10.kl. Matemātiskie izteikumi, pierādījumi.

1. Matemātiskie izteikumi, pierādījumi

3. Izteikumus apzīmē ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem, iekavās norādot to patiesumu. Piem. : A:Trijstūra leņķu summa ir 180 0 (p) B:Trijstūra leņķu summa ir 179 0 (a) Izteikumi var būt vienkārši jeb elementāri un salikti , kurus var sadalīt vairākos vienkāršos izteikumos. Piem .: salikts izteikums C: Romba diagonāles ir perpendikulāras un tās ir romba leņķu bisektrises.

5. Izteikumi var būt vispārīgi un atsevišķi. Vispārīgs izteikums raksturo veselu apgalvojumu grupu. Atsevišķs izteikums raksturo vienu konkrētu situāciju. Piem .: vispārīgs: “10 n -1 vērtība dalās ar 9 visām naturālām n vērtībām” atsevišķs: “izteiksmes10 2 -1 vērtība dalās ar 9”

6. Matemātikas likumu iedalījums Pamatjēdziens – tos nedefinē. Piem .: kopa, izteikums, planimetrijas pamatjēdzieni – punkts, līnija, virsma. Aksioma – izteikums, kurā tiek raksturotas svarīgākās pamatjēdzienu īpašības, tās pieņem par patiesām bez pierādījuma. Piem .: Caur jebkuriem diviem punktiem var novilkt taisni, pie tam tikai vienu. Definīcija – izteikums, kas precīzi paskaidro jaunu jēdzienu, izmantojot pamatjēdzienus vai iepriekš definētus jēdzienus. Piem .: Taisnes daļu starp diviem punktiem A un B kopā ar šiem punktiem sauc par nogriezni AB.

7. Teorēma – izteikums, kurā tiek raksturotas dažādu jēdzienu īpašības. Teorēmu patiesumu pierāda. Piem .: Trijstūra leņķu summa ir 180 0 . Teorēmu veidi “ Ja ir A, tad ir B” (šī situācija iestājas gadījumā, ja ir spēkā tiešais apgalvojums, bet nav spēkā (ir aplams) apgrieztais apgalvojums) Piem .: Blakusleņķu (A) summa ir 180 0 (B) – patiess Ja divu leņķu summa ir 180 0 (B), tad tie ir blakusleņķi (A) - aplams “ A ir tad un tikai tad, ja ir B” (šī situācija iestājas, ja ir spēkā gan tiešais, gan apgrieztais apgalvojums) Piem .: Paralelograma (A) diagonāles krustojas un krustpunktā dalās uz pusēm (B) - patiess Ja četrstūra diagonāles krustojas un krustpunktā dalās uz pusēm (B), tad četrstūris ir paralelograms - patiess

9. Tiešais pierādījums Teorēmas patiesums tiek pierādīts, pa soļiem pamatojot izvirzītā apgalvojuma patiesumu. Teorēma: Krustleņķi ir vienādi. Pierādījums. Pēc blakusleņķu īpašības <AOB+<BOC=180 0 <COD+<BOC=180 0 Tā kā abās vienādībās divi rezultāti ir vienādi, tad <AOB=<COD, kas bija jāpierāda. A B C D O

10. Pierādījums no pretējā Sākumā pieņem, ka teorēmā paustais apgalvojums ir aplams, tad pierāda, ka no šī apgalvojuma aplamības tiek iegūta pretruna, no kurienes secina, ka dotais apgalvojums nevarēja būt aplams.

11. Teorēma : J a divas taisnes ir perpendikulāras pret trešo taisni, tad tās ir paralēlas. c c a b a b A B C Dots: a  b; b  c Jāpierāda: a // b Pierādījums. Pieņemsim pretējo, ka a // b. Tādā gadījumā taisnes a un b krustojas punktā C. Iegūstam, ka  ABC ir divi taisni leņķi, kas nav iespējams. Tāpēc pieņēmums, ka a // b nav patiess, esam pierādījuši, ka a// b.

15. Matemātiskās indukcijas metode sastāv no divām daļām:induktīvās bāzes un induktīvās pārejas . Vienkāršākajos uzdevumos to pieraksta: 1. Induktīvā bāze . Pārbauda (pierāda), vai dotais apgalvojums ir spēkā, ja n=1. 2 . Induktīvā pāreja . * Pieņem,ka apgalvojums ir spēkā vērtībai n=k. * Pierāda,ka no šī pieņēmuma patiesuma izriet arī apgalvojuma patiesums vērtībai n=k+1. ______________________________________________________________Lai saīsinātu matemātiskās indukcijas pieraksta soļus, pierādāmo apgalvojumu apzīmē ar A(n), induktīvo bāzi A(1), induktīvo pāreju A(k)  A(k+1).