Teoría, ejemplos y ejercicios de Función Lineal

1. Matemáticas
I
Función Lineal
Docente
Rodrigo Velasco Palomino
www.rodrivelp.blogspot.com
ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA
E.S.A.P.
Popayán Cauca
Colombia

2. 2
MATEMATICASE.S.A.P – www.rodrivelp.blogspot.com
TABLA DE CONTENIDO
FUNCIÓN LINEAL
1 Conceptos básicos de Función Lineal
2 Método 1: Tabulación de Varios Puntos
3 Método 2: Tabulación de Puntos de Corte
4 Método 3: Análisis de Punto y Pendiente
5 Angulo de Inclinación
6 Función Constante
7 Ecuación de una Recta que Pasa por Dos Puntos
8 Ecuación de una Recta Paralela a Otra que pasa
Por un Punto Exterior a Ella.
9. Ecuación de una Recta Perpendicular a Otra que
Pasa Por un Punto Exterior a Ella.
10. Bibliografía
11. Webgrafía

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FUNCIÓN LINEAL
Toda función lineal, conocida como ecuación de la recta, puede escribirse de la forma:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Recordemos que una función es una correspondencia entre los elementos de un conjunto de
partida, llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de llegada, llamado Codominio, de
forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el codominio.
Donde:
b = Es el punto de corte de la línea recta con el eje Y.
m = Es la pendiente, la inclinación o razón de cambio de Y con respecto a X.
𝒎 =
𝚫𝐲
𝚫𝐱
Con respecto al ángulo de inclinación 𝜷 observamos que 𝚫𝐲 corresponde al cateto opuesto y que
𝚫𝐱 corresponde al cateto adyacente; por lo tanto, hablar de la pendiente es hablar de la tangente
del ángulo, es decir:
𝒎 = 𝒕𝒂𝒏 𝜷 =
𝚫𝐲
𝚫𝐱
Para construir la gráfica de una función lineal vamos a recordar tres métodos de los cuales
recomiendo desde ya el tercero porque permite un análisis rápido del comportamiento de la línea
en el plano y por supuesto una gran ventaja para la solución de problemas tipo ICFES y pruebas
de admisión de las universidades

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Ejemplo:
Graficar la función 𝑓( 𝑥) =
2
5
𝑥+ 3 en el plano cartesiano.
Método 1
Tabulación de Varios Puntos
Reemplazamos cada uno de los valores dados en la ecuación 𝑦 =
2
5
𝑥 + 3 y hallamos el
correspondiente valor de Y, luego graficamos los puntos obtenidos en el plano cartesiano los cuales
determinan la línea recta pedida.
X -1 0 1 2 3 . . .
Y
13
5
3
17
5
19
5
21
5
. . .
Si x = -1
𝑓(−1) =
2
5
(−1) + 3
𝑓(−1) =
−2
5
+ 3
𝑓(−1) =
−2
5
+
15
5
𝑓(−1) =
13
5
Si x = 0
𝑓(0) =
2
5
(0) + 3
𝑓(0) = 0 + 3
𝑓(0) = 3
Si x = 1
𝑓(1) =
2
5
(1) + 3
𝑓(1) =
2
5
+ 3
𝑓(1) =
2
5
+
15
5
𝑓(1) =
17
5
Si x = 2
𝑓(2) =
2
5
(2) + 3
𝑓(2) =
4
5
+ 3
𝑓(2) =
4
5
+
15
5
𝑓(2) =
19
5
Si x = 3
𝑓(3) =
2
5
(3) + 3
𝑓(3) =
6
5
+ 3
𝑓(3) =
6
5
+
15
5
𝑓(3) =
21
5
Método muy usado pero que no recomiendo porque no es práctico y muy demorado para obtener
la gráfica.
Ejemplo:

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Graficar la función 𝑓( 𝑥) =
2
5
𝑥+ 3 en el plano cartesiano.
Método 2
Tabulación de los puntos de corte con los ejes X y Y
Este método se basa en que para dibujar una línea recta es suficiente con dos puntos de ella, por
lo tanto hacemos dos tabulaciones especiales en la ecuación dada 𝑦 =
2
5
𝑥 + 3, cuando X=0 y
cuando Y=0, hallamos los correspondientes valores de Y y X respectivamente y luego graficamos
los puntos obtenidos en el plano cartesiano los cuales determinan la línea recta pedida.
X 0 1 . . .
Y 3 0 . . .
Punto de Corte
con el Eje Y
Si x = 0
𝑓(0) =
2
5
(0) + 3
𝑓(0) = 0 + 3
𝑓(0) = 3
Py = (0,3)
Punto de Corte
con el Eje X
Si y = 0
𝑦 =
2
5
𝑥 + 3
0 =
2
5
𝑥 + 3
−3 =
2
5
𝑥
−15 = 2 𝑥
−15
2
= 𝑥
Px = (
−15
2
,0)
Método muy usado para obtener directamente los puntos de corte con los ejes X y Y
Ejemplo:

