tugas kampus

1. Tugas Kelompok
Disusun untuk memenuhi salah satu tugas
Mata kuliah : FISMAT I
Dosen: Adila, S.Pd
Disusun oleh :
Kelompok : V
Muhammad Sukma Rohim
(0801130133)
SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN)
PALANGKARAYA
JURUSAN TARBIYAH PRODI FISIKA
TAHUN 2009

2. BAB I
PEMBAHASAN
A. PENGERTIAN MATRIKS
Teori tentang matriks pertama kali dikembangkan oleh Arthur Cayley (1821–
1895) pada 1857. Sekarang, matriks telah menjadi alat yang berguna di berbagai
bidang. Adapun metode determinan ditemukan oleh Seki Kowa (1642–1708) pada
1683 di Jepang dan ditemukan pula oleh Gottfried Wilhelm Von Leibnitz (1646–
1716) di Jerman. Keduanya hanya menggunakan matriks dalam persamaan linear.
Matriks merupakan kumpulan bilangan yang tersusun menurut baris dan
kolom sedemikian sehingga tampak seperti bentuk sebuah persegi panjang atau
sistem penulisan objek yang dinyatakan dalam bentuk baris dan kolom. Objek
matriks dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks ataupun fungsi. Sebuah
matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya A. Setiap bilangan yang
terdapat dalam matriks disebut elemen matriks. Semua bilangan yang tersusun dalam
jalur horizontal disebut baris dan bilangan yang tersusun dalam jalur vertical disebut
kolom.
Elemen matriks bisa dinyatakan dengan notasi a 1j, dengan i menyatakan baris
dan j menyatakan kolom. Bentuk umum sebuah matriks dengan elemen a 1j
dinyatakan sebagai berikut :
a11 a12 a13 ... a 1n
a21 a22 a23 ... a 2n
A= : : : :
am1 am2 am3 ... amn
m = jumlah baris n = jumlah kolom
i = 1, 2, 3, …. M j = 1, 2, 3, ….n
matriks A dengan elemen a i j dapat dituliskan dengan bentuk
A = ( a ij ) = [ a 1j ] . . . . . . . . . . . . (i)

3. Matriks A yang mempunyai baris m dan kolom m dikatakan matriks A
dengan ordo m x n atau ditulus sebagai A m x n . Contoh : A = 3 -1 0
2 5 7
Matriks diatas adalah matriks dengan m = 2 dan n = 3 atau ordo A 2 x 3. jika kita ingin
mengetahui elemen a 23 kita harus melihat elemen yang terdapat pada baris 2 dan
kolom 3. dalam contoh ini a 23 = 7
Matriks berordo 2 x 1 karena kolomnya hanya satu maka matriks ini disebut
kolom secara umum matriks kolom disebut matriks ordo n x 1. Sedangkan matriks 1
x 3, karena hanya terdiri dari satu baris, maka matriks ini dinamakan matriks baris
secara umum disebut matriks ordo 1 x n. Matriks yang mempunyai m = n disebut
matriks bujur sangkar.
B. JENIS-JENIS MATRIKS
Matriks terdiri atas berbagai jenis antara lain, matriks nol, matriks baris, matriks
kolom, matriks persegi, matriks segitiga atas, matriks segitiga bawah, matriks
diagonal, dan matriks identitas.
a. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol, contohnya
A= 0 0 B= 0 0 C= 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
Semua unsur pada matriks A, B, dan C adalah angka 0, sehingga disebut
sebagai matriks nol.
b. matriks baris.
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris saja,
contohnya
5 3 1 3 -1
P= Q=
0 0 0 0 0
0 0
Matriks P berordo 1 × 3, Q berordo 1 × 2, Matriks P an Q di atas hanya memiliki
satu baris saja sehingga disebut sebaai matriks baris.

4. c. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom, contohnya
K= 5 L= 5
Matriks K berordo 2 × 1, matriks L beordo 3 × 1. Matriks K, dan L di atas hanya
memiliki satu kolom saja sehingga disebut sebagai matriks kolom.
d. Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris dan banyak kolomnya
sama, contohnya
2 3 5
N= 2 3 M= 0 -1 7
3 4 4
0 -1
Matriks N berordo 2 × 2 dan matriks M berordo 3 × 3. Karena banyaknya
baris sama dengan banyaknya kolom, maka matriks N dan M disebut sebagai matriks
persegi.
e. Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal
utamanya bernilai nol, sebagai contohnya.
a b c
N= 0 d e
0 0 f
f. Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal
utamanya bernilai nol, contohnya
a 0 0
b c 0
d e f
g. Matriks Diagonal
Ialah suatu matrix dimana semua elemen di luar diaogonal pokok mempunyai
nilai 0 dan paling tidak satu elemen pada diagonal pokok ≠ 0,biasanya diberi
simbol D.

