1. I. GENERALIDADES<br />1.1 Introducción general:<br />Durante el siglo 17, el agua que se filtraba en las minas inglesas<br />de Cornwall, Derbyshire, Birmingham y Newcastle se estaba volviendo excesiva para los dispositivos de elevación existentes. Este desdichado acontecimiento y la consecuente labor para subsanarlo, despertaron en el mundo técnico el concepto del control automático.<br />La historia, con algún lujo de detalles, es como sigue.<br />En el siglo 16, el problema de elevar agua en los países europeos se circunscribía preferentemente al suministro de las ciudades y castillos. Como mecanismos de elevación se usaban baldes dispuestos en ruedas o en cadenas circulares, esferas que se hacían subir mediante cadenas por tubos ajustados, y pistones que se subían y bajaban mediante barras por tubos provistos de válvulas retenedoras (quot;
bombas de succiónquot;
). El movimiento de esos mecanismos era generado manualmente, con ayuda de animales o merced a los caudales de agua.<br />En 1606, Giambattista de la Porta (1538-1615) propuso elevar agua mediante la presión generada por evaporación de otra porción de agua en un recipiente, o mediante la succión generada por la condensación del vapor. La elevación de agua por presión y la elevación por succión se entendían en aquella época como procesos diferentes. La elevación por succión, en particular, se explicaba diciendo que la naturaleza aborrece el vacío. Pero esta explicación empezó a ser escrutada por Galileo Galilei (1564-1642) cuando los ingenieros de Cosimos de’ Medici (1590-1620) no pudieron<br />succionar agua a una profundidad de quince metros. En 1643, Evangelista Torricelli (1608-1647), discípulo de Galileo, anunció que la succión es la presión no contrarrestada que ejerce la atmósfera en el lado opuesto.<br />Este anuncio clarificó, en especial, el funcionamiento de las bombas de succión y las ideas que aporto. Además, sugirió a Otto von Guericke (1602-1686) una serie de espectaculares demostraciones en las cuales la presión atmosférica se aprovechaba para producir fuerzas en las paredes de cámaras a las que había extraído aire.<br />En 1690 Denis Papin (1647-1712) propuso mover un pistón mediante la presión atmosférica, desplazando el aire de un lado con vapor de agua y condensando luego el vapor para<br />dejar al descubierto la presión atmosférica en el otro lado.<br />1.2 Objetivos:<br />Encontrar las variables del problema a solucionar en este caso serán distancias , ángulos , fuerzas , momentos , en el problema a lo largo de sus ejes.<br />Programar en Matlab el problema y ver qué resultados se obtuvo utilizado este tipo de software <br />Analizar y entender el fenómeno con las ecuaciones y graficas obtenidas en el problema.<br />Identificar variables de entrada y de respuesta o salida.<br />Obtener graficas del comportamiento de cada variable a analizar.<br />1.3 Descripción o formulación del problema:<br />Una Presión P se aplica sobre el pistón del sistema motriz que muestra la figura. Si AB=b m. y BC=l m. . Determinar el torque T requerido para mantener el equilibrio del sistema. (θ=q). Expresar todo en función de las variables.<br /> Analizando la solución del problema del se tendrá que calcular el Angulo “q” de la siguiente manera aplicando teorema de lamí<br /> <br />DCL:<br />Se sabe que F= P.A<br /> L B Senθ<br /> Α<br /> <br /> l2-sen2θb2<br />F'cosα=F<br />F'=Fcosα<br /> <br />En las ecuaciones se tiene: <br />T=-F'senα.bcosθ-F'cosα.bsenθ<br />T=-F'bsenα.cosθ+senθ.cosα<br /> T=-F.L.bL2-b2sen2θ(bsenθL.cosθ+senθL2-b2sen2θ/L)<br />T=-F.LbL2-b2sen2θbsen2θ2L+senθL2-b2sen2θL<br /> T=-P.A.bL2-b2sen2θ(bsen2θ2+senθL2-b2sen2θ)<br />NOTA: el signo (-) solo es para dar referencia de que el torque es en sentido antihorario, en los cuadros y en las graficas se trabajara con signo positivo.