2. CONCEPTOS IMPORTANTES:
Ángulo: Queda determinado Segmento: Figura geométrica, parte de una
por dos semirrectas con un recta delimitada por dos puntos.
origen común (el vértice)
que se pueden superponer Cuerda: Segmento rectilíneo que une dos
mediante un giro. puntos de una curva.
Recta: Es un conjunto de
puntos en el cual un punto Secante: Recta que corta una
que se encuentra entre circunferencia en dos puntos.
otros dos tienes la mínima
distancia a éstos, se
prolonga al infinito en Tangente: Recta que corta la
ambas direcciones. circunferencia en un punto.
Línea: Estructura con una
Vértice: Punto de intersección de los lados
extensión en una sola
de un ángulo.
dirección
3. CONCEPTOS IMPORTANTES
Punto: Configuración geométrica
fundamental sin extensión Ángulo Recto: Ángulo cuyos
(dimensión cero). lados son perpendiculares
Paralela : Propiedad posicional de entre sí, mide 90 grados.
Ángulo Obtuso: Mide más de 90º
varias rectas entre sí, la cual
tienen la misma dirección. y menos de 180º.
Curva: Es una línea arbitraria sobre
Ángulo Agudo: Son los que miden
el plano, la trayectoria de un
menos de 90º grados.
punto móvil, la intersección de
dos superficies. Ángulo Llano: Mide media vuelta,
Perpendicular: Recta o segmento esto es, 180º.
que corta a otra recta
formando un ángulo de 90º.
4. ÁNGULOS
a) Ángulos rectos: = 90 grados.
b) Ángulo agudo: < 90 grados.
c) Ángulo obtuso: < 180 grados > 90 grados
d) Ángulo llano: = 180 grados.
e) Ángulo entrante: < 360 grados >180 grados.
1. Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados
dan 90 grados.
2. Ángulos suplementarios: Son dos ángulos que sumados
dan 180 grados.
5. ÁNGULOS
<AoC=<BoD
Ángulos opuestos por el vértice.
C B C B
0
A D A D
< C o B + < B o D=<180 grados
ángulo adyacente.
Son dos ángulos que comparten un mismo
rayo en medio de sus lados. Además son complementarios o
suplementarios.
7. EJEMPLO
x+2y = 92° por ser ángulos correspondientes
x = 92º - 2y
X +2y 4y
92°+4y = 180°
4y 4y = 180º - 92º
92° 4y 4y = 88°
y = 88°/ 4= 22°
Verificación:
x+2y = 92°
48°+2(22) = 92°
92° = 92°
8. TRIÁNGULOS
Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a
180°.
Demostración: Partiendo de la teorema de dos paralelas y una secante
tenemos.
Ángulo llano o de 180°
Teorema: El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los
ángulos interiores no adyacentes.
9. EJEMPLOS
C B
75° 75° 105°
75°
A D
<CoB=?
< AoC=75° <AoB=?
< BoD=75° <CoB=105° por ser
< AoC=<BoD
suplementarios por el
<CoA=<BoD
ángulo de 75°
10. PROBLEMAS PROPUESTOS
B
55 30 X
Y X 100°
D A E C 80° Y
Y= 55+X 180°-80=100
X=30+40 X=100/2
X=70 Y=50°+80°
Y=55+70 Y=130° por ser un ángulo
Y=125° exterior.
11. TEOREMA DE PITAGORAS
B
a c
C A
C2=a2+b2
b
C= a2+b2
C2=a2+b2 A2=c2-b2
A2=c2-b2 A= c2-b2
B2=c2-a2 B2=c2-a2
B= c²-a²
13. POLIGONOS
Rombo: Tiene dos pares de lados iguales.
Paralelogramo: Tiene dos pares de lados
iguales.
Axioma: El ángulo anterior de un triángulo
es igual a la suma de los ángulos interiores
no adyacentes.
15. POLIGONOS REGULARES
Un polígono regular es un
polígono equilátero y
equiangular, el radio de un
polígono regular es un
segmento que une al centro
con cualquiera de sus
vértices también llamado
radio de la circunscrita. Una Esta figura tiene
apotema es un segmento de apotema, circunferencia
recta perpendicular a inscrita, radio y afuera
cualquiera de los lados del de la figura se encuentra
polígono y que lo une con el la circunferencia
centro de la circunferencia circunscrita.
circunscrita.
16. CUADRILATEROS
Los cuadriláteros constan Cuatro ángulos y lados
de dos figuras que son iguales.
Paralelogramos y Cuatro ángulos de 90°, los
Trapecios; los lados opuestos son paralelos e
Paralelogramos pueden iguales.
ser las figuras de Sus lados opuestos son
Cuadrado, Rectángulo, paralelos, ángulos agudos y dos
Rombo, Romboide, etc. obtusos.
Y Trapecios son Dos lados opuestos son paralelos
Trapecio, Trapecio y dos lados opuestos son
Rectangular, Trapecio trasversales.
Isósceles, Trapezoide, Dos lados opuestos son paralelos
etc. dos lados opuestos son
trasversales e iguales.
17. TEOREMA DE LOS CUADRILATEROS
La suma de los ángulos de un cudrilatero es igual a 360°. Demostración:
B C ABC+ ACD=360°
A D 180°+180°=360°
360°
Teorema 1.- Propiedades del paralelogramo. Los lados opuestos de un
paralelogramo son iguales.