5. Contoh:
1 0 0
D= 0 2 0
0 0 5
h. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya
bernilai 1.
Contoh:
1. n = 2 2. n = 3
1 0 0
1 0 0 1 0
I2 = I3 =
0 1 0 0 1
i. Matriks skalar
Ialah suatu bilangan konstan. Kalau k, suatu bilangan konstan, maka hasil k.I
dinamakan scalar matrix.
1 0 0 k 0 0
k.I3 = k 0 1 0 = 0 k 0
0 0 1 0 0 k
Contoh:
K=4
1 0 0 4 0 0
4.I3 = 4 0 1 0 = 0 4 0
0 0 1 0 0 4
A. Operasi Matriks
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama yaitu A=B, apabila A dan B
mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama dan disamping itu elemen-elemen
pada baris dan kolom yang bersangkutan harus sama artinya aij = bij untuk semua
nilai I dan j, dimana:
aij = elemen matrix A dari baris i dan kolom j
bij = elemen matrix B dari baris i dan kolom j

6. contoh:
1.
2 4 2 4
A= dan B =
3 5 3 5
A =B
2.
1 0 0 1 0
A= 0 1 0 dan B= 0 1
A ≠ B; jumlah kolom tidak sama.
1) Penjumlahan matrix
Kalau matrix A = (bij), dengan m = baris dan n = kolom dan matrix B
= (bij), dengan m = baris dan n = kolom, dijumlahkan (dikurangi) maka
diperoleh matrix yang ketiga, yaitu matrix c = (cij), dengan m = baris dan n=
kolom. Dimana elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan
(mengurangkan) elemen-elemen matrix A dan B yaitu bahwa: cij = aij + bij.
a11…a12...a1j…a1n b11…b12…b1j…b1n
A+B= a21…a22…a2j…a2n + b21…b22…b2j…b2n =
ai1…..ai2…aij….ain bi1….bi2….bij….bin
am1…am2..amj...amn bm1..bm2..bmj…bmn
c11…c12…c1j…c1n
C= c21…c22…c2j….c2n
ci1….c12…cij…..cin
cm1…cm2..cmj..cmn
1 3 2 5 5 7
A= 4 2 5 dan B = 3 1 4 A+B=C
3 1 6 6 2 10
Untuk bisa melakukan penjumlahan dan pengurangan dari matriks A dan
B, kedua matrix ters3ebut harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang
sama.

7. 2) Pengurangan matrix
A – B = A + (-1) B
Contoh:
4 3 4 2
A= dan B =
2 5 1 3
4 3 -4 -2 0 1
A – B = A + (-1) B = - =
2 5 -1 -3 1 2
Untuk melakukan penjumlahan dan pengurangan dari matrix A dan B kedua
matrix tersebut harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama.
Hukum bagi penjumlahan matrix:
a. A + B = (aij + bij) = (bij + aij) = B + A
b. A + B + C = (aij + bij ) + c = (A + B) + C = aij + (bij + cij) = A + (B+C)
3) Perkalian matriks
a. Perkalian dengan scalar
Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan atau mengalikan masing-
masing elemennya dengan bilangan tersebut.
Apabila matrix A harus dikalikan dengan scalar k ini berarti bahwa
semua elemen dari matrix A harus dikalilan dengan k, jadi apabila A =
(aij), maka kA = k(aij) = (aij) k = Ak.
Contoh:
4x 3 2 5 = 12 8 20
6 1 7 24 4 28
Yaitu secara umum k[aij] = [k aij]
b. Perkalian 2 buah matrix
Dua buah matrix dapat dikalikan, satu terhadap yang lain, hanya jika
banyaknya kolom dalam matrix yang pertama sama dengan banyaknya
baris dalam matrix yang ke dua.
b1
A = (a11) = a11 a12 a13 B = (bij) = b2
a21 a22 a23
b3

