bab IV matematika teknik kimia itenas

1. BAB IV
PEBYELESAIAN PENYELESAIAN DENGAN DERET
Untuk penyelesaian PD dengan metode series akan diberikan dua metode
yang banyak digunakan pada Teknik Kimia, yaitu Persamaan Bessel dan Laplace
(banyak dipakai pada pengendalian proses/kontrol).
4.1. Persamaan Bessel
Persamaan umum persamaan Bessel adalah :
[ ] [ ] 0)1(2 222
2
2
2
=+−−−++++ yxbxrabdxc
dx
dy
bxax
dx
yd
x rPsr
Penyelesaian umum PD Bessel






+= −
−− s
p
s
p
rbxa
x
s
d
zCx
s
d
zCexy
!!
()
!!
( 21
)/(2/)1(
P = c
a
s
−




 −
2
2
11
Beberapa kasus :
1. a. Jika
s
d
adalah real dan P 0∉ atau ∉bilangan bulat maka Zp dinyatakan
dengan Jp dan Z-p dinyatakan dengan J-p
b. Jika P = 0 atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan dengan Jn dan Z-p
dinyatakan dengan Yn
2. a. Jika
s
d
adalah imajiner dan P 0∉ atau ∉bilangan bulat maka Zp
dinyatakan dengan Ip dan Z-p dinyatakan dengan I -p
a. Jika P = 0 atau bilangan bulat maka Zp dinyatakan dengan In dan Z-p
dinyatakan dengan Kn
Contoh 1
56

2. Selesaikan PD dibawah ini :
[ ] 02 22
2
2
2
=+−+ yx
dx
dy
ax
dx
yd
x β
ββ
Penyelesaian :
Jika disesuaikan dengan PD Bessel :
a. 1 - 2β = a + 2bxr
jadi ; b = 0
a = 1 - 2β
b. [ ]rPs
xbxrabdxcx 22222
)1( +−−−+=β
β
jadi ; c = 0
d = β2
s = β
Jadi :
P = c
a
s
−




 −
2
2
11
= 0
2
2111
2
−




 +− β
β
= 1
11 2
== β
β
β
β
1
2
==
β
β
s
d
Karena 1
2
==
β
β
s
d
=bilangan real dan P adalah bilangan bulat, maka
Zp dinyatakan dengan Jn
Z-p dinyatakan dengan Yn
Contoh 2
Persamaan pada pin pendingin :
57

3. 0
sec2
2
2
=++ y
kw
Lh
dx
dy
dx
yd
x
θ
Dimana :
x = jarak dari ujug pin
y = T - Ta, temperatur udara luar = 100 F
T = temperatur pada x
h = koefisien perpindahan konveksi = 2 Btu/hr.ft2
.o
F
k = koefisien perpindahan panas konduksi = 220 Btu/hr.ft.oF
L = total panjang pin = 1 ft
w = tebal pin = 1/12 ft
θ = sudut pada ujung pin, sec θ = 1
Penyelesaian :
Jika
kw
Lh θ
α
sec2
=
Dan persamaan dikalikan dengan x maka akan diperoleh :
02
2
2
=++ xy
dx
dy
x
dx
yd
x α
58
θ
L
w

4. Jika dibandingkan dengan Persamaan umum Bessel :
[ ] [ ] 0)1(2 222
2
2
2
=+−−−++++ yxbxrabdxc
dx
dy
bxax
dx
yd
x rPsr
Akan diperoleh ;
a = 1 b = 0 c = 0
d = -α s = ½ r = 0
P = c
a
s
−




 −
2
2
11
= 00
2
11
2/1
1
2
=−




 −
imajiner
s
d
=
−
=
2/1
α
Karena imajiner
s
d
= dan P = 0, maka :
Zp dinyatakan dengan Io
Z-p dinyatakan dengan Ko
Sehingga PUPD nya adalah :
xKCxICy oo αα 2()2( 21 +=
Jika kondisi batas dimasukkan :
1. T = finite pada x = 0
2. T = 200, Ta = 200 pada x = L = 1
BC 1.
Pada x = 0 Ko = tak terhingga Io = 1 (Tabel 5-1, Sherwood)
Sehingga C2 = 0
59