<br />CASO 2:<br />La placa uniforme de acero ABCD se suelda al eje EF y se mantiene en la posicion mostrada mediante el par M. si los collarines evitan que el eje se deslice sobre los cojinetes y éste pertenece al plano yz ,si el es es “a”, el largo “b” y el espesor “c”, (las medidas en metros).Hallar el momento en funcion de esas variables.<br />Designamos las variables que se van a calcular para la placa : a=ancho de la placa ; b=Largo de la placa ; c=espesor; n= ángulo (n en radianes), d=densidad ; M=momento ; R=a/2 ;F= fuerza; w=peso.<br />M=RXF<br />De esta ecuación se sabe que la fuerza es equivalente al peso F=W ; la ecuación se quedara determinada M=a.w/2 .cos(n) además como se tiene una placa, se tendrá que calcular su volumen para poder utilizar la densidad en la ecuación d=W/V .<br />Entonces el volumen será V=abc ; se tendrá el momento en la ecuación resultando un momento:<br /> M=d.a2bc.cos(n)/2<br /> <br />1.5.-Variables o parámetros involucrados en el sistema mecánico a solucionar:<br />CASO 1:<br />Para la resolución del problema se tendrán en cuentan las siguientes variables:<br />Datos de Entrada: Datos que se tendrán que dar a conocer para la solución del problema:<br />l: Longitud de la biela.<br />b: Longitud de la manivela.<br />q: Ángulo entre la línea de recorrido del pistón y la manivela<br />P: presión que actuara en el pistón<br />A : Área del pistón<br />Datos que se Calcularan: Datos que se desea saber y serán calculados a partir de los datos de entrada.<br />El objetivo del siguiente planteamiento del problema cilindro-pistón es calcular el torque o momento que se produce al recorrer el pistón a través del cilindro (desde el punto muerto inferior hasta el punto muerto superior y viceversa).<br />CASO 2:<br />Datos de Entrada: <br />n: Angulo entre la placa de acero y la barra.<br />a: ancho de la placa<br />b: largo de la placa<br />c : espesor de la placa<br />d: densidad de la placa<br />Datos que se Calcularan:<br />Momento o Torque de la barra cuando la placa de acero se desplaza un ángulo θ ( θ solo puede tomar valores entre 0º y 90º)<br />1.6.-Requisitos o exigencias del problema a solucionar:<br />CASO 1:<br />Para la solución del siguiente problema denominado Diagrama Pistón –Cilindro tendremos que saber lo básico acerca de motores con respecto al recorrido que realiza el pistón en el cilindro como sabemos desde un punto muerto inferior hasta un punto muerto superior al cual llamamos X (distancia que recorre el pistón) .<br />También se tendrá que saber cómo reacciona la biela (l) y la manivela (b) en el recorrido del pistón.<br />CASO 2:<br />Para la solución del problema número 2 se tendrá que saber cómo se desenvuelve esta pieza en el aspecto industrial es decir cuáles son su uso, aportes y ventajas que produce su utilización.<br />Una requisito importante al siguiente problema sería saber cuál es la densidad del Acero debido a que el dato que nos proporcionan es que la placa está hecha de este material luego al saber la densidad y sus dimensiones que también es dato del problema a solucionar podríamos calcular la masa de la placa con la siguiente fórmula:<br />d=mV<br /> Donde:<br />d : densidad<br />m : masa<br />V : volumen del cuerpo determinado.<br />La cual nos conllevara a la determinación de la masa que es una exigencia para la solución de nuestro problema planteado.