1. Transformaciones geométricas Tema 4- 1 º BACH Autor: Rafael Quintero

2. objetivos:  Contactar con la geometría proyectiva como ampliación de la conocida g. euclediana.  Realizar transformaciones en el plano , tales como la homología y sus casos particulares, afinidades e inversiones .  Ampliar dichas transformaciones a otros tipos de problemas.  Conocer las relaciones de las transformaciones con la geometría descriptiva que se estudiará mas adelante.

5. ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PROYECTIVA

6. RECTA ORIENTADA: Se designa así a la recta en la cual ha sido fijado un sentido como positivo P A B + Elementos geométricos fundamentales. Son el punto, la recta y el plano. Formas geométricas . Son las formadas con los elementos geométricos.

7. Razón simple de tres puntos Dados dos puntos fijos A y B ) en una recta r orientada (que tiene sentido positivo y negativo), la razón simple Es el cociente o razón de distancias entre el primero a los otros dos fijos, se llama razón simple de tres puntos P , A Y B a la relación: h = (PAB) = P A P B P A B + SI SE VARÍA EL ORDEN DE NOTACIÓN, SE VARIÁ EL VALOR DE LA RAZÓN. Puntos fijos

8. +aclaraciones Valor de la razón simple, imaginate un valor Se refiere a los puntos que están en razón simple m n Es el punto de origen K , es un valor. En una recta donde hay tres puntos alineados, si consideramos a uno de ellos, el P por ejemplo el origen de esa recta, el segmento formado desde este punto P al siguiente punto A dividido por la distancia de P al ultimo punto nos va a dar un valor = k . En geometría ese valor viene expresado como PA/PB. Es decir, se interesa mas por la relación entre el primer segmento / segundo segmento. Ese valor se expresa mediante la fracción

10. Razón doble de cuatro puntos Dados dos puntos fijos A y B en una recta r orientada se llama razón doble de cuatro puntos M , N , A y B al cociente de las razones simples de los dos primeros respecto a los otros dos : k = ( MN AB ) = ( M AB ) ( N AB ) M A / M B N A / N B = A cada grupo de cuatro puntos que se puede elegir se denomina cuaterna anarmónica.

11. Cuaterna armónica Si la razón doble de cuatro puntos vale -1 , entonces se dice que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica: MN están separados armónicamente por AB M A M B N A N B = k = ( MN AB ) = ( M AB ) ( N AB ) M A / M B N A / N B = =-1

12. Construcción geométrica de una cuaterna armónica Para construir el cuarto conjugado armónico de un punto M respecto a un par dado AB se trazan por A y B dos líneas paralelas cualesquiera y por M una recta secante arbitraria que determina sobre las paralelas los segmentos f y r , cuya razón es precisamente, la razón ( M AB ). Trácese sobre la prolongación de la paralela trazada por A un segmento igual a f y su unión con el extremo de r determina el cuarto armónico N . Se trataba de ubicar un punto tal que la razón doble de los cuatro, diera como valor –1, es decir, que los cuatro puntos formen o estén en una relación de cuaterna armónica

13. Invariante proyectivo. La razón simple de tres puntos no varía al proyectar sus puntos paralelamente sobre otra recta, puesto que los segmentos son proporcionales y su razón no varía. De aquí que la razón doble de cuatro puntos no varía al proyectar sus puntos sobre una recta, puesto que se trata del cociente de dos razones fijas. Esta proyección puede ser paralela o desde un punto exterior, como vemos a continuación.

