Dokumen tersebut membahas algoritma metode numerik biseksi untuk menemukan nilai x yang memaksimumkan suatu fungsi. Langkah-langkahnya meliputi penentuan batas interval awal, pembagian interval menjadi dua bagian yang sama, evaluasi fungsi pada titik tengah interval, dan penyempitan interval berdasarkan tanda fungsi hingga mencapai ketelitian yang diinginkan. Contoh soal diberikan untuk mencari pembuat maksimum fungsi f(x)=1
Uji hipotesis, prosedur hipotesis, dan analisis data
Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT
1. Tugas Kelompok
Metode Numerik Biseksi
Dimas Febriyan (1384202209)
Dwi Wahyuningrum (1384202011)
Nur Aliyah (1384202043)
Nur Ukhti Salamah (1384202147)
09 Maret 2016
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
2. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
3. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
4. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
5. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
6. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
7. Algoritma Biseksi
1 Tentukan a1, b1, dan δ
2 Tentukan n terkecil yang memenuhi
1
2
n
≤
2δ
L
3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:
λk =
ak + bk
2
4 Tentukan kondisi yang akan digunakan
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1
5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
8. Contoh Soal
Carilah nilai x yang memaksimumkan
f (x) = 1, 5x − x2
dengan δ = 0.1 dan selang
−1 ≤ x ≤ 1
Dengan metode numerik Biseksi.
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
9. Solusi
Metode Analitik
f (x) = 1, 5x − x2
Kita turunkan terhadap fungsi x
f (x) = 1, 5 − 2x = 0
1, 5 = 2x
x =
1, 5
2
= 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
10. Solusi
Metode Analitik
f (x) = 1, 5x − x2
Kita turunkan terhadap fungsi x
f (x) = 1, 5 − 2x = 0
1, 5 = 2x
x =
1, 5
2
= 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
11. f (x) = 1, 5 − 2x = 0
Lalu kita turunkan kembali terhadap fungsi x
f (x) = −2
Karena f < 0, maka dapat disimpulkan bahwa
x = 0, 75 merupakan pembuat maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x − x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
12. f (x) = 1, 5 − 2x = 0
Lalu kita turunkan kembali terhadap fungsi x
f (x) = −2
Karena f < 0, maka dapat disimpulkan bahwa
x = 0, 75 merupakan pembuat maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x − x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
13. Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1 − (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
14. Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1 − (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
15. Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1 − (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
16. Metode Numerik Biseksi
Karena selangnya
−1 ≤ x ≤ 1
maka a1 = −1 dan b1 = 1
Panjang selangnya
L = b1 − a1 = 1 − (−1) = 2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
17. Dicari nilai n terkecil
1
2
n
2δ
L
=
0, 2
2
=
1
10
Maka nilai n = 4,karena
1
2
4
=
1
16
1
10
=
2δ
L
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
18. Dicari nilai n terkecil
1
2
n
2δ
L
=
0, 2
2
=
1
10
Maka nilai n = 4,karena
1
2
4
=
1
16
1
10
=
2δ
L
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
19. Dicari nilai n terkecil
1
2
n
2δ
L
=
0, 2
2
=
1
10
Maka nilai n = 4,karena
1
2
4
=
1
16
1
10
=
2δ
L
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
20. Iterasi 1
• a1 = −1
b1 = 1
λ1 =
a1 + b1
2
=
−1 + 1
2
=
0
2
= 0
• Substitusikan λ1 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ1) = 1, 5 − 2λ1 = 1, 5 − 2(0) = 1, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
21. Iterasi 1
• a1 = −1
b1 = 1
λ1 =
a1 + b1
2
=
−1 + 1
2
=
0
2
= 0
• Substitusikan λ1 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ1) = 1, 5 − 2λ1 = 1, 5 − 2(0) = 1, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
22. Iterasi 1
• a1 = −1
b1 = 1
λ1 =
a1 + b1
2
=
−1 + 1
2
=
0
2
= 0
• Substitusikan λ1 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ1) = 1, 5 − 2λ1 = 1, 5 − 2(0) = 1, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
23. Iterasi 2
Karena
f (λ1) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ1 = a2 = 0
dan
b1 = b2 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
24. Iterasi 2
Karena
f (λ1) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ1 = a2 = 0
dan
b1 = b2 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
25. Maka
λ2 =
a2 + b2
2
=
0 + 1
2
=
1
2
= 0, 5
Subtitusikan λ2 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ2) = 1, 5 − 2λ2 = 1, 5 − 2(0, 5) = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
26. Maka
λ2 =
a2 + b2
2
=
0 + 1
2
=
1
2
= 0, 5
Subtitusikan λ2 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ2) = 1, 5 − 2λ2 = 1, 5 − 2(0, 5) = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
27. Maka
λ2 =
a2 + b2
2
=
0 + 1
2
=
1
2
= 0, 5
Subtitusikan λ2 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ2) = 1, 5 − 2λ2 = 1, 5 − 2(0, 5) = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
28. Iterasi 3
Karena
f (λ2) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ2 = a3 = 0, 5
dan
b2 = b3 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
29. Iterasi 3
Karena
f (λ2) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ2 = a3 = 0, 5
dan
b2 = b3 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
30. Maka
λ3 =
a3 + b3
2
=
0, 5 + 1
2
=
1, 5
2
= 0, 75
Subtitusikan λ3 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ3) = 1, 5 − 2λ3 = 1, 5 − 2(0, 75) = 0
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
31. Maka
λ3 =
a3 + b3
2
=
0, 5 + 1
2
=
1, 5
2
= 0, 75
Subtitusikan λ3 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ3) = 1, 5 − 2λ3 = 1, 5 − 2(0, 75) = 0
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
32. Maka
λ3 =
a3 + b3
2
=
0, 5 + 1
2
=
1, 5
2
= 0, 75
Subtitusikan λ3 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ3) = 1, 5 − 2λ3 = 1, 5 − 2(0, 75) = 0
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
33. Karena
f (λ3) = 0
maka kita akan menggunkan 2 percobaan, yaitu
menggunakan kondisi 1 dan 2.
