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書くネタがCoqしかない
- 5. 目次
• Coqとは何か
• Coqの根底にある理論
• Coqで何ができるのか
• Coqをはじめる
- 16. Coqの根底にある理論
• Curry-Howard対応の例
• 含意(AならばB): 関数 A -> B (Haskell)
• 連言(AかつB): ペア pair<A, B> (C++)
• 選言(AまたはB): Either A B (Haskell)
• 矛盾(⊥): 到達不能型 Nothing (Scala)
• 否定(Aでない): A -> ⊥
- 17. Coqの根底にある理論
• では、こういうコードは?
• Definition A : False := A.
• Aが定義できたら、矛盾が導けてしまう。
• ↑ 無限ループの禁止
- 19. Coqの根底にある理論
• 停止性を保証する型システム
• Simply Typed Lambda Calculus
• ↓ +polymorphism (型に依存した値)
• ↓ +type operators (型に依存した型)
• ↓ +dependent types (値に依存した型)
• Calculus of Constructions
- 20. Coqの根底にある理論
• Calculus of Constructions (CoC)
• ↓ + 再帰等
• Calculus of Inductive Constructions (CIC)
• このCICをCoqでは用いている
• CICと集合論のZFCは互換
( CIC(i)→ZFC(i-2), ZFC(i)→CIC(i+1) )
- 21. Coqで何ができるの?
• 数学サイド
• 有名なのは
– ゲーデルの不完全性定理の証明
(公理系が多層化するので、形式的な言語で書
いたほうが議論しやすいと思われる)
– 四色問題の証明
(四色問題は数学的証明部とコンピューターに
よる探索部に別れる。Coqではこれを有機的
に結合できるため、証明の信頼性が高まる)