Este documento contiene 41 ejercicios de matemáticas que abarcan temas como ecuaciones, sistemas de ecuaciones, funciones, geometría y estadística. Los ejercicios van desde operaciones básicas hasta problemas más complejos que requieren varios pasos para resolver. El documento proporciona todos los detalles necesarios para que el lector pueda entender y resolver cada uno de los ejercicios planteados.

1. 3.4 Ejercicios del capítulo
1. Si se conoce que 2 y 3 son raíces de la ecuación
2x3 + mx 2 − 13x + n = 0 , determina m y n y halla la tercera raíz de la
ecuación.
2ax − 4a + bx − 2b
2
x 2 − 7 x + 12
2. Sean M =
; N=
y
P=
3
3
2
2
3 −x
8a + b
4a − 2ab + b
Determina H, si H =
M
+P
N
r ⋅r
1
2
3. Sea R = r + r . Calcula r1 cuando R = 4,8 y r2 = 12.
1
2
4. En las fórmulas siguientes despeja las variables indicadas entre
paréntesis.
1
24 F −3
4d
1
1
a) p =
1
b) f = p + 1
p
(d y p)
(p1)
x2 − 4
x3 − 3x 2 − 13x + 15
y B=
(1 − x)(x − 2)
x3 + 27
a) La expresión A está definida para las x ∈ ℜ tal que:
5. Sean A =
____ x ≠ –1 y x ≠ 2 ___ x ≠ 1 y x ≠ 2 ___ x ≠ –1 y x ≠ –2 __ ninguna de
estas.
19
b) Prueba que A · B + 1 =
x 2 − 3x + 9
6. Sean las expresiones:
A=
x −2
x −3
B=
x 3 + 27
x 3 + x 2 − 9x − 9
C=
x 2 −1
2 x 2 −13 x + 11
a) Calcula y simplifica ( A − B ) ⋅ C
b) Determina
para
qué
valores
naturales
de
la
variable
1
independiente, se cumple que: A =
.
2x
7. Indica el dominio de definición y determina en R el conjunto
solución de la siguiente ecuación:
2
40
3
= 2
=
3(x + 2) x − x − 6 2x − 6
8. Uno de los ceros de una parábola de la forma y = –x2 + bx + c es
1
x2 − 3
x = –2 y el otro es la solución de la ecuación
+1 = 2
.
x−2
x − 2x
Halla la ecuación de la parábola y analiza sus propiedades.
243

2. 9.
1
x3 − 2 x 2 − 4 x + 6
yB=
2
x
x
Si A =
Halla los valores para los cuales A ≥ B
10.
¿ Para qué valores de x ∈ ℜ la expresión
x 2 −1
3
+5−
x −2
x −2
es positiva?
A=
Sean
11.
5
2
2x − x − 3
y
B=
1
2
x −x−6
.
¿Para qué valores del domino de la variable A – B es no negativa?
En un circuito eléctrico dos resistores con resistencia R 1 y R2 se
conectan en paralelos, la resistencia neta de R está dada por
12.
1
1
1
=
+
¿Que valores de R2 hará que la resistencia neta sea menor
R R1 R2
que 5Ω?
13.
Sea la función f(x) = –x2 – x + 20.
a). Determina la imagen de la función f.
b). Resuelve la ecuación
f ( x)
3
+
= 1.
2
x−4
16 − x
14. La figura 3.34 muestra una función de la forma f(x) = –x 2 + bx + c.
11.1- Selecciona la respuesta correcta
y
a) La ecuación de la función es:
______ f ( x ) = x 2 − 2 x − 8
_____ f ( x ) = −x 2 + 2 x + 8
______ f ( x ) = −x 2 − 2 x + 8 ____ Ninguna de estas
b)
–4
2
El valor máximo de la función es:
____ y= 8
___ y = 9 ___ y = 11
x
___6
c) Un intervalo donde la función es decreciente
y no negativa es:
____ x ≥ 0
3.34
___ 0< x ≤ 2 ___ x ≥ −1 ___ x< –1
Fig.
11.2 Determina para qué valores reales de la variable independiente se
cumple que:
15.
x −2
x
=
f ( x)
x +4
La figura 3.35 muestra una función
cuadrática de la forma f ( x ) = x 2 + bx + c .
244

