Diapositivas integral definida

 INTRODUCCIÓN

 Este artículo permite captar rápidamente la interpretación
geométrica de la Integral Definida: área bajo la curva entre
dos puntos dados. Se utiliza un procedimiento diferente al
de aproximaciones sucesivas de rectángulos, usualmente
empleado; contiene al de integración por medio de
trapecios y es consecuencia de un enfoque propuesto para
el cálculo de áreas de polígonos.
Para su comprensión es conveniente la consulta del
artículo: Área de los Polígonos- enfoque para el cálculo,
publicado en monografías.com, por cuanto se utiliza la
fórmula general de cálculo propuesta en el mencionado
trabajo. No obstante, en forma rápida, introduciremos la
fórmula para el caso de figuras de tres y cuatro lados.

CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ

Integración Numérica
Integral definida: Cálculo
Fórmula de los Trapecios
Regla de Simpson
Integración de Romberg
Otros métodos (Newton-Cotes, Gauss)


Integral definida: Cálculo
Regla de Barrow
b
f ( x)dx F( b) F(a )
a

Pero...
 Funciones sin primitiva sencilla
sen( x ) t
-x
2

dx e dx
0 x 0

 Datos experimentales: área de un terreno.


Fórmula de los Trapecios
Simple
f (a ) f (b)
IT (b a)
2
Error

3
(b a)
ET f ( ), [a , b]
12


Fórmula de los Trapecios
Compuesta
h
IT[h] (y0 2 y1 2y2  2yn 1
yn)
2
Error
2
h
ET (b a ) f ( ), [a , b]
12
Exacta para funciones de 1er grado


Algoritmo TRAPECIO
Integra aproximadamente f(x) en el intervalo [a,b] aplicando la fórmula
de los trapecios con n subintervalos.
Datos de entrada: a,b,n
Proceso
 Dividir el intervalo en n subintervalos
 Evaluar la función en los extremos
de los subintervalos
 Aplicar la formula de los trapecios:
IT[h] = h/2(y0 +2y1+2y2+...+2yn-1+yn)
Salida: Integral aproximada

Indicación: usar vectores en lugar de bucles para evaluar la Fórmula de
los Trapecios.

Fórmula de Trapecios iterativa
Supongamos que n es par:
IT[h] = h/2 (y0 + 2y1 + 2y2 + ... + 2yn-1 + yn) =

= h/2 (y0 + 2y2 + 2y4 + ... + 2yn-2 + yn) +
+ h (y1 + y3 + y5 + ... + yn-1) =

= IT[2h]/2 + h(y1 + y3+...+yn-1)

Refinar la partición y actualizar la integral


Algoritmo TRAPITER
Refina iterativamente la partición del intervalo [a,b] y actualiza la
Fórmula de los Trapecios para aproximar la integral de f(x) hasta una
precisión determinada.
Datos de entrada: a, b, n, tol.
Inicio: I = trapecio(a,b,n)
Iteraciones:
mientras error > tol
dividir en 2 cada intervalo
x = nuevos puntos, y = f(x)
Inueva = I/2 + h*sum(y) % Actualización de la
error = abs(I-Inueva) % integral
I = Inueva
fin mientras

Regla de Simpson simple
(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2) con x1=x0+h, x2=x1+h

 Polinomio de diferencias progresivas
P(t)= y0+(y1-y0)t+1/2(y0-2y1+y2)t(t-1); ht=x-x0

Integral

x2 2 h
f ( x ) dx hP ( t ) dt ( y0 4 y1 y2 ) I S [h]
x0 0 3


Regla de Simpson
Compuesta
h
IS[h] (y0 4 y1 2y2  4yn 1
yn)
3
Error
4
h IV
ES (b a)f ( ), [a , b]
180
Exacta para polinomios de 3er grado


Integración de Romberg

 Relación Simpson-Trapecio par 2n subdivisiones
de [a, b].

4 IT [h] IT [2h]
I S [h]
3


Tabla de Romberg
IT[h]
IT[h / 2] IS[h / 2]
IT[h / 4] IS[h / 4] I R [h / 4]
I T [ h / 8] I S [ h / 8] I R [ h / 8] I Q [ h / 8]
   

Expresión general:
j 1
4 Ik,j 1
Ik 1, j 1
I kj j 1
4 1
Error de orden h2j
Exacta para polinomios de grado 2j-1

Algoritmo ROMBERG
 Integra f(x) en [a,b], aplicando el método de Romberg.
Datos de entrada: a,b,n,tol
 Proceso: Construccion de la tabla de Romberg
k = 1, I(1,1) = trapecio(a,b,n); % Fila 1
mientras error > tol
k = k+1 % Fila k
dividir en 2 cada subintervalo
x = nuevos puntos, y = f(x)
I(k,1) = I(k-1,1)/2 + h*sum(y)
para j = 2 : k % Aplica el método de Romberg
I(k,j) = (4^(j -1)*I(k,j -1) - I(k -1,j -1)) / (4^(j -1) -1)
fin para
error = abs(I(k,j) - I(k,j -1))
fin mientras


Método de Newton-Cotes
Dados x0, x1, x2, ..., xn en [a,b], determinar A0, A1, A2, ..., An
tales que para todo polinomio p(x) de grado < n,

b
p ( x ) dx
a

A 0p(x 0 ) A 1p ( x1 )  A n p ( x n )

Sustituyendo p(x) = 1,x ,x2 , ... , xn se obtiene un sistema lineal
del que se despejan A0, A1, A2, ..., An


Cuadratura de Gauss
Determinar puntos x0, x1, x2, ..., xn en [a,b], y números A0, A1,
A2, ..., An tales que, para todo polinomio p(x) de grado < 2n+1,
b
p ( x ) dx
a

A 0p(x 0 ) A 1p ( x1 )  A n p ( x n )

Sustituyendo p(x) = 1,x ,x2 , ... , x2n+1 se obtiene un sistema no
lineal del que se despejan x0, x1, x2, ..., xn y A0, A1, A2, ..., An.


