-

1. Scenariul lecţiei
Evocarea
Realizarea sensului
Reflecţie
Extindere

2. “Omul este, de la Dumnezeu, iscoditor, curios,
mereu în căutare de “altceva” , mereu în luptă cu
necunosutul. Matematica îl susţine în acest
zbucium permanent, punîndu-i la dispoziţie
noţiuni şi metode de lucru deosebit de puternice.
Acolo, undeva, stau ascumse şi “ecuaţiile”, la
care vom face referire în cadrul lecţiei de astăzi”

3. Numiţi cuvinte din cîmpul asociativ
cuvintului
Ecuaţie
Ecuaţia de gr.I Ecuaţia de gra.II
Discriminantul
D>0 D=0 D<0
X1,2= x1,2=
ecuaţia dată nu
are soluţii în R
a
b
2
∆±−
a
b
2
−
acb 42
−=∆

4. SubcompetenSubcompetenţele lecţieiţele lecţiei
1.1. Identificarea şi aplicarea în diverse contexteIdentificarea şi aplicarea în diverse contexte
a terminologiei, a notaţiilor aferente noţiuniia terminologiei, a notaţiilor aferente noţiunii
de ecuaţii de grde ecuaţii de graduladul II cu o necunoscută.II cu o necunoscută.
2.2. Evaluarea şi analizarea rezolvării ecuaţiEvaluarea şi analizarea rezolvării ecuaţiilorilor
de grde graduladul II în contextul corectitudinii, alII în contextul corectitudinii, al
simplităţii, al clarităţii şi al semnificaţieisimplităţii, al clarităţii şi al semnificaţiei
rezultatelor.rezultatelor.

5. I.Rezolvaţi ecuaţia de gradul II cu necunoscuta x în
mulţimea R:
(plicul alb 1)
030132
=+− xxAflăm discriminantul:
( )
( )
( ) 10
2
20
2
713
12
4913
2
3
2
6
2
713
12
4913
2
0
491201693014134
2
1
22
==
+
=
⋅
+−−
=
∆−−
=
==
−
=
⋅
−−−
=
∆−−
=
>∆
=−=⋅⋅−−=−=∆
a
b
x
a
b
x
acb
{ }10,3=S

6. I.Rezolvaţi ecuaţia de gradul II cu necunoscuta x în
mulţimea R:
(plicul alb 2)
070172
=++ xxAflăm discriminantul:
7
2
14
2
317
12
917
2
10
2
20
2
317
12
917
2
0
92802897014174
2
1
22
−=
−
=
+−
=
⋅
+−
=
∆−−
=
−=
−
=
−−
=
⋅
−−
=
∆−−
=
>∆
=−=⋅⋅−=−=∆
a
b
x
a
b
x
acb
{ }7,10 −−=S

7. I.Rezolvaţi ecuaţia de gradul II cu necunoscuta x în
mulţimea R:
(plicul alb 3)
035122
=+− xxAflăm discriminantul:
( )
( )
( ) 7
2
14
2
212
12
412
2
5
2
10
2
212
12
412
2
0
41401443514124
2
1
22
==
+
=
⋅
+−−
=
∆−−
=
==
−
=
⋅
−−−
=
∆−−
=
>∆
=−=⋅⋅−−=−=∆
a
b
x
a
b
x
acb
{ }7,5=S

8. Cunoscînd rădăcinile ecuaţiei, aflaţi suma şi produsul
lor:
30103
13103
030132
=⋅=
=+=
=+−
P
S
xx
Am observat că: Suma S rădăcinilor ecuaţiei
pătrate reduse este egală cu coeficientul al doilea, luat
cu semn opus, iar produsul P este egal cu termenul
libel.
( )
( ) 70710
17710
070172
=−⋅−=
−=−+−=
=++
P
S
xx
3575
1275
035122
=⋅=
=+=
=+−
P
S
xx

