Fuerza electromotriz inducida; Ley de Faraday y Lenz Inductancia o autoinductancia mutua Oscilaciones eléctricas o Circuito RLC o Circuito LC o Circuito RL

1. Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión San Cristóbal, Estado Táchira
TRABAJO ESCRITO DEL 3er CORTE
DE FÍSICA II
Profesor: Ing. Charles Villameza
Asignatura: Física II
Alumno: Díaz, Romer C.I. 10.633.880
Sección “E”
Período 2013-2
Febrero del 2014

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CONTENIDO
Fuerza electromotriz inducida; Ley de Faraday y Lenz
Inductancia o autoinductancia mutua
Oscilaciones eléctricas
o Circuito RLC
o Circuito LC
o Circuito RL

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Fuerza electromotriz inducida; Ley de Faraday y Lenz
En su intento por generar una corriente eléctrica a partir de un campo
magnético, Faraday utilizó un aparato como el que se ilustra en la figura.
Conectó una bobina de alambre, X, a una batería. La corriente que fluyó a
través de X produjo un campo magnético que se intensificó mediante el
núcleo de hierro con forma de anillo alrededor del cual se enrolló el alambre.
Faraday esperaba que una fuerte corriente estable en X produjera un campo
magnético suficientemente grande como para producir una corriente en una
segunda bobina Y enrollada sobre el mismo anillo de hierro. Este segundo
circuito, Y, contenía un galvanómetro para detectar cualquier corriente, pero
no incluía batería. No tuvo éxito con corrientes constantes. Pero el efecto
buscado se observó finalmente cuando Faraday notó que la aguja del
galvanómetro en el circuito Y se movía notablemente en el momento en que
cerraba el interruptor en el circuito X. Y la aguja del galvanómetro se movía
notoriamente en la dirección opuesta cuando abría el interruptor en X. Una
corriente constante en X producía un campo magnético constante que no
producía corriente en Y. En Y se producía una corriente sólo cuando la
corriente en X iniciaba o se detenía. Faraday concluyó que, aunque un
campo magnético constante no produce corriente en un conductor, un campo
magnético variable puede generar una corriente eléctrica.
Tal corriente se llama corriente inducida. Cuando cambia el campo
magnético a través de la bobina Y, se induce en ella una corriente como si
estuviera conectada a una fuente de fem. Así, se dice que Un campo
magnético variable induce una fem.

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Faraday realizó más experimentos acerca de la inducción
electromagnética, como se llamó a este fenómeno. Por ejemplo, en la figura
se muestra que, si un imán se mueve rápidamente hacia el interior de una
bobina de alambre, en éste se induce una corriente. Si el imán se retira
rápidamente, se induce una corriente en la dirección opuesta (disminuye B a
través de la bobina). Más aún, si el imán se mantiene estable y la bobina de
alambre se mueve hacia o desde el imán, de nuevo se induce una fem y
fluye una corriente. Se requiere movimiento o cambio para inducir una fem.
No importa si el imán o la bobina se mueven. Es su movimiento relativo el
que cuenta.
Faraday investigó cuantitativamente qué factores influyen en la
magnitud de la fem inducida. Antes que todo encontró que cuanto más
rápidamente cambia el campo magnético, mayor es la fem inducida. También
encontró que la fem inducida depende del área de la espira del circuito. Por
ende, se dice que la fem es proporcional a la tasa de cambio del flujo