<br />II. MARCO TEORICO:<br />2.1 Principios, leyes, teorías y/o ecuaciones a utilizar en la solución del problema:<br />2.1 Antes de enfrentarnos con un grupo o sistema de fuerzas convendrá examinar las propiedades de una sola fuerza con cierto detalle. Se ha definido la fuerza como la acción que ejerce un cuerpo sobre otro. Es evidente que la fuerza es una cantidad vectorial, ya que su efecto depende de la dirección y sentido de la acción tanto como de su magnitud. Además, es necesario saber donde actúa. La acción del de la tensión P del cable sobre el soporte de la figura se ha representado mediante el vector fuerza P. el efecto de esta acción sobre el soporte dependerá de la magnitud de P, el angulo θ y de la situación del punto de aplicación A. <br />Figura 1<br />Variando cualquiera de estos elementos se alterara el efecto sobre el soporte, cosa que podría percibirse, por ejemple mediante la que se ejerce sobre uno de los roblones que se fijan en el soporte a la base o mediante la deformación del material del soporte en un punto cualquiera. Se ve, por tanto, que la especificación completa de una fuerza exige el conocimiento de su magnitud, dirección, y punto de aplicación.<br />En la grafica también se ve que la fuerza P se puede descomponer en dos fuerzas, talves en el eje x será P1 y en el eje y; será P2 , entonces P, por la ley del paralelogramo, será:<br />P12+P22=P<br />Según el análisis vectorial, un vector fuerzaP que se ejerce sobre un punto O, figura 2, puede descomponerse en componentes rectangulares Px , Py ,Pz , donde:<br />Figura 2<br /> P=Pcosθx P=Px2+Py2+Pz2<br /> P=Pcosθy P=iPx+jPy+kPz<br /> P=Pcosθz P=P(icosθx+jcosθy+kcosθz)<br />Los vectores unitarios i, j, k están dirigido según los sentidos de los ejes x, y , z y la elección de la orientación del sistema de coordenadas es totalmente arbitrarias, siendo la consideración principal la de mayor conveniencia. <br />MOMENTO:<br />Una fuerza tiene, tiene además de la tendencia de mover en su dirección y sentido al cuerpo a que se aplica, otra tendencia a hacerlo girar alrededor de ella. A esta tendencia se le llama momento M de la fuerza respecto al eje dado. <br />2910840-3175<br />Figura 3<br />En la figura 3 puede verse un cuerpo al que se le aplicado una fuerza R en uno de sus puntos A. El eje O-O es una recta cualquiera en el cuerpo que no corta a la recta soporte de R. La fuerza R puede descomponerse en dos componentes, una P, paralela a O-O, que no tiene tendencia a hacer girar el cuerpo alrededor de O-O y F contenida en un plano a normal al eje O-O y que tendrá tendencia a hacer girar el cuerpo alrededor de O-O. La magnitud de esta tendencia es proporcional tanto a la magnitud F como al brazo de momento, d, perpendicular. La magnitud escalar del momento es, pues:<br />M=Fd<br />El sentido del momento depende del sentido en el cual tienda F a hacer girar el cuerpo. Para identificar aquel sentido puede emplearse la regla de la mano derecha (fig. 4) y el momento de de f respecto a O-O podrá representarse por un vector dirigido en el sentido indicado por el pulgar cuando se curvan los dedos en el sentido de la tendencia a la rotación. El momento M cumple todas las reglas de composición de vectores y puede considerarse como vector deslizante cuya recta soporte coincide con el eje de momentos. Las unidades de momento son m.Kp o m.N y suelen escribirse en este orden para no confudirse con las unidades de energía. <br />2.2 Descripción de componentes del sistema mecánico a solucionar: <br />CASO 1:<br />Biela-manivela<br />PARTES Y FUNCIONAMIENTO:<br />Está formado por un elemento giratorio denominado manivela que va conectado con una barra rígida llamada biela, de tal forma que al girar la manivela la biela se ve obligada a retroceder y avanzar, produciendo un movimiento lineal. El recorrido de desplazamiento de la biela, la cual es llamada carrera, depende de la longitud de la manivela.<br />CASO 2:<br />Está formado por una placa sujeta a dos soportes. <br />La placa al girar se vera obligada a recorrer un ángulo de movilización que no será menor de 0° ni mayor de 90°. <br />2.3 Hipótesis consideradas para la solución del problema:<br />CASO 1:<br />El peso de las bielas serán inexistentes.<br />La coeficiente de fricción que se produce cuando el émbolo entra y sale, no será evaluado.<br />La duración de las piezas serán eterna, es decir no habrá desgaste mecánico.