅= ¿y(t)?
tj 0
eA)t(x ω
⋅= )j(HeA)t(y 0
tj 0
ω⋅⋅= ω

.
1.42
Sabemos que la función respuesta en frecuencia, por ser un número complejo, se
puede poner en función de su módulo y su fase de la siguiente forma:
0
)()( 00
θ
ωω j
ejHjH ⋅=
Por lo que la salida a este sistema lineal se puede poner como:
00
)()( 0
θω
ω jtj
eejHAty ⋅⋅⋅=
es decir:
)(
0
00
)()( θω
ω +
⋅⋅= tj
ejHAty
La conclusión importante que sacamos es que en un sistema lineal, la señal
que lo atraviesa, sea del tipo que sea, sufre modificaciones en amplitud y en fase,
pero no en frecuencia. Esta variación viene dada por la función respuesta en
frecuencia:
0
)()( 00
θ
ωω j
ejHjH ⋅=
donde:
- )j(H 0ω es la amplitud.
- 0j
e θ
⇒ es la fase.
La frecuencia de la señal de entrada es idéntica a la de la señal de salida.
Generalizando para cualquier señal:
El desfase que introduce el sistema es θ0 y viene dado por 120 θ−θ=θ .
- Si no hubiese desfase a la entrada 20 θ=θ , es decir el desfase
que se produce a la salida lo produciría el propio sistema.
H(jω0)
)tcos(A)t(x 10 θ+ω⋅= )tcos(B)t(y 20 θ+ω⋅=

.
1.43
- Si por el contrario no hubiese desfase a la salida significaría que
el desfase que se introduce a la entrada es de signo contrario al que
produce el sistema, es decir: 10 θ−=θ
En cuanto a la amplitud:
A
B
jHAjHB =⇒⋅= )()( 00 ωω
Esto se demuestra si introducimos a la entrada de un sistema lineal una señal
tcosA)t(x 0ω⋅= .
2
e
2
e
2
ee
tcos
tjtjtjtj
0
0000 ω−ωω−ω
+=
+
=ω (sustituyendo en x(t))
tjtj 00
e
2
A
e
2
A
)t(x ω−ω
⋅+⋅= .
Sabemos:
Por lo que:
Si lo sumamos obtenemos la señal de salida:
=⋅ω⋅+⋅ω⋅= θ+ω−θ+ω )t(j
0
)t(j
0
0000
e)j(H
2
A
e)j(H
2
A
)t(y
=
+
⋅⋅=
+−+
2
)(
)()(
0
0000 θωθω
ω
tjtj
ee
jHA ).cos()( 000 θωω +⋅⋅ tjHA
tj 0
eA)t(x ω
⋅=
)t(j
0
00
e)j(HA)t(y θ+ω
⋅ω⋅=
tj 0
e
2
A
)t(x ω−
⋅=
)t(j
0
00
e)j(H
2
A
)t(y θ+ω−
⋅ω⋅=
tj 0
e
2
A
)t(x ω
⋅=
)t(j
0
00
e)j(H
2
A
)t(y θ+ω
⋅ω⋅=

.
1.44
1.3.3. Función δ(t) como función prueba de Sistemas Lineales
Como ya sabemos si conocemos la función respuesta en frecuencia a un
impulso unitario, h(t), podemos conocer por convolución, la salida a cualquier señal
de entrada x(t). Vamos a ver por qué la función δ(t) es la “mejor” función prueba de
sistemas físicos.
La representación en el dominio de la frecuencia de un pulso centrado en el
origen era, como vimos anteriormente, la siguiente:
En la representación espectral el primer corte con el eje de abscisas τ
≈ K . Si
vamos reduciendo en el dominio temporal τ, en el dominio de la frecuencia el primer
corte con el eje de abscisas se irá produciendo a frecuencias mayores. Gráficamente:
Cuando hablamos de A ∞ y τ 0, en el dominio de la frecuencia el primer
corte con el eje de abscisas se producirá ¡¡en el infinito!!. Por lo tanto podemos decir
τ
x(t)
t
A
ω
2
2sen
A)X(
τ⋅ω
τ⋅ω
⋅τ⋅=ω
t
x(t)
τ
X(ω)
ω

.
1.45
que la transformada de Fourier de δ(t) es una raya de valor unitario desde - ∞ hasta
+ ∞.
Esto se demuestra intuitivamente. Si utilizamos δ(t) para excitar un circuito
físico, la respuesta en frecuencia del sistema, es en realidad, una respuesta a
todas las frecuencias posibles de entrada. Es ancho de banda será equivalente a
todas las frecuencias posibles. Es, por tanto, como si se probase el sistema para
todas las frecuencias que existen, por lo que la función impulso unitario es muy
válida como función prueba.
1.3.4. Teorema de Parseval
El teorema de Parseval nos dice que “la energía no cambia al pasar del
dominio temporal al dominio de la frecuencia”, y viceversa. Es decir, no existe pérdida
de energía al pasar de un dominio a otro.
22
)()( txfX ≈
)()()( *2
fXfXfX ⋅=
2
)( fX ⇒ DENSIDAD ESPECTRAL, es decir, energía total de la señal.
∫ ⋅=
T
0
2
m dtx(t)
1
P
T
∫∫
∞
∞
∞
∞
⋅=⋅=
-
2
-
2
T dfX(f)dtx(t)E






