1 funções - parte 1

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1 funções - parte 1

  1. 1. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 1/70 Funções ­ parte 1 Funções ­ parte 1 Site: AVA ­ Moodle UTFPR Curso: CDI1 ­ Câmpus CP, FB, MD, PG e TD Livro: Funções ­ parte 1 Impresso por: RODRIGO PEREIRA ALVES Data: quinta, 5 março 2015, 12:05
  2. 2. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 2/70 Sumário 2.1 Objetivos 2.2 Introdução 2.3 O Conceito de função 2.4 O Domínio de uma função real de variável real 2.5 Operações 2.6 Gráficos 2.7 Características de uma função 2.8 Função constante 2.9 Função identidade 2.10 Função do primeiro grau 2.11 Função modular e definida por várias sentenças 2.12 Função quadrática 2.13 Função polinomial 2.14 Função Racional e Função Algébrica
  3. 3. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 3/70 2.1 Objetivos Reconhecer uma função e formalizar o conceito matemático de função; Identificar o domínio, o contradomínio e a imagem de uma função; Construir e interpretar diferentes representações, como gráficos e equações de uma função; Realizar operações com funções; Determinar a inversa de uma função; Distinguir e manipular funções polinomiais, racionais, modulares, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas; Resolver problemas que envolvam o conceito de funções.   Nesta  segunda  unidade,  estudaremos  um  dos  mais  importantes  conceitos  da  matemática,  o  de  função.  Serão  apresentados problemas que evidenciam a importância do estudo das funções em diferentes áreas do conhecimento, ampliando, assim, o nosso olhar para o estudo das funções. No  decorrer  dos  exemplos  será  possível  observar  que  o  uso  de  recursos  computacionais  pode  auxiliar  na  visualização  das propriedades e características das funções.  Ao final de cada tópico, você poderá praticar e verificar sua compreensão dos conteúdos estudados através da resolução dos exercícios propostos.  apresentacao_michelle_klaiber.flv
  4. 4. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 4/70 2.2 Introdução A palavra função geralmente é usada para exprimir a ideia de que um fato pode ser determinado, conhecido, a partir de outro (o valor gasto foi conhecido a partir do número de refrigerantes comprados, o tempo que você leva para chegar à universidade, a pé, depende da velocidade da caminhada, entre outros exemplos). O conceito de função nos permite descrever relações que existem em aplicações, como, por exemplo, relacionar a temperatura de uma compostagem com o número de dias em que ela começou a ser realizada. Exemplos particulares do uso de funções podem ser encontrados desde a antiguidade, como por exemplo, um pastor realizava a contagem de suas ovelhas fazendo uma correspondência entre os objetos a serem contados (as ovelhas) com os objetos de algum conjunto de contagem (como os dedos da mão, pedras, etc.).   Historicamente, um dos primeiros matemáticos que mais se aproximou do conceito de função foi Oresme (1323 – 1382),  em  sua  teoria,  estão  presentes  algumas  noções  gerais  sobre  variáveis  dependentes  e  independentes.  No entanto,  o  conceito  matemático  de  função  foi  formalizado  somente  no  final  do  século  XVII,  sendo  relativamente recente.   Descartes  (1596­1650)  afirmou  em  um  de  seus  estudos  que  uma  equação  de  duas  variáveis,  geometricamente representada por uma curva, indica uma dependência entre quantidades variáveis.   Newton (1642­1727) foi um dos primeiros matemáticos a mostrar como uma função poderia ser desenvolvida em séries  de  potência  infinita,  permitindo  a  intervenção  de  processos  infinitos.  Ele  teria  usado  o  termo  "fluent"  para designar as variáveis independentes, “relata quantitas" para indicar variáveis dependentes, e "genita" para se referir a  quantidades  obtidas  a  partir  de  outras  utilizando  as  quatro  operações  aritméticas  fundamentais  (João  Pedro Pontes, 1992). O termo “função” foi utilizado pela primeira vez por Leibniz (1646­1716) no ano de 1673.   Atualmente,  podemos  notar  o  uso  de  funções  em  muitas  áreas  diferentes,  como  por  exemplo:  um  médico  utiliza funções para calcular a quantidade de medicamento que receitará ao seu paciente, um engenheiro agrônomo pode utilizar funções para calcular o crescimento de uma planta, um vendedor utiliza funções para estimar o seu lucro...   
  5. 5. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 5/70 2.3 O Conceito de função Imaginemos que queiramos descobrir quanto gastamos com refrigerantes na cantina da universidade em um determinado período. Claramente percebemos que o valor gasto depende da quantidade de refrigerantes comprados, ou seja, o valor gasto é uma função do número de refrigerantes comprados. Se cada refrigerante custar R$ 2,50, a tabela seguinte nos dá o valor gasto em função do número comprado. Veja: Tabela 1: valor gasto em função do número de refrigerantes comprados  Número refrigerantes comprados 1 2 3 4 5 20 ... x valor gasto 2,50 5,00 7,50 10,00 12,50 50,00 .... 2,50x   Observe que para descobrir o valor gasto sempre multiplicamos o número de refrigerantes comprados pelo valor de cada refrigerante. Quando escrevemos uma sentença matemática para representar essa relação (a qual denominamos expressão algébrica), estamos determinando um “modelo matemático”. Em particular, nesse item trataremos dos modelos chamados de funções matemáticas. São várias as situações que usamos essa relação, porém, dificilmente nos damos conta que estamos determinando um modelo matemático, que estamos trabalhando com uma função.  Uma função associa elementos de um conjunto a elementos de outro conjunto. Em nosso estudo, os conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos de  . As funções neles definidas são chamadas funções reais de uma variável real.   Antes de definirmos formalmente o que é uma função, podemos pensar em um valor que depende de outro. Por exemplo:                I.    Uma relação que expresse a área A de um quadrado em função do comprimento L do lado.    Sabemos que a área de um quadrado é calculada multiplicando­se a medida do seu lado por ela mesma, ou seja, Área do quadrado =  L x L Portanto, obtemos a equação  ​ .            II.    A área A de um círculo depende de seu raio r. A lei que conecta r e A é dada pela equação  . A cada número real r positivo existe associado um único valor de A, e dizemos que A é uma função de r. Como a área é calculada a partir do comprimento do raio, dizemos que a variável raio   é independente enquanto a área A é dependente, pois usa o valor do raio para ser calculada.  Vejamos então, qual a definição formal de função.   
  6. 6. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 6/70   IMPORTANTE:            I.        não deve haver exceções: se  f  tem o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer f(x)   B para todo x   A;         II.        não deve haver ambiguidades: a cada x   A, a regra deve fazer corresponder um único f(x)   B.   Exemplo 1: Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}. Solução: (a)  f : A → B mostrada na Figura 2.1 abaixo é uma função, pois todo elemento do conjunto A está associado a um único elemento do conjunto B. Note que, embora os elementos 2 e 3 tenham a mesma imagem (4), isso não contraria a definição de função, pois a única imagem do 2 é o 4, e a única imagem do 3 é o 4. Não importa que os dois elementos do domínio estejam com a mesma imagem no contradomínio.     Figura 2.1: Diagrama de uma função     Para representar que o elemento     está associado ao   , segundo a função estabelecida nesse exemplo, escrevemos:   . Para as outras relações, podemos escrever:  ,   e  . (b) g : A → B  mostrada na Figura 2.2 abaixo é uma função de A em B.   Para confirmar essa afirmação, basta calcularmos as imagens de todos os elementos de  , pela relação  . Se todas as imagens estiverem em  , confirmamos a afirmação. Veja: Os elementos de A são: 1, 2, 3, 4. Os elementos de B são: 2,3,4,5. A relação   é:  , onde   está representando genericamente cada elemento do domínio  . Façamos os cálculos: De fato,   é uma função de   em  . A relação entre os elementos de   e   também pode ser representada geometricamente, como mostra a Figura 2.2.