<br /> <br />CASO 2:<br />Solo habrán reacciones en el eje z.(en este caso el eje z está en la vertical)<br />No nos importara el material de que esta hecho el sistema.<br />Solo nos importa el peso de la placa.<br /> <br />2.4 Observaciones y/o normas consideradas para el funcionamiento de las componentes:<br />CASO 1:<br />Para que el sistema funcione adecuadamente se deben emplear bielas cuya longitud sea, al menos, 4 veces el radio de giro de la manivela a la que está acoplada. Esto debido a que la carrera o desplazamiento de la biela es dos veces el radio “2R” de la manivela, esto se pude apreciar en la figura: <br />Cuando tenemos que transformar movimiento giratorio en alternativo, el eje de la manivela es el elemento motriz y el pie de biela se conecta a un elemento, que puede ser un pistón como es el caso. Esto hace que la fuerza aplicada al eje se reduzca en proporción inversa a la longitud de la manivela, por lo que cuanto mayor sea la manivela menor será la fuerza que aparece en su empuñadura y consecuentemente en el pie de la biela.<br />El pistón está definido por las siguientes dimensiones: Diámetro, longitud total, cota de compresión, diámetro del bulón. La cota de compresión es importante porque suministra la posición del plano de la cabeza en el punto muerto superior y por tanto el volumen útil de la cámara de combustión es decir influye sobre la relación de compresión.<br />En la aplicación de este sistema a motores tenemos que: dos motores idénticos, pueden presentar un funcionamiento dispar con longitudes de biela diferentes. Las posiciones y las velocidades instantáneas del pistón para distintos ángulos de giro de la manivela son distintos. La biela, que va acoplada al pistón, debe ser rígida, resistente y tan ligera como sea posible para que transmita los impulsos y potencias del pistón <br />CASO 2: <br />No hay normas a considerar.<br />III. PROCEDIMIENTO DE SOLUCION, PROGRAMACION Y SIMULACION:<br />3.1 Descripción del algoritmo diseñado para programación :<br />CASO 1<br />lbsenq=0Leer:F,b,l,qInicio <br /> F <br /> V<br />b2sen2(q)>l F<br />Imprimir: ‘No tiene solución’ rea <br /> V<br /> T=-Fb2sen(q)b2sen2q-lbsen(2q)2l+b2sen2q-lb <br />Imprimir: T<br />End<br />CASO 2<br /> <br /> <br />3.2 Codificación del algoritmo en el lenguaje de programación:<br /> <br />CASO 1:<br />disp('ingresar A, P , b , l, q diferente de cero');<br />disp('además todos los valores en el sistema internacional');<br />A=input('ingrese el valor del área del émbolo A=');<br />P=input('ingrese el valor de la presión P=');<br />b=input('ingrese el valor de la longitud b=');<br />l=input('ingrese el valor de la longitud l=');<br />q=input('ingrese el valor del ángulo en radianes q=');<br />if sqrt(l^2-b^2*(sin(q))^2)==0<br /> fprintf('NO EXISTE SOLUCION REAL PARA EL PROBLEMA') <br />elseif l^2>b^2*(sin(q))^2<br /> T=-A*P*b*l*sin(q)/sqrt(l^2-b^2*(sin(q))^2)*(b*sin(q)*cos(q)/l+sin(q)*sqrt(l^2-b^2*(sin(q))^2)/l);<br /> fprintf('El valor de T es %4.3fN.m',T)<br />else <br /> fprintf('NO EXISTE SOLUCION REAL PARA EL PROBLEMA')<br />end <br /> <br /> <br />CASO 2:<br />disp('ingresar el angulo n entre 0 y π2 radianes');<br />disp('ademas todos los valores en el sistema internacional');<br />n=input('ingrese el valor del angulo n=');<br />d=input('ingrese el valor de la densidad de la placa d=');<br />a=input('ingrese el valor del ancho a=');<br />b=input('ingrese el valor del largo b=');<br />c=input('ingrese el valor del espesor c=');<br />if n<=90&n>=0;<br /> M=d*a^2*b*c*cos(n)/2;<br /> mx=0;my=M*cos(1.92);mz=M*cos(0.349); <br /> fprintf('El valor de la magnitud del torque')<br /> fprintf(' respecto al eje AB es %4.3f N.m',M)<br /> fprintf('El torque respecto al eje AB es') <br /> fprintf(' (%4.3fi+%4.3fj+%4.3fk)N.m',mx,my,mz)<br />else<br /> fprintf('EL VALOR DE n NO ES EL APROPIADO')<br />end<br />3.3 Representación de las