9. Relaţii între soluţii şi
coeficienţii ecuaţiei de gradul II.
Relaţiile lui Viete.
22.02.2013

10. VIETE FRANCOIS (1540 - 1603)
Matematician francez, a introdus sistemul de simboluri
algebrice, a elaborat bazele algebrei elementare. Este unul
dintre primii, care a folosit notarea numerelor prin litere,
ceea ce a contribuit în mod esenţial la dezvoltarea teoriei
ecuaţiilor.
0:obtinem
S:
0
2
21
21
2
=+−
=⋅=
−=+=
=++
PSxx
cxxP
bxxNotam
cbxx
Aplicînd relaţiile lui Viete, putem exprima S şi P
rădăcinilor unei ecuaţii pătrate arbitrare prin
coeficienţii ei.
Ecuaţia pătrată redusă echivalentă cu ea are
forma:
a
c
xxP
a
b
xxS
a
c
x
a
b
x
=⋅=
−=+=
=++
21
21
2
0
Relaţiile lui Viete

11. II.Rezolvaţi ecuaţia de gradul II cu necunoscuta x în
mulţimea R
şi aflaţi Suma şi Produsul rădăcinilor:
(plicul galben 1)
021112 2
=+− xxAflăm discriminantul:
( )
( )
( )
.
12
2
3
2
4
1
;
12
11
12
83
3
2
4
1
3
2
24
16
24
511
122
2511
2
4
1
24
6
24
511
122
2511
2
0
25961212124114
2
1
22
=⋅=
=
+
=+=
==
+
=
⋅
+−−
=
−−
=
==
−
=
⋅
−−−
=
−−
=
>
=−=⋅⋅−−=−=
P
S
a
b
x
a
b
x
acb
∆
∆
∆
∆

12. II.Rezolvaţi ecuaţia de gradul II cu necunoscuta x în
mulţimea R
şi aflaţi Suma şi Produsul rădăcinilor:
(plicul galben 2)
011322 2
=++ xxAflăm discriminantul:
( )
.
22
1
11
1
2
1
;
22
13
22
211
11
1
2
1
11
1
44
4
44
913
222
8113
2
2
1
44
22
44
913
222
8113
2
0
81881691224134
2
1
22
=





−⋅−=
−
=
−+−
=





−+−=
−=
−
=
+−
=
⋅
+−
=
−−
=
−=
−
=
−−
=
⋅
−−
=
−−
=
>
=−=⋅⋅−=−=
P
S
a
b
x
a
b
x
acb
∆
∆
∆
∆

13. II.Rezolvaţi ecuaţia de gradul II cu necunoscuta x în
mulţimea R
şi aflaţi Suma şi Produsul rădăcinilor:
(plicul galben 3)
0235 2
=−+ xxAflăm discriminantul:
( )
.
5
2
5
2
1
;
5
3
5
25
5
2
1
5
2
10
4
10
73
52
493
2
1
10
10
10
73
52
493
2
0
4940925434
2
1
22
−=⋅−=
−
=
+−
=+−=
==
+−
=
⋅
+−
=
−−
=
−=
−
=
−−
=
⋅
−−
=
−−
=
>
=+=−⋅⋅−=−=
P
S
a
b
x
a
b
x
acb
∆
∆
∆
∆

14. III. 1.Rezolvaţi în mulţimea R ecuaţia de gradul II cu
necunoscuta şi calculaţi Suma şi Produsul rădăcinilor:
(plicul orange 1)
( )
( )
{ }11;4
11
2
22
2
715
12
4915
4
2
8
12
4915
44114P49176225441415
15114S04415
2
1
2
2
=
==
+
=
⋅
+−−
=
==
⋅
−−−
=
=⋅==−=⋅⋅−−=
=+==+−
S
x
x
xx
∆
2. Fără să rezolvaţi ecuaţia aflaţi Suma şi Produsul soluţiilor
reale:
8
5
;
8
9
0598 2
=−=
=++
PS
xx
ţi ecuaţia de gradul IIcu necunoscuta y ale cărei soluţii sunt: 7 şi -24
( )
( )
016817
168247
17247
2
=−+
−=−⋅=
−=−+=
xx
P
S