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Graficar la función 𝑓( 𝑥) =
2
5
𝑥+ 3 en el plano cartesiano.
Método 3
Análisis Punto - Pendiente
Este método consiste en analizar en la ecuación dada 𝑦 =
2
5
𝑥 + 3, el término independiente 3 que
corresponde al punto de corte con el eje Y y a la pendiente 𝒎 =
𝚫𝐲
𝚫𝐱
=
𝟐
𝟓
que indica que a partir del
punto corte 3 avanzamos horizontalmente hacia la derecha 5 unidades y por ser positiva la
pendiente subimos verticalmente 2 unidades, como lo muestra la gráfica siguiente.
Si la pendiente fuera negativa, no subimos sino que bajamos dos unidades.
Método que recomiendo mucho porque desde un principio cuando tenemos la ecuación de la forma
y = mx + b, si analizamos los valores del punto de corte con el eje Y y la pendiente prácticamente
sin necesidad de graficar la línea recta ya sabemos podemos determinar cual es su comportamiento
en el plano cartesiano.
Angulo de Inclinación

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En muchas oportunidades es necesario hallar el valor del ángulo de inclinación de la línea recta
con el eje X; en estos casos usamos la equivalencia de que la pendiente dada en la ecuación
corresponde a la tangente del ángulo de inclinación.
Ejemplo:
Graficar la función 𝑓( 𝑥) =
2
5
𝑥+ 3 en el plano cartesiano.
Como la pendiente de la ecuación dada es 𝒎 =
𝚫𝐲
𝚫𝐱
=
𝟐
𝟓
y la función trigonométrica que relaciona el
cateto opuesto con el cateto adyacente es la tangente equivale afirmar que:
𝒎 = 𝒕𝒂𝒏 𝜷 =
𝚫𝐲
𝚫𝐱
Reemplazando 𝚫𝐲 = 𝟓 y 𝚫𝐱 = 𝟐 tenemos:
𝒕𝒂𝒏 𝜷 =
𝟐
𝟓
𝜷 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (
𝟐
𝟓
)
𝜷 = 𝟐𝟏, 𝟖𝟎𝟏𝟒𝟎𝟗𝟒𝟗
𝜷 = 𝟐𝟏° 𝟒𝟖′
𝟓. 𝟎𝟕"
Función Constante

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Se presenta cuando el valor de la pendiente es cero, lo que implica que la gráfica es una línea
recta horizontal que está identificada solamente por el punto de corte con el eje Y.
Ejemplo:
Graficar la función 𝑓( 𝑥) = 0 𝑥+ 2 en el plano cartesiano, o lo que es lo mismo 𝑓( 𝑥) = 2
En este caso la función indica que es horizontal y que corta al eje Y en 2 debido a que su pendiente
𝒎 = 𝟎.
O también podemos afirmar que para cualquier valor de x que tabulemos en la función siempre se
obtiene como resultado 2.
Ecuación de la Recta Dados dos Puntos de Ella

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En algunas oportunidades es necesario hallar la ecuación de la Línea Recta que pasa por dos
puntos de ella; para su cálculo nos apoyamos en los puntos dados para calcular su pendiente y
su punto de intersección con el eje Y.
Ejemplo:
Hallar la Ecuación de la línea Recta que pasa por los puntos A = (3,5) y B = (6,9).
Solución 1:
Hallamos la pendiente m y luego el intercepto b:
1. Reemplazamos los puntos conocidos A=(x1 , y1) y B=(x2 , y2) en la fórmula:
𝒎 =
∆𝒀
∆𝑿
=
(𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏)
(𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏)
𝒎 =
∆𝒀
∆𝑿
=
(𝟗 − 𝟓)
(𝟔 − 𝟑)
𝒎 =
∆𝒀
∆𝑿
=
𝟒
𝟑
2. Reemplazamos la pendiente calculada anteriormente en la ecuación general de la línea recta:
𝒚 = 𝒎 𝒙 + 𝒃
𝒚 =
𝟒
𝟑
𝒙 + 𝒃
3. Reemplazamos los valores (X,Y), de cualquiera de los valores dados, en la ecuación anterior y
despejamos el valor de b; para nuestro ejemplo reemplazo el punto A = (3,5).
𝟓 =
𝟒
𝟑
. 𝟑 + 𝒃
𝟓 = 𝟒 + 𝒃
𝒃 = 𝟏
4. Por lo tanto la ecuación de la línea recta que pasa por los puntos A = (3,5) y B = (6,9) es:
𝒚 =
𝟒
𝟑
𝒙 + 𝟏
A continuación podemos observar en la gráfica cuáles son los valores que identifican la pendiente
hallada m y el intercepto b de la línea recta con el eje Y.