piezas del sistema mecánico en software CAD:<br />CASO 1<br />317753919494515240271145CASO 2<br />3244215184785<br />IV. PRESENTACION Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS:<br />4.1 Tablas de valores de los parámetros o variables calculados ; 4.2 Graficas de las variables calculadas versus los datos de entrada:<br />Cuadro de: ANGULO vs TORQUE<br />P=400000Pa ; A=1 m2 ; b=1m; l=4mAngulo (q)TORQUE (T)0.5El valor de T es 234149.265N.m1El valor de T es 383093.951N.m1.5El valor de T es 406284.185N.m2El valor de T es 324861.523N.m2.5El valor de T es 190896.811N.m3El valor de T es 42468.526N.m3.5El valor de T es -107336.913N.m4El valor de T es -252343.185N.m4.5El valor de T es -369761.792N.m5El valor de T es -411587.791N.m<br />Como podemos apreciar la relación entre estos dos parámetros, la relación se aproxima a una función sinusoidal. <br />Nuestra intuición se aclaro al ver la grafica, pues esta es cierta, el torque su sube y baja cuando cambia el ángulo. <br />Cuadro de: MANIVELA vs TORQUE<br />P=400000Pa ; A=1 m2 ; l=20m; q=0.5Manivela (b)TORQUE (T)0.5El valor de T es 97988.936N.m1El valor de T es 200187.344N.m1.5El valor de T es 306600.672N.m2El valor de T es 417238.019N.m2.5El valor de T es 532112.169N.m3El valor de T es 651239.627N.m3.5El valor de T es 774640.673N.m4El valor de T es 902339.436N.m4.5El valor de T es 1034363.964N.m5El valor de T es 1170746.325N.m<br />Se logra apreciar en la grafica una ligera curvatura, debido a que la variable aparece arriba y abajo en la ecuación. <br />Cuando la manivela crece entonces el torque también crece, la longitud máxima de la manivela en este caso será menor que 10.9 m. <br />Cuadro de: BIELA vs TORQUE<br />P=400000 Pa ; A=1m2 ; b=5m; q=0.5Biela (l)TORQUE20El valor de T es 1170746.325N.m21El valor de T es 1160519.487N.m22El valor de T es 1151239.948N.m23El valor de T es 1142781.243N.m24El valor de T es 1135038.565N.m25El valor de T es 1127924.295N.m26El valor de T es 1121364.604N.m27El valor de T es 1115296.836N.m28El valor de T es 1109667.464N.m29El valor de T es 1104430.477N.m<br />Se puede observar una relación funcional inversa entre los parámetros biela-torque<br />Cuadro de: AREA DEL EMBOLO vs TORQUE<br />P=400000Pa ; b=1 m ; l=4m; q= 0.5Área(A)TORQUE0.5El valor de T es 117074.633N.m1El valor de T es 140489.559N.m1.5El valor de T es 163904.486N.m2El valor de T es 187319.412N.m2.5El valor de T es 210734.339N.m3El valor de T es 234149.265N.m3.5El valor de T es 257564.192N.m4El valor de T es 280979.118N.m4.5El valor de T es 304394.045N.m5El valor de T es 327808.971N.m<br />Comprobamos experimentalmente la relación lineal de los parámetros área-torque como se puede observar en la ecuación general.<br />Cuadro de: PRESION vs TORQUE<br />q= 0.5 ; A=1 m2 ; b=1m; l=4mPRESION(P)TORQUE100000El valor de T es 58537.316N.m110000El valor de T es 64391.048N.m120000El valor de T es 70244.780N.m130000El valor de T es 76098.511N.m140000El valor de T es 81952.243N.m150000El valor de T es 87805.974N.m160000El valor de T es 93659.706N.m170000El valor de T es 99513.438N.m180000El valor de T es 105367.169N.m190000El valor de T es 111220.901N.m<br />Se ve claramente en el gráfico que el torque es directamente proporcional a la presión, eso quiere decir que cuando aumentamos la presión el torque también aumentara, esto claro si las demás variables se mantienen constantes.<br />CASO 2:<br />CUADRO DE: ANGULO vs MOMENTO<br />a=0.12cm ; b=85cm ; c=45cm; d=0.80g/cm3ANGULO (n)MOMENTO56.25010-18.48615-16.737208.9912521.838303.39835-19.91040-14.6944511.574 5021.260<br />La correspondencia ángulo-momento es sinusoidal, afirmamos teóricamente lo que se ve en la práctica<br />Cuadro de: DENSIDAD vs MOMENTO<br />a=0.12cm ; b=85cm ; c=45cm; n=5°DENSIDADMOMENTO0.050.3910.100.7810.151.1720.201.5620.251.9530.302.3440.352.7340.403.1250.503.906 0.554.297<br />La densidad de un elemento siempre será proporcional al momento que se genera en el cuerpo, esto es porque la densidad también esta es en proporción directa con la masa.