8. b1
a11 a12 a13 a11b1 + a12b2 + a13b3
Maka A . B = . b2 =
a21 a22 a23 a21b1 + a22b2 + a23b3
Contoh: b3
1. 8
A= 4 7 6 B= 5
2 3 1 9
A .B = 4.8 + 7.5 + 6.9 = 32 35 54 = 121
2.8 + 3.5 + 1.9 16 15 9 40
2.
5 8 4 3 1
A= 7 B= 2 5 8 6
4
1 5
2 7 8 4 3 1
A.B= 3 4 . 2 5 8 6
1.8 + 5.2 1.4 + 5.5 1.3 + 5.8 1.1 + 5.6
2.8 + 7.2 2.4 + 7.5 2.3 + 7.8 2.1 + 7.6
=
3.8 + 4.2 3.4 + 4.5 3.3 + 4.8 3.1 + 4.6
8+10 4+25 3+40 1+30 18 29 43 31
= 16+14 8+35 6+56 2+42 30 43 62 44
28+8 12+20 9+32 3+42 36 32 41 27
4). Perpangkatan Matriks
Sifat perpangkatan pada matriks sama halnya seperti sifat perpangkatan pada
bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, berlaku :
a2 = a x a
a3 = a x a x a
:
an = a x a x . . . x a ( sebanyak n faktor )

9. contoh :
diketahui matriks A = -1 1
2 0
Tentukan :
a. A2 dan A3
b. 3A2 - 2A3
Penyelesaian :
-1 1 -1 1 3 -1
a. A2 = A X A = 2 0 2 0 = -2 2
-1 1 3 -1 -5 3
A3 = A X A2 = = 6 -2
2 0 -2 2
b. 3A2 - 2A3 = 3 3 -1 - 2 -5 3
-2 2 6 -2
9 6 -10 6
=
-6 6 12 -4
19 -9
=
-18 10
D. Matrik Transpose
Matriks A transpose didapatkan dari matriks A dengan memindahkan elemen
baris menjadi elemen kolom atau dengan memindahkan elemen kolom menjadi
elemen baris.
Jika kita memiliki matriks A, maka matriks transpose dari A biasa ditulis sebagai A T,
misalnya :
a d
 a b c 
A= maka matriks transpose AT adalah : AT= b e
 d f d


c
 f


10. E. Matriks invers A-1
Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang bila
diperkalikan dengan matrik A memberikan matriks satuan I, yakni :
AB=I
Selanjutnya, notasi matriks invers A dinyatakan dengan A-1 dapat dibuktikan
bahwa
AB-1=A-1A=I
Cara mencari matriks invers
Sebuah matrik yang dikalikan matriks inversnya akan menghasilkan matrik
satuan.
A A-1 = I
Contoh
5 2
Jika A =  , hitunglah A-1
 − 3 1

5 2
Penyelesaian A =  ,
− 3 1
a b
Misalkan A-1=  
c d 
Gunakan persamaan
AB-1=A-1A=I
Metode matriks kofaktor
1
A-1= KT
det A
Dengan K adalah matrik kofaktor dari matrik A
Contoh
5 2
Hitunglah invers dari matrik A =  
− 3 1
Penyelesaian
5 2
det A =   = 5 + 6 = 11
− 3 1
matrik kofaktor K yang diperoleh dari persamaan adalah:
K = dan

11. 5 2
KT =  
− 3 1
Dengan menggunakan persamaan (5.4) diperoleh :
T
-1 1 1 − 2
A = 
11  3 5 

Catatan
1. jika matrik A adalah matrik ordo n x n dan det A ≠ 0 maka matrik tersebut
mempuyai matrik invers A-1 matrik A disebut matrik nonsingular
2. jika det A = 0 maka matriks A disebut matriks singular matriks singular tidak
mempunyai matrik invers.
Determinan
Pada Sub bab A telah dikenalkan pada matriks persegi, yaitu matriks yang
jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Pada bagian ini, akan dikenalkan pada
determinan dari suatu matriks persegi.
a. Determinan Matriks 2 × 2
Misalkan A adalah matriks persegi ordo 2 × 2 berikut.
A = a b
c d
Determinan dari matriks A didefinisikan sebagai selisih antara hasil kali
elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal
sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau A. Berdasarkan
definisi determinan, diperoleh determinan dari matriks A sebagai berikut.
a b
Det A = │A│ = c d = (a x d) - (b x c)
= ad - bc
Contoh :
Tentukan nilai determinan dari matriks berikut :
- 4 -3
A = 2 -1