Dimana :
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan
bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan
ak = ak+1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
34. Karena
f (λ3) = 0
maka kita akan menggunkan 2 percobaan, yaitu
menggunakan kondisi 1 dan 2.
Dimana :
Kondisi 1: Jika f (λk) > 0, λk = ak+1 dan
bk = bk+1
Kondisi 2: Jika f (λk) < 0, λk = bk+1 dan
ak = ak+1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
35. Kondisi 1: Jika f (λk) > 0
Iterasi 4
• Karena f (λk) > 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = a4 = 0, 75
dan
b3 = b4 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
36. Kondisi 1: Jika f (λk) > 0
Iterasi 4
• Karena f (λk) > 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = a4 = 0, 75
dan
b3 = b4 = 1
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
37. • Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 75 + 1
2
=
1, 75
2
= 0, 875
• Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 875) = −0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
38. • Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 75 + 1
2
=
1, 75
2
= 0, 875
• Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 875) = −0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
39. • Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 75 + 1
2
=
1, 75
2
= 0, 875
• Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
• Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 875) = −0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
40. Iterasi 5
Karena
f (λ4) < 0
maka diambil λk dan ak, masing-masing
sebagai :
λ4 = b5 = 0, 875
dan
a4 = a5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
41. Iterasi 5
Karena
f (λ4) < 0
maka diambil λk dan ak, masing-masing
sebagai :
λ4 = b5 = 0, 875
dan
a4 = a5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
42. Sehingga
x∗
= ak +
bk − ak
2
= 0, 75 +
0, 125
2
= 0, 75 + 0, 0625 = 0, 8125
x∗
≈ 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
43. Tabel Iterasi Kondisi 1
• Dengan menggunakan metode Numerik Biseksi diperoleh
perhitungan sbb :
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
44. Kondisi 2: Jika f (λk) < 0
Iterasi 4
Karena f (λk) < 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = b4 = 0, 75
dan
a3 = a4 = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
45. Kondisi 2: Jika f (λk) < 0
Iterasi 4
Karena f (λk) < 0, maka diambil λk dan bk,
masing-masing sebagai :
λ3 = b4 = 0, 75
dan
a3 = a4 = 0, 5
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
46. Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 5 + 0, 75
2
=
1, 25
2
= 0, 625
Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 625) = 0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
47. Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 5 + 0, 75
2
=
1, 25
2
= 0, 625
Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 625) = 0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
48. Maka
λ4 =
a4 + b4
2
=
0, 5 + 0, 75
2
=
1, 25
2
= 0, 625
Subtitusikan λ4 pada persamaan
f (λ) = 1, 5 − 2λ
Sehingga
f (λ4) = 1, 5 − 2λ4 = 1, 5 − 2(0, 625) = 0, 25
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
49. Iterasi 5
Karena
f (λ4) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ4 = a5 = 0, 625
dan
b4 = b5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
50. Iterasi 5
Karena
f (λ4) > 0
maka diambil λk dan bk, masing-masing
sebagai :
λ4 = a5 = 0, 625
dan
b4 = b5 = 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
51. Sehingga
x∗
= ak +
bk − ak
2
= 0, 625 +
0, 125
2
= 0, 625 + 0, 0625 = 0, 6875
x∗
≈ 0, 75
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
52. Tabel Iterasi Kondisi 2
• Dengan menggunakan metode Numerik Biseksi diperoleh
perhitungan sbb :
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
53. Setelah dilakukan percobaan tersebut,
menggunakan kondisi 1 maupun kondisi 2,
keduanya menghasilkan
x∗
≈ 0, 75
Dengan menggunakan Metode Analitik
ataupun Metode Biseksi menghasilkan
x = 0, 75, maka dari itu dapat disimpulkan
bahwa x = 0, 75 merupakan pembuat
maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x − x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang
54. Setelah dilakukan percobaan tersebut,
menggunakan kondisi 1 maupun kondisi 2,
keduanya menghasilkan
x∗
≈ 0, 75
Dengan menggunakan Metode Analitik
ataupun Metode Biseksi menghasilkan
x = 0, 75, maka dari itu dapat disimpulkan
bahwa x = 0, 75 merupakan pembuat
maksimal fungsi
f (x) = 1, 5x − x2
Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang