Nel piano come possono trovarsi la retta e la circonferenza:tangenti, secanti, esterne

1. RETTA E CIRCONFERENZA NEL PIANO Creato da: Rosangela Mapelli Licenza Cretive Commons: Sei libero di modificare e pubblicare questa Presentazione a patto di indicare l'autore, non trarne guadagno e devi condividere i derivati sotto la stessa licenza.

2. Una retta e una circonferenza nel piano : Si intersecano, si incontrano in due punti Sono tangenti, si incontrano in un punto doppio Sono esterne, non hanno punti in comune Prof. Rosangela Mapelli

4. Per trovare, nel piano cartesiano, le coordinate degli eventuali punti di intersezione di una circonferenza con una retta, si deve risolvere un sistema di secondo grado con le equazioni della circonferenza e della retta cioè: Punti comuni Ricaviamo l’equazione risolvente di secondo grado e studiamo il discriminate  Prof. Rosangela Mapelli

5. Se  è il discriminante dell’equazione di 2° grado risolvente il sistema si ha: Discriminante retta secante se  >0 retta esterna se  <0 retta tangente se  =0 Prof. Rosangela Mapelli

6. Esempio Stabilire se hanno punti in comune la retta di equazione x + 3y + 4 = 0 e la circonferenza di equazione x 2 + y 2 + 4x – 2y = 0. Risolviamo il sistema: Il discriminante è maggiore di zero, cioè  >0 la retta è secante alla circonferenza si incontrano in due punti. Prof. Rosangela Mapelli

7. Punto e circonferenza Un punto appartiene alla circonferenza se le sue coordinate soddisfano l’equazione della circonferenza cioè se sostituite danno un’identità Considero la circonferenza  di equazione x 2 + y 2 - 3x +2y - 3 = 0 il punto P(- 1 ; - 1)   infatti sostituendo si ottiene: Se un punto non appartiene ala circonferenza può essere esterno o interno Essendo – 2 < 0 il punto A è interno alla circonferenza ES. Data l’equazione della circonferenza x 2 + y 2 - 4x = 0 e i punti A(3;1) e B(1;- 5). Sostituiamo nell’equazione della circonferenza prima il punto A e poi il punto B e troviamo: Essendo 22 > 0 il punto B è esterno alla circonferenza Prof. Rosangela Mapelli

9. Tangente alla circonferenza Ci sono diversi modi per calcolare l’equazione della retta tangente alla circonferenza. In tutti i casi per prima cosa bisogna calcolare il fascio di rette passanti per il punto P(x P ;y P ) dato usando l’equazione del fascio: y – y P = m ( x – x P ) Prof. Rosangela Mapelli I metodi si possono riassumere: Primo : metodo algebrico, imponendo la condizione di tangenza  =0 Secondo : metodo geometrico, la distanza della retta dal centro è uguale al raggio della circonferenza Terzo : metodo geometrico, il punto appartiene alla circonferenza, tangente e raggio sono perpendicolari Quarto : metodo della regola dello sdoppiamento

11. Esempio 1 Prof. Rosangela Mapelli Data l’equazione della circonferenza  x 2 + y 2 + 2x - 4y + 3 = 0 trovare le equazioni delle rette tangenti passanti per il punto P(2,3). Il punto P è esterno alla circonferenza infatti sostituendo le coordinate troviamo Sicuramente si avranno due tangenti alla circonferenza uscenti da P. Scriviamo il fascio di rette che ha come sostegno P e lo mettiamo a sistema con l’equazione della circonferenza Troviamo l’equazione risolvente Applichiamo la condizione di tangenza  =0 Troviamo i coefficienti angolari delle due rette Sostituiamo nell’ equazione del fascio otteniamo le equazioni delle rette

13. Esempio 2 Prof. Rosangela Mapelli Data l’equazione della circonferenza  x 2 + y 2 + 2x - 4y + 3 = 0 trovare le equazioni delle rette tangenti passanti per il punto P(2,3). Il punto P è esterno alla circonferenza infatti sostituendo le coordinate troviamo Sicuramente si avranno due tangenti alla circonferenza uscenti da P. Scriviamo il fascio di rette che ha come sostegno P Calcoliamo le coordinate del centro e la misura del raggio della circonferenza Poniamo la misura del raggio uguale alla distanza del fascio di rette dal centro della circonferenza Troviamo i coefficienti angolari delle due rette Sostituiamo nell’ equazione del fascio otteniamo le equazioni delle rette

14. Terzo metodo Metodo geometrico : Il punto deve appartenere alla circonferenza, ricordiamo che tangente e raggio sono perpendicolari Prof. Rosangela Mapelli 2 Calcoliamo le coordinate del centro della circonferenza C(x C ;y C ) 3 Calcoliamo il coefficiente angolare m PC della retta che passa per il punto P(x P ;y P ) appartenete alla circonferenza, e per il centro C(x C ;y C ) 5 Ricordando che la retta su cui giace il raggio e la retta tangente alla circonferenza sono perpendicolari calcoliamo il coefficiente angolare della retta tangente 1 Troviamo l’equazione del fascio proprio di rette che hanno come punto di sostegno il punto P(x P ;y P ) cioè y – y P = m ( x – x P ) 6 Sostituiamo il coefficiente trovato nel fascio passante per P(x P ;y P ) e troviamo l’equazione della retta tangente alla circonferenza

15. Esempio 3 Prof. Rosangela Mapelli Data l’equazione della circonferenza  x 2 + y 2 + 2x - 4y + 3 = 0 trovare le equazioni delle rette tangenti passanti per il punto P(0,1). Il punto P appartiene alla circonferenza infatti sostituendo le coordinate troviamo Sicuramente si avrà una sola tangenti alla circonferenza uscenti da P. Scriviamo il fascio di rette che ha come sostegno P Calcoliamo le coordinate del centro e la misura del raggio della circonferenza Calcoliamo il coefficiente angolare della retta che passa per A e per C Troviamo il coefficiente della retta perpendicolare e sostituiamolo nel fascio Otteniamo l’ equazione della retta Dato che A   sappiamo che la retta tangente che passa per A è perpendicolare alla retta su cui giace il raggio.

16. Quarto metodo Metodo algebrico : Della regola dello sdoppiamento, il punto deve appartenere alla circonferenza Prof. Rosangela Mapelli 2 Sostituire 3 L’equazione della retta tangente è data da: 1 Scrivere l’equazione della circonferenza

17. Esempio 4 Prof. Rosangela Mapelli Data l’equazione della circonferenza  x 2 + y 2 + 2x - 4y + 3 = 0 trovare le equazioni delle rette tangenti passanti per il punto P(0,1). Il punto P appartiene alla circonferenza infatti sostituendo le coordinate troviamo Scriviamo il fascio di rette che ha come sostegno P Otteniamo l’ equazione della retta Dato che A   possiamo usare la regola dello sdoppiamento: Sicuramente si avrà una sola tangenti alla circonferenza uscenti da P. Sostituiamo le coordinate del punto A e otteniamo

18. FINE Prof. Rosangela Mapelli