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magnético, θB, que pasa a través del circuito o de la espira de área A. El flujo
magnético para un campo magnético uniforme se define de la misma forma
que el flujo eléctrico, a saber, como
Aquí B⊥ es la componente B del campo magnético perpendicular a la
cara de la espira, y θ es el ángulo entre B y el vector A (que representa al
área), cuya dirección es perpendicular a la cara de la espira. Estas
cantidades se muestran en la figura adjunta para una espira cuadrada de
lado cuya área es A=l2
. Si el área tiene alguna otra forma, o si no es
uniforme, el flujo magnético se puede expresar
Las líneas de B (al igual que las líneas de E) se pueden dibujar de tal
modo que el número de líneas por unidad de área sea proporcional a la
intensidad del campo. Así, el flujo θB se puede considerar como proporcional
al número total de líneas que pasan a través del área encerrada por la
espira. Esto se ilustra en la figura, donde la espira se ve desde el lado (o
extremo). Para θ = 90°, no pasan líneas de campo magnético a través de la
espira y θB = 0, mientras que θB es un máximo cuando θ = 0°. La unidad de
flujo magnético es el tesla-metro2
, que recibe el nombre de weber: 1 Wb = 1
T.m2
.
Con la definición de flujo se pueden escribir los resultados de las
investigaciones de Faraday: La fem inducida en un circuito es igual a la tasa
de cambio del flujo magnético a través del circuito:

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Este resultado fundamental se conoce como ley de inducción de
Faraday, y es una de las leyes básicas del electromagnetismo.
Si el circuito contiene N espiras muy apretadas, de manera que el
mismo flujo pasa a través de cada una, se suman las fem inducidas en cada
espira y se obtiene la fem inducida total
El signo negativo en las ecuaciones es para recordar en cuál dirección
actúa la fem inducida. Los experimentos demuestran que Una corriente
producida por una fem inducida se mueve en una dirección de manera que el
campo magnético creado por esa corriente se opone al cambio original en el
flujo.
Este enunciado se conoce como ley de
Lenz. Hay que tener presente que ahora se
estudian dos campos magnéticos distintos: 1. el
campo magnético variable o flujo que induce la
corriente, y 2. el campo magnético producido por
la corriente inducida (todas las corrientes
producen un campo magnético). El segundo
campo se opone al cambio en el primero.
La ley de Lenz se enuncia de otra forma,
válida incluso si no puede fluir corriente (como
cuando un circuito está incompleto). Una fem
inducida siempre está en una dirección que se
opone al cambio originalen el flujo que la
produjo.

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Ahora se aplicará la ley de Lenz al movimiento relativo entre un imán y
una bobina,
El flujo variable a través de la bobina induce una fem en esta última, lo
que produce una corriente. Esta corriente
inducida crea su propio campo magnético. En la
figura disminuye la distancia entre la bobina y el
imán. El campo magnético del imán (y el número
de líneas de campo) a través de la bobina
aumenta y, por lo tanto, el flujo aumenta. El
campo magnético del imán apunta hacia arriba.
Para oponerse al aumento hacia arriba, el campo magnético producido por la
corriente inducida en la bobina necesita apuntar hacia abajo. Así, la ley de
Lenz dice que la corriente se mueve como se indica (use la regla de la mano
derecha). En la otra figura el flujo disminuye
(pues el imán se aleja y B disminuye), de manera que la corriente inducida
en la bobina produce un campo magnético hacia arriba a través de la bobina
que “intenta” mantener el estado inicial. En consecuencia, la corriente en la
segunda figura va en la dirección opuesta a la de la primera.
Es importante hacer notar que, siempre que existe un cambio en el flujo
a través de la bobina, se induce una fem; ahora se considerarán algunas
posibilidades. Puesto que el flujo magnético vemos que es posible inducir
una fem de tres formas: 1. mediante un campo magnético variable B; 2. al
cambiar el área A de la espira en el campo; o 3. al cambiar la orientación u
de la espira con respecto al campo.