15. III. 1.Rezolvaţi în mulţimea R ecuaţia de gradul II cu
necunoscuta şi calculaţi Suma şi Produsul rădăcinilor:
(plicul orange 2)
( )
( )
{ }5;12
5
2
10
2
717
12
4917
12
2
24
2
717
12
4917
605--12P49240289601417
175--12S06017
2
1
2
2
−−=
−=
−
=
+−
=
⋅
+−
=
−=
−
=
−−
=
⋅
−−
=
=⋅==−=⋅⋅−=
−=+==++
S
x
x
xx
∆
2. Fără să rezolvaţi ecuaţia aflaţi Suma şi Produsul soluţiilor
reale:
6
1
;
6
8
0186 2
=−=
=++
PS
xx
ţi ecuaţia de gradul IIcu necunoscuta y ale cărei soluţii sunt: 8 şi -23
( )
( )
018415
184238
15238
2
=−+
−=−⋅=
−=−+=
xx
P
S

16. III. 1.Rezolvaţi în mulţimea R ecuaţia de gradul II cu
necunoscuta şi calculaţi Suma şi Produsul rădăcinilor:
(plicul orange 3)
( )
( )
{ }8;11
8
2
16
2
319
12
919
11
2
22
2
319
12
919
88811P9352361881419
198-11S08819
2
1
2
2
−−=
−=
−
=
+−
=
⋅
+−
=
−=
−
=
−−
=
⋅
−−
=
=−⋅−==−=⋅⋅−=
−=+−==++
S
x
x
xx
∆
2. Fără să rezolvaţi ecuaţia aflaţi Suma şi Produsul soluţiilor
reale:
3
5
;
3
6
0563 2
=−=
=++
PS
xx
ţi ecuaţia de gradul IIcu necunoscuta y ale cărei soluţii sunt: -35 şi 6
021029
210635
29635
2
=−+
−=⋅−=
−=+−=
xx
P
S

17. Obiectivele lecţiei.Obiectivele lecţiei.
La finele lecţiei elevii vor fi capabili:La finele lecţiei elevii vor fi capabili:
OO11 - să identifice tipurile de ecuaţii de gradul II cu o necunoscută.- să identifice tipurile de ecuaţii de gradul II cu o necunoscută.
OO22 – să– să rezolve în mulţimea R ecuaţii de gradul II cu o necunosută.rezolve în mulţimea R ecuaţii de gradul II cu o necunosută.
OO33 – să determine numărul rădăcinilor ecuaţiei de gradul II, cunoscînd– să determine numărul rădăcinilor ecuaţiei de gradul II, cunoscînd
valoarea discriminantului.valoarea discriminantului.
OO44 – să anticipeze relaţiile între coeficienţii ecuaţiei de gradul II şi– să anticipeze relaţiile între coeficienţii ecuaţiei de gradul II şi
rădăcinile ei.rădăcinile ei.
OO55 – să rezolve situaţii – problemă aplicînd Relaţiile lui Viete.– să rezolve situaţii – problemă aplicînd Relaţiile lui Viete.
OO66 – să manifeste perseverenţă şi gîndire creativă în rezolvarea ecuaţiei– să manifeste perseverenţă şi gîndire creativă în rezolvarea ecuaţiei
de gradul II cu o necunoscută.de gradul II cu o necunoscută.

18. Tema pentru acasă:
Tema: Relaţiile lui Viete.
Ex: 8,10 (pag.46-47)

19. Vă mulţumesc pentru atenţie !
Pe parcursul lecţiei:
Am folosit două mijloace care nu
pot da greş: o tenacitate
neclintită şi degetele care au
transpus gîndul meu cu o
fidelitate algebraică.