3. 12.1Selecciona la respuesta correcta:
a) La ecuación de la función es:
______ f ( x ) = x 2 − 2 x − 8
______ f ( x ) = x 2 + 2 x − 8
______ f ( x ) = x 2 + x − 6
Fig. 3.35
b) El valor mínimo de la función es :
9
______ y = −
8
5
______ y = − _____ y = −
c) Un intervalo donde la función es decreciente y negativa es:
______ –4 < x < 0
_______ –4 < x – 1
_____ x < –1
12.2 Determina para qué valores de la variable independiente, está
definida la expresión
f ( x)
.
x −2
16. Resuelve la ecuación: x +
2 − 2 3 + 5 − 15
= 3 + 5 − 3 11.
x
17. ¿Determina qué valores enteros del intervalo [–1; ∞) son soluciones
4x + 2
x +1
≤
de la inecuación
( 2 x + 1)( x − 2) 2 − x ?
18. Sean las expresiones:
A=
m3 + 4m2 − 5m
m3 + 125
y B=
3 − 3m2
m3 − 4m2 + 20m + 25
a) Prueba, que para todos los valores admisibles de la variable se
A
m
=− .
verifica que
B
3
b) Halla todos los valores reales negativos de la variable m, para los
cuales se cumple que:
A
1 2

≥ m m + 1  −
B
3 3

19. Dada la ecuación x2 – 2(2m + 6) x + 3m (m + 2) = 0. Halla m de
modo que las raíces x1 y x2 de la ecuación sean tales que x 1 · x2
exceda a x1+ x2 en 2m.
20. Sea el sistema de ecuaciones:
 y + 24 = 3ax (I)

 −ax + y = 4 (II)
245

4. a) ¿Qué números naturales puede aceptar el parámetro a para que las
soluciones del sistema dado sean pares ordenados de números
naturales?
b) Determina las soluciones del sistema dado según las condiciones
del inciso anterior.
21. Si los puntos (1; y1) y (–1; y2) pertenecen al gráfico de la función
f(x) = ax2 + bx + c y se cumple que y1 – y2 = –10. ¿Cuál será el valor
de b?
22. Sean f(x) = x(x–1) y g(x) = x+n.
Halla:
a) El valor de m para que la representación gráfica de la
función g sea tangente a la representación gráfica de f.
b) Los valores de n para los cuales la gráfica de las funciones
dadas sean secantes.
c) Los valores de n para los cuales f ∩ g = ∅.
23. Dada g(x) = a +
1
b c

+ 2 , calcula g −1  , si se conoce que:
2

x x
a) Un cero de g es x =1.
 1
b) g   = −4 .
2
 5
c) La representación gráfica de g pasa por el punto P  2;  .
 4
24. Sea el sistema de ecuaciones:
 6x − 3y + 2z = 5a − 2b

 4x + 2y − z = 3(2a + 3b)
 5x − 7 y + 3z = − 4(a + b)

Comprueba que: (x+y) – z = 4b.
25. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
 x 2 + y 2 = a2

a) x + y = b
x− y = c

1 1
x− y= 5

b )
 1 + 1 = 233
 x 2 y 2
 ( x + y)2 − 2xy = 130

c ) x 2 − y 2
=2

x+ y

246

5. 26. Halla el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:
 xy2 = 80

a) x 1 − y3
= 65

1− y

3
x−

5
b) +
y
2
 −
x
 x3 − y3 = 3(xy − 1)
c )
 x2 + xy + y2 = 3
 x + xy = a2 + a
d)
 xy − y = a2 − a
( )
1 1
=3
y 2
3
= −7
z
1
=0
z
27. Sean los sistemas:
 x2 + y2 − 2(2x + y) = 0
a)
 y = kx
 x2 + y2 = 4x + 2y
b)
 y − kx + 8 = 0
¿Para qué valores del parámetro k el conjunto solución del sistema es
unitario, binario o vacío?
28. Sea la parábola K representada por la ecuación y2 = x y la recta r de
1
ecuación y = x + n .
2
Calcula los valores del parámetro n para que:
a)
r no corte a K.
b)
r interseque a K en dos puntos.
c)r sea tangente a K.
29. Sea:
 y = mx + n
 2 2
 x + y = r
Demuestra que si el sistema de ecuaciones dado tiene una única
solución, entonces n = ±r 1 +m2 .
30. Un tren con 40 vagones transporta una carga de 765 t. Los vagones
son de dos tipos, por eso algunos han sido cargados con 20 t,
mientras que otros, con 15 t. ¿Cuántos vagones de cada tipo hay?
31. El numerador de una fracción es mayor en una unidad que el
denominador. Si cada término de la fracción se aumenta en una
unidad y se sustrae la nueva fracción de la original, se obtiene un
247