  7. 7. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 7/70 Figura 2.2: Diagrama de uma função    Exemplo 2: Sejam A = {3, 4, 5}  e  B = {1, 2}. Solução: (a)  f : A → B mostrada na Figura 2.3 abaixo não é uma função de A em B, pois o elemento  4   A tem dois correspondentes em B, isto é, existe um elemento no domínio da função (nesse caso, o 4) que não possui uma única imagem.    Figura 2.3: Diagrama de uma relação   (b)Verifique se  g:  A → B        representa uma função.   Esta notação deixa claro que o domínio da função é o conjunto A, que o contradomínio é o conjunto B e que a relação entre A e B que se quer verificar é dada por  . Para ser função, todo elemento de A deve estar associado a um único elemento de B. Vejamos: Elementos de A: {3,4,5}.            Elementos de B: {1,2} Testando a associação: Logo,    Não é uma função de A em B, pois o elemento 5    A não tem correspondente em B.   Conceito de função 2_2_ConceitoFuncao1.flv   Continuação: Conceito de função 2_2_ConceitoFuncao2.flv  determinacao­de­uma­expressao­algebrica­para­um­problema.flv  
  8. 8. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 8/70    No exemplo 1,   . Não necessariamente precisamos ter sempre  .    
  9. 9. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 9/70 2.4 O Domínio de uma função real de variável real O domínio de uma função é o conjunto de números reais possíveis para a variável independente, ou seja, todos os valores de   possíveis. Quando uma determinada função é representada graficamente, podemos analisar o domínio da função por meio da projeção do gráfico sobre o eixo x. Da mesma forma, podemos dizer quem é o conjunto imagem projetando os pontos do gráfico sobre o eixo y. Já no caso da função estar representada algebricamente (com uma fórmula), analisamos o domínio da função a partir das restrições numéricas que temos para a fórmula em questão. Veja os exemplos seguintes: Exemplo 1: Determinar os conjuntos domínio e imagem da função representada no gráfico seguinte (Figura 2.4): Figura 2.4: Gráfico de uma função definida por partes Solução: Não importa a expressão algébrica da função que está representada graficamente. Para determinar o seu domínio, basta projetar o gráfico (linha em vermelho) sobre o eixo x. Ao fazer isso, você perceberá que a projeção "cobre" todo o eixo. Portanto, o domínio da função é o conjunto dos números reais. Escrevemos:  Para o conjunto imagem, basta projetar o gráfico (linha vermelha) sobre o eixo y. Faça isso e perceba que todos os valores maiores ou igual a   são imagem de algum número em x. Escrevemos, para essa função:   ou  . dominio­e­imagem­no­grafico.flv Quando uma função é representada apenas pela sua lei de formação, sua expressão algébrica, o domínio da função é determinado por meio da análise das restrições da função. Observe o exemplo 2: Exemplo 2: Determinar o domínio das seguintes funções: a)  b)  c)  d)  Solução: a) Sabemos que uma divisão só pode ser efetuada quando o denominador da fração for um número não nulo, assim, para determinar o domínio dessa função, precisamos impor a condição de que o denominador seja diferente de zero e resolver a inequação escrita, isto é: Logo,  b) No universo dos números reais, só é possível calcular a raiz quadrada de números positivos ou do zero. Assim, nesse caso, a solução é encontrada a partir da restrição: radicando maior ou igual a zero (essa restrição é válida sempre que o índice da raiz for um número par), que determinará o domínio da função. Isto é:
  10. 10. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 10/70 Logo,                                            c) Da mesma forma que o item b) devemos resolver a inequação: radicando maior ou igual a zero. Isto é,   ou  Lembramos que essa é uma inequação do 2. grau. Para resolvê­la, precisamos analisar o sinal da função quadrática correspondente:  . Você lembra? • Passo 1 ­ achar os zeros da função: • Passo 2 ­ analisar o sinal da função: para isso, uma das alternativas é usar o gráfico da função, o qual já aprendemos no Ensino Médio que é uma parábola, com a concavidade voltada para cima, que interceptará o eixo x nos pontos de abscissas   e  . O intervalo para o qual o gráfico estiver acima do eixo x, anotamos o sinal de + (mais) para significar que, naquele intervalo, a função é positiva. O intervalo para o qual o gráfico estiver abaixo do eixo x, anotamos o sinal de ­ (menos), para significar que, naquele intervalo, a função é negativa. Veja a Figura 2.5. Figura 2.5: Sinal da função  Note que a função ser positiva ou negativa não depende do valor de x ser positivo ou negativo, mas depende do valor de y. Isso nos dá outra alternativa para verificar o sinal de uma função: fazer cálculos. Como? Se pensarmos na reta numérica, os zeros da função   a dividem em três partes:  os números menores que  ;  os números entre   e  ;  os números maiores que  . Para verificar o sinal da função, atribuímos um valor para x em cada um desses intervalos e verificamos o sinal da imagem desse número. Esse sinal valerá para todo o intervalo. Seja   , temos  . Como esse resultado é positivo, assumimos que para todo número   menor que ­1,  Seja  , temos  . Como esse resultado é negativo, assumimos que para todo número   entre   e  ,  . Seja  , temos  . Como esse resultado é positivo, assumimos que para todo número  Isso é o que está apresentado na figura anterior. • Passo 3 ­ escolher o sinal adequado para resolver a inequação. Como queremos  , devemos escolher os intervalos em que a função apresenta sinal de + (positivo) ou zero. Assim,   d) Aqui são apresentadas as situações tratadas nos itens a e b. Para cada “parte” da função  , devemos encontrar as restrições, ou seja, aqueles números que se substituídos no lugar do   resultam em uma divisão por zero ou numa raiz de índice par e radicando negativo. Ou seja,        (1)        (2)
  11. 11. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 11/70        (3) O domínio da função é o conjunto de todos os números reais que satisfazem as condições de  ,   e  , simultaneamente, isto é, resta ainda determinar a interseção das restrições em (1), (2) e (3). Logo,  dominio­de­uma­funcao­real.flv Exemplo3: Determinar o domínio e a imagem da função  : Solução: Antes de afirmar que o   , lembre­se que o denominador nunca dever ser igual a 0, assim temos: Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para   (lembrando que  ). Isolando o   temos:
  12. 12. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 12/70   Antes de afirmar que   , lembre­se que o denominador nunca dever se igual a 0, assim temos: Exemplo 4: Determinar o domínio e a imagem da função  : Solução: Antes de afirmar que o   , lembre­se que raiz quadrada de números negativos não está definida no conjunto   , portanto fazemos: Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para   (lembrando que  ). Isolando o   temos:  (lembrando que  )   http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/logaritmica/logaritmo/conceito_log.htm Exemplo 5: Determinar o domínio e a imagem da função  : Solução: Antes de afirmar que o   , lembre­se que não existe   de valores menores ou iguais a zero. Temos: Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para   (lembrando que   ).
  13. 13. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 13/70 Isolando o   temos:  (aplicando o   para cancelar o   )  (lembrando que o   )  (para qualquer valor de   , o resultado será sempre maior que 0) http://moodle2.md.utfpr.edu.br/videos/videoaula/Calculo/funcao/2_2_Dominio.flv Respostas:    http://www.youtube.com/watch?v=a­qbD1hRYvI http://www.youtube.com/watch?v=5D7Pht5AcDw Tarefa: Observe que aqui aparecem vários termos associados às funções. Redija um texto estabelecendo as diferenças entre eles e como determiná­los. Se necessário, pesquise em outras fontes, elabore situações... Com as funções podemos também realizar operações, assim como fazemos com os números, e destas operações formaremos novas funções, como veremos a seguir:
  14. 14. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 14/70 2.5 Operações Estudaremos agora as operações que podemos realizar entre as funções.     O  domínio  das  funções    é  a  intersecção  dos  domínios  de    e  .  O  domínio  de    é  a intersecção dos domínios de    e  , excluindo­se os pontos onde  .     O domínio de   coincide com o domínio de  . A composição de funções, também é considerada uma operação de funções:      O domínio de g ○ f (lê­se "g bola f" ou "g composta com f") é o conjunto de todos os pontos   no domínio de   tais que   está no domínio de  . Simbolicamente,  Veja o diagrama abaixo na Figura 2.6:   Figura 2.6: Diagrama da função composta     funcao­composta.flv  Exemplo 1: Sejam   e  . Solução:
  15. 15. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 15/70       Exemplo 2: Sejam   e  . Encontre  . Solução: Lê­se “  ” onde o valor da   (no caso,  ) é substituído no lugar da variável   que aparece na  , assim temos:      Exemplo 3: Sejam   e  . Encontre: Solução: Temos,      Exemplo  4:  Sejam    e   funções de    em  .  Determine  o  valor  de  .
  16. 16. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 16/70 (TAN, 2011) Solução: Como   , temos que  . Assim,  . Da igualdade   segue: Logo,   . Exemplo 5: Muitos problemas em matemática são abordados pela decomposição de funções em uma composição de uma ou mais funções mais simples. Por exemplo, considere a função  . Para calcular   para um dado valor, primeiro temos que fazer   e depois fazemos o quadrado do resultado, não é isso? Essas duas operações são executadas pelas funções:  e  . Podemos expressar   em função de   e   fazendo:  É importante entender a composição das funções porque precisaremos disso para derivar ou integrar funções compostas mais adiante... Desafio: Expresse   como a composição de duas funções. Resposta do desafio:     2_3_OperacoesCompostas.flv     Gabarito: 
  17. 17. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 17/70
  18. 18. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 18/70 2.6 Gráficos   Exemplo 1: Seja dada a seguinte descrição em palavras de uma função:   é a população brasileira no instante  . A tabela de valores da população brasileira (tabela 2) fornece uma representação conveniente dessa função. Ao plotarmos esses pontos, obtemos a representação apresentada na Figura 2.7, que nos é bastante útil pela inferência que podemos fazer a respeito da população brasileira. Naturalmente, é impossível calcular uma fórmula exata para a população brasileira P(t), porém, é possível encontrar uma solução aproximada para ela, que nos permite estimar populações em momentos em que não temos disponíveis dados do censo. A figura 2.8 representa a população brasileira para o período de 1900 a 2000, bem como o modelo matemático aproximado correspondente. Tabela 2: População Brasileira Ano População 1583 57000 1600 100000 1700 300000 1800 3660000 1872 9930478 1890 14333915 1900 17438434 1920 30635605
  19. 19. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 19/70 1940 41236315 1950 51944397 1960 70191370 1970 93139037 1980 119002706 1991 146825475 2000 166112500 Fonte: IBGE Figura 2.7: Representação gráfica da População Brasileira Figura 2.8: Modelo matemático aproximado para a população brasileira no período de 1900 a 2000. Solução: Na tabela 2 temos a população brasileira para diversos momentos, no entanto, se estivéssemos interessados em estimá­la para o ano de 1975, por exemplo, precisaríamos de algum modo, já que esse valor não consta nela. Com o uso do modelo matemático, podemos obter essa informação, bastando para isso considerar   e calcular o valor de   pessoas. Você pode determinar essa função usando o software GeoGebra e o comando "regressão exponencial" . Você deverá encontrar a função:   em que   é o ano e   é a população no ano  .   Definiremos  agora  o  gráfico  de  uma  função,  que  é  uma  das  formas  que  podemos  utilizar  para  representar  uma
  20. 20. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 20/70 função.     Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função :  Solução: Note que esta função tem como  , isto nos permite montar uma tabela e atribuir quaisquer valores para  ,substituindo estes valores na função, encontramos os valores de   correspondentes. Os números   e    serão as coordenadas de um ponto no plano cartesiano. Assim temos:    Figura 2.9: Representação dos pontos da tabela 2.3   Em seguida trace uma reta (ou uma curva) seguindo os pontos do plano cartesiano, assim teremos um esboço do gráfico, como na Figura 2.10:   Figura 2.10: Gráfico da função    
  21. 21. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 21/70   Exemplo 3: Esboçar o gráfico da função : Solução: Observando que    podemos atribuir qualquer valor para   que encontraremos um valor para  . Dessa forma é importante atribuir vários valores para   para podermos visualizar e esboçar o gráfico.     Tabela 2.4 Figura 2.11: Representação dos pontos da Tabela 2.4                                                     Traçando uma curva seguindo os pontos do plano cartesiano, teremos um esboço do gráfico, como na Figura 2.12:
  22. 22. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 22/70    Figura 2.12: Gráfico da função     É importante observar que, nesse exemplo, só pudemos traçar uma curva unindo os pontos marcados no plano cartesiano porque o domínio da função é o conjunto dos números reais. http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/grandezas/exemplos/exemplo1.htm http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/grandezas/exemplos/exemplo2.htm http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/grandezas/exemplos/exemplo3.htm http://ecalculo.if.usp.br/funcoes/grandezas/exemplos/exemplo5.htm    
  23. 23. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 23/70 2.7 Características de uma função Mais adiante, precisaremos que as funções tenham algumas características especiais, como, por exemplo, ser bijetora ou ser crescente. Vamos apresentar algumas dessas características, para que saibamos do que se trata, quando for oportuno. Exemplo 1: A função   com   não é injetora, pois para   e  , ou seja  , encontramos  , o que contraria a definição. Observe a Figura 2.14 e perceba que há várias duplas de números reais (por exemplo,   e  ,   e  ) que possui a mesma imagem. Graficamente, podemos reconhecer se uma função é injetora se ao traçarmos linhas paralelas ao eixo das abscissas, essas linhas interceptarem o gráfico em apenas um ponto (por que mesmo???? Analise bem!). Figura 2.14: Representação gráfica da função   com  Exemplo 2: Seja a função   com  . Nessas condições, a função   é injetora. Note que, nesse exemplo, restringimos o domínio da função para apenas os números reais não negativos, e isso permitiu que a função se tornasse injetora. Veja a representação gráfica na Figura 2.15. Figura 2.15: Representação gráfica da   com  Exemplo 3: A função   com   é injetora pois  , com   tem­se  .
  24. 24. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 24/70 A definição 2 nos permite concluir que uma função é sobrejetora quando seu conjunto imagem for igual ao contradomínio da função. Na notação da Definição 2, o contradomínio de   é o conjunto  . Exemplo 1: A função   definida por   é sobrejetora pois  . Exemplo 2: A função   definida por   não é sobrejetora pois   e, nesse exemplo, estamos tomando o contradomínio da função   como sendo o conjunto  . Logo,  . Exemplo 3: Uma função  , com   e  , e   não é sobrejetora pois, Isto é,  Exemplo 1: A função   com   é bijetora. Verifique!! Note que para existir a inversa de uma função, é preciso que esta seja bijetora. Por que isso? A função bijetora é sobrejetora e injetora. Sendo sobrejetora, tem­se que  , o que significa dizer que   existe pelo menos um   tal que  , e esse   é único, porque f é injetora. Sendo assim, então podemos definir uma função   que associa a cada   o único   tal que  . Exemplo 1: Seja   com  . Esta função associa a cada número real o número  . A função inversa associa o número   ao número  . A função inversa é dada por:  . Como podemos determinar a inversa de uma função? Basta seguir o seguinte procedimento (ou use a sua lógica, "desfazendo" as operações realizadas para determinar o  ): 1. Troque   por   e   por  ; 2. Isole  3. Escrevemos    Veja, vamos determinar a inversa de  Passo 1: Escrevemos  Passo 2: Isolamos  :  Passo 3:  . Graficamente, as funções   e   são simétricas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (que é representada pela reta  ). A Figura 2.16 mostra a representação gráfica da função do Exemplo 1 e de sua inversa.
  25. 25. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 25/70 Figura 2.16: Representação gráfica da função  e de sua inversa Exemplo 2: Determinar a inversa da função   dada por  . Solução: A função dada é bijetora, pois: a) Considere  , então  Assim,   é injetora. b)   é sobrejetora, pois dado  , existe   tal que  . De fato, se  , então Para calcular a função inversa, vamos seguir os passos apresentados no exemplo 1. Passo 1:  Passo 2: Logo, para 
  26. 26. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 26/70 A Figura 2.17 mostra a representação gráfica das funções   (em azul) e   (em vermelho). Figura 2.17: Representação gráfica da função   e sua inversa. Exemplo 1: Verifique se a função real de variável real dada por   é crescente ou decrescente. Solução:  Seja  . Temos: Logo a função é crescente. Figura 2.18: Representação gráfica da função Para verificar se uma função cresce ou decresce a partir da representação gráfica, basta acompanhar o crescimento da linha do
  27. 27. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 27/70 gráfico, com o cuidado de observar esse crescimento da esquerda para a direita, conforme o sentido de crescimento dos valores que estão no eixo . Exemplo 2: Verifique se a função real de variável real, dada por   é crescente ou decrescente. Solução: Seja  . Temos:   Logo, como  , a função é decrescente. A Figura 2.19 mostra a representação gráfica da função  . Figura 2.19: Representação Gráfica da função  Nem todas as funções são crescentes ou decrescentes. Muitas delas são crescentes em um intervalo e decrescentes em outro, como podemos observar na Figura 2.20, que mostra parte do gráfico da função  Figura 2.20: Representação gráfica da função O gráfico nos permite ver que essa função é crescente para valores de   menores que 2 ou maiores que 3, e decrescente para valores entre 2 e 3. Normalmente escrevemos: A função é crescente em  A função é decrescente em  No ponto de abscissa 2 (ponto B) temos um ponto de máximo relativo da função; no ponto de abscissa 3 (ponto D) temos um ponto de mínimo relativo da função.  Com o estudo das derivadas, encontramos métodos mais eficazes para determinar em qual intervalo uma função cresce e/ou decresce, se existem e onde estão localizados pontos de máximo e mínimo. 
  28. 28. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 28/70 Exemplo 1: Seja  . Esta é uma função par, pois:  temos:  . Observe a simetria, em relação ao eixo  , no gráfico dessa função. Veja a Figura 2.21. Toda função simétrica em relação ao eixo   é uma função par. Figura 2.21: Representação gráfica da função par  Exemplo 1: Seja  . Esta é uma função ímpar, pois: , temos:  Em termos gráficos, uma função é ímpar se ela for simétrica em relação à origem. A Figura 2.22 mostra a representação gráfica da função  . Figura 2.22: Representação Gráfica da função  A relação entre duas grandezas, representada por uma função, pode se apresentar de diferentes formas. De acordo com o padrão estabelecido nas relações, é feito um agrupamento, no qual as características semelhantes nomeiam o grupo. Dessa forma, temos uma subdivisão no tema “função”, dadas pelas similaridades das relações em estudo.
  29. 29. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 29/70
  30. 30. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 30/70 2.8 Função constante     A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo dos  , passando por  . O domínio da função    é   . O conjunto imagem é o conjunto unitário do  . Exemplo 1: Considere a função constante  . O gráfico de   é uma reta paralela ao eixo  , passando pelo  . Figura 2.23: Gráfico da função  Para essa função, temos:   e  . Exemplo 2: Considere a função constante  O Gráfico   de é mostrado na Figura 2.24. Figura 2.24: Gráfico da função  Na função constante, consideramos que a taxa de crescimento é nula. A função constante está presente no nosso cotidiano. Considere o valor pago por uma refeição no Restaurante Universitário. Ao considerarmos a variável independente   como sendo a quantidade de comida no prato, e a variável dependente   como sendo o valor a pagar, estabelecemos que  . Isto é, independe de quanto você comer, você pagará apenas R$ 2,50.  Situações semelhantes aparecem em outros casos, como na taxa mínima de água cobrada pela Companhia de Saneamento do Paraná (SANEPAR). Para qualquer gasto entre 0 e 10 metros cúbicos de água, com esgoto, sua conta de água custará R$ 44,26 (valor residencial cobrado para a região de Campo Mourão). Isto é, se   é o
  31. 31. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 31/70 consumo e   é o valor a pagar, para o intervalo de consumo de   
  32. 32. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 32/70 2.9 Função identidade O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. Ela já apareceu antes, você lembra? Os gráficos de uma função e de sua inversa são simétricos em relação a essa reta!   Figura 2.25: Gráfico da função Identidade    O domínio de   é  . O conjunto imagem é  Para construir o gráfico da função identidade, basta montar uma tabela atribuindo valores a  . O conjunto de pontos   compõe o gráfico da função identidade.
  33. 33. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 33/70 2.10 Função do primeiro grau Para determinar o domínio de uma função de primeiro grau, note que não há restrições para   , logo, devemos ter  . Como  , qualquer que seja  , sempre existe  , tal que  . Logo,  . Ou seja, para toda função de primeiro grau sempre teremos:   e  . Para esboçar o gráfico de função de primeiro grau, basta atribuir valores a   e calcular os respectivos valores de  , conforme a função dada.        Exemplo 1: Esboce o gráfico da função  . Solução:  Vamos montar uma tabela auxiliar e, em seguida, marcar os pontos no plano cartesiano: Figura 2.26: Gráfico da função  Olhe mais atentamente a tabela auxiliar e observe que quando os valores de   aumentam em 1 unidade, os valores de   aumentam em 3 unidades.
  34. 34. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 34/70 Essa taxa de crescimento é justamente o valor do coeficiente angular da função. Como a taxa de crescimento é positiva, dizemos que essa função é crescente.  Agora, analisemos um outro exemplo. Exemplo 2: Esboce o gráfico e determine se é crescente ou decrescente a função  . Solução: Note que para cada unidade aumentada em  , o valor de   correspondente diminui 2 unidades. Ou seja, essa função possui uma taxa de crescimento negativa. Nesse caso, dizemos que essa função é decrescente. Observe que essa taxa de crescimento   é também o valor do coeficiente angular da função. O gráfico da função está apresentado na Figura 2.27. Figura 2.27: Gráfico da função  Nos exemplos 1 e 2 perceba, ainda, que o coeficiente linear representa a ordenada do ponto no qual a reta intercepta o eixo  De modo geral, dizemos que: Quando   , a função    é crescente e quando   , a função   é decrescente. Exemplo 3:    é uma função do primeiro grau crescente porque  .
  35. 35. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 35/70 Figura 2.28: Gráfico da função  Exemplo 4:   é uma função do primeiro grau decrescente porque  . Figura 2.29: Gráfico da função     Exemplo 5: O salário mensal do vendedor de uma determinada loja é calculado da seguinte maneira: uma parte fixa, no valor de R$ 1000,00 e uma parte variável, a comissão, que é de 10% sobre o valor de suas vendas mensais. Determine uma função que relacione o salário   com o valor das vendas   de um determinado mês. Solução: Note que: Salário Mensal = Valor Variável + Valor Fixo onde                Valor Fixo = 1000          Valor Variável =  10% de x =0,1x Assim, É uma função de primeiro grau que relaciona o salário mensal    às vendas    do vendedor. Neste problema, cabe salientarmos que o domínio da função é    pois as vendas sempre serão  um  valor  positivo  ou  nulo.  Da  mesma  forma,  temos  a  imagem      pois  o mínimo que o vendedor receberá por mês é R$ 1000,00, no caso de ele não receber comissão.   Exemplo 6: Sejam   e   funções de   em   dadas por   e  . Determine para quais valores de   teremos  Solução 1: Uma forma de compararmos as funções   e   é estudar o sinal da função   dada por Temos que Assim, podemos notar que   para  . Logo    quando   . Solução 2: Podemos resolver esse mesmo exemplo 6 graficamente. Os valores de   para os quais   podem ser determinados verificando em qual (ou quais) intervalo(s) o gráfico da função   fica acima do gráfico da função  . Observe a Figura 2.30.
  36. 36. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 36/70 Figura 2.30: Resolução gráfica de uma desigualdade Exemplo 7: Obtenha a representação algébrica da função cuja representação gráfica está apresentada na Figura 2.31. Figura 2.31: representação gráfica de uma função Solução: Como o gráfico é uma reta, sabemos que se trata de uma função de primeiro grau, logo, a representação algébrica é do tipo:  . Ou seja, precisamos determinar os valores das incógnitas   e  . Sabemos que a função passa por dois pontos conhecidos:   e  . Assim, para cada um desses pontos podemos escrever uma equação: Logo, a representação algébrica da função é:  . A função   com   é chamada de Função Afim por muitos autores. Os seguintes casos são os casos particulares:                  I.             Função do primeiro grau, quando  ;
  37. 37. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 37/70                II.             Função linear, quando   e  ;               III.             Função constante, quando      2_7_FuncaoPrimeiroGrau.flv   A  animação  abaixo  mostra  o  que  acontece  com  o  gráfico  de  uma  função  linear  quando  variamos  o  valor  do coeficiente angular  .   CoeficienteAngular.flv   Esta outra animação, mostra o que acontece com o gráfico de uma função do primeiro grau quando fixamos o valor de   e variamos o valor do coeficiente linear  .     CoeficienteLinear.flv Uma característica peculiar das funções lineares é que elas crescem (ou decrescem) a uma taxa constante. Você deve ter percebido isso quando analisou a variação da função para cada unidade de variação de  . Agora, vejamos alguns exemplos de utilização dessas ideias... Exemplo 8: a) À medida que o ar seco move­se para cima, ele se expande e se esfria. Se a temperatura do solo for de 20℃ e a temperatura a uma altura de 1 km for de 10℃, expresse a temperatura   (em ℃) como uma função da altura   (em km), supondo que um modelo linear seja apropriado. b) Faça um gráfico da função da parte a). O que representa a inclinação? c) Qual a temperatura a 2,5 km de altura? Solução: a) sejam   a temperatura do ar seco e   a altura. Como se supõe que o modelo linear seja apropriado, podemos escrever  , com  . O problema nos fornece os seguintes dados: • a temperatura do solo é de 20℃, isto é, para  , o que podemos escrever como:  • a temperatura a uma altura de 1 km é de 10℃, isto é, para   ou  Agora basta encontrar os valores de   e  , usando os dados fornecidos e o modelo adotado, por meio da resolução do sistema linear: A solução do sistema é   e  . Logo o modelo linear que associa altura e temperatura é  . b) O Gráfico está apresentado na Figura 2.32.