5. )2(1 xICy o α=
218,0
1.220
12.1.2.2sec2
===
kw
Lh θ
α
)218,02(1 xICy o=
)218,02(1 xICTaT o=−
BC. 2.
X =1 , T = 200 (pusat) Ta = 100
)218,02(1 xICTaT o=−
)1.218,02(100200 1 oIC=−
)9338,0(100 1 oIC=
Untuk mencari harga Io(0,9338) lihat tabel 5.1 sherwood dengan inrpolasi
pada x = 0,5 dan x = 1, akan diperoleh ;
Io(0,9338) = 1,230
230,1.100 1C=
C1 = 81,2
Jadi persamaan akhirnya
)218,02(.2,81 xITaT o=−
4.2. Laplace
Umumnya persamaan differensial homogen untuk sistem berorde-n ditulis
60

6. Persamaan differensial ini disebut sebagai persamaan differensial linear jika koefisien
a1, a2,..., an+1. bukan fungsi dari y(t).
Alih Ragam Laplace
Alih ragam Laplace merupakan salah satu alat bantu matematika yang
digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial. Bila dibandingkan dengan
metode klasik dalam menyelesaikan persamaan differensial, alih ragam Laplace
memiliki keuntungan dua hal :
1. Penyelesaian persamaan homogen dan integral khusus diperoleh dalam satu
operasi
2. Alih ragam Laplace mengubah persamaan differensial ke persamaan aljabar
dalam s. Hal ini memungkinkan dapat memanipulasi persamaan aljabar dengan
aturan aljabar sederhana untuk memeperoleh solusi dalam wawasan s. Solusi
akhir diperoleh dengan melakukan alih ragam Laplace balik.
Definisi Alih-ragam Laplace
Diberikan suatu fungsi nyata f(t) yang memenuhi kondisi
untuk σ bilangan nyata terbatas, maka alih-ragam Laplace didefinisikan sebagai
atau F(s) = alih ragam Laplace dari f(t) = [f(t)]
Peubah s disebut sebagai operator Laplace, berupa peubah kompleks, s = σ + jω.
Contoh:
Misalkan f(t) merupakan fungsi tangga satuan yang didefinisikan sebagai
61

7. f(t) = us(t) = 1 t > 0
= 0 t < 0
Alih ragam Laplace f(t) ini diperoleh sebagai berikut
Untuk memudahkan penerapan alih-ragam Laplace, dibawah ini diberikan tabel
teorema alih-ragam Laplace :
Tabel Teorema alih-ragam Laplace :
Perkalian dengan konstanta [kf(t)] = kF(s)
Penjumlahan dan beda [f1(t) + f2(t)]=F1(s)+F2(s)
Differensiasi
Pergeseran kompleks
Integral
Teori nilai-akhir
Tabel Alih-ragam Laplace suatu fungsi
Fungsi Bentuk Alih-ragam
Laplace
Unit Impuls 1
Unit Step u(t) 1/s
62

8. Unit Ramp t 1/s2
Polinomial t2
n!/sn+1
Eksponensial
Gel. sinus sin ωt
Gel. cosinus cos ωt
Gel sin teredam
Gel. cos teredam
Contoh 2 :
Misalkan f(t) merupakan fungsi berikut
Tentukan alih ragam Laplace f(t) tersebut
Penyelesaian :
Dengan melihat tabel alih ragam Laplace, maka diperoleh :
Alih-ragam Laplace Balik
Operasi menentukan f(t) dari alih ragam laplace F(s) disebut sebagai alih-ragam
Laplace balik, dan ditandai
f(t) = [F(s)]
Alih ragam Laplace balik adalah
(2-1)
dengan c adalah konstanta nyata yang lebih besar dari bagian nyata semua
singularitas F(s).
63