 APLICACIONES DE LA INTEGRAL

 Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al
cortarse

 Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) g(x),
entonces representa el área de la superficie que encierran las dos
curvas.
 En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas de las cuatro regiones
que dos curvas f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo
en cuenta que C es el área de una zona situada por debajo del eje X:
 Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir,
primeramente, estos pasos:
 Se trazan las curvas.
 Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas.
 Se determina la zona de la que hay que calcular el área.
 Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos
anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los
límites de integración apropiados. Así, por ejemplo, en la figura
anterior la zona encerrada entre las dos curvas es B + C.


Integral Definida: función del incremento del área bajo la curva:
 Imaginemos la representación gráfica de la función y= f(x), donde se
han trazado los segmentos AoA1 y MM1 que definen la superficie S de
área A. Desplacemos el segmento en M una distancia infinitesimal;
supongamos que se mueve hasta el punto N, desde donde levantamos
el segmento NN1, como se muestra en la figura
De esta manera la superficie S se incrementa en la superficie definida
por MM1N1N, que denominaremos S, cuya área la denotaremos con A
(se ha exagerado el desplazamiento para lograr mayor comprensión)
Si identificamos la abscisa del punto M con x y el incremento de M a N
con x, al ser éste un infinitésimo podemos considerar que el segmento
M1N1 está sobre una recta y puede aplicar la fórmula A=½ S(rarb) d(rarb).
Por lo que:
A =½(f(x) + f(x+ x)) x, y dividiendo por x se tiene
A =½(f(x) + f(x+ x))
x
y al evaluar el límite cuando x tiende a cero:
Lim A =Lim ½(f(x) + f(x+ x)) =½(2f(x)) =f(x) ( x tiende a 0).


Aplicaciones a la Administración y
la Economía
 Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer
modelos de situaciones de mercado se estudian las
funciones de oferta y de demanda.
 Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un
determinado producto utiliza esta función para relacionar
la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el
mercado con el precio unitario al que se puede vender esa
cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos
precios, existe una cantidad correspondiente de productos
que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado
en algún período específico.


 Función de demanda: La empresa utiliza esta función
para relacionar la cantidad de productos demandada por
los consumidores, con el precio unitario al que se puede
vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En
general, si el precio aumenta, se produce una disminución
de la cantidad demandada del artículo porque no todos los
consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por
adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio
por eso esta es una función decreciente como lo
observamos en los ejemplos gráficos. Podemos asegurar
entonces que para cada precio de un producto existe una
cantidad correspondiente de ese producto que los
consumidores demandan en determinado período. Si el
precio por unidad de un producto está dado por p y la
cantidad correspondiente en unidades está dada por q la
ley que los relaciona se denomina función de demanda. A
su gráfica se la llama gráfica de demanda.

SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES
 El mercado determina el precio al que un producto se vende. El
punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de
la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio
de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad
del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo,
algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el
precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de
equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas
personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas
personas y se llama el superávit de los consumidores.
 El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los
consumidores están dispuestos a pagar por q0 artículos. El área
sombreada bajo la recta y p0 muestra la cantidad total que los
consumidores realmente gastarán en el precio p0 de equilibrio. El
área entre la curva y la recta representa el superávit de los
consumidores.


ANÁLISIS MARGINAL
 La derivada y, en consecuencia la integral, tienen
aplicaciones en administración y economía en la
construcción de las tasas marginales.
 Es importante para los economistas este trabajo con el
análisis marginal porque permite calcular el punto de
maximización de utilidades.
 En el análisis marginal se examinan los efectos
incrementales en la rentabilidad. Si una firma está
produciendo determinado número de unidades al año,
el análisis marginal se ocupa del efecto que se refleja
en la utilidad si se produce y se vende una unidad más.


 Costo marginal: es el costo adicional que se obtiene al
producir y vender una unidad más de un producto o
servicio.
 También se puede definir como el valor límite del costo
promedio por artículo extra cuando este número de
artículos extra tiende a cero.
 Podemos pensar el costo marginal como el costo
promedio por artículo extra cuando se efectúa un
cambio muy pequeño en la cantidad producida.


APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y A LOS
NEGOCIOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

 Se pueden presentar varias situaciones económicas en
donde las cantidades pueden expresarse como
integrales definidas y representarse geométricamente
como áreas entre curvas.
 Veamos el caso de las utilidades netas
 Supóngase que dentro de x años un plan de inversión
generará utilidades a un ritmo de
 Dólares por año, mientras que un segundo plan lo
hará a un ritmo de dólares por año.


Valor promedio de una función
 Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de
números dados, sólo debemos realizar el siguiente
cálculo y prom. ¿Cómo calculamos la temperatura
promedio durante un día si se puede tener numerosas
lecturas de temperaturas? ¿Qué pasa si queremos
hallar el promedio de un número infinito de valores?
¿Cómo calculamos el valor promedio de la función f(x)
x3 en el intervalo [1, 2]? ¿Cómo calculamos el promedio
de cualquier función aunque no sea positiva? Estamos
en presencia de un tipo de promedio "continuo".


Resumen
Los métodos de Trapecios, Simpson y Romberg
permiten estimar la integral con error de orden n2,
n4, n,… . Usan nodos equiespaciados, incluyendo
los extremos del intervalo. Son casos particulares
de Newton-Cotes.

El método de Gauss usa nodos desigualmente
espaciados, distintos de los extremos del intervalo.


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