  38. 38. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 38/70 Figura 2.32. Gráfico temperatura x altura A inclinação   representa a taxa de variação da temperatura em relação à altura. Ou seja, a cada quilômetro de altura, a temperatura diminui 10℃. c)  Exemplo 9: A tabela seguinte fornece uma lista de níveis médios de dióxido de carbono na atmosfera, medidos em partes por milhão, no Observatório de Mauna Loa, de 1972 a 1990. Use os dados da tabela para encontrar um modelo para o nível de dióxido de carbono. Solução: Inicialmente, devemos plotar os dados num diagrama de dispersão (Figura 2.30) para verificar o comportamento dos dados. Figura 2.33. Diagrama de dispersão Nível de   x ano Observe que os pontos parecem alinhados, o que nos sugere que o modelo linear é adequado para representar o nível de  . A questão agora é: como calcular esse modelo?
  39. 39. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 39/70 Podemos escolher dois pontos aleatórios e calcular a equação da reta que passa por esses dois pontos. Lembre que estamos usando um modelo linear. Experimentemos usando os pontos (1974,330) e (1986,347). Assim, sejam   o ano e   o nível de  . Então:  A inclinação da reta que passa pelos pontos (1974,330) e (1986,347). é dada por:  Observe que aqui usamos outro método para determinar (usamos o modo como normalmente aprendemos em Geometria Analítica), porém. se tivéssemos usado o mesmo método do Exemplo 8 teríamos obtido o mesmo resultado. Para concluir, fazendo   e  , encontramos: Logo,  Esse é um bom modelo? Se testarmos com outros dados da tabela veremos o quanto ele é, ou não, bom. Se os resultados forem bastante próximos dos tabelados, é um bom modelo. Você vai aprender como determinar o melhor modelo para extrapolar dados quando fizer a disciplina de Estatística.
  40. 40. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 40/70 2.11 Função modular e definida por várias sentenças O módulo de um número real é definido da seguinte forma:   A função definida por   chama­se função módulo. O seu domínio é o conjunto   e o conjunto imagem é    Segue abaixo, na Figura 2.34, o gráfico desta função:                                Tabela 2.5 Figura 2.34: Gráfico da função modular      Função modular 2_8_FuncaoModular1.flv   Continuação: Função modular 2_8_FuncaoModular2.flv      Exemplo 1: Vamos construir o gráfico da função  Solução 1: Para fazer o gráfico, vamos escrever a função modular dada sem o módulo. Lembre­se que quando o número é positivo, o módulo do número é o próprio número, mas quando o número é negativo,o módulo do número é o oposto do número. Para a função em questão, isso é traduzido na seguinte fórmula: (compare essa escrita com a fórmula  , comentada no início dessa seção) Quando escrevemos a função modular como uma função de duas sentenças, nosso problema se reduz ao traçado de duas semirretas. Para delimitar o domínio de cada uma das sentenças, precisamos resolver as inequações   e  .
  41. 41. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 41/70 Assim, a fórmula pode ser reescrita como: Agora, basta traçarmos a reta de equação   na região do plano cartesiano em que   e traçar a reta de equação   na região em que  . (Esses gráficos você pode fazer como você aprendeu na seção de função do primeiro grau). Observe a figura 2.35. Figura 2.35: Gráfico da função   Solução 2: O método apresentado na solução 1 não é o único possível para esboçar o gráfico de uma função modular. Aqui, citaremos outro. Primeiramente, encontramos o zero da função:                                                                                                    Depois, substituímos na função valores próximos ao valor encontrado  . Nesse caso, o "bico" que aparece no gráfico está no ponto cuja abscissa é o zero da função. Veja a figura 2.36.               Tabela 2.6 Figura 2.36: Gráfico da função        funcao_modular­3.flv Exemplo 2: No final de certo campeonato de sinuca, um dos jogadores precisava acertar a bola preta em uma das caçapas para vencer a partida e o campeonato. Suponha que sobre a mesa de sinuca foi colocado um sistema de eixos coordenados em um dos cantos da mesa. A bola preta, que estava na posição (1,6 ; 1,2), foi impulsionada pelo jogador, atingindo a lateral da mesa no ponto de coordenadas (2,4 ; 0). Sabendo que o objetivo desse jogador era acertar a caçapa que estava na posição (3,6 ; 1,8) resolva:
  42. 42. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 42/70 a)  Escreva  uma  função  do  tipo    que  descreva  a  trajetória  da  bola  na  jogada  (considere  que  na  jogada  a  bola realizou movimentos retilíneos). b) O jogador conseguiu acertou a bola na caçapa pretendida? Justifique. (SOUZA, 2010)    Solução: a) A função que representa a trajetória da bola é do tipo   , substituindo nela os pontos dados no problema, temos:    e     Da segunda equação obtemos Substituindo   na primeira equação Portanto, a função procurada é   . b) Agora, para saber se o jogador acertou a caçapa, basta verificarmos se a caçapa estava na trajetória da bola. Fazemos isso verificando se o ponto    pertence à função  Logo, o jogador acertou a caçapa pretendida.      Exemplo  3:  (UERJ)  O  volume  de  água  em  um  tanque  varia  com  o  tempo  de  acordo  com  a  equação  . Nela,   é o volume medido em   após   horas, contadas a partir de 8h de uma manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante. Solução: Primeiramente vamos analisar os módulos, pela definição de módulo segue que E Teremos então três intervalos para a construção da função  :   e   (esses intervalos são determinados nas condições para as duas funções em estudo:  a primeira função muda se    ou se   ; já  a segunda muda se   ou   ). Vamos analisar a função V em cada  um desses intervalos:  
  43. 43. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 43/70   Assim,   pode ser escrita da seguinte forma   Portanto, o volume permanece constante para  , ou seja, ente 10 e 11 horas. Exemplo 4: a) Esboce o gráfico da função  b) Determine o conjunto imagem.   Solução:  a) Para esboçar o gráfico, vamos escrever a função sem o módulo: Observe que  , que está fora do módulo, não entrou na condição se   ou  . Da mesma forma, na definição da função ele não alterou o seu sinal. Podemos reescrever (1) da seguinte maneira: Agora, basta traçar o gráfico que representa cada uma dessas sentenças. O gráfico está apresentado na Figura 2.37. Figura 2.37: Gráfico da função  b) Note que o conjunto dos valores de   que são imagem de algum valor   é o conjunto dos números reais maiores que  . Então, escrevemos: Você deve ter notado que escrevemos a função modular como uma função de duas sentenças, para a qual não usamos o módulo. Frequentemente, acontece de termos várias restrições para uma determinada situação, e isso nos obriga a escrever uma função cuja lei de formação tem mais de uma sentença. Denominamos tais funções de "funções definidas por partes" ou "funções definidas por várias sentenças". Veremos alguns exemplos.
