Expresión algebraica

1. Tema 1. Expresiones Algebraicas:
• Una expresión algebraica es el resultado de aplicar las operaciones fundamentales a
las variables y a coeficientes
Ej: 4x3 + 31x2 – 8x – 12
17a5 – 4b4 + a3 + 15a2 – 23c + 34
• Términos Semejantes: Son términos cuya parte variable son iguales y además
tienen el mismo exponente.
Dos términos son semejantes si difieren en sus coeficientes numéricos
Si dos o más términos no son semejantes, éstos no pueden sumarse ni restarse
• Ejemplos:
a) 3x2, 5x2, -4x2
b) 3xy, 2xy, -7xy
c) x2y , 3xy2

2. • Reducir o simplificar las siguientes expresiones algebraicas:
a) P(x) = x2 – 2x2 + 5x2 =
b) P(x) = 5x2 – xy + 2xy – 3x2 =
c) P(x) = 2a – 3a + 6b + 4b – 7c +9c =
Tipos de Expresiones Algebraicas:
• Monomios: formado por un solo término, por ejemplo: 3x2, 5a2b
• Polinomios: formado por más de un término, pueden ser:
• Binomios: tiene dos términos Ej: x – 4
• Trinomios: tiene tres términos Ej: x2 – 2x + 1
• Grado de un Polinomio: El grado de un polinomio se define como el mayor
exponente que tiene la variable
Ejemplo: x5 – 5x4 + 3x3 + x2 – x + 6 → grado = 5

3. • Si un término tiene más de una variable, el grado del término es igual a la suma de
los exponentes de las variables del término.
Ejemplo: 9x2y3z2 → grado = 2+3+2 = 7
• Si un polinomio tiene más de una variable, el grado del polinomio es igual al grado
máximo de cualquiera de los términos del polinomio
Ejemplo: 3x2y – 5x4y4 – xy5 → grado = 8
• Ejercicios: Encontrar el grado de los siguientes polinomios:
a) P(x) = 2x5 – 4x4 + 2x6 + 3x2 grado
b) P(x) = x3 + x2 + x grado
c) P(x) = 5a – 3a2 + 4a4 – 6 grado
d) P(x) = a3b – a2b2 + ab3 – b4 grado
e) P(x) = x5 – 6x4y3 – 4a2b + x2y4 – 3y6 grado

4. • Operaciones con Expresiones Algebraicas:
• Adición de Polinomios: Se deben agrupar los términos semejantes, de acuerdo a
la variable y al coeficiente
Ej1: -2x2 + 3x3 – 5 + x ; -3x + 4x2 + 2 = -2x2 + 3x3 – 5 + x -3x + 4x2 + 2 =
= 3x3 + 2x2 -2x -3
Ej2: 3x2 + 4y2 -3xy + 7z2 ; 2x2 +4z3 ; 4y2 -2z2 –2xy
= 5x2 – 5xy +8y2 + 5z2 + 4z3
• Sustracción de Polinomios: Se agrupan los términos semejantes. No se debe
olvidar cambiar mentalmente el signo que precede a cada término del polinomio
que se está sustrayendo, para luego proceder como en la adición (los términos
de una Resta: minuendo y sustraendo)
Ej1: 5x +3y – 6z ; 3x – 2y - 9z
= 5x +3y – 6z – (3x – 2y - 9z) = 5x +3y – 6z - 3x + 2y + 9z = 2x + 5y +3z

5. • Multiplicación de Polinomios: En cada término se multiplican los coeficientes
y las variables. Cuando se multiplican potencias de igual base, se copia la
misma base y se suman los exponentes. (se multiplican coeficientes y se suman
exponentes)
Ej1: (2x3) (4x4-2x2+x-2) = [(2x3).(4x4)] + [(2x3).(-2x2)] + [(2x3).(x)] + [(2x3).(-2)]
= (2.4).(x3.x4)+(2.(-2)).(x3.x2)+(2.1).(x3.x)+(2.(-2)).x3
= 8.(x3+4) – 4.(x3+2) + 2.(x3+1) – 4x3
= 8x7 – 4x5 + 2x4 - 4x3
Ej2: (4x2+3x-2) (2x+5) = (4x2)(2x) + (4x2)(5) + (3x)(2x) + (3x)(5) – (2)(2x) – (2)(5)
= 8x3 + 20x2 + 6x2 + 15x – 4x – 10
= 8x3 + 26x2 + 11x - 10

