Definición de conjuntos Operación con conjuntos Numeros reales Desigualdades Definición de valor absoluto Valor absoluto de numeros complejo Desigualdes de valor absoluto Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Territorial Andrés Eloy Blanco
Presentación
Estudiante:
Redinson Alvarado

2. Definición de Conjuntos
Un conjunto es una colección de elementos con características similares
considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden
ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc.Los conjuntos
pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero
el conjunto de los planetas del sistema solar es finito (tiene ocho elementos).
Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera
similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible
definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede
realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado,
son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el
resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su
estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría
de conjuntos.

3. Operaciones con conjuntos:
En las matemáticas, no podemos definir a un conjunto, por ser un concepto
primitivo, pero hacemos abstracción y lo pensamos como una colección
desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa
siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les
llama elementos de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a
sus elementos. Se representan con una letra mayúscula y a los elementos o
miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o paréntesis.
Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por
ejemplo, teniendo un conjunto de la gente que juega al fútbol y otro de la gente
que juega a baloncesto podemos hacer muchas combinaciones como el conjunto
de personas que juegan a fútbol o baloncesto, las que juegan a fútbol y
baloncesto, las que no juegan a baloncesto, etc.

4. Números reales
Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones
comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de
matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de
los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por
matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco
después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales
del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones
porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números
reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición
rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas,
algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales
de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo
matemático formal.
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotad por )
incluye tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a
los números irracionales;1 y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los
irracionales y los trascendentes2 (1970) no se pueden expresar mediante
una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras
decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log2, cuya
trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.

5. Desigualdades:
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre
dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es
una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como
los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
 La notación a < b significa a es menor que b;
 La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no
puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o
"estrictamente mayor que"
 La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no
estrictas).
 La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo
general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
 La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno
es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los
elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura
está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es
recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.

6. Definición de valor Absoluto:
El valor absoluto o módulo de un número real x , denotado por |x| , es el
valor no negativo de x sin importar el signo, sea este positivo o negativo. Así, 3 es
el valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto está vinculado con las nociones
de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El
concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros
objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos
ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
La función real valor absoluto se define sobre el conjunto de todos los
números reales asignando a cada número real su respectivo valor absoluto.
Formalmente, el valor absoluto de todo número real x está definido por
La función identidad es igual a la función signo por el valor absoluto:

7. Por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual
que cero y nunca negativo.
En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales sirve para
hallar la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o
métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto
que expresa la distancia a lo largo de la recta numérica real.
 La función valor absoluto es una función continua en todo su dominio, con su
función derivada discontinua esencial en (0;0), con dos ramas de valores
constantes.
 La función y = x|x|, usando valor absoluto, es una función creciente y continua,
su gráfica se obtiene de la gráfica de la parábola y=x2, reflejando la rama
izquierda respecto al eje Ox.
Propiedades fundamentales:
Propiedades adicionales:
Otras dos útiles inecuaciones son:

8. Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como
por ejemplo:
El conjunto de los reales con la norma definida por el valor absoluto (R,|.|) es
un espacio de Banach.
Valor absoluto de números complejos:
La generalización cabe. pues en R y C van a expresar la noción de
distancia.
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el
sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que
requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y
equivalente para el valor absoluto:
Donde z*
es el conjugado del número complejo z.
De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma
con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido
formalmente por:
Como los números complejos son una generalización de los números
reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:
De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los
números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de
un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese
número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de
dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

9. Propiedades:
El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas
anteriormente para los números reales. Además, si
Es el conjugado de z, entonces se verifica que:
Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales
que mencionamos en esta sección.
Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números
complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto
como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.

10. Desigualdades de valor absoluto:
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo
de valor absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en
una desigualdad compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:

11. Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b ,
entonces a > b O a < - b .
Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:

12. Ecuaciones con valor absoluto:
1) Ejercicio:
|3x +7| = 5x +13
| x | = a
x = a o x= - a
Caso 1: Caso 2:
3x + 7 = 5x +13 o 3x +7 = - (5x+13)
3x – 5x = 13 – 7 o 3x +7 = -5x -13
-2x = 6 o 3x +5x = -13 -7
x = 6 /-2 o 8x = -20
x = -3 o x= -20/8
x=-5/2
Solución de la inecuación: a ≥ 0
5x +13 ≥ 0
5x ≥ -13
x ≥ -13 / 5
x ≥ - 2,6
.------------------------------------------------ +
|
--|----|------|------------|---------|--------|---------|---------|---------|--
-3 -2,6 -5/2 -2 -1 0 1 2 3
C.S = {- 5/2} //

13. 2) Ejercicio:
X+ |1 +2x| = 2
| x | = a
x = a o x= - a
Caso1: Caso2:
1 + 2x = 2 –x o 1 +2x = - (2 -x)
2x + x = 2 -1 o 1 +2x = -2 + x
3x = 1 o 2x –x = -2 -1
x = 1/3 o x = -3
Solución de la inecuación: a ≥ 0
2 –x ≥ 0
(-1) -x ≥ -2
X ≤ 2
-∞ <________________________________.
|
--|---------|-----------|-----------|---|-------|----------|------------|--
-3 -2 -1 0 1/3 1 2 3
C.S = {-3 ; 1/3} //