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Inductancia o autoinductancia mutua
Considere un circuito formado por un interruptor, un resistor y una fuente
de fem, como se muestra en la figura.
El diagrama de circuito se representa en perspectiva para mostrar las
orientaciones de algunas líneas de campo magnético debido a la corriente en
el circuito. Cuando el interruptor se coloca en posición cerrada, la corriente
no salta inmediatamente de cero a su valor máximo ε/R. Para describir este
efecto se puede utilizar la ley de la inducción electromagnética de Faraday

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Conforme la corriente aumenta con el tiempo, el flujo magnético debido a
esta corriente, a través de la espira del circuito, también aumenta. Este flujo
creciente genera una fem inducida en el circuito. La dirección de la fem
inducida es tal que causaría una corriente inducida en la espira (si ésta no
llevase ya una corriente), que establecería un campo magnético opuesto al
cambio en el campo magnético original. Por lo tanto, la dirección de la fem
inducida es en sentido opuesto a la dirección de la fem de la batería, lo que
da como resultado un incremento gradual, en vez de instantáneo, de la
corriente hasta que alcance su valor de equilibrio final. Debido a la dirección
de la fem inducida también se le conoce como fuerza contraelectromotriz,
que es similar a la que se presenta en un motor. Este efecto se llama
autoinducción debido a que el flujo cambiante a través del circuito y la fem
inducida resultante surge del circuito mismo. La fem εL establecida en este
caso se llama fem autoinducida.
Para obtener una descripción cuantitativa de la autoinducción, recuerde
la ley de Faraday, la cual dice que la fem inducida es igual al negativo de la
rapidez de cambio en el tiempo del flujo magnético. Éste es proporcional al
campo magnético que en su momento es proporcional a la corriente en el
circuito. Debido a eso, una fem autoinducida siempre es proporcional a la
rapidez de cambio en el tiempo de la corriente. Para cualquier espira de
alambre, se puede escribir esta proporcionalidad como
donde L es una constante de proporcionalidad —llamada inductancia de la
espira— que depende de la geometría de la espira y de otras características
físicas. Si considera una bobina con espacios cerrados de N vueltas (un
toroide o un solenoide ideal) que lleva una corriente I y contiene N vueltas, la
ley de Faraday dice que al combinar esta expresión da:

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donde se supone que pasa el mismo flujo magnético a través de cada una de
las vueltas y L es la inductancia de toda la bobina. También se escribe la
inductancia como la relación
Recuerde que la resistencia mide la oposición a la corriente (R = ΔV/I ); en
comparación, la última ecuación muestra que la inductancia es una medida
de oposición a un cambio en la corriente.
La unidad del SI para la inductancia es el henry (H), que equivale a 1
volt-segundo por cada ampere: 1 H = 1 V x s/A.
La inductancia de una bobina depende de su geometría. Esta
dependencia es similar a la capacitancia de un capacitor que depende de la
geometría de sus placas. Calcular la inductancia puede ser bastante
complicado en el caso de geometrías complejas, pero para situaciones
simples son más fácilmente operables.
Con frecuencia, el flujo magnético a través del área encerrada por un
circuito varía con el tiempo debido a corrientes variables con el tiempo en
circuitos cercanos. Esta situación induce una fem a través de un proceso
conocido como inductancia mutua, denominada así porque depende de la
interacción de dos circuitos.
Considere dos bobinas de alambre enrolladas apretadamente, como se
muestra en la vista de la sección transversal de la figura.

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La corriente I1 de la bobina 1, la cual tiene N1 vueltas, produce un campo
magnético. Parte de las líneas de este campo pasan a través de la bobina 2,
la cual tiene N2 vueltas. El flujo magnético causado por la corriente de la
bobina 1 y que pasa a través de la bobina 2 está representado por Φ12. Por
analogía se puede identificar la inductancia mutua M12 de la bobina 2
respecto a la bobina 1:
La inductancia mutua depende de la geometría de ambos circuitos y de
su orientación mutua. Conforme aumenta la distancia de separación de los
circuitos, la inductancia mutua disminuye, ya que el flujo que une los circuitos
decrece.
Si la corriente I1 varía con el tiempo, según la ley de Faraday y la
ecuación anterior, la fem inducida por la bobina 1 en la bobina 2 es igual a