6. número cuyo recíproco es 30. ¿Cuál es la nueva fracción que se
obtiene?
32. Juan es 5 años mayor que su hermano Pedro. Hace 4 años la edad
de Juan era el doble de la edad de Pedro. ¿Cuáles son sus
edades?
33. La edad actual de Alberto es el triplo de la de Berta, pero hace
cuatro años la suma de ambas edades era igual a la que tendrá
Berta dentro de 16 años. ¿Qué edad tiene cada uno actualmente?
34.
En un encuentro de béisbol asistieron al estadio 35 000
aficionados. Había 26 000 hombres más que mujeres y el número
de menores era la mitad de la cantidad de mujeres. ¿Cuántos
hombres, mujeres y niños asistieron al estadio?
35. En saludo a la Jornada de Girón, Mario y Ricardo han realizado
entre ambos 72 h de trabajo voluntario. Si Mario hubiera realizado
12 h más, entonces tendría el doble de la cantidad de horas
realizadas por Ricardo. ¿Cuántas horas de trabajo voluntario realizó
cada uno?
36. El plan de producción de dos empresas es de 60 millones de pesos.
Una de ellas cumplió el plan al 90 % y la otra, al 110 % y así juntas
produjeron 62 millones de pesos. ¿Cuál era el plan de producción
de cada empresa?
37. Un estudiante llenó 6 sacos del tipo A y 8 del tipo B, recogiendo en
total 1340 lb de papas. Otro estudiante recogió 8 sacos del tipo A y
5 del tipo B, recogiendo en total 1 220 lb de papas. ¿Cuántas libras
de papas había en cada saco utilizado?
38. Una brigada recogió una cantidad de sacos tal que si hubiera
recogido 40 sacos más, habría llegado al cuadrado de la norma de
un alumno; pero recogiendo 40 sacos menos habría llegado al
doble de dicha norma. Si cada alumno cumplió exactamente su
norma. ¿Cuántos sacos recogió la brigada y cuántos integrantes
tenía?
39. Una empresa papelera vende a las librerías (al por mayor) dos tipos
de cuadernos de notas: El primer tipo de cuaderno a $ 0,50, y el
segundo, a $ 0,70. La empresa recibe un pedido de 500 cuadernos
y junto a éste un cheque por $286,00, que cubre completamente los
gastos. Si el pedido no menciona la cantidad de cada tipo de
cuadernos, ¿cómo la empresa papelera debe realizar la entrega?
¿A qué precio debe vender la librería todos los cuadernos que
compró a $ 0,50 para obtener una ganancia del 20 %?
40. En la figura 3.36 se representan dos
circunferencias tangentes exteriormente,
tales que la longitud de una es el duplo de
la longitud de la otra. y la distancia entre
los centros O y O', es 15 cm. Calcula los
radios de las circunferencias dadas.
O
O´
248

