ES UN APORTE INICIAL DE UN GRUPO DE ESTUDIANTES DE LA UTM

1. CATEDRATICO. ING. RAFAEL SALCEDO
MUÑOZ

2. CENTRO DE APOYO ARENILLAS
I ng. Civil. Raf ael Salcedo
Muñoz
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3. INTERÉS COMPUESTO
Se caracteriza por que el interés generado en una unidad
de tiempo se suma al capital y este valor nuevamente gana
interés y se acumula al nuevo capital. Ejemplo:
M= capital[1 + interés (tiempo)]
Primer periodo M = 4.000.000 [1+ 0,10(1) = 4.400.000
Segundo periodo M = 4.400.000 [1+ 0,10(1) = 4.840.000
Tercero periodo M = 4.840.000 [1+ 0,10(1) = 5.324.000
Cuarto periodo M = 5.324.000 [1+ 0,10(1) = 5.856.400
Quinto periodo M = 5.856.400 [1+ 0,10(1) = 6.442.040
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4. INTERÉS SIMPLE
Interés producido por un capital al que se acumulan
los réditos para que produzcan otros. Ejemplo:
I= capital (interés) (tiempo)
I = 4.000.000 (0.10) (5) = 2.000.000
Monto a cobro = C + I
M = 4.000.000 + 2.000.000
M = 6.000.000
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5. DIFERENCIA DE LOS RESULTADOS
Los montos de cobros son variables ya que en el
compuesto se acumulan en el nuevo capital y en simple es
constante durante todos los periodos.
Monto interés compuesto = 6.442.040
Monto interés simple = 6.000.000
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6. VARIABLES DE INTERÉS COMPUESTO
Periodo de capitalización.- el espacio de tiempo en que
el interés se adiciona o se acumula al capital, puede ser
anual, semestral, trimestral, mensual, etc. (n)
Tasa de interés.- representa la tasa diaria, mensual,
semestral, anual, etc., depende si la capitalización es día,
mes, semestre, año, etc. (i)
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7. Ejemplo: 5.2 Ejemplo: 5.2
t = 7 años . Calculo n y la tasa de i, de un
n=. numero total de meses . capital colocado a interés
# meses del periodo de capitalización compuesto durante 9 años, con
n = 7(12) / 6 = 14 semestres una tasa de interés del 24%
semestral
i=. tasa anual .= . Tasa anual
# capitalizaciones en el año m tasa nominal anual 24%
n = 0,15 / 2 = 0,075 t = 9 años ;
m=. 360 . n = 9(12) / 6 = 18
# días del periodo
m = 360 / 180 = 2 i = 0,24 / 2 = 0,12
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8. FORMULA DEL MONTO A INTERÉS COMPUESTO
 El monto de un capital a interés compuesto, o monto compuesto, es el
valor del capital final o capital acumulado después de sucesivas
adiciones de los intereses.
Formula de cálculo: I = Cit
Capital al Monto al
Primer año
Periodo inicio del Interés final del I = 100.000 (0,12) 1 = $ 12.000
periodo periodo M = 100.000 + 12.000 = 112.000
1 100.000 12.000 112.000
Segundo año
2 112.000 13.440 125.440 I = 112.000 (0,12) 1 = $ 13.440,00
M = 11200.000 + 13.440,00 = 125.440,00
3 125.440 15.052,80 140.492,80
tercer año
4 140.492,80 16.859,14 157.351,94 I = 125.440 (0,12) 1 = $ 15.052,80
M = 125.440 + 15.052,80 = 140.492,80
Cuarto año
I = 140.492,80 (0,12) 1 = $ 16.859,14
M = 140.492,80 + 16.859,14 157.351,94
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9.  De conformidad con el análisis realizado, hemos identificado que a medida
que se presentan las necesidades ya sean personales, de las empresa publica o
privada en relación de los calculo se incrementa el capital de acuerdo a los
métodos a utilizar como por ejemplo los de :
a) interés simple,
b) interés compuesto, y que inclusive se pueden relacionar con otros tipos de
operaciones matematicas.
n Ejm:
M = C(1+i) que se podrá continuar hasta la enésima potencia.
m.t
M= C(1+j/m)
M = Monto C = Capital inicial
j = Tasa de interés nominal m = número de capitalización en el año
t = número de años
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10. MONTO COMPUESTO CON PERIODOS DE CAPITALIZACION FRACIONARIOS
 Cuando el tiempo de pago no coincide con el periodo de capitalización, se
presenta el caso de los periodos de capitalización Fraccionario, Ejm:
Deuda = 4años y 9meses
Tasa de interés = 14%capitalizable semestralmente
4 (12) + 9 57 54 3
n = ------------------- = ----- = ----- + ----- = 9.5 semestre.