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En la explicación anterior, se supone que la corriente pasa por la bobina
1. También puede imaginar una corriente I2 en la bobina 2. La explicación
precedente puede repetirse para demostrar que existe una inductancia
mutua M21. Si la corriente I2 varía con el tiempo, la fem inducida por la bobina
2 en la bobina 1 es igual a
En la inductancia mutua, la fem inducida en una bobina siempre es
proporcional a la rapidez con la cual cambia la corriente de la otra bobina. A
pesar de que las constantes de proporcionalidad M12 y M21 fueron tratadas
por separado, puede demostrarse que son iguales. Por lo tanto, con M12 =
M21 = M, así:
Estas dos ecuaciones son similares en forma a la ecuación de la fem
autoinducida. La unidad de la inductancia mutua es el henry.
Circuito RLC
El circuito LC es una idealización, pues siempre hay cierta resistencia R
en cualquier circuito, y por eso ahora se estudiará un circuito RLC simple

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Suponga que el capacitor inicialmente tiene una carga Q0 y que la
batería u otra fuente se eliminan del circuito. El interruptor se cierra en t = 0.
Puesto que ahora hay una resistencia en el circuito, se espera que parte de
la energía se convierta en energía térmica, y en consecuencia no se esperan
oscilaciones no amortiguadas, como en un circuito LC puro. De hecho, si se
usa la regla de Kirchhoff de las espiras alrededor de este circuito, se obtiene
que es la misma ecuación para un LC, con la adición de la caída de voltaje
IR a través del resistor. Puesto que I = -dQ/dt, entonces:
Esta ecuación diferencial de segundo orden en la variable Q tiene
precisamente la misma forma que la del oscilador armónico amortiguado:
Por lo tanto, es posible analizar el circuito RLC de la misma forma que
para el movimiento armónico amortiguado. El sistema podría experimentar
oscilaciones amortiguadas, curva A en la figura (sistema subamortiguado), o

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estar críticamente amortiguado (curva B), o sobreamortiguado (curva C),
dependiendo de los valores relativos de R, L y C. Si con L en lugar de m, R
en vez de b, y C-1
en lugar de k, se encuentra que el sistema estará
subamortiguado cuando
y sobreamortiguado para R2
> 4L/C. El amortiguamiento crítico (curva B en la
figura) ocurre cuando R2
= 4L/C. Si R es menor que √4L/C , la frecuencia
angular, ω’, será
Y la carga Q como función del tiempo será
donde Φ es una constante de fase. Los osciladores son un elemento
importante en muchos dispositivos electrónicos: radios y televisores los usan
para sintonía, y las grabadoras los usan (la “frecuencia de polarización”)
cuando graban. Como siempre existe cierta resistencia, los osciladores
eléctricos por lo general necesitan una entrada periódica de potencia para
compensar la energía convertida en energía térmica en la resistencia.

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Circuito LC
En cualquier circuito eléctrico, puede haber tres componentes básicos:
resistencia, capacitancia e inductancia, además de una fuente de fem
(También puede haber componentes más complejos, como diodos o
transistores). Los circuitos LC sólo contienen una capacitancia C y una
inductancia L. Éste es un circuito idealizado en el que se supone que no hay
resistencia.

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Suponga que el capacitor en la figura inicialmente está cargado, de
manera que una placa tiene carga Q0 y la otra placa tiene carga -Q0, y la
diferencia de potencial a través de él es V = Q/C . Suponga que, en t = 0, se
cierra el interruptor.
El capacitor comienza a descargarse inmediatamente. Conforme lo
hace, la corriente I a través del inductor aumenta. Ahora aplique la regla de
Kirchhoff de las espiras (la suma de los cambios de potencial alrededor de la
espira es cero):
Puesto que la carga sale de la placa positiva del capacitor para generar
la corriente I, como se muestra en la figura, la carga Q en la placa (positiva)
del capacitor disminuye, de manera que I = -dQ/dt. Por consiguiente, la
ecuación anterior se puede rescribir como
Ésta es una ecuación diferencial familiar. Puede escribirse como:
donde Q0 y Φ son constantes que dependen de las condiciones iniciales.
Combinando las ecuaciones se tiene:
ó