12. Penyelesaian :
Det A = -4 -3 = (-4x( - 1)) – ( - 3 x 2 )
2 -1
= 4 + 6 = 10
b. Determinan Matriks 3 × 3
Determinan dari matriks A adalah pengurangan D1 oleh D2, maka det A = D1 – D2
Det A = a b c a b
d e f d e
g h i g h
= (a)(e)(i) + (b)(f)(g) + (c)(d)(h) – (g)(e)(c) – (h)(f)(a) – (i)(d)(b)
= D1 – D2
Berdasarkan nilai diskriminannya suatu matriks dibedakan menjadi 2 jenis yaitu
matriks singular dan matriks non singular. Matriks singular adalah matriks yang
determinannya nol, sedangkan matriks non singular adalah matiks yang
determinannya tidak sama dengan nol.
cara menentukan invers dari suatu matriks :
a. Adjoin Matriks Berordo 2 × 2
Adjoin dari matriks berordo 2 × 2 diperoleh dengan cara menukar elemen pada
diagonal utama dan elemen pada diagonal sekunder dikalikan dengan (–1).
Misalkan, jika A = a b maka, adjoin A = d -b
c d -c a
b. Minor, Kofaktor, dan Adjoin matriks
1) Minor
Misalkan matriks A berordo 3 × 3 sebagai berikut:
a11---a12--- a13
A =
a21 a22 a23
a31 a32 a33

13. Contoh :
M22 = 2 3 = - 4 – 9 = -13
3 -2
Jika baris ke-1 dan kolom ke-2 dari matriks tersebut dihilangkan maka akan
diperoleh matriks baru dengan ordo 2 × 2, determinan dari matriksnya dinamakan
minor. Karena kita menghilangkan baris kesatu dan kolom kedua maka minor
tersebut dinamakan minor dari baris ke-1 kolom ke-2 yang dilambangkan oleh M12.
2) Kofaktor
Jika Mij merupakan minor ke-ij dari matriks A maka kofaktor adalah hasil perkalian
elemen minor Mij dengan (–1) I + j. Dengan demikian, Kij = (–1) I + j Mij Sehingga
diperoleh matriks kofaktor dari matriks A adalah :
K11 K12 K13
K= K21 K22 K23
K31 K32 K33
Contoh :
K21 = (–1)2 + 1 · M21 = (–1)(–1) = 1
3) Adjoin Matriks
Matriks adjoint
Matriks adjoint A, dinotasikan denagn kT, adalah matriks yang elemenya terdiri
dari elemen kofaktor A yang ditransposkan. K disebut matriks kofaktor.
Contoh 1
Carilah matriks adjoint A=kT dari;
A= 1 3
2 4
Penyelesaian :
Kofaktor baris 1: + 4 -2
Kofaktor baris 2:-3 +1
Jadi,

14. -2 -3
T
K= dan k =
-3 1 -2 1
Catatan :
Untuk matriks k, elemenya terdiri dari kofaktor matriks A, yakni(-1)i+j Mij, dan
kT sering dinyatakan juga dengan A.
KESIMPULAN
Matriks merupakan kumpulan bilangan yang tersusun menurut baris dan
kolom sedemikian sehingga tampak seperti bentuk sebuah persegi panjang atau
sistem penulisan objek yang dinyatakan dalam bentuk baris dan kolom. Objek
matriks dapat berupa bilangan real, bilangan kompleks ataupun fungsi. Sebuah
matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar, misalnya A. Setiap bilangan yang
terdapat dalam matriks disebut elemen matriks. Semua bilangan yang tersusun dalam
jalur horizontal disebut baris dan bilangan yang tersusun dalam jalur vertical disebut
kolom.
 Operasi yang yang ada pada matriks meliputi: penjumlahan matriks,
pengurangan matriks ,perkalian matriks , dan determinan.
 Fungsi determinan dinotasikan dengan detA sebagai jumlah hasil kali elementer
bertanda dari A. angka detA disebut determinan dari A atau determinant of A
Matriks A transpose didapatkan dari matriks A dengan memindahkan elemen
baris menjadi elemen kolom atau dengan memindahkan elemen kolom menjadi
elemen baris.
Jika kita memiliki matriks A, maka matriks transpose dari A biasa ditulis sebagai A T,
misalnya :
a d
 a b c T 
A=  maka matriks transpose A adalah : A = b
T e

d f d  c f
 
Matriks adjoint A, dinotasikan denagn kT, adalah matriks yang elemenya terdiri
dari elemen kofaktor A yang ditransposkan. K disebut matriks kofaktor.