15. HOMOGRAFÍAS Las transformaciones que pasamos a tratar a continuación están incluidas en la homografía, que podemos definir como la relación espacial existente entre figuras planas . Estas se relacionan con sus homólogas, punto a punto y recta a recta, mediante la proyección desde un elemento vértice , de modo que las figuras pertenecen a las secciones planas de los haces proyectivos. Dos secciones planas de la misma radiación se llaman perspectivas y son homográficas;

16. Aplicaciones de la homología

18. Ejercicio Hallar el homólogo B' de B , conociendo el centro O , el eje e y un par de puntos homólogos A y A' . 1 Se unen los puntos A y B mediante la recta r que corta al eje en el punto C-C' . 2 El punto C-C' se une con el punto A' mediante la recta r', homóloga de la recta r . 3 Se une el centro O con el punto a hasta cortar a la recta r' en el punto B' solución.

19. RECTAS LÍMITE Es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito. Son dos: I y I´ , paralelas al eje. Ejercicio Dadas dos rectas homólogas r y r', el centro O y el eje e, hallar las rectas límites: 1 Por el centro de homología O se traza la paralela a la recta r hasta cortar a la otra recta (en el punto K. 2 Por K se traza la recta límite I paralela al eje. 3 Por el centro de homología O se traza la paralela a la recta r hasta cortar a la otra recta r' en el punto J'. 4 Por J' se traza la recta límite l' paralela al eje.

20. a) Propiedades de las rectas límites Todas las rectas que se cortan en un mismo punto P de la recta límite ) tienen sus homólogas . paralelas a O P .

23. EJERCÍCIOS

27. AFINIDAD La afinidad es una homología de centro impropio , es decir, que está en el infinito. DIFERENCIA TRIDIMENSIONAL ENTRE LA HOMOLOGÍA Y LA AFINIDAD

28. e C-C´ B-B´ œ A´ r r´ A Por tanto, la afinidad es una transformación homográfica que cumple las siguientes leyes.  La recta que une dos puntos afines es paralela a una dirección d de afinidad.  Dos rectas afines se cortan en un punto del eje de afinidad. En afinidad no existen rectas límite. d œ A / œ A ' P A' k = ( Œ PAA´ ) = P A / P A' = P A' P Si el coeficiente de afinidad es positivo, los dos puntos A y A' están al mismo lado del eje, y si es negativo están a distinto lado. Nota: œ =infinito

29. Hallar el afín B' de un punto B , conociendo la dirección de afinidad d , el eje e y un par de puntos afines A y A': 1 Se unen los puntos A y B mediante la recta r que corta al eje en el punto C-C' . 2 El punto C-C ´ se une con el punto A' mediante la recta r' , afín de la recta r . 3 Por el punto B se traza una recta paralela a la dirección d de afinidad hasta cortar a la recta r' en el 'punto B' solución.

30. CONSTRUCCiÓN DE FIGURAS AFINES Una afinidad queda determinada conociendo los siguientes datos: a) El eje y dos puntos afines. b) La dirección de afinidad y el coeficiente. c) Dos figuras afines. No es necesario dibujarlo de momento

31. CONSTRUCCiÓN DE FIGURAS AFINES Construir la figura afín del polígono ABCDE conociendo la dirección d de afinidad, el eje e y un punto afín A'. 1 Aplicando el procedimiento general, se une el punto A con cualquier otro, el B por ejemplo, hasta cortar al eje en el punto M . 2 El punto M se une con A' mediante una recta que corta al rayo paralelo a la dirección de afinidad trazado por B, en el punto B´. 3 Se une el punto C con el punto B , o con cualquier otro del que ya se conozca su afín, y se siguen las mismas operaciones anteriores hasta determinar los afines de todos los vértices. A´

32. Hallar el afín B' de un punto B , conociendo la dirección de afinidad d , el eje e y un par de puntos afines A y A' alineados con B . 1 Se elige un punto C , arbitrario, y se une con A mediante la recta r que corta al eje en R . 2 Se une R con A' mediante la recta r' (afín de r ) 3 Por el punto C se traza la paralela a la dirección de afinidad hasta cortar a r' en C´. 4 Se une C con B hasta cortar al eje en S . 5 Se traza la recta s' (afín de s ) uniendo S y C´ 6 El corte de s' y AA' es el punto B' buscado.

33. homotecia