6 6 6 6
TASAS EQUIVALENTES
FORMULAS DE EQUIVALENCIA TASA NOMINA – TASA EFECTIVA
 El monto de $ 1,00 a la tasa i en un año, es 1(1+1) = 1 + i = M
m
 El monto de $ 1,00 a la tasa j con m capitalizaciones en el año, es M = (i + j/ m)
 Considerando que los dos montos son iguales, se puede plantear la identidad
m
(1+i) = (1 + j /m)
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11. ALTERNATIVAS DE TASAS DE INTERÉS
INVERSIÓN COMPARANDO ANTICIPADA
TASAS DE INTERÉS  Es la que permite pagar o
 En el mercado financiero es cobra de forma anticipada los
frecuente encontrar tasas de intereses, y su aplicación es
interés con diferentes tipos de igual a la de la alternativa de
capitalización, su análisis deberá inversión comparado tasa de
ser matemática, interés y el descuento
Ejm: Calcular (n ) y (i ) de un bancario.
capital compuesto durante 5años Ejm: la tasa de interés efectiva
a una tasas de interes 15% anual anticipada es equivalente a
capitalizables trimestralmente. una tasa anticipada del 48%
t = 5 años i = 15% anual capitalizable
n = 5 (12)/3 = 20; divide #meses del periodo cuatrimestralmente.
m = 360/90 = 4; se capitaliza 4 veces año m = 360/120 =3
-3
1 + i = (1- 0.48/3)
i = 0.15 /4 =0.0375 = 3 ,75% i = 1,6871821 – 1
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12. CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS Y DEL TIEMPO EN INTERÉS COMPUESTO
 Esta se calcula partiendo de la formula Ejm.: ¿A qué tasa efectiva se convertirá
del Monto a interés compuesto. un capital de $300.000,oo en un
monto de 450.000,00 en 6 año?.
n
n
M = C(1+i) ; M = C(1 + m . t
j/m) M = C(1+i) esto es = M/C = (1+i)
450.000 6 6
M ________ = (1+ i) = 1,5 = (1+ i)
n
------- = (1+ i) 300.000
C
Para despejar i , se presenta tres
Por logaritmo
alternativas. Utilizando logaritmos:
6
Log 1 ,5 = Log (1+i)
n
Log (M/C) = Log (1+i)
Log 1 ,5 = 6 Log (1+i)
Log (M/C) = n Log (1+i) 0.176091 / 6 = Log (1+i)
0.029348 = Log (1+i)
__________ = Log (1+i)
Log (M/C)
n CATEDRATICO. ING. RAFAEL SALCEDO
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13. EL VALOR ACTUAL A INTERÉS COMPUESTO, O CALCULO DEL CAPITAL
 El valor actual a interés
compuesto es el valor de un
documento, bien o deuda, antes
de la fecha de su vencimiento,
considerando determinada tasa de
interés -m.t
Para el efecto, se considera la formula -2(4)
n
del monto a interés compuesto:
M = C(1+i) , de donde se despeja C -8
M -n
(1+ i) n
C = --------- C = M (1 + i )
m.t
M = C(1 + j/m) -m.t
entonces
C = M (1 + j /m) formula del valor
actual a interés compuesto.
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14. PRECIO DE UN DOCUMENTO Ejm.: Se calcula el monto
10
 Cuando se negocia a la par, es decir , la M= 3.000.000(1+0,05) = $8.142.242,54
tasa de negociación es la misma que la Se halla el valor actual o precio de negociación:
nominal y el precio se mantiene sin
variaciones; cuando se negocia con a) primera alternativa, i = 18 % anual
0
premio a tasa de negociación es menor capitalizando trimestralmente.
que la nominal y el precio sube C= 8.142.242,54( 1+ 0.045) -12
C= $ 4.801.186,205. Esta es una negociación con
1
premio.
2
b) segunda alternativa, i=21% Capitalizando
-6
semestralmente, C= 8.142.242,54( 1+ 0.105)
3
C= $ 4.472.706,152. Esta es una negociación a la par.
4
c) Tercera alternativa, i= 24% efectiva
C= 8.142.242,54( 1+ 0,24) -3
5
C= $ 4.270.502,49. Esta es una negociación con castigo
es el precio más bajo de los tres.