  44. 44. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 44/70 Exemplo 5: A partir de março de 2014 entrou em vigor no Estado do Paraná, uma nova tabela de Tarifas de Saneamento Básico para as regiões que são atendidas pela SANEPAR. A Tabela seguinte mostra alguns valores. Você já deve ter notado que, mensalmente, um funcionário da empresa prestadora de serviços, chega à sua casa para a verificação do consumo e deixe o boleto para pagamento (a conta de água!). Para que o processo de geração do boleto seja tão ágil, além da tecnologia, é preciso que se converta os dados tabelados numa função para que se programa a tecnologia utilizada para a emissão do boleto. Com base nos dados apresentados na tabela, elabore uma função que relacione o valor a ser pago pelo consumidor que mora no interior e é atendido pela Sanepar com os serviços de água e esgoto. Tabela 6: Tarifa normal de Saneamento Básico para Municípios do Estado do Paraná atendidos pela SANEPAR, em vigor a partir de março de 2014. Solução: Seja   o consumo de água, em  , e   o valor a pagar em função do consumo  . i) Para a primeira faixa, devemos ter:   para  .  Note que essa é uma função constante nesse intervalo, ou seja, independentemente do consumo de água mensal, se for de   ou , se ele estiver na faixa de até  , o valor a ser pago será o mesmo. ii) Para a segunda faixa, observe que a cada metro cúbico excedente, inferior a   , custa R$ 6,78. Isso nos faz escrever a seguinte função para o intervalo de  : Fazendo as operações indicadas, podemos reescrever   como: Ou seja, na segunda faixa, devemos ter   para  . iii) Para a terceira faixa, procedemos de modo análogo ao realizado para a segunda faixa. Observe que a tabela indica que o valor a ser pago será de R$180,77 acrescidos de R$ 11,57 por cada metro cúbico consumido que for superior a 30. Assim, para     Simplificando essa expressão, teremos: Ou seja, na terceira faixa, teremos   para  . Portanto, a função que modela o consumo de água residencial para o interior do Estado do Paraná, em municípios que são atendidos pela Sanepar, é:
  45. 45. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 45/70 funcao_definida_por_partes­1.flv Exemplo 6: Dada a função   determine:  o esboço do gráfico de    o conjunto imagem de  . Solução: a) observe nas restrições da função que  , pois a primeira sentença contempla os números reais menores ou iguais a zero, a segunda contempla os números que estão entre zero e 1, incluindo o 1, a terceira contempla os números entre 1 e 3 e a quarta sentença contempla os números maiores ou igual a 3. b) Para determinar   é preciso observar que  , ou seja, o   está contemplado na restrição da primeira sentença, assim,  isto é,  c) Para determinar   note que  , logo,  isto é,  . d) Como ,  . e) Para calcular  , note que   está contemplado na restrição da quarta sentença. Assim.   . Isto é, . f) Como  ,  g) Como a função possui quatro sentenças, dividimos o plano cartesiano em quatro regiões, conforme as restrições para  . Para traçar o gráfico da função  , podemos usar uma tabela auxiliar, como feito em exemplos anteriores, para cada uma das sentenças. Porém, é preciso lembrar que o gráfico é um só, mas com quatro "partes" diferentes. Obedecer as restrições para traçar o gráfico de cada uma dessas partes é uma condição essencial para a elaboração do gráfico de  . Tabela auxiliar para traçar o gráfico de  : 
  46. 46. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 46/70 Observação: você pode atribuir outros valores a para traçar o gráfico, lembre ainda que usamos apenas alguns exemplares, mas que essa parte da função   vale para todo número não positivo. O Gráfico de   pode ser visualizado na figura 2.38. Figura 2.38: Gráfico de   apresentando apenas a parte referente a  . Tabela auxiliar para traçar o gráfico de  :  Observe que   é uma função linear, cujo gráfico é uma reta. Logo, podemos usar a tabela auxiliar com apenas dois valores, que devem atender a restrição de  , isto é, nesse caso, deve estar entre 0 e 1. Como esse segmento de reta deve estar representado na faixa  , esse valores extremos da faixa, 0 e 1, devem ser usados na tabela para uma adequada delimitação gráfica. Para dizermos que   não está contemplado na restrição, usamos uma bola aberta no ponto  . Como  , faz parte do intervalo para restrição, no ponto   deixamos uma bola fechada. A Figura 2.39 mostra o gráfico de   com as representações gráficas de   e  . Figura 2.39: Gráfico de   apresentando a parte referente a   e  A terceira parte da função   é definida por uma função  constante, a qual já sabemos que o gráfico é uma reta paralela ao eixo  , isso dispensa o uso da tabela auxiliar. Entretanto, devemos lembrar que essa função constante   está restrita ao intervalo (1,3), ou seja, só pode ser desenhada na faixa  . Como já dito antes, para dizer que   e   não estão contemplados nessa sentença, devemos colocar, na representação gráfica, uma bola aberta no ponto (1,2) e outra bola aberta no ponto (3,2). Note que a bola aberta do ponto (1,2) estará sobre uma bola fechada, colocada quando traçamos o gráfico de  , isso faz com que, ao visualizarmos o gráfico, percebamos apenas a bola fechada, observe a Figura 2.40, a qual acrescenta o gráfico de   na Figura 2.39.
  47. 47. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 47/70 Figura 2.40: Gráfico de   apresentando a parte referente a  ,   e  . Para concluirmos o gráfico de  , basta acrescentarmos o gráfico de  . Como   é uma função de primeiro grau, podemos usar apenas dois valores para   na tabela auxiliar, mas não podemos nos esquecer que essa função é válida para todo número real maior ou igual a 3. Tabela auxiliar para traçar o gráfico de  : O gráfico de   está apresentado na Figura 2.41. Figura 2.41: Gráfico de  . h) observe pela Figura 2.41 que 
  48. 48. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 48/70 2.12 Função quadrática A  função    definida  por    é  chamada  função  do  2º  grau  ou  função quadrática. Seu domínio é   pois não há restrição alguma para   para que   seja calculado. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Antes de continuarmos, propomos um desafio! Qual a implicação de cada coeficiente na representação gráfica? Ou seja, se mudarmos os valores dos coeficientes, o que muda no gráfico?    Você deve ter observado que: 1) em relação ao coeficiente  : quando ele é positivo, a concavidade da parábola está voltada para cima, mas quando ele é negativo, a concavidade da parábola está voltada para baixo.  2) em relação ao coeficiente  : quando  , a parábola intercepta o eixo   na parte crescente da parábola, mas quando   a parábola intercepta o eixo   na parte decrescente da parábola; quando  , a linha de simetria da parábola está sobre o eixo   (em outras palavras, o vértice fica sobre o eixo  ). 3) em relação ao coeficiente  : ele é a ordenada do ponto de intersecção da parábola com o eixo  . O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos  . Se o coeficiente de   for positivo  , a parábola tem concavidade voltada para cima. Se  , a parábola tem a concavidade voltada para baixo.    A intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice o qual é dado por:   Resposta do desafio:  A parábola tem por representação algébrica a fórmula  . O eixo de simetria, é a reta que passa pelo ponto médio dos valores   e  , isto é,  O Vértice da parábola está sobre esse eixo de simetria, logo a abscissa do vértice é dada por   e a ordenada   é dada por  . Agora,  pois  Assim, as coordenadas do vértice são dadas por:
  49. 49. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 49/70  e  A  intersecção  da  parábola  com  o  eixo  dos    define  os  zeros  da  função,  também  chamados  raízes  da  equação  , como ilustra a Figura 2.42.    Figura 2.42: Raízes e vértice de uma função quadrática   Os zeros da função quadrática são obtidos resolvendo­se a equação  .  Seja   com  . Dividindo todos os termos da equação por  , obtemos: Para escrever os termos em   como um quadrado perfeito, é preciso que na equação apareça mais um termo:  . Mas como não podemos simplesmente acrescentar este termo, usando as propriedades dos números reais fazemos:                                   (1) Os três primeiros termos desta equação podem ser escritos como um quadrado perfeito, assim, a equação (1) torna­ se                                              (2) Isolando o  : De onde segue:   Exemplo 1: Dada a função  , determine: a) o esboço do gráfico de  . b) o conjunto imagem de  . c) o intervalo para o qual   é crescente.