9. Contoh 3
Misalkan suatu fungsi Laplace diberikan oleh
Tentukan alih ragam Laplace balik fungsi F(s) ini.
Penyelesaian :
Dengan memperhatikan table 2-1 dan 2-2 diperoleh
Contoh 4
Diberikan alih ragam Laplace sebagai berikut
294
2
)( 2
++
+
=
ss
s
sF
Tentukan alih ragam Laplace balik dari fungsi ini.
Penyelesaian :
Dengan memperhatikan tabel 2-2 diperoleh
Alih-ragam Laplace balik
dengan ekspansi pecahan bagian
Dalam kebanyakan sistem kontrol, evaluasi alih-ragam Laplace balik tidak
langsung menggunakan integral balik persamaan (2-1). Sebaiknya, operasi alih ragam
Laplace balik yang didalamnya berupa fungsi rasional diselesaikan menggunakan
tabel alih-ragam Laplace dan ekspansi pecahan-bagian. Ketika solusi persamaan
differensial bentuk alih-ragam Laplace merupakan fungsi rasional, maka solusi dapat
ditulis sebagai
64

10. dengan Q(s) dan P(s) adalah polinomial dalam s. Dengan anggapan bahwa orde dari
P(s) lebih besar dari Q(s). Polinomial P(s) ditulis
dengan a1, a2, ..., an adalah koefisien nyata. Nol dari Q(s) dapat berupa nyata atau
pasangan kompleks, orde tunggal atau rangkap.
Ekspansi Pecahan-bagian
Untuk semua pole X(s) adalah sederhana dan nyata
Bentuk :
dengan . Dengan menerapkan ekspansi pecahan-bagian, maka
persamaan ini ditulis
dengan
Contoh 5 :
Diberikan fungsi X(s) berikut
Tulislah dalam bentuk pecahan bagian ! dan tentukan x(t)
Penyelesaian :
X(s) ditulis dalam bentuk ekapansi bagian-pecahan sebagai berikut
65

11. sehingga
Ekspansi saat pole dari X(s) berbentuk orde rangkap
Bentuk :
Maka
dengan
Contoh 6 :
Diketahui fungsi X(s) berikut :
Susunlah dalam bentuk pecahan bagian ! dan tentukan x(t)
Penyelesaian :
X(s) dalam bentuk ekspansi bagian-pecahan ditulis
66

12. sehingga
Aplikasi Alih-ragam Laplace Untuk Solusi Pers. Differensial
Persamaan differensial dapat diselesaikan menggunakan metode alih-ragam
Laplace dengan bantuan tabel alih-ragam Laplace. Prosedur ringkasnya sebagai
berikut
1. Ubah persamaan differensial ke bentuk alih ragam Laplace menggunakan tabel alih
ragam Laplace
2. Manipulasikan persamaan aljabar hasil alih ragam dan selesaikan untuk variabel
keluaran
3. Bentuklah ekspansi pecahan-bagian sehingga alih ragam Laplace balik dapat
diperoleh dari tabel Laplace
4. Lakukan alih ragam balik
Untuk ilustrasi akan diberikan satu contoh berikut :
Contoh 7 :
Diketahui persamaan differensial :
67

13. dengan u(t) adalah fungsi langkah-satu. Kondisi awal x(0) = -1 dan
.
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan persamaan differensial, pertama kali kita alihragamkan Laplace
pada kedua sisi :
Dengan memasukkan kondisi awal kedalam persamaan dan menyelesaikan untuk
X(s) diperoleh
Kemudian dikembangkan ke ekspansi bagian-pecahan :
Dengan melakukan alih ragam Laplace balik, diperoleh solusi persamaan differensial:
68