∞→
→τ
⇒δ
A
0
)t(
t ω
X(ω)
1
δ(t)

.
1.46
1.4. ANEXO
1.4.1. Tabla de integrales
1. ∫ +
+
=⋅
+
C
1n
x
dxx
1n
n
2. ∫ += C)x(Ln
x
dx
3. ∫ +=⋅ Cedxe xx
4. ∫ +=⋅ C
)a(Ln
a
dxa
x
x
5. [ ] Cxcosdxxsen +−=⋅∫
6. [ ] Cxsendxxcos +=⋅∫
7. [ ] CxcosLndxxtg +−=⋅∫
8. [ ] CxsenLndxxgcot +=⋅∫
9. ∫ +−= Cxgcot
xsen
dx
2
10. ∫ += Cxtg
xcos
dx
2
11. ∫ +=
−
Cxarcsen
x1
dx
2
12. ∫ +=
−
C
a
x
arcsen
xa
dx
22
13. ∫ +±+=
±
CaxxLn
ax
dx 22
22
14. ∫ +=
+
Cxarctg
x1
dx
2
15. ∫ +⋅=
+
C
a
x
arctg
a
1
xa
dx
22

.
1.47
16. ∫ +
−
+
⋅=
−
C
xa
xa
arctg
a2
1
xa
dx
22
17. ∫ +
+
−
⋅=
−
C
ax
ax
arctg
a2
1
ax
dx
22
1.4.2. Tabla de derivadas
1. )x(g)x(fy += )x('g)x('f'y +=
2. )x(fKy ⋅= )x('fK'y ⋅=
3. )x(g)x(fy ⋅= )x('g)x(f)x(g)x('f'y +⋅=
4.
)x(g
)x(f
y =
)x(g
)x('g)x(f)x(g)x('f
'y 2
⋅−⋅
=
5. [ ]n
)x(fy = [ ] 'f)x(fn'y 1n−
=
6. )x(Lnfy =
f
'f
'y =
7. )x(fLny a= elog
)x(f
)x('f
'y a=
8. )x(f
ay = aLn)x('fay' )x(f
⋅⋅=
9. )x(g
)x(fy = 





+⋅=
)x(f
)x('f
)x(g)x(fLn)x('g)x(f'y )x(g
Pasos:
9.1. )x(g
)x(fLnyLn =
9.2. )x(fLn)x(gyLn ⋅=
9.3.
)x(f
)x('f
)x(g)x(fLn)x('g
y
'y
⋅+⋅=
9.4. 





⋅+⋅⋅=
)x(f
)x('f
)x(gfLn)x('gy'y
10. )x(fseny = )x(fcos)x('f'y ⋅=
11. )x(fcosy = )x(fsen)x('f'y ⋅−=
12. )x(ftgy = [ ])x(ftg1)x('f'y 2
+⋅=

.
1.48
13. )x(farctgy =
)x(f1
)x('f
'y 2
+
=
14. )x(farcseny =
)x(f1
)x('f
'y
2
−
=
15. )x(farccosy =
)x(f1
)x(f
'y
2
−
−
=
16. [ ])x(gfy ο= ( ) )x('g)x(g'f'y =

.
1.49
1.4.3. Razones trigonométricas
1. FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA
1cossen 22
=α+α
α=α+ 22
eccosgcot1
α
=
α
α
+
α
α
22
2
2
2
sen
1
sen
cos
sen
sen
α=α+ 22
sectg1
α
=
α
α
+
α
α
22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos
sen
2. RELACIONES ENTRE CUADRANTES
)º180sen(sen α−=α )º90cos(sen α−=α
)º180cos(cos α−−=α )º90sen(cos α−=α
)º180sen(sen α+−=α )º270cos(sen α+=α
)º180cos(cos α+−=α )º270sen(cos α+−=α
3. RELACIONES
bsenacosbcosasen)basen( ⋅±⋅=±
bsenasenbcosacos)bacos( ⋅⋅=± µ
4. ANGULO DOBLE
α⋅α=α cossen22sen
α−α=α 22
sencos2cos
α−
α
=α 2
tg1
tg2
2tg
5. ANGULO MITAD
2
cos1
2
sen
α−
±=
α
2
cos1
2
cos
α+
±=
α
α+
α−
±=
α
cos1
cos1
2
tg
6. SUMA Y DIFERENCIA

.
1.50
2
BA
cos
2
BA
sen2BsenAsen
−
⋅
+
=+
2
BA
sen
2
BA
cos2BsenAsen
−
⋅
+
=−
2
BA
cos
2
BA
cos2BcosAcos
−
⋅
+
=+
2
BA
sen
2
BA
sen2BcosAcos
−
⋅
+
−=−
7. OTRAS:





 α+
=
α
2
cos1
2
cos2





 α+
=α
2
2cos1
cos2





 α−
=
α
2
cos1
2
sen2
α−=α− sen)sen(
α=α− cos)cos(
1.4.4. Otras notas de interés
0
n
=
∞
∞=
∞
n
0
n
0
=
0
n
=
∞
0
0
=
∞
∞=
∞
0
00 =∞ 1(n <∞=∞
)1n0(0n ≤≤=∞
∞=∞
e
0e =−∞
11
=
∞
=
∞
=∞ ∞−∞
∞−
=±∞ n
∞=⋅∞ n

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