7. Fig. 3.36
41. En un almacén hay 24 recipientes, entre latas y frascos. Usando
todos los frascos se pueden envasar 35 L de pintura y esta misma
cantidad se puede envasar usando todas las latas. Todas las latas
tienen igual capacidad, en este caso 1 L más que los frascos, que
también tienen todos la misma capacidad. ¿Cuántos recipientes
de cada tipo hay en el almacén y cuál es la capacidad
correspondiente?
42. En los últimos dos años los ministerios de la agricultura y del azúcar
instalaron para el abasto de agua a la ganadería, 1 016 equipos
entre molinos de viento y bombas de bajo consumo. El número de
molinos excede en 86 al cuádruplo de las bombas instaladas.
a) ¿Cuántos equipos de cada tipo fueron instalados por estos dos
ministerios en los últimos dos años?
b) ¿Qué porcentaje del total de equipos instalados representan los
molinos de viento?
43. Dos trabajadores de una UBPC recolectaron durante tres días de
trabajo un total de 104 cajas de tomates. Si el trabajador más
productivo cediera al otro, el 20 % de las cajas recolectadas por él,
entonces ambos tendrían la misma cantidad de cajas recolectadas.
¿Cuántas cajas de tomate recolectó cada trabajador?
¿En qué porcentaje superó la recolección de uno de los trabajadores,
la del otro?
44. Dos grupos de estudiantes de un IPUEC están recogiendo papas.
Al inicio de la jornada se le entregó a cada uno cierta cantidad de
sacos vacíos. La tercera parte de los sacos entregados al grupo B
excede en 4 a la cuarta parte de los entregados al grupo A. Al
terminar la sesión de campo, entre los dos grupos lograron llenar
todos los sacos, pero el grupo A llenó 30 sacos menos que los que
le habían sido entregados y la cantidad de sacos que logró llenar el
grupo B excede en dos al duplo de los que llenó el grupo A.
¿Cuántos sacos vacíos se entregaron al inicio de la jornada a cada
grupo?
45. La novena etapa de la vuelta ciclística a Cuba, corrida entre las
ciudades de Santa Clara y Cienfuegos, tuvo tres metas intermedias:
Ranchuelo, Cruces y Abreus. Al llegar a Cruces, se había recorrido
el doble de la distancia hasta Ranchuelo, disminuida en 1 km, y aún
faltaban 64 km para llegar al poblado de Abreus, situado en el
kilómetro 97 de la etapa.
a) ¿A cuántos kilómetros de Santa Clara, se ubicó la meta volante
de Ranchuelo?
b) Si un ciclista mantiene una velocidad constante de 30 km/h, en
qué tramo se encuentra cuando hayan transcurrido 145 min de
iniciada la carrera.
249

8. 46. Las ciudades A y B están separadas a 300 km. Dos ciclistas parten
al mismo tiempo de A y B respectivamente para ir uno al encuentro
del otro. Después de haberse cruzado, el ciclista que salió de A
tarda 9 h en llegar a B, y el que salió de B, 4 h en llegar a A. ¿A qué
velocidad iba cada ciclista?
47. La media aritmética de las dos cifras de un número es igual a la
cifra de las decenas aumentada en 1. Si la suma de los cuadrados
de las cifras del número se divide por éste, el cociente es la unidad
y el resto es excedido en 16 unidades por el producto de las cifras
del número. Halla el número.
48. Andrés, Víctor y Carlos aportaron $ 52 entre los tres para la fiesta
de fin de curso. Lo que aporto Carlos es 30 % de lo que aportaron
Andrés y Víctor conjuntamente. Si Víctor hubiera aportado $ 5
menos y Andrés, $ 5 más, entonces ambos hubieran aportado la
misma cantidad. ¿Cuánto aportó cada uno?
49. El perímetro de un triángulo es de 53 cm. El triplo de la longitud del
lado mediano excede en 4,4 dm a la longitud del lado mayor y la
razón entre la longitud del lado menor y el mayor es igual a 0,2.
Clasifica dicho triángulo según las longitudes de sus lados.
50. Entre Ana, Berta y Carlos, han desarrollado 60 h de trabajo
voluntario. El duplo horas trabajadas por los dos primeros es igual
al décuplo de las horas trabajadas por Carlos, que a su vez
exceden en 20 h las trabajadas por Ana. ¿Cuál es el acumulado
individual de horas de trabajo voluntario?
51. La producción de papas durante tres años consecutivos en una
empresa agrícola alcanzó la cifra de 10 656 q. En el segundo año
se obtuvo el doble del rendimiento alcanzado en el primero, y la
producción del tercero, excede en 41 a lo logrado en el segundo
año.
a)
b)
¿Cuáles fueron los rendimientos por año?
¿Qué tanto por ciento representa la producción del
tercer año respecto a la lograda en el segundo año?
52. Un grupo de alumnos organiza un campismo, cuyos gastos en total
ascienden a 430 pesos. AL salir aparecen 6 alumnos más. Y esto
hace que cada uno de los anteriores pague 3 pesos menos.
¿Cuántos alumnos participaron en el campismo y qué cantidad de
dinero pagó cada uno?
53. La suma de las áreas de dos terrenos cuadrados es 208 m 2.Para
cercar ambos terrenos se necesitan exactamente 80 metros de
cerca metálica. Calcula las dimensiones de cada terreno.
54. Sean dadas dos circunferencias concéntricas de centro O y radios
R y r (R>r). La región rayada se denomina corona o anillo y su área
es de 84 dm2. Si el triplo de la longitud del menor radio supera en
20 cm a la longitud del mayor radio, calcula sus longitudes.
250