6. Ejercicios:
1. (2x 3)(4x4 – 2x 2 + x – 2) =
2. (4x2 + 3x – 2) (2x + 5) =
3. (3x – 2y) (2x – 5y) =
4. (3x + 2) (7x2 + 5x + 4) =
5. (-5x2 + 2xy + 3y2) (3x3 – 6x2y + 2xy2 – 4y3) =
6. (4x - 3y) (2x2 + 5xy - 3y2) =
7. (4x2-2x+7) (2x2+3x-2) =

7. Productos Notables:
Cuando se realiza un Producto Notable, se aplica la multiplicación en forma directa, es decir
reduciendo la operación al mínimo de pasos posibles
• Cuadrado de la Suma de dos Términos: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
• Cuadrado de la Diferencia de dos Términos: (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
(2a+5b)2 = (2a)2+2(2a)(5b)+(5b)2 = 4a2+20ab+25b2
(3x-4y)2 = (3x)2-2(3x)(4y)+(4y)2 = 9x2-24xy+16y2
• Cubo de la Suma de dos Términos: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
• Cubo de la Diferencia de dos Términos: (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 – y3
(2x+1)3 = (2x)3 + 3(2x)21 + 3(2x)12 + 13 = 8x3 + 12x2 + 6x + 1
(y -2)3 = y3- 3(y2)(2) + 3y(2)2 – (2)3 = y3 - 6y2 + 12y – 8

8. • Producto de la Suma y la Diferencia: (x + y) (x – y) = x2 – y2
Ej1: (3x+5y) (3x-5y) = (3x)2 – (5y)2 = 9x2 – 25y2
Ej2: (2x3+9y2) (2x3-9y2) = (2x3)2 – (9y2)2 = 4x6 – 81y4
• Cuadrado de un Trinomio: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(x+2y-3z)2 = x2+(2y)2+(-3z)2+2(x)(2y)+2(x)(-3z)+2(2y)(-3z) =
x2+4y2+9z2+4xy-6xz-12yz
Cv: a=x, b=2y, c=(-3z)
Ej2: (3x-5y+7z)2 =
• Factorización de Polinomios:
La Factorización de Polinomios es el procedimiento contrario a Productos
Notables, consiste en transformar una expresión algebraica en un producto
o multiplicación. En las operaciones aritméticas y algebraicas se utiliza
mucho el procedimiento de factorización, como una herramienta para
simplificar y resolver ejercicios con menor dificultad y mayor rapidez
(la factorización es el proceso inverso del producto notable)

9. • Factores Comunes: si cada uno de los términos que forman un polinomio
tiene como factor el mismo termino, a este se le llama factor común del
polinomio
• Se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma:
a(x+y) = ax + ay propiedad distributiva
Factorizando se obtiene: ax + ay = a(x+y)
1.
2. 4a 2b +2ab + 6ab 2 = 2ab(2a + 1 +3b)
3. 9x 2y 2 + 6xy3 + 21x3y 2 + 3xy2 = 3xy2(3x+2y+7x2+1)
4. 24x 3 – 8x 2 - 4x = 4x(6x2-2x-1)
)
3
2
6
(
6
18
12
36 2
3
2
+
−
=
+
− x
x
x
x
x
x

10. • Factores de un Binomio:
• Diferencia de Cuadrados: x 2 – y 2 = (x + y) (x – y)
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1. 49a2 – 16b 2 = (7a) 2 – (4b) 2 = (7a + 4b) (7a - 4b)
2. (a + 3b) 2 – 4 = (a + 3b) 2 – 2 2 = (a + 3b + 2) (a + 3b – 2)
3. x 2 – 9 = x2 – (3)2 = (x+3)(x-3)
4. x 4 – 16 = (x2+4)(x2-4) = (x2+4)(x+2)(x-2)
• Suma de Cubos: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2)
• Diferencia de Cubos: x 3 - y3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2)

11. Ej 1. 8x3 + 27y 3 = (2x)3 + (3y)3 = (2x +3y) ((2x)2 – (2x)(3y) + (3y) 2)=
= (2x + 3y) (4x2 – 6xy + 9y 2)
Ej 2. 27a 3 – 64b 6= (3a)3 – (4b2)3 = (3a - 4b2) ((3a)2 + (3a)(4b2) + (4b2)2) =
= (3a - 4b2) (9a2 + 12ab2 + 16b4)
• Trinomio cuadrado perfecto de la Suma: x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
• Trinomio cuadrado perfecto de la Diferencia: x2 - 2xy + y2 = (x - y)2
1. 4x2 – 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2
2. 9a2 + 24ab2 + 16b4 = (3a + 4b2)2
3. (2a - 3b)2 – 8(2a - 3b) + 16 =
cv= x=(2a-3b) y=4
4. 25a2 + 20ab3 + 4b6 =