  50. 50. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 50/70 Solução: a) Para traçar o gráfico da função, podemos simplesmente atribuir valores   a e encontrar pontos   para serem marcados no plano cartesiano, os quais servirão de base para o traçado da curva. No entanto, esse processo pode ser muito demorado, dependendo da função e da escolha desses valores para  . Então, usamos os conhecimentos teóricos já tratados para agilizar esse processo. Para traçarmos a parábola, pelo menos um ponto é fundamental: o vértice.Os demais pontos, entre eles o(s) zero(s) da função, podem ajudar. Em geral, quando a função quadrática possui zeros, calculamos esses zeros e as coordenadas do vértice para traçar o esboço gráfico. Quando não existem zeros, calculamos as coordenadas do vértice e usamos uma tabela auxiliar para obter outros pontos. i) Zeros da função:  Como  , a função possui dois zeros reais distintos. Aplicando os valores de  ,   e  , na fórmula de Bhaskara, obtemos: Isto significa que os pontos (2,0) e (­3,0) são pontos pelos quais passa o gráfico da função. ii) As coordenadas do vértice: Assim, as coordenadas do vértice   são:  . iii) Como  , sabemos que a parábola interceptará o eixo   no ponto  . iv) Como  , sabemos que essa parábola terá concavidade para cima. Agora, basta colocarmos esses pontos que acabamos de determinar no plano cartesiano e traçarmos uma parábola. O gráfico da função está representado na Figura 2.43. Figura 2.43. Gráfico da função  b)  Também podemos escrever:  c) Note que a função é crescente para  expressao_algebrica_de_uma_funcao_quadratica.flv Exemplo 2: Determine o conjunto imagem e esboce o gráfico da função  Solução: i) Zeros da função: 
  51. 51. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 51/70 , então a função não possui zeros reais, isso significa que a parábola não vai interceptar o eixo  . ii) Vértice:  Logo, as coordenadas do vértice V são V(­1, 4).  iii) Como  , a parábola vai interceptar o eixo   no ponto (0, 5) iv)   a parábola tem CVC. iv) Tabela auxiliar para elaboração do gráfico: Na Figura 2.44 está o gráfico da função  Figura 2.44: Representação gráfica da função  O conjunto imagem dessa função é:  forma_canonica_da_funcao_quadratica.flv funcao­quadratica.flv Exemplo 3: Esboce o gráfico da função  Solução: i) zeros da função:  Como  , a função tem dois zeros reais iguais, que são dados por: Logo, a parábola passa pelo ponto (1,0) ii) Vértice: Logo, V(1,0) é o vértice da parábola. iii) Como  , a parábola intercepta o eixo   no ponto (0,­1). iv) Como  , a parábola tem concavidade voltada para baixo. iv) Tabela auxiliar para traçar o gráfico. Observe que o vértice coincide com o ponto de intersecção da parábola com o eixo  . Então precisamos calcular
  52. 52. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 52/70 outros pontos pelos quais a parábola passa. O gráfico de   está na Figura 2.45 Figura 2.45: Representação gráfica da função   
  53. 53. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 53/70         No quadro seguinte caracterizamos as diversas possibilidades para o gráfico de uma função quadrática: Figura 2.46: Variações no gráfico da função quadrática  
  54. 54. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 54/70 sinal_de_uma_funcao_quadratica.flv   Função quadrática 2_9_FuncaoQuadratica1.flv   Continuação: Função quadrática 2_9_FuncaoQuadratica2.flv      Uma  das  aplicações  mais  comuns  da  função  de  segundo  grau  é  no  lançamento  oblíquo  de  um  projétil,  após  o lançamento, o trajeto percorrido pelo projétil é o de uma parábola, sendo assim podemos determinar a altura máxima atingida pelo mesmo e a qual distância do local de lançamento ele atingirá o chão. Vejamos o exemplo a seguir:    Exemplo 4: Dois meninos brincam de bola na rua, quando um chuta a bola para o outro, a bola percorre o trajeto descrito pela equação  , onde   e   são dados em metros. Qual a altura máxima atingida pela bola? Qual a distância entre os dois meninos? Solução: Ao construir o gráfico da função, visualizamos melhor a situação descrita:   Figura 2.47: trajeto descrito pela equação    Notamos que as raízes da função representam os pontos de onde a bola foi chutada e onde ela toca novamente o chão, assim, calculando as raízes da função obtemos    e   , concluímos então que a distância entre os dois amigos era de    metros. Agora, para encontrar a altura máxima atingida pela bola, basta calcularmos o vértice    da função, assim   , portanto a altura máxima alcançada pela bola foi de 2 metros. Exemplo 5: (UFMS) Um cabo está suspenso entre dois postes de mesma altura e que distam 20 m entre si. O cabo foi feito com um material especial de modo que a curva por ele representada é uma parábola. Sabendo­se que a flexão do cabo a uma distância de 2 m de um dos postes é de 14,4 cm e que a altura dos postes é de 9 m, então é correto afirmar que o ponto mais baixo do cabo, com relação ao solo, ficará a uma altura de: a) 7,35 m.                                                               d) 7,6 m. b) 8,6 m.                                                                 e) 8,3 m. c) 8,35 m. Solução: Vamos considerar um sistema de eixos coordenados onde o vértice   da parábola está sobre o eixo  , dessa forma, notando que o eixo   está com a escala em centímetros, teremos que as extremidades dos postes estarão nos pontos   e  .  Como a flexão do cabo a uma distância de 2m é 14,4 cm, podemos dizer que 
  55. 55. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 55/70 .  Figura 2.48: Representação gráfica do enunciado Este tipo de parábola que estamos construindo (com vértice sobre o eixo  ) tem equação do tipo  , assim Resolvendo este sistema obtemos   e  . Logo, a equação da parábola é dada por  , e o seu vértice tem coordenada  , então e o ponto mais baixo da parábola está a 860 cm, ou seja, a 8,6 m do solo. (alternativa b)   Exemplo 6: Uma função polinomial do tipo   está representada graficamente a seguir (Figura 2.49). A partir das informações gráficas, determine a expressão algébrica dessa função  .
  56. 56. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 56/70 Figura 2.49: Representação Gráfica de uma função  Solução: Precisamos determinar os valores das incógnitas  ,   e   para que a expressão algébrica da função   fique estabelecida. Como são três incógnitas a determinar, precisamos retirar pelo menos três informações do gráfico, que nos permitam calcular os valores de  ,   e  .  i) sabemos que  , pois a concavidade da parábola está voltada para cima. ii) sabemos que  , pois a parábola intercepta o eixo   no ponto  . iii) Sabemos que a parábola passa pelos pontos (1,2) e (­1,4). Com isso, podemos escrever as seguintes equações: (usamos por base a igualdade  ) De onde segue que   e  Portanto, a expressão algébrica da função   é  , isto é  Exemplo 7. (ITA­SP) Os dados experimentais da tabela abaixo correspondem às concentrações de uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, tem­se que a concentração (em moles) após 2,5 segundos é: a) 3,60       b) 3,65       c) 3,70          d) 3,75         e) 3,80 Solução: Como assumimos que a linha é uma parábola, podemos escrever que a concentração é dada por:  . Das informações que  , escrevemos o seguinte sistema linear:   Resolvendo esse sistema, obtemos: Logo,  . Após 2,5 segundos, a concentração será: 
  57. 57. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 57/70 Portanto, a alternativa correta é a letra d.
  58. 58. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 58/70 2.13 Função polinomial   O domínio é sempre o conjunto dos números reais. O gráfico da função polinomial é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos.    Exemplo 1: A função constante   é uma função polinomial de grau zero.   Exemplo 2: A função   é uma função polinomial do 1º grau.   Exemplo 3: A função quadrática   é uma função polinomial do 2º grau.   Exemplo 4: A função   é uma função polinomial do 3º grau, chamada função cúbica.   Exemplo 5: A função   é uma função polinomial de grau 5.   Exemplo 6: A distribuição da área da folha do milho, no sentido horizontal, determina a intercepção de radiação por fotossíntese. Dessa forma, uma relação que bem descreve a área da folha como uma função da altura é dada por  . Considerando no modelo   para   metro e   para   metro, reescreva a função com os coeficientes   e   em função de  . (SVIERCOSKI, 2008)    Solução: No problema acima, a área da folha do milho é dada por uma função polinomial de grau 3, onde os coeficientes     e   são desconhecidos. Como foram fornecidos os valores de    para dois valores de   distintos, podemos escrever as equações:    e    Obtemos então o seguinte sistema linear Reorganizando as equações do sistema linear e multiplicando a primeira equação por    segue Somando as duas equações do sistema, obtemos Agora substituímos    na equação 
  59. 59. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 59/70 Assim, reescrevemos a função  A representação gráfica das funções de grau maior que 2 será retomada com o estudo das derivadas, porque, usando a teoria das derivadas, é possível determinar pontos de máximo e mínimo de uma função polinomial com maior facilidade.   2_10_FuncaoPolinomial.flv     
  60. 60. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 60/70   Você deve ter percebido que o gráfico de uma função pode se deslocar ou se alongar pela ação de uma constante (um número real). Observe, por exemplo, na Figura 50, os gráficos das funções   e  , desenhadas no mesmo plano cartesiano para melhor comparação. Note que a função   está mais alongada verticalmente do que a função  . Isso porque  . Perceba que esse alongamento vertical interfere diretamente na taxa de crescimento da função.