<br />Cuadro de: LARGO DE LA PLACA vs MOMENTO<br />a=0.12cm ; b=85cm ; n=5°; d=0.80g/cm3LARGO DE LA PLACA (c)MOMENTO50.694101.369152.083202.778253.472304.166354.861405.555425.833 446.111<br />Cuadro de: ANCHO DE LA PLACA vs MOMENTO<br />a=0.12cm ; n=5° ; c=45cm; d=0.80g/cm3ANCHO DE LA PLACA (b)MOMENTO 100.735201.471302.206402.941503.676604.412654.779705.147755.514 805.882<br />El largo y ancho de una placa siempre será proporcional también al momento que se genera en el cuerpo, esto por la ecuación general misma.<br />La relación entre largo y ancho es inexistente así que estas podrán ser de cualquier longitud, sin que atengan a alguna norma.<br />Cuadro de: ESPESOR DE LA PLACA vs MOMENTO<br />n=5° ; b=85cm ; c=45cm; d=0.80g/cm3ESPESOR (a)MOMENTO0.010.0430.020.1740.030.3910.040.6940.051.0850.061.5620.072.1270.082.7780.093.515 0.104.340<br />Este resultado nos parece interesante, ya que al ver las dos gráficas anteriores se supuso que la actual gráfica también sería una recta, pero como estamos viendo no es así, la relación es cuadrática, esto es importante porque nos dice que cuando más grueso es el espesor de una placa el momento crecerá de una manera acelerada, rápida. Y siendo así el objeto ya no sería una placa sino un cubo tal vez, o un paralelepípedo. <br />4.3 Planos y esquemas de los componentes del sistema mecánico en software:<br />Adjunto en un DISCO DVD<br />V. CONCLUSIONES:<br />Mediante el trabajo hemos podido:<br />Ver la aplicación de los principios de la estática en los mecanismos, como por ejemplo el sistema de pistón de un motor, y cómo podemos facilitar la resolución y el análisis de estos problemas utilizando software de diseño y programación.<br />Relacionarnos y conocer más acera de los mecanismos más utilizados en el funcionamiento de maquinas como: las maquinas de coser, motores de automóviles, etc.<br />Conocer los datos y restricciones necesarias que deben tener las medidas de los componentes del mecanismo para que funcione correctamente y todo esto mediante la simulación.<br />De la ecuación del primer caso extraemos “ L2-b2sen2θ”, y esta tiene que ser estrictamente mayor que cero, para que la ecuación pueda correr, de de esto podremos ver cuál será la distancia mínima de la biela, claro que dependerá del ángulo. <br />Cuando el ángulo sea 𝜋, para el caso 1, el torque será 0, o sea no se producirá torque.<br />El Torque (primer caso) será máximo cuando el ángulo que forme la manivela con la horizontal sea π/2.<br />VI. SUGERENCIAS O RECOMENDACIONES:<br />El análisis del problema podría ser más preciso con un mejor manejo de los software y con los conocimientos de resistencia de materiales para así encontrar posibles deformaciones o rupturas en el mecanismo obteniendo un análisis más real y preciso del problema.<br />Se debería tener un acercamiento directo con el sistema que se trabaja, tal vez ir a un taller mecánico o alguna empresa donde se pueda ver cómo funciona el sistema.<br />Para otro trabajo futuro hacer una maqueta a escala, talves no con tanta precisión, sólo que sirva de referencia. <br />La simulación no debería de revisarse con mucha rigurosidad, porque eso se hace en SOLIDWORD y eso es un curso que se lleva un ciclo adelante.<br />VII. ANEXOS:<br />http://librosparaingenieros.blogspot.com <br />http://librosparaingenieros.blogspot.com <br />VIII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:<br />Murray R. Spiegel. Mecánica teórica. Serie Schaum.<br />Shigley -Teoría de maquinas y mecanismos.<br />Bacon R. H.- The motion of a piston, Am. J. Phys.<br />J. Meriam-Estática.<br />Hibbeler -Mecánica vectorial para ingenieros.<br />Jovaj.-Motores de combustión interna.<br />IX. INTEGRANTE:<br />ROBLES RODRIGUEZ RONY<br />