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Esta relación es verdadera para todo tiempo t sólo si (-ω2
+ 1/LC) = 0, lo
que indica que
La ecuación indica que la carga en el capacitor en un circuito LC oscila
sinusoidalmente. La corriente en el inductor es
de manera que la corriente también es sinusoidal. El valor máximo de I es I0
= ωQ0 = Q0/ √LC- En la figura se grafican las ecuaciones para Q e I
cuando Φ = 0.
Ahora se observarán las oscilaciones LC desde un punto de vista
energético. La energía almacenada en el campo eléctrico del capacitor en
cualquier instante t es:

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La energía almacenada en el campo magnético del inductor en el mismo
instante es
Si se establece que Φ = 0, entonces, en los instantes t = 0, t = 1/2 T, t=
T (donde T es el periodo = 1/f = 2pi/ω), se tiene y UE = Q0
2
/2C y UB = 0.
Esto es, toda la energía se almacena en el campo eléctrico del capacitor.
Pero, en t= ¼ T, ¾ T , etcétera, UE = 0 y UB = Q0
2
/2C, y de este modo toda
la energía se almacena en el campo magnético del inductor. En cualquier
instante t, la energía total es
En consecuencia, la energía total es constante, y la energía se
conserva. Lo que se tiene en este circuito LC es un oscilador LC o una
oscilación electromagnética. La carga Q oscila de ida y vuelta, desde una
placa del capacitor a la otra, y esto se repite de manera continua. Asimismo,
la corriente oscila de ida y vuelta. También hay oscilaciones de energía:
cuando Q tiene un valor máximo, toda la energía se almacena en el campo
eléctrico del capacitor; pero cuando Q llega a cero, la corriente I alcanza un
máximo y toda la energía se almacena en el campo magnético del inductor.
Por lo tanto, la energía se almacena en el campo eléctrico del capacitor, o
bien, en el campo magnético del inductor.

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Circuito RL
Cualquier inductor tendrá cierta resistencia. Esta situación se representa
ilustrando su inductancia L y su resistencia R por separado, como en la figura
(a). La resistencia R también podría incluir cualquier otra resistencia presente
en el circuito. Ahora preguntamos: ¿Qué ocurre cuando una batería u otra
fuente de voltaje de cd V0 se conecta en serie a tal circuito LR? En el
instante en que se cierra el interruptor que conecta la batería, la corriente
comienza a fluir. Se le opone la fem inducida en el inductor, lo que significa
que el punto B en la (a) es positivo en relación con el punto C. Sin embargo,
tan pronto como la corriente comienza a fluir, a través de la resistencia
también hay una caída de voltaje de magnitud IR. Por lo tanto, se reduce el
voltaje aplicado a través de la inductancia, y la corriente aumenta con menos
rapidez.

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En consecuencia, la corriente se eleva gradualmente, como se indica en
la figura (b), y tiende al valor estable Imáx = V0/R0, para el cual toda la caída
de voltaje es a través de la resistencia.
Esto se demuestra analíticamente al aplicar la regla de Kirchhoff de las
espiras al circuito de la figura (a). Las fem en el circuito son el voltaje de
batería V0 y la fem E = -L(dI/dt) en el inductor, que se opone a la corriente
creciente. Por lo tanto, la suma de los cambios de potencial alrededor de la
espira es
donde I es la corriente en el circuito en cualquier instante. Esto se reordena
para obtener
Ésta es una ecuación diferencial lineal y se puede integrar de la misma
forma que hace para un circuito RC. Rescribimos la ecuación y después
integramos:

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es la constante de tiempo del circuito LR. El símbolo t representa el tiempo
requerido para que la corriente I alcance (1 – 1/e) o 63% de su valor máximo
(V0/R). En la figura (b) se grafica la penúltima ecuación.

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Ejercicios

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