A B AD=BC AB=CD DB =una diagonal
D C
AD//BC DC//AB
ABD= BCD
18. TEOREMA DE LOS CUADRILÁTEROS
Las diagonales de un paralelogramo se corta de un punto
medio.
B C ABD= ACD
O
A D ABO= COD triángulos congruentes
AOD= BOC triángulos congruentes
TEOREMA 3.- Las diagonales de un rectángulo son iguales.
B C AOB= COD AB//CD
O ABD= ACD BC//AD
A D ABC= BCD
19. PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS
TEOREMA 4.- Los ángulos continuas a cada uno de los
lados no paralelos de un trapecio son suplementarios.
La suma de los lados interiores de un polígono es igual a
180°. (n-2) 180°(n)-180°(n-2)= ángulos exteriores.
180°n-180°n+360°= ángulos exteriores.
La suma de sus < interiores y exteriores es
es igual a 180°.(n).
TEOREMA 5.- El número de diagonales de un polígono es
igual a la mitad del producto n o de n-3.
n(n-3) n(n-3)= 5(5-3)/2=5(2)/2=10/2=5/1
20. POLíGONOS REGULARES
Ángulos interiores180°(n-2), un ánguo interior 180°(n-
2)/n, ángulos exteriores 180°(n)-180°n+360°= a un ángulo
exterior 360°/n.
¿cuántos lados tiene un polígono regular cuyos lados
interiores suman 1440°?
1440°=180°(n-2)
1440°/180°=n-2 1440°/180°+2=n
1140°=180° (n-2)ángulos interiores de un poligono
180° (n-2) 1440|=180° (n-2)
1440°=180°n-360°
1440+360=180°n
1800=180°n 1800/1800=n 10°=n
21. LA CIRCUFERENCIA
La circuferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan de
un punto interior llamado centro. El circulo es la superficie plana
limitada por la circuferencia. La circuferencia divide al plano que la
contiene dos partes un exterior y la otra interior.
Ángulos en la circuferencia:
Ángulo central. Tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus
lados son radios. La medida del arco que se subtiende los extremos
de los radios es igual al ángulo central.
Ángulo inscrito.-Es aquel que cuyo vértice coincide con cualquier punto
de la circuferencia , existen tres casos:
1.-Con unos de sus lados que pasan por el centro de la circunferencia.
2.-El centro de la circunferencia se localiza en medio del ángulo inscrito
o al interior de sus lados.
3.-El centro se encuentra fuera del ángulo inscrito.
22. LA CIRCUFERENCIA
1.- 2.- 3.-
ANGULOS Excéntricos.- También llamados interior, es
aquel que esta dentro de la circuferencia pero su vértice no
coincide con el vértice de esta.
23. LA CIRCUFERENCIA
Ángulo exterior.-Es aquel cuyo vértice se encuentra en la
parte exterior y sus lados pueden ser secantes o tangentes a
la circuferencia existen tres casos:
1.- Esta formado 2.-Esta formado por 3.-Esta formado
por dos secantes. una secantes y tangentes. Por 2 tangentes
24. LA CIRCUFERENCIA
El ángulo seminscrito tiene por medida la mitad del arco
superior de cuerda subtendido.
A
D <ABC=AB/2 AD//CB
<B=< A por ser alternos internos
C B AB=BD <BAD=un ángulo inscrito.
Ángulo excéntrico o interior tiene por medida la mitad de la
suma de los arcos comprendidos entre sus lados y la
prolongación de estos. D
<ABC=AC+DE/2
B
CD=cuerda <DCE=ángulo inscrito
C A
25. EL CIRCULO
Dos círculos son iguales y tiene radios iguales si los radios del mismo
circulo son iguales. Dos arcos son iguales cuando tiene los mismos
radios y coinciden sus extremos.
TEOREMA1.- Si una recta es perpendicular a un radio en el extremo de
este, la recta es tangente al circulo.
Radio DC=radio OC I AB
AB es tangente a la circuferencia
A CO B
TEOREMA2.-La perpendicular trazada por el centro de un circulo a una
cuerda, biseca y los arcos subtendidos.
AB=cuerda OA=radio OB=radio
O AOB es isósceles AOC rectángulo
A B OCB rectángulo
26. EL CIRCULO
TEOREMA 3.- En todo circulo dos paralelas intersecadas
arcos iguales.
G E H
C D
A B
F
AG-EC=CA EB-ED=BD CA=BD
AB//CD CD// GH AB y CD son secantes
EF= diámetro
27. PERÍMETRO Y ÁREA
Al referirnos a los cuerpos geométricos señalamos las caras
o limites de los sólidos se llama superficie las cuales
determinan su forma. El limite de la superficie señala el
perímetro.
Perimetro.-Es en consecuencia, el resultado al medir el
contorno de una figura geométrica que se representara con
una “P” mayúscula.
a b a b d
d
c b a f c
P=a+b+c P=pi d P=4a P=a+b+c+d+f
P=2pi r P=a+a+b+b
28. PERIMETRO Y AREA
Formulas.-Una formula es la expresión de una ley o de un
principio general, simbolos o letras. Ejemplo: Area de un
triángulo, b*h/2, en donde “b” es igual a la base, “h” y el
“2” establece la mitad.
H
h
b b
AREA:
A A=a2 h A= b*h h A=b*h
a A=a*a b b
A=&