9. 55. Con dos cuadrados se forma una
figura de seis lados como se muestra
en la figura 3.37. Calcula las longitudes
de los lados de los cuadrados,
sabiendo que la figura obtenida tienen
233 cm2 de área y 68 cm de perímetro.
G
A
F
E
F
B
C
Fig. 3.37
56. En la figura 3.38 se representa una ventana normanda, formada
por un rectángulo ABCD y una semicircunferencia de diámetro CD
. Si se conoce que la diagonal del rectángulo mide 5 m y s
perímetro es de 140 dm. Calcula el área total de la ventana.
D
Fig. 3.38
C
A
B
57. En un laboratorio de química se tienen tres recipientes de cristal
con disoluciones de borato de socio (N 2B4O7).En el recipiente A la
disolución está al 19%, en la B al 30% y en la C al 50 %. Se
utilizaron estas disoluciones para obtener 50 L de una disolución de
borato de sodio al 32%. Si la cantidad de litros de disolución al 50
% que se usó fue el doble de la cantidad de litros de disolución al
30% empleada, ¿cuántos litros se utilizaron de cada disolución?
58. Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en
llano marcha a 80 km/h. Para ir de A a B tarda 2 h y 30 min, y para
volver de B a A, 2 h y 45 min. ¿Cuál es la longitud de camino llano
entre A y B, si sabemos que la longitud total entre A y B es de
192 km?
59. Dos trenes realizan diariamente su recorrido entre dos estaciones
distantes entre sí 300 km, uno expreso y el otro de correo. El
expreso corre 20 km/h más que el de correo, por lo que tarda 4 h
menos en hacer el recorrido. Halla la velocidad de cada tren,
suponiendo que ambos se mueven con movimiento rectilíneo
uniforme.
251

10. 60. En la figura 3.39 se han representado tres circunferencias de
centros
A,
B
y
C,
tangentes
dos
a
dos.
Si
AB =40 cm, AC =5 dm y BC =7 dm . Calcula la suma de las
longitudes de las circunferencias dadas.
C
B
A
61. Un agrimensor ha realizado la triangulación de una superficie
poligonal, como se muestra en la figura 3.40, de manera que los
triángulos ABE y CDE son iguales y el área del triángulo BCE es 60
ha. Se conoce que el perímetro del triángulo ABE es 36 hm, la
longitud del lado menor es el 75 % de la longitud del mediano y la
longitud del lado mayor es excedida por 600 m por la suma de las
longitudes de los otros dos lados. Si el área de la superficie
poligonal ABCDE se dedicó al cultivo de arroz y la cosecha fue de
588 t, ¿cuál fue el rendimiento por hectárea de este cultivo?
E
D
A
C
B
62. En una empresa química se compra una solución salina al 10 %
recipientes de 500 cc (cm3), una solución salina al 20 %
recipientes de 500 cc (cm3) y
una solución salina al 50 %
3
recipientes de 1000 cc (cm ).¿Cuántos recipientes de cada tipo
solución tendrá que comprar para preparar 12 000 cc (cm 3)
solución al 26 %?
en
en
en
de
de
63. Una piscina se puede llenar mediante tres llaves A, B y C. La llave
A la puede llenar en 8 h. Si se usan juntas las llaves A y C, la
piscina puede llenarse en 6 h. Si se usan juntas las llaves B y C, se
tardan 10 h. ¿Cuánto tarda en llenarse la piscina si se usan las tres
llaves a la vez?
64. Elabora un problema que conduzca a un sistema:
a) Lineal con dos variables.
252

11. b) Lineal con tres variables.
c) Cuadrático con dos variables.
253