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Solución 2:
Hallamos simultáneamente la pendiente m y el intercepto b:
1. Reemplazamos los puntos conocidos A=(x1 , y1) y B=(x2 , y2) en la fórmula:
𝒎 =
∆𝒀
∆𝑿
=
(𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏)
(𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏)
𝒎 =
∆𝒀
∆𝑿
=
(𝟗 − 𝟓)
(𝟔 − 𝟑)
𝒎 =
∆𝑿
∆𝒀
=
𝟒
𝟑
2. Reemplazamos la pendiente calculada anteriormente y uno de los puntos, por ejemplo A=(3,5),
en la siguiente ecuación:
𝒀 − 𝒚 𝟏 = 𝒎 (𝑿 − 𝒙 𝟏)
𝒀 − 𝟓 =
𝟒
𝟑
(𝑿 − 𝟑)
𝟑(𝒀 − 𝟓) = 𝟒 (𝑿 − 𝟑)
𝟑𝒀 − 𝟏𝟓 = 𝟒𝑿 − 𝟏𝟐
𝟑𝒀 = 𝟒𝑿 − 𝟏𝟐 + 𝟏𝟓

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𝟑𝒀 = 𝟒𝑿 + 𝟑
𝒀 =
𝟒𝑿 + 𝟑
𝟑
𝒀 =
𝟒𝑿
𝟑
+
𝟑
𝟑
𝒀 =
𝟒𝑿
𝟑
+ 𝟏
Ecuación de Recta Paralela a otra Dada que pasa por un
Punto Exterior
Hay problemas en los que nos dan la ecuación de un línea recta, un punto exterior y nos piden
hallar otra ecuación que sea paralela a ella y que pasa por el punto exterior.
Ejemplo:
Hallar la Ecuación de la línea Recta Paralela a la recta 𝑦 =
3
2
𝑥 + 4 y que pasa por el punto A =
(4,2)
Solución:
En este tipo de problemas hay que tener en cuenta que como la nueva ecuación que se va a
hallar es paralela a la recta que nos dan, entonces deben de tener la misma pendiente,
1. Por lo anterior se sabe que la pendiente de la recta paralela es 𝑚 =
3
2
2. Reemplazamos la pendiente m =
3
2
y el punto dado (4,2) en la siguiente ecuación:
𝒀 − 𝒚 𝟏 = 𝒎 (𝑿 − 𝒙 𝟏)
𝒀 − 𝟐 =
𝟑
𝟐
(𝑿 − 𝟒)
𝟐(𝒀 − 𝟐) = 𝟑 (𝑿 − 𝟒)
𝟐𝒀 − 𝟒 = 𝟑𝑿 − 𝟏𝟐
𝟐𝒀 = 𝟑𝑿 − 𝟏𝟐 + 𝟒
𝟐𝒀 = 𝟑𝑿 − 𝟖
𝒀 =
𝟑𝑿 − 𝟖
𝟐
𝒀 =
𝟑𝑿
𝟐
− 𝟒

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La siguiente gráfica muestra la recta y el punto dado y a su vez la recta paralela hallada.
Ecuación de Recta Perpendicular a otra Dada que pasa por
un Punto Exterior
Hay problemas en los que nos dan la ecuación de un línea recta, un punto exterior y nos piden
hallar otra ecuación que sea perpendicular a ella y que pasa por el punto exterior.
Ejemplo:
Hallar la Ecuación de la línea Recta Perpendicular a la recta 𝑦 =
3
2
𝑥 + 4 y que pasa por el punto
A = (3,-1)
Solución:
En este tipo de problemas hay que tener en cuenta que si dos rectas son perpendiculares
entonces sus pendientes son inversas y de signo contrario.
1. Por lo anterior se deduce que como la pendiente de la ecuación dada es 𝑚 =
3
2
, entonces la
ecuación de la recta perpendicular que se pide tiene pendiente 𝑚 = −
2
3
.
2. Reemplazamos la pendiente 𝑚 = −
2
3
y el punto dado (3,-1) en la siguiente ecuación:
𝒀 − 𝒚 𝟏 = 𝒎 (𝑿 − 𝒙 𝟏)
𝒀 − (−𝟏) = −
𝟐
𝟑
(𝑿 − 𝟑)

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𝟑( 𝒀 + 𝟏) = −𝟐 (𝑿 − 𝟑)
𝟑𝒀 + 𝟑 = −𝟐𝑿 + 𝟔
𝟑𝒀 = −𝟐𝑿 + 𝟔 − 𝟑
𝟑𝒀 = −𝟐𝑿 + 𝟑
𝒀 =
− 𝟐𝑿 + 𝟑
𝟑
𝒀 =
− 𝟐𝑿
𝟑
+ 𝟏
La siguiente gráfica muestra la recta y el punto dado y a su vez la recta perpendicular hallada.
RodrigoVelascoPalomino