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15. VALOR ACTUAL CON EL TIEMPO FRACIONARIO
-n -1
(3) (12) + 8 44 42 2 2
6 6 6 6 6
-7 -1
0,14 2
2 12
-7 -1
2
6
-1
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16. DESCUENTO COMPUESTO
 Es la diferencia entre el monto y el valor actual de un documento, deuda, etc. El
descuento compuesto puede calcularse de dos maneras.
Descuento compuesto Matemático ó el Descuento compuesto Bancario.
-n
Ejm.: Dc = M – M(1+i) Ejm.: Dbc = M[1- ( 1 – d)-n ]
M= 9.000.000; i=15%; n= 3; M= 9.000.000; d=15%; n= 3;
3
Dc= M[1-(1+i) -n] Dbc= 9.000.000 [1- (1-0,15) ]
-3
Dc= 9.000.000 - 9.000.000 (1+0,15) Dbc= 9.000.000 [1- 0,614125]
-3
Dc= 9.000.000 [1-(1,15) ] Dbc= $ 3.472.875
Dc= 9.000.000 (1 - 0,657516)
Es notable que el bancario es mayor con
Dc= 9.000.000 (0,342484) una diferencia por tal razón no se lo
utiliza de forma frecuente.
Dc= $ 3.082.353,91
Calcular el descuento compuesto de un documento cuyo monto será $9.000.000, luego de 10
años, si se descontó tres años antes deING.vencimiento a una tasa de interés del 15% efectiva.
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17. ECUACION DEL VALOR E INTERÉS COMPUESTO
Se utilizan cuando se requiere remplazar un conjunto de obligaciones por otro conjunto
de diferentes valores o capitales disponibles en diferentes tiempos, tomando en
consideración una fecha común, llamada también fecha focal.
Ejm.: Obligaciones de la empresa Tercer año $900.000 a 12meses plazo; $ 1.200.000 a
18mese plazo, y 1.800.00 0 a 24meses plazo ¿si consigue que sus acreedores le
acepten consolidar sus tres deudas para cancelarlas al final de 24meses cual será el
valor de este pago ?
Se toma los 24meses como fecha focal por ser la fecha de pago; los dos primeros
valores serán montos por cuanto ganaran intereses por 2 y 1 periodos y el ultimo no se
altera:
2 1
x= 900.000 (1+0,075) + 1.300.000 (1+0,075) + 1.800.000
x= 900.000 (1,155625) + 1.300.000 (1,075) + 1.800.000
x= 1.040.062,50 + 1397.500 + 1.800.000
x= $ 4.237.562,50 el interés es alto SALCEDO
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18. COMPARACIÓN DE OFERTAS
La selección de ofertas en compras y ventas de bienes o servicios, se considera las
ecuaciones del valor que ayudan a seleccionar la oferta mas alta para el vendedor o la
mas baja para el comprador a largo plazo, tomando como fecha focal el tiempo 0.
24 12 2 0
REMPLAZO DE LAS OBLIGACIONES POR DOS PAGOS IGUALES
Se utiliza solo en el reemplazo de las obligaciones por do pagos iguales, se escoge la
fecha de pago como fecha focal.
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19. TIEMPO EQUIVALENTE Ejm.: Encontrar el tiempo equivalente o
vencimiento promedio de las siguientes
Es el tiempo de vencimiento obligaciones: $1.000.000 a 1 año plazo;
promedio de dos o más deudas, 2.000.000 a 2 años y 6 meses de plazos; $
valores u obligaciones. 3.000.000 a 2 años y 9 meses de plazo.
1.000.000 (1)+2.000.000(2,5)+3.000.000(2.75)
M1 t1 + M2 t2 + M3 t3 + M4 t4…… T.E.=
T.E. = ------------------------------------------ 1.000.000 + 2.000.000 +3.000.000
M1 + M2 + M4…… --------------------------------------------------------
1.000.000 +5.000.000 + 8.250.000
6.000.000
T.E. = --------------------------------------------------------
14.2500.000
Es decir, es igual a la suma de los 6.000.000
diferentes montos multiplicados por T.E. = --------------------------
sus tiempos de vencimiento, divididas
por la suma de los respectivos montos, T.E. =2,375 años
por cuanto lo que se calcula es un 1 año ----------- 360 días
tiempo de vencimiento promedio. 0,375 años ----------- X
X= 135 días
T.E. = 2 años, 4 meses y 15 días.
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