  61. 61. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 61/70 Figura 50: Gráfico comparativo para as funções   e  Você deve ter percebido que:  A multiplicação de uma função por uma constante   alonga o gráfico verticalmente, enquanto que se  , o gráfico fica comprimido verticalmente. Se  , os gráficos coincidem.   Se  , o gráfico fica refletido em relação do eixo  , além de alongá­lo ou encolhê­lo. Agora vem uma outra pergunta: e se no lugar de multiplicar uma função por uma constante, somarmos uma constante   ao    ou ao  . Vamos investigar?
  62. 62. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 62/70 Você deve ter percebido que:  Ao somarmos uma constante   à uma função, obtemos um deslocamento vertical do gráfico inicial. Se   o gráfico "sobe", ou seja, há um deslocamento para cima. Se  , o gráfico "desce", isto é, há um deslocamento para baixo.  Ao somarmos uma constante   na variável independente   (isto é, se trocarmos   por  , o gráfico desloca­se horizontalmente: para a direita se  , ou para a esquerda se  . Perceber esses fatos, nos ajuda a esboçar mais rapidamente alguns gráficos, além de analisar melhor o comportamento das funções. Por exemplo: Considere a função  . Podemos reescrevê­la assim: Olhando para essa última forma, percebemos que, em relação ao gráfico da função  , o gráfico de   deve estar deslocado para a direita em 1 unidade (porque nesse caso  ), e duas unidades para cima (por causa do 2 que está sendo somado). Confira! O gráfico está na Figura 2.51.
  63. 63. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 63/70 Figura 2.51: Gráficos comparativos das funções   e 
  64. 64. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 64/70 2.14 Função Racional e Função Algébrica É a função definida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é,   , onde   e   são polinômios e  .   O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo aqueles   tais que  . Isso porque não existe divisão  por  zero.  Com  o  que  estudamos  até  o  momento,  uma  tabela  de  valores  pode  nos  ajudar  a  determinar  o conjunto imagem e o gráfico da função. As teorias de Limites e Derivadas nos fornecem métodos melhores para a obtenção do gráfico. De toda forma, determinar o domínio da função é o primeiro passo para o esboço do gráfico e do conjunto imagem grafico­de­uma­funcao­algebrica.flv   Exemplo 1: A função  ,  é função racional. Determine: a) o domínio  . b) O esboço do gráfico  c) O conjunto imagem de    Solução: a) Para determinar o domínio da função, primeiramente vamos analisar os valores reais  possíveis para o numerador e para o denominador da função: Observe que não há restrições para o numerador  . Isto quer dizer que para todo número real  , é sempre possível calcular  . Já para o denominador   existe uma restrição, precisamos encontrar os valores   tais que o denominador da função seja diferente de zero. Isto é, devemos ter: A partir da análise desses dois pontos (restrições para o numerador e denominador), podemos encontrar os valores que compõem o domínio da função. Note que   pode ser qualquer número real, exceto o  . Assim, o domínio da função é o conjunto dos números reais, diferentes de  . Em símbolos,   . b) Para o esboço do gráfico, vamos montar uma tabela atribuindo valores a  . Como  , não podemos esquecer de atribuir a   valores próximos de  .
  65. 65. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 65/70 Agora, basta representar os pontos calculados no plano cartesiano. A Figura 2.19 abaixo mostra o gráfico de  :      Figura 2.19: Gráfico da função  grafico_de_uma_funcao_racional.flv   Exemplo 2:  Dada a função  , determine o seu domínio, a sua imagem e esboce o seu gráfico. Solução: a) Domínio da função: devemos ter denominador diferente de zero (para o numerador não há restrições). Ou seja: i)  ii) 
  66. 66. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 66/70 Logo, o domínio da função é o conjunto dos números reais, exceto os números   e  . Ou seja,  Esse domínio significa que as abscissas   e   não tem imagem pela função  . b) Para fazer o gráfico da função, tentamos simplificar as expressões que compõem a sua representação algébrica. Vejamos: Usando a fatoração, podemos escrever as seguintes igualdades: Substituindo as expressões de   por essas expressões equivalentes, escrevemos: Ou seja, a função dada inicialmente   é equivalente à função  . Assim, o gráfico da função dada é uma reta, que possui bolas abertas nos pontos de coordenadas:   .  Observe, na Figura 2.20, a descontinuidade nos pontos da reta que representa   :   Figura 2.20: Gráfico da função   c) O conjunto imagem de   é o conjunto:  . Note que estão excluídos do conjunto imagem os valores que são imagem dos pontos que estão excluídos do domínio.   Exemplo 3: Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta (cm)
  67. 67. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 67/70 pode  ser  dada  por  ,  em  que    é  a  quantidade  de  fertilizante  adicionada,  determine  o domínio e a imagem da função  . (SVIERCOSKI, 2008 ­ modificado) Solução: Como não se explicitou a quantidade máxima nem mínima de fertilizante, sabemos apenas que esta quantidade é positiva  ou  nula  e,  para  que  a  função  esteja  definida    deve  ser  diferente  de      (caso  contrário,  teríamos    e como sabemos o denominador nunca pode ser zero), assim  . Agora  vamos  analisar  o  que  acontece  com  a  altura      da  planta  quando  a  quantidade  de  fertilizante  for aumentando: Para    temos  Para    temos  Para    temos  Para    temos  Para    temos  Logo,    representa a altura mínima e    representa a altura máxima possível a ser atingida pela planta. Portanto,  .   Vídeo de função racional 2_11_FuncaoRacional1.flv     Continuação: Vídeo de função racional 2_11_FuncaoRacional2.flv  
  68. 68. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 68/70    Uma função   é chamada de função algébrica se puder ser construída usando operações algébricas (tais como adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes) começando por polinômios. As funções     e    são exemplos de funções algébricas.   Exemplo 1: Considere a função   . Determine: a)  O Domínio da função  ; b) O esboço do gráfico de  ; c) O conjunto imagem de  . Solução: a) Para determinarmos o  domínio da função, procedemos da mesma forma que para a função racional. Isto é, precisamos: analisar os valores possíveis para o numerador e denominador (isso é feito analisando se existem restrições para os valores de  ); determinar a interseção dos valores possíveis para numerador e denominador. Essa interseção será o domínio da função  .   Façamos os Cálculos: i) numerador:  , não há restrição. Qualquer que seja o valor real atribuído a  , é sempre possível fazer 
  69. 69. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 69/70 . ii) denominador:  . Sempre devemos ter  . Além disso, como esse denominador possui uma raiz quadrada, temos mais uma condição a analisar:  . Como essa raiz está no denominador, calculamos os valores possíveis de  para os quais  .  Logo,  . b) Para esboçar o gráfico de   podemos usar uma tabela de valores. Apenas precisamos lembrar que os valores a serem atribuídos devem ser valores que estão no domínio da função, ou seja,  , mas é importante usar valores próximos a  , porém maiores que  .   Lembre­se que os valores de   são atribuídos por quem está fazendo a representação gráfica da função. O número de pontos a serem usados depende de você conseguir traçar o gráfico da função adequadamente. c) o conjunto imagem da função é o conjunto de todos os valores funcionais possíveis (valores de  ). Como pode ser observado,   Com o estudo de Limites e Derivadas teremos condições de esboçar o gráfico de funções racionais e/ou algébricas com maior facilidade.  
  70. 70. 05/03/2015 Funções ­ parte 1 http://ava.utfpr.edu.br/mod/book/tool/print/index.php?id=3399 70/70

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